第1章 丰富的图形世界（单元测试·拔尖卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列说法不正确的是（ ）
A．长方体是四棱柱
B．八棱柱有8个面
C．六棱柱有12个顶点
D．经过棱柱的每个顶点有3条棱
2．如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，把矩形ABCD 绕AB所在直线旋转一周所得圆柱的侧面积为（ ）
A． B． C． D．2
3．若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1，如果塔形露在外面的面积超过7，则正方体的个数至少是 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．下列图形中，哪一个是圆锥的侧面展开图？
A． B． C． D．
5．毕业前夕，同学们准备了一份礼物送给自己的母校，现用一个正方体盒子进行包装，六个面上分别写上“祝、母、校、更、美、丽”，其中“祝”与“更”，“母”与“美”在相对的面上．则此包装盒的展开图（不考虑文字方向）不可能是（ ）
A． B． C． D．
6．下面四个几何体中，同一几何体从前往后看和从上往下看，看到的图形形状相同的共有（ ）几何体．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．用小立方块搭成的几何体，从左面看和从上面看如下，这样的几何体最多要个小立方块，最少要个小立方块，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是五边形，这个几何体可能是（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．球体 D．长方体
9．如图是某正方体的展开图，在顶点处标有数字，当把它折成正方体时，与重合的数字是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
10．如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是( )
A．3个或 4个或 5个 B．4个或 5个
C．5个或 6个 D．6个或 7个
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．一个正方体木块，棱长是15厘米，从它的八个顶点处各截去棱长分别为1，2，3，4，5，6，7，8厘米的小正方体，这个木块剩下部分的表面积最少是 平方厘米．
12．如果圆柱的侧面展开图是相邻两边长分别为6，16π的长方形，那么这个圆柱的体积等于
13．在一个高与底面直径相等的圆柱内放置一个体积最大的球.已知球的表面积公式为，其中为球的半径.那么该球与它的外切圆柱的表面积的比为 .
14．如图，正三棱柱的底面周长为9，截去一个底面周长为3的正三棱柱，所得几何体的俯视图的周长是 ．
15．一个仓库管理员需要清点仓库的物品，物品全是一些大小相同的正方体箱子，他不能搬下箱子进行清点，灵机一动，他想出了一个办法，通过观察物品的三视图得出仓库里箱子的个数．他所看到的堆放的箱子的三视图如右图，则仓库管理员清点出的箱子的个数是 ．
16．一个正方体的六个面上分别写着六个连续的整数，且相对面上的两个数之和相等，如图所示，能看到的数为7，10，11，则这六个整数的和为 .
17．有同样大小的三个立方体骰子，每个骰子的展开图如图1所示，现在把三个骰子放在桌子上（如图2），凡是能看得到的点数之和最大是 ．
18．瑞士著名数学家欧拉发现：简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E之间满足一种有趣的关系：V+F﹣E＝2，这个关系式被称为欧拉公式．比如：正二十面体（如右图），是由20个等边三角形所组成的正多面体，已知每个顶点处有5条棱，则可以通过欧拉公式算出正二十面体的顶点为 个．那么一个多面体的每个面都是五边形，每个顶点引出的棱都有3条，它是一个 面体．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．已知长方形的长为，宽为，将其绕它的一边所在的直线旋转一周，得到一个立体图形．
(1)得到的立体图形的名称是______；
(2)求这个几何体的表面积．（结果保留）．
20．如图，某银行大堂的旋转门内部由三块宽为2m、高为3m的玻璃隔板组成．
(1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是圆柱．这能说明的事实___________（选择正确的一项填入）．
A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体
(2)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留）
21．如图所示，图1为一个棱长为6的正方体，图2为图1的表面展开图（数字和字母写在外表面上，字母也可以表示数），请根据要求回答问题：
(1)如果正方体相对面上的两个数字之和相等，则x=___________，y=___________；
(2)如果面“2”是左面，面“4”在后面，则上面是___________（填6或10或x或y）；
(3)图1中，点M为所在棱的中点，在图2中找到点M的位置，直接写出图2中的面积___________．
22．如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体．
(1)根据要求填写表格
面数（f） 顶点数（v） 棱数（e）
图1 ______ 9 14
图2 6 8 ______
图3 7 ______ 15
(2)猜想f，v，e三个数量间有何关系．
(3)根据猜想计算，若一个多面体有顶点数2021个，棱数4041条，试求出它的面数．
23．如图，在一次数学活动课上，张明用17个底面为正方形，且底面边长为，高为的小长方体达成了一个几何体，然后他请王亮用尽可能少的同样的长方体在旁边再搭一个几何体，使王亮所搭的几何体恰好可以和张明所搭的几何体拼成一个大长方体（即拼大长方体时将其中一个几何体翻转，且假定组成每个几何体的小长方体粘合在一起）.
（1）王亮至少还需要 个小长方体；
（2）请画出张明所搭几何体的左视图，并计算它的表面积（用含的代数式表示）；
（3）请计算（1）条件下王亮所搭几何体的表面积（用含的代数式表示）.
24．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中项点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题:
(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格:
多面体 项点数(V) 面数(F) 棱数(F)
四面体
长方体
正八面体
正十二面体
你发现项点数(V)、面数(F)、棱数(F)之间存在的关系式是__________________________.
（2）一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是 20；
（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有48个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．B
【分析】根据四、六、八棱柱的特点可得答案．
【详解】解：A、长方体是四棱柱，选项说法正确，不符合题意；
B、八棱柱有8+2＝10个面，选项说法错误，符合题意；
C、六棱柱有2×6＝12个顶点，选项说法正确，不符合题意；
D、经过棱柱的每个顶点有3条棱，选项说法正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了认识立体图形，关键是认识常见的立体图形，掌握棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的特点．
2．B
【详解】把矩形ABCD 绕AB所在直线旋转一周所得圆柱是以BC=2为底面半径，AB=1为高．所以，它的侧面积为．
故选B．
3．B
【详解】解：∵要求塔形露在外面的面积超过7（不包括下底面），最下面的立方体棱长为1，
∴最下面的立方体露出的面积为：4×（1×1）+0.5=4.5；
那么上面一层假如有立方体的话露出的面积为4×0.5+0.5×0.5=2.25，这两层加起来的面积为：6.75．
那么上面一层假如还有立方体的话露出的面积为4×0.25+0.25×0.25=1.0625，这三层加起来的面积为：7.8125．
∴立方体的个数至少是3．
故选B．
4．B
【分析】根据圆锥的侧面展开图的特点作答．
【详解】A选项：是长方体展开图．
B选项：是圆锥展开图.
C选项：是棱锥展开图.
D选项：是正方体展开图.
故选B.
【点睛】考查了几何体的展开图，注意圆锥的侧面展开图是扇形．
5．C
【分析】根据立方体的平面展开图规律解决问题即可．
【详解】解：选项C不能围成正方体，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查灵活运用正方体的相对面解答问题，注意正方体的平面展开图中，相对的两个面中间一定隔着一个小正方形．
6．B
【分析】根据三视图的定义、结合图形对各个几何体进行观察即可判断．
【详解】正方体从前往后看和从上往下看，看到的图形形状都是正方形，①符合题意；
球从前往后看和从上往下看，看到的图形形状都是圆，②符合题意；
圆锥从前往后看和从上往下看，看到的图形形状分别是三角形和圆，③不合题意；
圆柱从前往后看和从上往下看，看到的图形形状分别是矩形和圆，④不合题意，
故选B．
【点睛】本题考查的是简单几何体的三视图，理解三视图的概念、正确观察图形是解题的关键．
7．A
【详解】由左视图和俯视图可得，如图所示：
第1个图最多共有6+1＝7个，第2个图最少有3+1+1＝5个，故x=7，y=5,所以x+y=12．
故答案是12．
8．D
【分析】根据圆锥、圆柱、球体、长方体的几何特征，分别分析出用一个平面去截该几何体时，可能得到的截面的形状，逐一比照后，即可得到答案．
【详解】A、用一个平面去截一个圆锥，得到的图形可能是圆形，椭圆，抛物线，双曲线的一支，三角形，故A选项错误；
B、用一个平面去截一个圆柱，得到的图形只能是圆，椭圆，长方形，故B选项错误；
C、用一个平面去截一个球体，得到的图形可能是圆，故C选项错误；
D、用一个平面去截一个长方体，得到的图形可能是五边形，长方形，三角形，故D选项正确．
故选D．
【点睛】此题考查立体图形，会识别图形的形状，学生有空间立体感很关键，培养学生的空间想象能力.
9．D
【分析】当把这个平面图形折成正方体时，左面五个正方形折成一个无盖的正方体，此时，1与13重合、2与4重合、5与7重合、10与12重合，右面一个正方形折成正方体的盖，此时8与2、4的重合，9与1、13的重合．
【详解】解：当把这个平面图形折成正方体时，与4重合的数字是2、8.
故选：D．
【点睛】本题是考查正方体的展开图，训练学生观察和空间想象的能力．
10．A
【详解】根据主视图，左视图，画出俯视图可能情况.
所以选A.
11．1252
【分析】一般情况下，正方体八个顶点截取小正方体，表面积不会变．但当截取的棱长为8和7的小正方体相邻时，表面积就会有变化，少掉2个边长为7的正方形的面积．至于其它6个顶点不可能割穿，所以不用考虑．因此要求“至少”，就是截取的棱长为8和7的小正方体相邻的情况．
【详解】解：15×15×6﹣7×7×2
＝1350﹣98
＝1252．
答：这个木块剩下部分的表面积最少是1252平方厘米．
【点睛】本题考查了截一个几何体的知识，此题解答的关键在于注意考虑当截取的棱长为8和7的小正方体相邻时，剩下部分的表面积最少．
12．144或384π
【分析】分两种情况：①底面周长为6高为16π；②底面周长为16π高为6；先根据底面周长得到底面半径，再根据圆柱的体积公式计算即可求解．
【详解】解：①底面周长为6高为16π，
π×（）2×16π=π××16π=144；
②底面周长为16π高为6，
π×（）2×6=π×64×6=384π．
故答案为：144或384π．
13．
【分析】根据题意可知圆柱的底面圆的半径为r，圆柱的高为2r，由此求得圆柱的表面积，再计算比值即可.
【详解】根据题意可知圆柱的底面圆的半径为r，圆柱的高为2r，
∴圆柱的表面积为：，
∴该球与它的外切圆柱的表面积的比为：.
故答案为2：3.
【点睛】本题考查了圆柱表面积的求法，熟知圆柱的表面积公式是解决问题的关键.
14．8
【详解】试题分析：根据从上边看得到的图形是俯视图，可知从上边看是一个梯形：上底是1，下底是3，两腰是2，
周长是1+2+2+3=8，
故答案为8．
考点：1、简单组合体的三视图；2、截一个几何体
15．
【分析】将俯视图与左视图、主视图分别结合，可判断哪些位置有两层箱子，哪些位置有一层箱子．
【详解】如图所示．
结合左视图和俯视图来看，可确定 、、位置只有一层箱子，结合主视图和俯视图来看，可确定位置只有一层箱子，、位置有两层箱子，所以总共有个箱子．
【点睛】本题主要考查三视图，牢记三视图的概念是解题的关键．
16．57
【分析】根据六个面上的数是连续整数可得另外三个面上的数有两个是8，9，再根据已知数有10，11可知另一个数不可能是6，只能是12，然后求解即可．
【详解】解：∵六个面上分别写着六个连续的整数，
∴看不见的三个面上的数必定有8，9，
若另一个面上数是6，则10与7是相对面，与题不符，
所以，另一面上的数是12，
此时7与12相对，
8与11相对，
9与10相对，
所以，这六个整数的和为3×（10+9）=57．
故答案是：57．
【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题，难点在于确定出看不见的三个面中有一个是12．
17．51
【分析】观察图形可知，1和6相对、2和5相对，3和4相对；要使能看到的纸盒面上的数字之和最大，则把第一个正方体的数字1的面与第二个正方体的数字2的面相连，把数字2的面放在下面，则第一个图形露出的数字分别是3、4、5、6；第二个正方体的数字1面与第三个正方体的数字1的面相连，数字3的面放在下面，则第二个正方体露在外面的数字是4、5、6，第三个正方体露在外面的数字就是3、4、5、6，据此可得能看得到的点数之和最大值．
【详解】解：根据题意得：露在外面的数字之和最大是：，
故答案为：51．
【点睛】本题主要考查学生的空间想象能力和推理能力，也可动手制作一个正方体，根据题意在各个面上标上数字，再确定对面上的数字，可以培养动手操作能力和空间想象能力．
18． 12． 12．
【分析】①设出正二十面体的顶点为n个，则棱有条.利用欧拉公式构建方程即可解决问题.②设顶点数V、棱数E、面数F、每个点都属于三个面，每条边都属于两个面，利用欧拉公式构建方程即可解决问题.
【详解】解：①设出正二十面体的顶点为n个，则棱有条．
由题意F＝20，
∴n+10﹣＝2，
解得n＝12．
②设顶点数V，棱数E，面数F，每个点属于三个面，每条边属于两个面
由每个面都是五边形，则就有E＝，V＝
由欧拉公式：F+V﹣E＝2，代入：
F+﹣＝2
化简整理：F＝12
所以：E＝30，V＝20
即多面体是12面体．棱数是30，面数是12，
故答案为12，12.
【点睛】本题考查欧拉公式的应用，解题的关键是弄清题意、利用等量关系列出方程是解答本题的关键.
19．(1)圆柱
(2)圆柱的表面积为或
【分析】（1）根据面动成体解答即可；
（2）分长方形的长为轴旋转和以长方形的宽为轴旋转两种情况根据圆柱的表面积公式计算即可求解．
【详解】（1）由题意可知，得到的立体图形的名称是圆柱．
故答案为：圆柱．
（2）①以长方形的长为轴旋转，则圆柱的底面半径为，高为，所以圆柱的表面积为（）．
②以长方形的宽为轴旋转，则圆柱的底面半径为，高为，所以圆柱的表面积为（）．
综上可得圆柱的表面积为或．
【点睛】本题考查的是点、线、面、体，根据图形确定出圆柱的底面半径和高的长是解题的关键．
20．(1)C
(2)
【分析】（1）旋转门的形状是长方形，长方形旋转一周，能形成的几何体是圆柱；
（2）根据圆柱体的体积=底面积×高计算即可．
【详解】（1）∵旋转门的形状是长方形，
∴旋转门旋转一周，能形成的几何体是圆柱，
这能说明的事实是面动成体．
故答案为： C．
（2）该旋转门旋转一周形成的几何体是圆柱，
体积为：（m3）．
故形成的几何体的体积是．
【点睛】本题考查了圆柱的体积的求法，掌握圆柱的体积公式，能够正确得出圆柱的底面面积是解决问题的关键．
21．(1)12，8
(2)y
(3)9或45
【分析】（1）根据两个面相隔一个面是对面，对面的和是14，列式可得答案；
（2）根据临面，对面的关系，可得答案；
（3）根据展开图面与面的关系，可得M的位置，根据三角形的面积公式，可得答案．
【详解】（1）解：如果长方体相对面上的两个数字之和相等，则，
解得，；
故答案为：12，8；
（2）解：如果面“2”是左面，面“4”在后面，则上面是y．
故答案为：y；
（3）解：如图：，
或，
故的面积为9或45，
故答案为：9或45．
【点睛】本题主要考查了正方体展开图面与面之间的关系，熟悉并熟练掌握展开图面与面之间的关系是解决问题的关键．
22．(1)7，12，10
(2)
(3)2022
【分析】（1）观察3个图形，直接填写表格，即可求解；
（2）根据（1）中的结果，即可得到f，v，e之间的数量关系；
（3）把，代入（2）中的结论，即可．
【详解】（1）解：根据题意，填写表格如下：
面数（f） 顶点数（v） 棱数（e）
图1 7 9 14
图2 6 8 12
图3 7 10 15
（2）解：根据图1得：，
根据图2得：，
根据图3得：，
由此猜想f，v，e三个数量间为；
（3）解：因为，，，
所以，
所以，
即它的面数是2022．
【点睛】本题考查了截一个几何体，图形的变化类的应用，关键是能根据（1）中的结果得出规律
23．（1）19
（2） ，
（3）
【分析】（1）确定张明所搭几何体所需的正方体的个数，然后确定两人共搭建几何体所需小立方体的数量，求差即可．
（2）根据图形，画出左视图,计算表面积即可.
（3）画出王亮所搭几何体的俯视图，即可求出表面积.
【详解】（1）∵王亮所搭几何体恰好可以和张明所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体，
∴该长方体需要小立方体个，
∵张明用17个边长为1的小正方体搭成了一个几何体，
∴王亮至少还需36 17=19个小立方体.
（2）张明所搭几何体的左视图有三列，第一列有4个长方形，第二列有2个长方形，第三列有1个长方形：
表面积为：
（3）王亮所搭几何体的俯视图如图所示，图中数字代表该列小正方体的个数.
故王亮所搭几何体的表面积为：
【点睛】本题主要考查的是由三视图判断几何体的知识，能够根据题意确定出两人所搭几何体的形状是解答本题的关键；
24．(1) 见解析，V+F-E=2；(2) 20；(3)26
【分析】（1）观察表格可以看出：顶点数+面数-棱数=2，关系式为：V+F-E=2；
（2）代入（1）中公式进行计算；
（3）根据欧拉公式可得顶点数+面数-棱数=2，然后表示出棱数，进而可得面数．
【详解】解：（1）根据题意得如下图
多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E)
四面体 4 4 6
长方体 8 6 12
正八面体 6 8 12
正十二面体 20 12 30
∵4+4-6=2，8+6-12=2，6+8-12=2，
∴顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是V+F-E=2；
（2）由（1）可知：V+F-E=2，
∵一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，
∴V+V-8-30=2，即V=20；
（3）∵有48个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线；
∴共有48×3÷2=72条棱，
设总面数为F，
48+F-72=2，
解得F=26，
∴x+y=26．
【点睛】本题考查了多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用，得出欧拉公式是解题关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
