专题1.2 生活中的立体图形（分层练习）
一、单选题
1．下列是圆柱体的是（ ）
A． B． C． D．
2．下面几何体中，无曲面的为（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示的是一个极受学生群体欢迎的三棱锥魔方，三棱锥的棱的条数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．当你用笔在纸上写字时，你的笔尖实现了（ ）
A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对
5．在墙角用若干个边长为的小正方体摆成如图所示的几何体，则此几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．下列几何体是棱锥的是（ ）．
A． B．
C． D．
7．把14个棱长为1分米的正方体摆成如图所示的形式，然后把露出的表面都涂上颜色，则被涂上颜色的部分面积为（ ）
A．33平方分米 B．24平方分米
C．21平方分米 D．42平方分米
8．正方体切去一个块，可得到如图几何体，这个几何体有（ ）条棱．
A．10 B．11 C．12 D．13
9．你见过一种折叠灯笼吗？它看起来是平面的，可是提起来后却变成了美丽的灯笼，这个过程可近似地用哪个数学原理来解释（ ）
A．点动成线 B．线动成面
C．面动成体 D．面与面相交的地方是线
10．下面几何体可以由平面图形绕某条直线旋转一周得到的是（ ）
A． B． C．D．
11．下列说法不正确的是（ ）
A．长方体是四棱柱
B．八棱柱有8个面
C．六棱柱有12个顶点
D．经过棱柱的每个顶点有3条棱
12．下列几何体中，由曲面和平面围成的是（ ）
A．三棱柱 B．圆锥 C．球体 D．正方体
13．物理实验室有高度同为10cm的圆柱形容器A和B（如图），它们的底面半径分别为2cm和4cm，用一水龙头单独向A注水，3分钟后可以注满容器．在实验室课上，某同学将两容器在它们高度的一半用一个细水管连通（连接细管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，问6分钟后容器A中水的高度是（ ）cm．（注：若圆柱体底面半径为r，高为h，体积为V，则）
A．6 B．5 C．4 D．3
14．棱长为3英寸的正方体是由27个单位小正方体组成的，其中有21个红色小正方体，6个白色小正方体，若让大正方体的表面尽可能少地出现白色，则大正方体表面积中白色部分占整个正方体表面积的（ ）
A． B． C． D．
15．将一个棱长为3的正方体的表面涂上颜色，分割成棱长为1的小正方体（如图）．设其中一面、两面、三面涂色的小正方体的个数分别为，则之间的关系为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
16．如图，这个几何体的名称为 ．
17．一个长方体的表面积是40平方厘米，把这个长方体平均分成两个相等的正方体，每个正方体的表面积是 平方厘米．
18．若一个棱柱有12个顶点，且所有侧棱长的和为30cm，则每条侧棱长为 cm．
19．如图，将此长方形绕虚线旋转一周，得到的是圆柱体，其体积是 ．（结果保留）
20．已知一个边长分别为和的长方形，若绕着该长方形的一条边所在的直线旋转一周得到的几何体的体积最小是 ．
21．如图所示的立体图形的名称是 ．
22．如图，有一内部装有水的直圆柱形水桶，桶高；另有一直圆柱形的实心铁柱，柱高，直立放置于水桶底面上，此时水桶内的水面高度为．若水桶的底面直径为，铁柱的底面直径为．现将铁柱取出，则水桶内的水面高度变为 ．（不计桶的厚度及水的损失）
23．若一个棱柱有9个面，则它是 棱柱．
24．一个长方体的所有棱长之和是，则相交于一个顶点的三条棱的长度和是 ．
25．图中的大矩形长8厘米、宽6厘米，小矩形长4厘米、宽3厘米，以长边中点连线（图中的虚线）为轴，将图中的阴影部分旋转一周得到的几何体的表面积为 平方厘米．
26．圆柱、圆锥、球的共同点是 ；
27．用8个棱长3厘米的立方体拼成一个长方体，其中表面积最小的长方体的面积为 平方厘米．
28．分别写出下列各立体图形的名称：
① ② ③ ．
29．一个棱柱的面数为14，棱数是36，则其顶点数为 ．
30．已知一个直角三角形的两直角边分别是6cm，8cm．将这个直角三角形绕它的一直角边所在直线旋转一周，可以得到一个圆锥，则这个圆锥的体积是 cm3．（结果用π表示）
三、解答题
31．如图所示，是我们熟悉的三棱柱、五棱柱和六棱柱．
(1)填写下表：
立体图形 顶点数 面数 棱数
三棱柱
五棱柱
六棱柱
(2)设棱柱（为正整数，且）的顶点数为、棱数为、面数为，根据表中数据猜想________．
32．如图是一张长方形纸片，长为，长为．
(1)若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是 ．
(2)若将这个长方形纸片绕边所在直旋转一周形成的几何体的体积．（结果保留）
33．综合与实践
新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体：
操作探究：
(1)通过数上面图形中每个多面体的顶点数（）、面数（）和棱数（），填写下表中空缺的部分：
多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（）
四面体 4
六面体 8 6
八面体 8 12
十二面体 20 30
通过填表发现：顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是 ，这就是伟大的数学家欧拉（L.Euler，1707—1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式；
探究应用：
(2)已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是 棱柱；
(3)已知一个多面体只有8个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数．
34．探究：有一长，宽的长方形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴，旋转，得到一个圆柱，现可按照两种方案进行操作：方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①；方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②．
(1)请通过计算说明哪种方案构造的圆柱体积大；
(2)若将此长方形绕着它的其中一条边所在的直线为轴旋转360°，则得到的圆柱体积为多少？
35．如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体．
（1）根据要求填写表格：
面数（） 顶点数（） 棱数（）
图1
图2
图3
（2）猜想三个数量间有何关系；
（3）根据猜想计算，若一个多面体有顶点数2018个，棱数4036条，试求出它的面数．
36．一位父亲有一块正方形的土地，他把其中的留给自己，其余的平均分给他的四个儿子，如下图所示，他想使每个儿子获得的土地面积相等，形状相同，这位父亲应该怎么分？试画出示意图，并加以说明.
试卷第2页，共8页
试卷第3页，共8页
参考答案：
1．C
【分析】根据圆柱的特征：圆柱由侧面和上下两个底面组成，圆柱的侧面是曲面，上下两个面是完全相等的两个圆；由此选择即可．
【详解】A．是长方体，不符合题意；
B．是梯形，不符合题意；
C．是圆柱体，符合题意；
D．是圆，不符合题意，
故选C．
【点睛】本题考查的圆柱的定义，关键点在于：圆柱的侧面是光滑的曲面，且上下底面是完全相等的两个圆．
2．C
【分析】根据棱锥，棱柱没有曲面可得答案.
【详解】解：圆，圆锥，球都有曲面，三棱锥没有曲面，
故选C
【点睛】本题考查的是简单几何体的认识，熟记各几何体的特点是解本题的关键.
3．D
【分析】根据三棱锥的特点进行解答即可．
【详解】解：三棱锥的棱的条数为6，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三棱锥的特点，解题的关键是熟练掌握n棱锥有条棱，个面，个顶点．
4．A
【分析】笔尖点在纸上是一个点，写字滑动笔尖就是一条直线，即点动成线．
【详解】解：当你用笔在纸上写字时，你的笔尖实现了点动成线，
故选：A．
【点睛】本题考查了点动成线，理解点动成线是解题关键．
5．C
【分析】最下层是6个小正方体，第二层是3个小正方体，最上一层是1个小正方体据此加起来即可；
【详解】解：（1）6+3+1=10（个），
∵每个小正方体的边长为
∴每个小正方体的体积为，
∴10个小正方体的体积为
故选：C．
【点睛】此题主要考查了图形的计数方法及求几何体的体积，计数时要注意分层计数，做到不重不漏是解题的关键．
6．A
【分析】根据棱锥的定义判定，即可．
【详解】A、属于棱锥，符合题意；
B、 是圆柱，不符合题意；
C、 是圆锥，不符合题意；
D、是棱柱，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查棱锥的知识，解题的关键是理解棱锥的定义：如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫棱锥．
7．A
【分析】把每一层的面积求出，相加即可得出答案．
【详解】棱长为1分米的正方体每个面的面积为1平方分米，
最上层，侧面积为4平方分米，上表面积为1平方分米，
总面积为（平方分米），
中间一层，侧面积为（平方分米），上表面积为（平方分米），
总面积为（平方分米），
最下层，侧面积为（平方分米），上表面积为（平方分米），
总面积为（平方分米），
（平方分米），
被涂上颜色的部分面积为33平方分米．
故选：A．
【点睛】本题考查几何体的表面积，分别把每层的面积求出来是解题的关键．
8．C
【分析】根据几何体分别求出上面、侧面及下面的棱即可得解．
【详解】解：由题意可知上面有3条棱，侧面有5条棱，下面有4条棱，
∴这个几何体有条棱，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了几何体，按位置的不同数出几何体的棱是解题的关键．
9．C
【分析】根据点、线、面、体相关的知识进行解答即可．
【详解】解：由平面图形变成立体图形的过程是面动成体，
故选：C．
【点睛】本题考查了根据点、线、面、体的相关知识，解题的关键在于掌握几何变换之间的关系．
10．B
【分析】根据平面图形旋转的特点即可得．
【详解】解：∵平面图形绕某条直线旋转一周得到的几何体必有曲面，且矩形沿其一条边旋转得到圆柱体，
∴选项B符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了平面图形旋转后所得的立体图形，熟练掌握平面图形绕某条直线旋转一周得到的几何体必有曲面是解题关键．
11．B
【分析】根据四、六、八棱柱的特点可得答案．
【详解】解：A、长方体是四棱柱，选项说法正确，不符合题意；
B、八棱柱有8+2＝10个面，选项说法错误，符合题意；
C、六棱柱有2×6＝12个顶点，选项说法正确，不符合题意；
D、经过棱柱的每个顶点有3条棱，选项说法正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了认识立体图形，关键是认识常见的立体图形，掌握棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的特点．
12．B
【分析】三棱柱由平面组成、圆锥由曲面和平面组成、球体由曲面组成、正方体由平面组成，结合各图形的特点可得出答案．
【详解】解：三棱柱由平面组成、圆锥由曲面和平面组成、球体由曲面组成、正方体由平面组成；
故选：B
【点睛】此题考查了认识立体图形的知识，熟练掌握是解题的关键.
13．B
【分析】3分钟后可以注满容器A，可以算出水的流速，从而可以得出6分钟内水龙头的出水量，然后得出答案．
【详解】解：3分钟后可以注满容器A，A容器的体积为．
则6分钟的注入水量为，
设6分钟后容器A中水的高度是，
当时，，注入水量．
当时，，注入水量．
当时，，注入水量
故选：B．
【点睛】本题考查了认识立体图形，解题关键是要读懂题目的意思，也考查了同学们的物理知识和分类讨论的思想．
14．A
【分析】想使大正方体的表面尽可能少的出现白色，可将8个红色单位正方体放在大正方体的8个顶点处，每个棱上放2个，剩下1个放在外层，再根据大正方体的表面积54，用1减去红色部分占整个表面积的多少即可求得结果．
【详解】解：根据题意：大正方体的表面尽可能少的出现白色，
将8个红色单位正方体放在大正方体的8个顶点处，每个棱的中间放1个，剩下1个放在外层，
∵大正方体的表面积为＝54
∴红色部分占整个表面积的，
∴白色部分占整个表面积的1．
故选：A．
【点睛】本题考查了几何体的表面积，解决本题的关键是21个红色小正方体的摆放问题．
15．C
【分析】如下图所示，只有1个面被涂色的小正方体共有6个，有两个面被涂色的小正方体共有12个，有三个面被涂色的小正方体共有8个，即，将所得结果代入各选项检验即可作出判断．
【详解】解：如下图所示：
，
由图可知：只有1个面被涂色的小正方体共有6个，有两个面被涂色的小正方体共有12个，有三个面被涂色的小正方体共有8个，
，
，即A中结论错误，C中结论正确；
，即B和D中结论都是错误的；
故选C．
【点睛】本题考查了认识立体图形，关键是得到其中一面、两面、三面涂色的小正方体的个数．
16．圆锥
【分析】根据常见图形的名称可直接得到答案．
【详解】解：根据图形可得该几何体的名称为：圆锥，
故答案为：圆锥．
【点睛】本题考查常见的几何体，解题的关键是熟练掌握常见体的名称．
17．24
【分析】把一个长方体平均分开，正好成为两个相同的正方体，即长方体的表面积相当于一个正方体的10个面的面积和，先求出正方体的一个面的面积，即可得解．
【详解】解：一个长方体的表面积是40平方厘米，把这个长方体平均分成两个相等的正方体，
正方体的一个面的面积为：（平方厘米）；
每个正方体的表面积是：（平方厘米）；
故答案为：24．
【点睛】此题考查了长方体与正方体表面积的计算，长方体与两个相同正方体的表面积之间的关系是解答此题的关键．
18．5
【分析】根据棱柱的概念和定义，可知12个顶点的棱柱是六棱柱，进而可得出答案．
【详解】解：根据一个棱柱有12个顶点，所以它是六棱柱，即有6条侧棱，
又因为所有侧棱长的和是，
所以每条侧棱长是．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了棱柱的知识，掌握棱柱是几棱柱，它就有几个侧面，并且就有几条侧棱是关键．
19．
【分析】将长方形旋转可得出圆柱体，根据圆柱体积公式即可求出该圆柱的体积．
【详解】解：将此长方形绕虚线旋转一周，得到的是圆柱体，其体积为：
．
故答案为圆柱；．
【点睛】本题考查了圆柱体的形成，牢记圆柱的体积公式是解题的关键．
20．
【分析】长方形有两种不同边长，则绕边长旋转得到两种不同的圆柱，根据圆柱体积=底面积高分别计算即可，再比较大小．
【详解】解：绕长方形的一边旋转一周，会得到一个圆柱体，该边为圆柱体的高，另一边为底面半径．
圆柱体积为底面积高，底面为圆，圆的面积为，
绕长度为的边旋转时，底面半径为，；
绕长度为的边旋转时，底面半径为，
，所以体积最小为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查圆柱的体积问题，注意分情况讨论是解题的关键．
21．三棱柱
【分析】根据三棱柱的形状即可得出答案．
【详解】解：∵该立体图形上面和底面都是三角形，且有三条棱，
∴它的名称是三棱柱，
故答案为：三棱柱．
【点睛】本题主要考查立体图形的名称，关键是要牢记三棱柱的形状．
22．
【分析】先求出取出铁柱前水的体积，然后根据取出后水柱的底面积为整个圆形水桶的底面积求出此时的水面高度即可．
【详解】铁柱取出前，水的体积为：，
铁柱取出后，水铺满整个圆桶地面，即此时水柱的底面积等于圆桶的底面积，
∴此时水面高度为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆柱体的体积计算，准确分析变化前后对应圆柱体的底面积是解题关键．
23．七
【分析】根据n棱柱的特点，由n个侧面和两个底面构成，可判断．
【详解】由题意可知：9-2=7．
故答案为：七．
【点睛】本题主要考查了棱柱的概念，根据棱柱的底面和侧面的关系求解是解题关键．
24．45
【分析】根据长方体有12条棱，分别是4条高，4条长，4条宽，相交于一个顶点的是一条长，一条宽，一条高，即可进行解答．
【详解】解：，
故答案为：45．
【点睛】本题主要考查了长方体的棱，解题的关键是掌握长方体有12条棱，分别是4条高，4条长，4条宽．
25．
【详解】矩形旋转后形成圆柱，根据题意求出大圆柱的侧面积和小圆柱的侧面积，再加上大圆柱的上下两圆的面积，即可得出答案．
【分析】解：由题意可得：大圆柱的侧面积为：（平方厘米）；
小圆柱的侧面积为：（平方厘米）；
大圆柱上下圆的面积为：（平方厘米），
∴几何体的表面积为：（平方厘米）．
故答案为：．
【点睛】本题考查圆柱的表面积计算，难度不大，关键是根据线动成面的知识得出旋转后的图形．
26．都有一个面是曲面
【分析】根据圆柱、圆锥、球的概念和特性即可解答．
【详解】圆柱、圆锥、球的共同点是：都有一个面是曲面．
故答案为都有一个面是曲面．
【点睛】本题考查几何体的面的组成情况．注意面有平面和曲面之分．
27．216
【分析】用8个棱长3厘米的立方体拼成一个长方体，有3种不同的拼组方法：（1）1×8排列；（2）2×4排列；（3）2×2×2排列，由此利用长方体的表面积公式分别求出它们的表面积即可解决问题．
【详解】（1）1×8排列，表面积为：
（3×24+3×24+3×3）×2，
=153×2，
=306（平方厘米）；
（2）2×4排列，表面积为：
（3×12+6×12+3×6）×2，
=126×2，
=252（平方厘米）；
（3）2×2×2排列，表面积是：
6×6×6=216（平方厘米），
答：表面积最小的是216平方厘米．
故答案为：216．
【点睛】本题考查了长方体的表面积公式的计算应用，抓住8个小正方体拼组长方体的特点，得出3种不同的拼组方法是解决本题的关键．
28． 圆锥 五棱柱 三棱锥
【详解】根据几何体的形状，可知①是圆锥，②是五棱柱，③是三棱锥，由此填空即可.
故答案为圆锥，五棱柱，三棱锥.
29．24
【分析】利用简单多面体的顶点数V，面数F及棱数E之间的关系为：V+F-E=2，这个公式叫做欧拉公式，公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律，进而得出答案．
【详解】∵简单多面体的顶点数V，面数F及棱数E之间的关系为：V+F-E=2，
一个棱柱的面数为14，棱数为36，
∴ 顶点数为：V+14-36=2，
解得：V=24．
故答案为：24．
【点睛】本题考查了欧拉公式，正确记忆公式是解题的关键；
30．或
【分析】如果以这个直角三角形的短直角边为轴，旋转后组成的图形是一个底面半径为，高为cm的一个圆锥；如果以这个直角形的长直角边为轴，旋转后所组成的图形是一个底面半径为cm，高为cm的圆锥．根据圆锥的体积公式即可求出圆锥的体积．
【详解】解：分两种情况：
①cm3；
②cm3．
这个圆锥的体积是或立方厘米．
故答案为：或．
【点睛】本题考查的是将一个简单图形绕一轴旋转一周所组成的图形是什么图形，即面动成体，解题的关键是掌握圆锥的体积计算公式．
31．(1)，，；，，；，，
(2)
【分析】（1）根据所给的图形，数一数直接得出结果；
（2）把（1）中的结果代入，即可发现规律．
【详解】（1）根据图形，可以得出三棱柱有个顶点，个面，条棱；五棱柱有个顶点，个面，条棱；六棱柱有个顶点，个面，条棱；
故答案为：，，；，，；，，．
（2）三棱柱：，，，
；
五棱柱：，，，
；
六棱柱： ，，，
；
猜想：．
【点睛】本题主要考查了几何体的结构特征，根据所给的材料，仔细观察图形，找出一般规律是解本题的关键．
32．(1)圆柱
(2)
【分析】（1）动手操作实践，即可解答；
（2）根据题意可得，圆柱的底面半径为b,高为a,再根据圆柱的体积公式进行计算即可解答．
【详解】（1）若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是圆柱，
故答案为：圆柱；
（2）由题意得：
，
形成的几何体的体积．
【点睛】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握圆柱的特征，以及圆柱的体积计算公式是解题的关键．
33．(1)表见解析，
(2)五
(3)6
【分析】（1）通过观察，发现棱数顶点数面数；
（2）根据棱柱的定义进行解答即可；
（3）由（1）得出的规律进行解答即可．
【详解】（1）解：填表如下：
多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（）
四面体 4 4 6
六面体 8 6 12
八面体 6 8 12
十二面体 20 12 30
顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是，
故答案为：；
（2）解：一个棱柱只有七个面，必有2个底面，
有个侧面，
这个棱柱是五棱柱，
故答案为：五；
（3）解：由题意得：棱的总条数为（条），
由可得,
解得：，
故该多面体的面数为6．
【点睛】本题考查了多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念，正确看出图形中各量之间的关系是解题的关键．
34．(1)方案一构造的圆柱的体积大，见解析
(2)324π（cm3）
【分析】（1）分别按方案一，方案二转法，根据体积公式找出半径与高，代入计算即可；
（2）分两种情况，按长方形长边所在的直线为轴旋转360°，绕长方形的短边所在的直线为轴旋转360°，确定半径与高代入体积公式计算即可．
【详解】（1）方案一：（cm3），
方案二：（cm3），
∵，
∴方案一构造的圆柱的体积大；
（2）以较短一条边所在的直线为轴旋转，其体积为：（cm3），
以较长一条边所在的直线为轴旋转，其体积为：（cm3）．
【点睛】本题考查基本图形旋转得到的体积问题，掌握解决旋转半径与圆柱体的高是解题关键．
35．（1）见解析；（2）；（3）2020
【分析】（1）根据图形数出即可．
（2）根据（1）中结果得出．
（3）代入求出即可．
【详解】解：（1）
面数（） 顶点数（） 棱数（）
图1 7 9 14
图2 6 8 12
图3 7 10 15
（2）猜想：；
（3），，
，
，
即它的面数是2020．
【点睛】本题考查了截一个几何体，图形的变化类的应用，关键是能根据（1）中的结果得出规律．
36．见解析.
【分析】将剩余的正方形土地分割为三个同样大小的小正方形土地，将三个小正方形土地每个继续分割为四个更小正方形土地，将三个小正方形土地每个取出一个更小正方形土地，组合为一块土地即可．
【详解】如图所示．
设正方形土地的面积为．
将剩余的正方形土地分割为三个同样大小的小正方形土地①②③，每个小正方形土地的面积为．
将三个小正方形土地①②③每个继续分割为四个更小正方形土地，每个更小正方形土地的面积为．
将三个小正方形土地①②③每个取出一个更小正方形土地，组合为土地④，土地④的面积为，土地①②③剩余的面积为，土地①②③④形状和面积均相同．
【点睛】本题主要考查几何图形，能根据题意分割几何图形是解题的关键．
答案第12页，共13页
答案第11页，共13页
