2024数学中考专题复习
重难点四 二次函数综合问题
1.(2021四川南充)如图,已知抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和B,与y轴交于点C,对称轴为直线x=.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,若点P是线段BC上的一个动点(不与点B,C重合),过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q,连接OQ,当线段PQ长度最大时,判断四边形OCPQ的形状并说明理由;
(3)如图2,在(2)的条件下,D是OC的中点,过点Q的直线与抛物线交于点E,且
∠DQE=2∠ODQ.在y轴上是否存在点F,使得△BEF为等腰三角形 若存在,求点F的坐标,若不存在,请说明理由.
图1
图2
2.(2023江苏连云港)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线L1:y=x2-2x-3的顶点为P.直线l过点M(0,m)(m≥-3),且平行于x轴,与抛物线L1交于A、B两点(B在A的右侧).将抛物线L1沿直线l翻折得到抛物线L2,抛物线L2交y轴于点C,顶点为D.
(1)当m=1时,求点D的坐标;
(2)连接BC、CD、DB,若△BCD为直角三角形,求此时L2所对应的函数表达式;
(3)在(2)的条件下,若△BCD的面积为3,E、F两点分别在边BC、CD上运动,且EF=CD,以EF为一边作正方形EFGH,连接CG,写出CG长度的最小值,并简要说明理由.
3.(2023四川南充)如图1,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P在抛物线上,点Q在x轴上,以B,C,P,Q为顶点的四边形为平行四边形,求点P的坐标;
(3)如图2,抛物线顶点为D,对称轴与x轴交于点E,过点K(1,3)的直线(直线KD除外)与抛物线交于G,H两点,直线DG,DH分别交x轴于点M,N,试探究EM·EN是不是定值,若是,求出该定值,若不是,说明理由.
图1
图2
4.(2021湖北黄冈)已知抛物线y=ax2+bx-3与x轴相交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,点N(n,0)是x轴上的动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,若n<3,过点N作x轴的垂线交抛物线于点P,交直线BC于点G,过点P作PD⊥BC于点D,当n为何值时,△PDG≌△BNG
(3)如图2,将直线BC绕点B顺时针旋转,使它恰好经过线段OC的中点,然后将它向上平移个单位长度,得到直线OB1.
①tan∠BOB1= ;
②当点N关于直线OB1的对称点N1落在抛物线上时,求点N的坐标.
图1
图2
重难四 二次函数综合问题
1.(2021四川南充)如图,已知抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和B,与y轴交于点C,对称轴为直线x=.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,若点P是线段BC上的一个动点(不与点B,C重合),过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q,连接OQ,当线段PQ长度最大时,判断四边形OCPQ的形状并说明理由;
(3)如图2,在(2)的条件下,D是OC的中点,过点Q的直线与抛物线交于点E,且
∠DQE=2∠ODQ.在y轴上是否存在点F,使得△BEF为等腰三角形 若存在,求点F的坐标,若不存在,请说明理由.
图1
图2
解析 (1)根据题意得
解得a=1,b=-5,∴抛物线的解析式为y=x2-5x+4.
(2)四边形OCPQ是平行四边形.理由如下:易知B(4,0),C(0,4),
∴直线BC的解析式为y=-x+4.
∵点P在线段BC上,
∴设P(t,-t+4)(0
∴Q(t,t2-5t+4)(0
当t=2时,线段PQ长度最大,为4.
∵OC=4,∴OC=PQ.
∵OC∥PQ,∴四边形OCPQ是平行四边形.
(3)在y轴上存在点F,使得△BEF为等腰三角形.
∵C(0,4),D是OC的中点,
∴D(0,2).
由(2)知Q(2,-2),P(2,2),
∵PQ∥OC,∴∠ODQ=∠PQD.
∵∠DQE=2∠ODQ=2∠PQD,
∴∠PQD=∠PQE.
∴点D(0,2)关于PQ的对称点为M(4,2),且直线QE过点M(4,2)和Q(2,-2),
∴直线QE的解析式为y=2x-6.
∵点E是直线QE与抛物线y=x2-5x+4的交点,令x2-5x+4=2x-6,解得x1=5,x2=2,
∴E(5,4).
假设存在y轴上的点F(0,m),使△BEF为等腰三角形.
①若BF=EF,即BF2=EF2,则42+m2=52+(4-m)2,解得m=,
∴F.
②若BF=BE,即BF2=BE2,则42+m2=(5-4)2+42,解得m=±1,
∴F(0,1)或F(0,-1).
③若EF=BE,即EF2=BE2,则52+(4-m)2=(5-4)2+42,
化简得m2-8m+24=0,Δ=-32<0.
∴方程无解,因此在y轴上不存在点F,使EF=BE.
综上所述,在y轴上存在点F,使得△BEF为等腰三角形.点F的坐标为或(0,1)或(0,-1).
2.(2023江苏连云港)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线L1:y=x2-2x-3的顶点为P.直线l过点M(0,m)(m≥-3),且平行于x轴,与抛物线L1交于A、B两点(B在A的右侧).将抛物线L1沿直线l翻折得到抛物线L2,抛物线L2交y轴于点C,顶点为D.
(1)当m=1时,求点D的坐标;
(2)连接BC、CD、DB,若△BCD为直角三角形,求此时L2所对应的函数表达式;
(3)在(2)的条件下,若△BCD的面积为3,E、F两点分别在边BC、CD上运动,且EF=CD,以EF为一边作正方形EFGH,连接CG,写出CG长度的最小值,并简要说明理由.
解析 (1)∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴P(1,-4),
∵m=1,点P和点D关于直线y=1对称,
∴D(1,6).
(2)由题意得抛物线L1的顶点P(1,-4)与L2的顶点D关于直线y=m对称,
∴D(1,2m+4),抛物线L2:y=-(x-1)2+(2m+4)=-x2+2x+2m+3,
∴C(0,2m+3),
①当∠BCD=90°时,如图1,过D作DN⊥y轴,垂足为N,
∵D(1,2m+4),C(0,2m+3),
∴N(0,2m+4),∴DN=NC=1,
∴∠DCN=45°,
∵∠BCD=90°,
∴∠BCM=45°,
∵直线l∥x轴,
∴∠BMC=90°,
∴∠CBM=∠BCM=45°,即BM=CM,
∵m≥-3,
∴BM=CM=(2m+3)-m=m+3,
∴B(m+3,m),
∵点B在y=x2-2x-3的图象上,
∴m=(m+3)2-2(m+3)-3,
解得m=0或m=-3,
∵当m=-3时,B(0,-3),C(0,-3),此时,B、C重合,不符合题意,故舍去.
当m=0时,符合题意,
将m=0代入L2:y=-x2+2x+2m+3得L2:y=-x2+2x+3.
②当∠BDC=90°时,如图2,
过D作DN⊥y轴,垂足为N,过B作BT⊥ND,交ND的延长线于点T,
同理可得BT=DT,
∵D(1,2m+4),
∴DT=BT=(2m+4)-m=m+4,
∵DN=1,
∴NT=DN+DT=1+(m+4)=m+5,
∴B(m+5,m),
∵点B在y=x2-2x-3的图象上,
∴m=(m+5)2-2(m+5)-3,
解得m=-3或m=-4.
∵m≥-3,
∴m=-3,此时B(2,-3),C(0,-3),符合题意,
将m=-3代入L2:y=-x2+2x+2m+3得L2:y=-x2+2x-3.
③易知当∠DBC=90°时,此情况不存在.
综上,L2所对应的函数表达式为y=-x2+2x+3或y=-x2+2x-3.
(3)CG长度的最小值为.
理由如下:如图3,
由(2)知,当∠BDC=90°时,m=-3,
此时△BCD的面积为1,不符合题意,舍去.
当∠BCD=90°时,m=0,此时,△BCD的面积为3,符合题意,
当所作正方形在EF左侧时,记为正方形EFGH,
当所作正方形在EF右侧时,记为正方形EFG'H',
观察易知G,C间的距离必小于G',C间的距离.
由题意得EF=FG=CD=,取EF的中点Q,连接GQ,
在Rt△CEF中可求得CQ=,在Rt△FGQ中可求得GQ=,易知当Q,C,G三点共线时,CG取最小值,最小值为.
3.(2023四川南充)如图1,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P在抛物线上,点Q在x轴上,以B,C,P,Q为顶点的四边形为平行四边形,求点P的坐标;
(3)如图2,抛物线顶点为D,对称轴与x轴交于点E,过点K(1,3)的直线(直线KD除外)与抛物线交于G,H两点,直线DG,DH分别交x轴于点M,N,试探究EM·EN是不是定值,若是,求出该定值,若不是,说明理由.
图1
图2
解析 (1)根据题意,得
解得a=-1,b=2,∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.
(2)如图1所示,①当点P在x轴上方时,当BC为平行四边形一边时,记为P1,
CP1∥BQ1,CP1=BQ1,即-x2+2x+3=3,
解得x1=0,x2=2,
∴P1(2,3).当BC为平行四边形的对角线时,记为P2,易知P2与P1重合.
②当点P在x轴下方时,作PF⊥x轴于F.设P(t,-t2+2t+3).
由题意可知,PF=OC,∴|-t2+2t+3|=OC=3,∴t2-2t-3=3.
解得t1=1-.
∴P3(1+,-3),P4 (1-,-3).
综上所述,符合条件的点P的坐标为(2,3)或(1+,-3)或(1-,-3).
(3)EM·EN为定值.
设过点K(1,3)的直线解析式为y=kx+b',则b'=-k+3,∴y=kx-k+3.
联立直线与抛物线的解析式得∴x2+(k-2)x-k=0.
Δ=k2+4>0,设x2+(k-2)x-k=0的两个实数根分别为x3,x4(x3
设G(x3,kx3-k+3),H(x4,kx4-k+3).
如图2,过点G作GS⊥DE于S,过点H作HT⊥DE于T,易知D点坐标为(1,4),
则DS=4-(kx3-k+3)=-kx3+k+1,GS=-x3+1,
DT=4-(kx4-k+3)=-kx4+k+1,HT=x4-1.
∴DS·DT=(-kx3+k+1)(-kx4+k+1)=(k+1)2+k2x3x4- (k2+k)·(x3+x4)=k2+2k+1-k3-2k2+k3-2k+k2=1.
GS·HT=(-x3+1)(x4-1)=x3+x4-x3x4-1=-k+2+k-1=1.∴DS·DT=GS·HT,∴.
又∵∠DSG=∠HTD=90°,
∴△GSD∽△DTH.
∴∠GDS=∠DHT,∴∠GDH=∠GDS+∠TDH=∠DHT+∠TDH=90°.
∵DE⊥x轴,∴∠DEM=∠NED=90°,
∴∠EDN+∠END=90°.
∴∠MDE=∠DNE,∴△DEM∽△NED.∴.
∴EM·EN=ED2=16,
即EM·EN为定值,EM·EN=16.
4.(2021湖北黄冈)已知抛物线y=ax2+bx-3与x轴相交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,点N(n,0)是x轴上的动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,若n<3,过点N作x轴的垂线交抛物线于点P,交直线BC于点G,过点P作PD⊥BC于点D,当n为何值时,△PDG≌△BNG
(3)如图2,将直线BC绕点B顺时针旋转,使它恰好经过线段OC的中点,然后将它向上平移个单位长度,得到直线OB1.
①tan∠BOB1= ;
②当点N关于直线OB1的对称点N1落在抛物线上时,求点N的坐标.
图1
图2
解析 (1)∵抛物线y=ax2+bx-3与x轴相交于A(-1,0),B(3,0)两点,∴
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3.
(2)由C(0,-3),B(3,0),得OB=OC=3,则∠OBC=∠OCB=45°,
∴△BNG与△PDG都是等腰直角三角形.
当点N在y轴右侧时,
∵N(n,0),B(3,0),
∴NB=3-n=NG,BG=(3-n).
∵△PDG≌△BNG,
∴PG=BG=(3-n),
∴PN=3-n+(3-n).
∵点P在抛物线上,
∴P(n,n2-2n-3),
∴3-n+(3-n)=-n2+2n+3,
解得n=3(舍去)或n=.
当点N在y轴左侧时,同理可得n=-.
∴当n=或-时,△PDG≌△BNG.
(3)①.
详解:设OC的中点为S,易知S,连接BS.
将直线BS向上平移个单位长度,得到直线OB1,
∴∠BOB1=∠OBS.
∴tan∠BOB1=tan∠OBS=.
②连接NN1,设直线NN1交直线OB1于点H.
∵点N和点N1关于直线OB1对称,
∴∠OHN=90°,NH=N1H.
过点H作HK⊥x轴,垂足为K,则∠KOH=∠KHN,
∴tan∠BOB1=tan∠KOH=tan∠KHN=.
设KN=m,则HK=2m,OK=4m.
当点N在点O右侧时,OK+KN=4m+m=n,解得m=,
∴点H的坐标为.∵点N的坐标为(n,0),∴点N1的坐标为.
将点N1的坐标代入抛物线解析式得-2·,整理得9n2-50n-75=0,
解得n=或n=(舍去).
当点N在点O左侧时,同理可求得n=.
∴点N的坐标为.
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