河南省创新联盟2023-2024学年高二上学期第二次联考
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册20%，必修第二册30%，选择性必修第一册第一章40%、第二章第1节10%．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在复平面内，对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设集合，若，则（ ）
A．3 B．2 C． D．1
3．下列关于空间向量的说法中错误的是（ ）
A．若是直线的方向向量，则也是直线的方向向量
B．空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定
C．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底
D．在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示
4．在三棱锥中，，平面的法向量，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C．1 D．2
5．已知向量满足，且，则（ ）
A．0 B． C． D．
6．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面分别为的中点，则（ ）
A． B．1 C． D．2
7．过点作直线，若直线与连接两点的线段总有交点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正方体的棱长为2，是的中点，点分别在直线上，则线段的最小值为（ ）
A．1 B．． C．2 D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．如图，由正四棱锥截去一部分后得到四棱台分别为四边形的对角线的交点，，则下列结论正确的是（ ）
A．几何体是三棱柱 B．几何体是三棱台
C．四棱台的体积为 D．直线与直线所成角的正切值为
10．已知样本数据，且，则（ ）
A．的平均数小于的平均数
B．的中位数小于的中位数
C．的极差等于的极差
D．的方差大于的方差
11．已知函数，则（ ）
A．是奇函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递增
C．是偶函数，且在上单调递减 D．是偶函数，且在上单调递增
12．学习几何体结构素描是学习素描的重要一步．如图，这是一个用来练习几何体结构素描的石膏几何体，它是由一个圆柱和一个正三棱锥穿插而成的对称组合体．棱和平面都与圆柱侧面相切，是棱与圆柱侧面的切点．平面，且直线分别与平面，平面交于点．已知，圆柱的底面圆半径为，则（ ）
A． B．
C．点到平面的距离为 D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若三点共线，则_________________．
14．函数的最大值为_________________．
15．如图，在圆锥中，是底面圆的直径，为的中点，点在上，若，则_________________．
16．已知函数若存在实数，使得，则的取值范围为_________________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知直线的斜率为2，直线过点．
（1）若直线的倾斜角为，求的值；
（2）若，求的值．
18．（12分）已知函数在上单调递减．
（1）求的取值范围；
（2）求的值域．
19．（12分）如图，在正三棱柱中，分别为的中点，．
（1）证明：平面．
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
20．（12分）在锐角中，角的对边分别是，且满足．
（1）求；
（2）若的外接圆半径是1，求的取值范围．
21．（12分）甲、乙两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，则由对方接着投掷．规定第1次由甲投掷．
（1）求第2次由甲投掷的概率；
（2）求前4次投掷中，乙恰好投掷2次的概率．
22．（12分）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是的中点，点在棱上，且．
（1）若平面平面，证明：平面．
（2）求平面与平面的夹角的余弦值的最大值．
河南省创新联盟2023-2024学年高二上学期第二次联考
数学参考答案
1．C 因为，所以所求复数对应的点为，位于第三象限．
2．D 若，解得，当时，，不符合题意，当时，，符合题意．若，解得，此时，不符合题意．综上，．
3．A 若，则，零向量不能作为直线的方向向量，A错误．
4．B 点到平面的距离为．
5．D 因为，所以，即，解得，所以．
6．B 设为的中点，连接．
．
7．A 直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率的取值范围为．
8．B 建立如图所示的空间直角坐标系，则．
设，则．
．
当时，取得最小值，最小值为．
9．BCD 在几何体中，没有任何两个平面平行，A错误．
将四棱台沿轴截面分成两部分，其中之一是三棱台，B正确．
四棱台的体积为，C正确．
连接，作，垂足为．为直线与直线所成的角，，D正确．
10．AC 设的平均数为的平均数为，
则
，所以的平均数小于的平均数，A正确．
若都相等，则的中位数等于的中位数，B错误．
的极差等于的极差，都是正确．
若数据大多集中在最小值附近，且最大值较大，则的方差小于的方差，如0，0，1，1，1，1，8的方差小于0，1，1，1，1，8的方差，D错误．
11．BC为奇函数且在和上单调递增．
的定义域为，则，A错误．
的定义域为，
故为奇函数．在上单调递增，且值域为．
又因为在上单调递增，所以在上单调递增，B正确．
的定义域为，
则为偶函数，在上单调递减，而是增函数．
故在上单调递减，C正确．
在上单调递增，且值域为．而在上不单调递增，D错误．
12．ACD 设的中点为，连接，作平面，垂足为，以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图1所示的空间直角坐标系．
因为，所以．设圆柱被平面所截的截面圆为，在截面中，连接交于点，作，垂足为，如图2．因为，所以．因为圆与和都相切，所以是的角平分线，．因为，所以，A正确．
，所以是的中点，在中，，所以点到平面的距离为，C正确．
．设，则．因为四点共面，所以，所以解得，所以，D正确．，B错误．
图1 图2
13． ．因为三点共线，所以，解得．
14．2 ，当且仅当时，等号成立．
15．2 连接，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系（图略），则．设，．因为，所以，解得，故．
16． 设，则直线与函数的图象有3个交点，如图所示．设交点的横坐标分别是，点和点关于直线对称，则．令，则，，因此．
17．解：（1）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
所以，解得．
（2）因为，直线的斜率为2，所以直线的斜率为，
所以，解得．
18．解：（1）因为为增函数，在上单调递减，
所以函数在上单调递减，且，
所以解得．
（2）因为，
所以．
故的值域为．
19．（1）证明：取的中点，连接．
由已知可得，
所以，则．
因为，所以平面，所以．
因为，所以平面．
（2）解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，．
设平面的法向量为，
则取，则．
设直线与平面所成的角为，
所以．
故直线与平面所成角的正弦值为．
20．解：（1）因为，所以．
由余弦定理得．
因为，所以．
（2）因为的外接圆半径是1，所以．
．
因为是锐角三角形，所以，所以．
，
所以．
故的取值范围是．
21．解：（1）掷出的骰子的点数的样本点总数为36．
记事件“掷出的点数之和为3的倍数”，
则，有12个样本点．
．
故第2次由甲投掷的概率为．
（2）前4次投掷中，乙恰好投掷2次的情况分以下三种：
第一种情况，第1，2次由甲投掷，第3，4次由乙投掷，其概率为，
第二种情况，第1，3次由甲投掷，第2，4次由乙投掷，其概率为，
第三种情况，第1，4次由甲投掷，第2，3次由乙投掷，其概率为．
故前4次投掷中，乙恰好投掷2次的概率为．
22．（1）证明：因为底面是正方形，所以．
因为平面平面，所以平面．
又因为平面平面，所以．
因为平面平面，所以平面．
（2）解：由题意可得．
因为底面是正方形，所以．
又因为，所以平面．
因为，所以平面．
．
．
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
点到轴所在平面的距离为，点到轴所在平面的距离为．
，设．
，设平面的法向量为，
则即取，可得．
，设平面的法向量为，
则即取，可得．
设平面与平面的夹角为，
则，
令，则．．
当时，取得最小值，最小值为，
所以的最大值为，此时，．
故平面与平面的夹角的余弦值的最大值为．
