特训06 规律探索分类专练
【特训过关】
1．正整数规律
1，2，3，4，5，……可以表示为n（其中n为正整数）
2．奇数规律
1，3，5，7，9，……可以表示为（其中n为正整数）
3，5，7，9，11，……可以表示为（其中n为正整数）
3．偶数规律
2，4，6，8，10，……可以表示为（其中n为正整数）
4．正负交替规律
-，+，-，+，-，……可以表示为（其中n为正整数）
+，-，+，-，-，……可以表示为（其中n为正整数）
5．平方数立方数相关规律
1，4，9，16，25，……可以表示为（其中n为正整数）
1，8，27，64，125，……可以表示为（其中n为正整数）
2，5，10，17，26，……可以表示为（其中n为正整数）
0，3，8，15，24，……可以表示为（其中n为正整数）
2，9，28，65，126，……可以表示为（其中n为正整数）
0，7，26，63，124，……可以表示为（其中n为正整数）
6．等差数列规律
1，4，7，10，13，……可以表示为，即（其中n为正整数）
a，，，，，……可以表示为（其中n为正整数）
7．等比数列规律
3，9，27，81，……可以表示为（其中n为正整数）
4，12，36，108，……可以表示为（其中n为正整数）
a，，，，，……可以表示为（其中n为正整数）
8．分数拆分规律
（1）分母为两个相邻自然数：
（2）分母为不相邻自然数（相差为a）：
（3）分母为三个相邻自然数：
一、数列类
1．观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这
一组数的第n个数是（ ）
A． B． C． D．
2．按一定规律排列的数：，，，，…，则这列数的第n个数是（ ）
A． B． C． D．
3．一组数按照这样的规律排列，，，，，…，第7个数是 ．
4．观察下列数据：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第25个
数据是 ．
5．观察数串的规律：，，，，，，，，，，…，则第100个位置上排的数
是 ．
6．猜数字游戏中，小明写出如下一组数：，，，，，…，小亮猜测出第六个数是，根
据此规律，第n（n为正整数）个数是 ．
二、整式类
7．一列单项式按以下规律排列：，，，，，，，…，则第2023个单项式
是（ ）
A． B． C． D．
8．按一定规律排列的单项式：，，，，，，…，第n个单项式是（ ）
A． B． C． D．
9．按一定规律排列的一列数依次为，，，，…，按此规律排列下去，这组数中的第8个
数是（ ）
A． B． C． D．
10．一组按规律排列的单项式，，，，…，依这个规律用含字母n（n为正整数，且）
的式子表示第n个单项式为 ．
11．若按一定规律排列的数据如下：，，，，，…，则第n个数可用代数式
表示为 ．（n为正整数）
三、算式类
12．观察下列各式：，，，，，，…．根据上述算式的规律，
请你猜想的末位数字是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．6
13．观察下列算式：，，，，，，…，，，，
，，，…，根据上述算式中的规律，的末位数字是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
14．下列表格中的四个数都是按照规律填写的，则表中x的值是（ ）
A．135 B．170 C．209 D．252
15．已知a是一个正整数，记．若，则a
的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
16．古时候人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，古人在从右往左依次排列的绳子上打结，
按“满五进一”来计数．如：图①中表示的数是：，则图②中表示的数是（ ）
A．45 B．89 C．113 D．324
17．有一组等式：，，，…．请
观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第8个等式值为（ ）
A．5041 B．5184 C．5329 D．5476
18．阅读材料：在求的值时，先设，将等
式两边同时乘以2得：，将下式减去上式得，
即，求得，请你仿照此法计算：
的值等于 ．
19．观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为 ．
20．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
…
请解答下列问题：
（1）按发现的规律分别写出第5个等式和第6个等式；
（2）求的值．
四、操作类
21．已知整数，，，…，满足下列条件：，，，，
，…，依此类推，则＝（ ）
A． B． C． D．
22．如图所示的运算程序中，如果开始输入的x值为，我们发现第1次输出的结果为，第2次输
出的结果为，…，第2022次输出的结果为（ ）
A． B． C． D．
23．一电子跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向
右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，…，依此规律跳下去，当它跳第2022次落下时，落点处表示的数
为（ ）
A． B．2022 C． D．1011
24．当时，我们把称为x的“和1负倒数”．如：2的“和1负倒数”为 ，若
，是的“和1负倒数”，是的“和1负倒数”…依次类推，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
25．有依次排列的3个数：2，9，7，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这
两个数之间，可产生一个新数串：2，7，9，，7，这称为第1次操作；做第2次同样的操作后也可产生
一个新数串：2，5，7，9，，，9，7，继续操作下去，从数串2，9，7开始操作第2022次所产生
的新数串的所有数之和是（ ）
A．20228 B．10128 C．5018 D．2509
26．如图，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相
等，可求得c等于3，那么第2023个格子中的数为（ ）
A．3 B．2 C． D．0
27．如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点E、F对应的
数分别为、，现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点A
所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2023这个数所对应的点是（ ）
A．点C B．点D C．点E D．点F
28．a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的哈利数”是，的“哈
利数”是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，
依此类推，则 ．
29．有一列数，记第n个数为，已知，当时，，则的值为 ．
30．如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿着顺时针方向跳两
个点；若停在偶数点上，则下一次沿着逆时针方向跳一个点．若青蛙从数1这点开始跳，第1次跳到数3
那个点，则第3次跳到数 那个点；如此，则2023次跳后它停的点所对应的数为 ．
五、数表类
31．观察下列一系列数，按照这种规律排下去，那么第2023行从左边数第2023个数是（ ）
A． B． C． D．
32．正整数按如图所示的规律排列，则第10行、第9列的数字是（ ）
A．90 B．86 C．92 D．10
33．如图，将数列排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第11行从左数第5个数为（ ）
A．119 B． C． D．123
34．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，如图，这个三角形给出了
的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）：
请依据上述规律判断：若今天是星期三，则经过天后是（ ）
A．星期四 B．星期五 C．星期六 D．星期天
35．如图，“杨辉三角”是我国古代奉献给人类伟大的数学遗产之一，从下列图中取一列数：1，3，6，10，…
分别记作，，，…，若（n为正整数），此时
的值为（ ）
A． B．5 C．15 D．16
36．将一列有理数，2，，4，，6……按如图所示进行排列，则2022应排在（ ）
A．A位置 B．B位置 C．D位置 D．E位置
37．我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，我们把第2行从左到右数第
1个定为，我们把第4行从左到右数第3个定为，由图我们可以知道：，，
按照图中数据规律，的值为 ．
38．将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第6行、第5列的
数是 ．
39．将连续正整数按如表规律排列：若正整数565位于第a行，第b列，则＝ ．
第一列 第二列 第三列 第四列 第五列
第一行 1 2 3 4
第二行 8 7 6 5
第三行 9 10 11 12
第四行 16 15 14 13
第五行 17 18 19 20
40．如图是一个数表，用一个长方形在数表中任意框出4个数，如图所示，若所框出四个数和为84，则这
四个数为 ， ， ， ．
六、图形类
41．按如图方法拼下去（单位：厘米），第九个图形的周长是（ ）厘米．
A．48 B．52 C．47 D．53
42．如图，摆第一个图形需要4根火柴，摆第二个图形需要7根火柴，…，以此类推．
那么摆第八个图形需要（ ）根火柴．
A．24 B．27 C．25 D．28
43．如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个图形，图形①面积是正方形纸片面积的，图形②面
积是图形①面积的2倍的，图形③面积是图形②面积的2倍的，……，图形⑥面积是图形⑤面积的2
倍的，图形⑦面积是图形⑥面积的2倍．计算的值为（ ）
A． B． C． D．
44．法国数学家柯西于1813年在拉格朗日、高斯的基础上彻底证明了《费马多边形数定理》，其主要突破
在“五边形数（点的个数）”的证明上．如图，这是前几个“五边形数”的对应图形，请据此推断，第8个
“五边形数”为 ．
45．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…这样的数称为“三角形数”（如图1），而把1，4，9，
16，…这样的数称为“正方形数”（如图2），如果规定，，，，…；，，
，，…；，，，，…，那么，按此规定求得
的值为 ．
46．如图是一组有规律的图案，它们是由大小相同的“×”图案组成的，依此规律，第10个图案中有“×”
图案 个．
47．古希腊数学家定义了五边形数，如下表所示，将点按照表中方式排列成五边形点阵，图形中的点的个
数即五边形数；
图形 …
五边形数 1 5 12 22 35 51 …
将五边形数1，5，12，22，35，51，…，排成如下数表；
观察这个数表，则这个数表中的第八行从左至右第2个数为 ．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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特训06 规律探索分类专练
【特训过关】
1．正整数规律
1，2，3，4，5，……可以表示为n（其中n为正整数）
2．奇数规律
1，3，5，7，9，……可以表示为（其中n为正整数）
3，5，7，9，11，……可以表示为（其中n为正整数）
3．偶数规律
2，4，6，8，10，……可以表示为（其中n为正整数）
4．正负交替规律
-，+，-，+，-，……可以表示为（其中n为正整数）
+，-，+，-，-，……可以表示为（其中n为正整数）
5．平方数立方数相关规律
1，4，9，16，25，……可以表示为（其中n为正整数）
1，8，27，64，125，……可以表示为（其中n为正整数）
2，5，10，17，26，……可以表示为（其中n为正整数）
0，3，8，15，24，……可以表示为（其中n为正整数）
2，9，28，65，126，……可以表示为（其中n为正整数）
0，7，26，63，124，……可以表示为（其中n为正整数）
6．等差数列规律
1，4，7，10，13，……可以表示为，即（其中n为正整数）
a，，，，，……可以表示为（其中n为正整数）
7．等比数列规律
3，9，27，81，……可以表示为（其中n为正整数）
4，12，36，108，……可以表示为（其中n为正整数）
a，，，，，……可以表示为（其中n为正整数）
8．分数拆分规律
（1）分母为两个相邻自然数：
（2）分母为不相邻自然数（相差为a）：
（3）分母为三个相邻自然数：
一、数列类
1．观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这
一组数的第n个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别从各数字的符号、分子、分母三方面进行猜想、归纳．
【详解】解：∵第1个数为：，
第2个数为：，
第3个数为：，
……，
∴第n个数为：，
故选：C．
【点睛】此题考查了数字变化规律问题的解决能力，关键是能根据题意对这组数字的符号、分子、分母三方面进行猜想、归纳．
2．按一定规律排列的数：，，，，…，则这列数的第n个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据规律分别找到分子、分母及符号的规律即可解答．
【详解】解：分子1，3，5，7...的规律为，
分母2，5，10，17...的规律为，
符号的规律为，
故第n个数为，
故选：D．
【点睛】本题考查了数字的变化规律，分别找到分子、分母及符号的规律是解题关键．
3．一组数按照这样的规律排列，，，，，…，第7个数是 ．
【答案】
【分析】分别从分母、符号找变化规律，再代入求解．
【详解】解：∵，，，，，…，，
∴第7个数是：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，找到变化规律是解题的关键．
4．观察下列数据：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第25个
数据是 ．
【答案】
【分析】将数据改写为：，，，，，…，看出规律：第奇数个数是负数，偶数个数是正数，第几个数分母就是几，分子是分母的平方加1，由规律可写出第25个数．
【详解】解：由规律可知，第25个数是负数，分母为25，分子为，
所以第25个数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查数字规律问题，将原数据进行改写，找出符号和数字的规律是关键．
5．观察数串的规律：，，，，，，，，，，…，则第100个位置上排的数
是 ．
【答案】
【分析】这串数规律是：分母为2的分数有1个，分母为3的分数有2个，…，则分母为n的分数有个．
【详解】解：∵，，
∴第100个位置上排的数的分母为：，分子为：9．
故第100个位置上排的数是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化．解题关键是确定第100个位置上的数的分母和分子．
6．猜数字游戏中，小明写出如下一组数：，，，，，…，小亮猜测出第六个数是，根
据此规律，第n（n为正整数）个数是 ．
【答案】
【分析】根据分数的分子是，分母是，进而得出答案即可．
【详解】解：∵分数的分子分别是：，，，，…
分数的分母分别是：，，，，…
∴第n个数是，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了规律型：数字变化规律，根据已知得出分子与分母的变化规律是解题关键．
二、整式类
7．一列单项式按以下规律排列：，，，，，，，…，则第2023个单项式
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据规律，系数是从1开始的连续奇数且第偶数个是负数，第奇数个是正数，x的指数是3个循还一次，且分别是1，2，2，然后求解即可．
【详解】解：根据，，，，，，，…，
所以系数是从1开始的连续奇数且第偶数个是负数，第奇数个是正数，
那么第n个单项式的系数是，
则第2023个单项式的系数是，
因为x的指数是3个循还一次，且分别是1，2，2，
则，
所以第2023个是指第675个循环里的第一个数，
那么第2023个单项式是，
故选：A．
【点睛】本题考查了单项式，此类题目难点在于根据单项式的系数、指数等多个方面分别分析得出规律．
8．按一定规律排列的单项式：，，，，，，…，第n个单项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，找出规律：单项式的系数为的幂，其指数为比序号数少1，字母为a．
【详解】解：∵，，，，，，…
由上规律可知，第n个单项式为：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了单项式的有关知识，在解题时要能通过观察得出规律是本题的关键．
9．按一定规律排列的一列数依次为，，，，…，按此规律排列下去，这组数中的第8个
数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题目中的数字，可以发现分子和分母的变化规律，从而可以写出第n个数，然后将代入即可求得第8个数，本题得以解决．
【详解】解：∵一列数依次为，，，，…，
∴第n个数为：；
∴当时，．
故选：C．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出第8个数．
10．一组按规律排列的单项式，，，，…，依这个规律用含字母n（n为正整数，且）
的式子表示第n个单项式为 ．
【答案】
【分析】找出前3项的规律，然后通过后面几项验证，找出规律得到答案．
【详解】解：，，，…，
第n个单项式是：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是找出前几项的规律，然后几项验证，最后得到规律．
11．若按一定规律排列的数据如下：，，，，，…，则第n个数可用代数式
表示为 ．（n为正整数）
【答案】
【分析】根据题目中的数字可知，系数一正一负交替出现，每个系数的分子是相应的第几个数字的平方减1，分母是相应的第几个数字加1的平方减1，x的指数等于第几个的数的数字，从而可以写出第n个数，本题得以解决．
【详解】解：∵一列数为：，，，，，…，
∴第n个数可以表示为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现数据的变化特点，用含n的代数式表示第n个数．
三、算式类
12．观察下列各式：，，，，，，…．根据上述算式的规律，
请你猜想的末位数字是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．6
【答案】D
【分析】先根据的个位数字，找到规律，再求解．
【详解】解：∵，，，，，，…，
∴的末位数字是按2、4、8、6四个为一个循环排列的，
∵，
∴的末位数字是6，
故选：D．
【点睛】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键．
13．观察下列算式：，，，，，，…，，，，
，，，…，根据上述算式中的规律，的末位数字是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】D
【分析】通过观察所给的式子，发现每4次运算尾数循环出现，由此求解即可．
【详解】解：∵，，，，，，…
∴其结果的末位数字每4次运算尾数循环出现，
∵，
∴的末尾数字与的尾数相同为2，
∵，，，，，，…
∴其结果的末位数字每4次运算尾数循环出现，
∵，
∴的末尾数字与的尾数相同为7，
∴的末位数字是9，
故选：D．
【点睛】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数的尾数，找到尾数循环出现的规律是解题的关键．
14．下列表格中的四个数都是按照规律填写的，则表中x的值是（ ）
A．135 B．170 C．209 D．252
【答案】C
【分析】根据表格找出方格中每个对应数字的表示规律然后求解．
【详解】解：根据表格可得规律：
第n个表格中，
左上数字为n，
左下数字为，
右上数字为，
右下数字为，
∴，
解得，
∴，，．
故选：C．
【点睛】本题考查数字的变化规律，解题关键是通过表格找出每个位置的数字表示方法．
15．已知a是一个正整数，记．若，则a
的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【分析】根据绝对值的性质得到当时，，当时，，于是得到结论．
【详解】解：∵当时，，当时，，
当时，时，，当时，，
∴
，不符合题意；
当时，时，，当时，，
∴
，
∴，
故选：C．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，以及绝对值，弄清题意是解本题的关键．
16．古时候人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，古人在从右往左依次排列的绳子上打结，
按“满五进一”来计数．如：图①中表示的数是：，则图②中表示的数是（ ）
A．45 B．89 C．113 D．324
【答案】B
【分析】根据“满五进一”来计数的方法计数图2表示的数即可．
【详解】解：
故选：B．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律．
17．有一组等式：，，，…．请
观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第8个等式值为（ ）
A．5041 B．5184 C．5329 D．5476
【答案】C
【分析】认真观察、分析，得出规律，再根据规律可得出通式，即可得出答案．
【详解】解：，，，…
可知，两个连续正整数的平方和加上它们积的平方的和等于比它们的积大1的数的平方，即，
∴第8个等式为：．
故选：C．
【点睛】本题考查了根据式子找规律，解题关键是根据规律，找出式子的通式．
18．阅读材料：在求的值时，先设，将等
式两边同时乘以2得：，将下式减去上式得，
即，求得，请你仿照此法计算：
的值等于 ．
【答案】
【分析】仿照题中的形式进行求解即可．
【详解】解：设，
将等式两边同时乘以5得：，
将下式减去上式得：，
则，
即，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，解答的关键是理解清楚题意，总结出规律．
19．观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为 ．
【答案】75
【分析】由图可以知道：上边的数与左边的数的和正好等于右边的数，上边的数为连续的奇数，左边的数为，，，……；接下来由上步发现的规律可得，再结合数塔中的规律可知，代入b的值计算可得答案．
【详解】解：∵上边的数为连续的奇数1，3，5，7，9，11，
左边的数为，，，……，
∴．
∵上边的数与左边的数的和正好等于右边的数，
∴．
故答案为：75．
【点睛】本题属于规律探究类的题目，关键是分析出前面几个图形中三个数之间的关系．
20．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
…
请解答下列问题：
（1）按发现的规律分别写出第5个等式和第6个等式；
（2）求的值．
【答案】见解析
【分析】（1）根据题目式子的特点，即可得到第5个等式和第6个等式；
（2）根据题目式子的特点，即可求得a1+a2+…+a100的值．
【详解】解：（1）第5个等式：；
第6个等式：；
（2）
．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是发现规律：等号后面的式子分子不变，均为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为：序号的2倍减1和序号的2倍加1．
四、操作类
21．已知整数，，，…，满足下列条件：，，，，
，…，依此类推，则＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】列出前几项数字寻找规律，找出数列变化特点，从而求出．
【详解】解：，，，，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查数字的变化规律问题，解题关键是通过题中要求列出前几项数字寻找规律．
22．如图所示的运算程序中，如果开始输入的x值为，我们发现第1次输出的结果为，第2次输
出的结果为，…，第2022次输出的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据程序得出一般性规律，确定出第2022次输出结果即可．
【详解】解：把代入得：；
把代入得：；
把代入得：；
把代入得：；
把代入得：；
把代入得：，
依此类推，从第3次输出结果开始，以，循环，
∵，
∴第2022次输出的结果为．
故选：B．
【点睛】本题考查了代数式求值，理解题意，根据程序得出一般性规律是解本题的关键．
23．一电子跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向
右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，…，依此规律跳下去，当它跳第2022次落下时，落点处表示的数
为（ ）
A． B．2022 C． D．1011
【答案】C
【分析】由题意可知第1次和第2次跳完后向左1个单位，第3次和第4次跳完后向左1个单位，…，由此规律可求解．
【详解】解：∵第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，…，
∴第1次和第2次跳完后向左1个单位，第3次和第4次跳完后向左1个单位，…，
∵2022÷2＝1011，
∴它跳第2022次落下时，向左1011个单位，
故选：C．
【点睛】本题考查数字的变化规律，通过所给条件，发现跳动的规律是解题的关键．
24．当时，我们把称为x的“和1负倒数”．如：2的“和1负倒数”为 ，若
，是的“和1负倒数”，是的“和1负倒数”…依次类推，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据“和1负倒数”的规律求出值，从中发现每3个为一组反复出现，并且乘积为1，最后求出相乘的结果．
【详解】解：根据“和1负倒数”的规律，从开始，求出，，…，得到每3个为一组反复出现，并且乘积为：，
所以用：，
674个1相乘为1，
又因为，所以再用：．
故答案选：A．
【点睛】本题考查了规律性的探究和应用，关键是观察推出“和1负倒数”的规律性来解决问题．
25．有依次排列的3个数：2，9，7，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这
两个数之间，可产生一个新数串：2，7，9，，7，这称为第1次操作；做第2次同样的操作后也可产生
一个新数串：2，5，7，9，，，9，7，继续操作下去，从数串2，9，7开始操作第2022次所产生
的新数串的所有数之和是（ ）
A．20228 B．10128 C．5018 D．2509
【答案】B
【分析】根据题意分别求得第一次操作，第二次操作所增加的数，可发现是定值5，从而求得第2022次操作后所有数之和．
【详解】解：∵第一次操作增加数字：，7，
第二次操作增加数字：5，2，，9，
∴第一次操作增加，
第二次操作增加，
即，每次操作加5，
∴第2022次操作后所有数之和为．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了数字变化类，关键是找出规律，要求要有一定的解题技巧，解题的关键是能找到所增加的数是定值5．
26．如图，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相
等，可求得c等于3，那么第2023个格子中的数为（ ）
A．3 B．2 C． D．0
【答案】A
【分析】根据其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，可知格中数据是由c，a，b三个数循环排列，由2023除以3余1，可知第2023个格子中的数为字母c所在的位置，则可得结果．
【详解】解：∵其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，
∴格中数据是由c，a，b三个数循环排列，即，，，
∵，
∴第2023个格子中的数为字母c所在的位置，即为3．
故选：A．
【点睛】此题主要是考查了数字的规律变化，能够根据题意得出格中数据是由c，a，b三个数循环排列是解题的关键．
27．如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点E、F对应的
数分别为、，现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点A
所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2023这个数所对应的点是（ ）
A．点C B．点D C．点E D．点F
【答案】B
【分析】根据点的坐标所呈现的规律得出答案即可．
【详解】解：由题意得，
，，，，，…
设第n个点所对应的数是2023，则，
解得，
而，
因此数轴上2023这个数所对应的点为点D，
故选：B．
【点睛】本题考查数轴，掌握数轴表示数的方法以及各个点所对应数轴上的数的规律是正确解答的前提．
28．a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的哈利数”是，的“哈
利数”是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，
依此类推，则 ．
【答案】
【分析】分别求出数列的前5个数得出该数列每4个数为一周期循环，据此可得答案．
【详解】解：∵，，，，，
∴该数列每4个数为1周期循环，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了数字的规律变化，通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．
29．有一列数，记第n个数为，已知，当时，，则的值为 ．
【答案】2
【分析】分别计算出（i为正整数），根据所发现的规律即可解决问题．
【详解】解：由题知，，，，，…，
由此可知，
所以．
故答案为：2．
【点睛】本题考查实数计算中的规律，能根据计算出的（i为正整数）的值发现规律是解题的关键．
30．如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿着顺时针方向跳两
个点；若停在偶数点上，则下一次沿着逆时针方向跳一个点．若青蛙从数1这点开始跳，第1次跳到数3
那个点，则第3次跳到数 那个点；如此，则2023次跳后它停的点所对应的数为 ．
【答案】2，2
【分析】根据题意，青蛙每跳4次所到的数循环一次，进而根据规律求解可得答案．
【详解】解：根据题意，青蛙从数1这点开始跳，第1次跳到数3那个点，
第2次跳到数5那个点，
第3次跳到数2那个点，
第4次跳到数1那个点，
第5次跳到数3那个点，
……
所以，青蛙每跳4次所到的数循环一次，
∵，
∴2023次跳后它停的点所对应的数为2，
故答案为：2，2．
【点睛】本题考查数字类规律探究，根据题意得到变化规律是解答的关键．
五、数表类
31．观察下列一系列数，按照这种规律排下去，那么第2023行从左边数第2023个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图中的数字，可以发现数字的变化特点，从而可以求得第2023行从左边数第2023个数，本题得以解决．
【详解】解：由图可得，
第一行有1个数，
第二行有3个数，
第三行有5个数，
第四行有7个数，
……
则第n行有个数，
每一行的最后一个数字的绝对值是：，
∴第2023行从左边数第2023个数的绝对值是，
∵图中的奇数都是负数，偶数都是正数，
∴第2023行从左边数第2023个数是．
故选：C．
【点睛】本题主要考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出相应的数字．
32．正整数按如图所示的规律排列，则第10行、第9列的数字是（ ）
A．90 B．86 C．92 D．10
【答案】C
【分析】观察如图的正整数排列可得到，第一列的数分别是1，4，9，16，25，…可得出一个规律：第一列每行的数都等于行数的2次方．且每行的数个数与对应列的数的个数相等．
【详解】解：由第一列数1，4，9，16，25，……得到：，，，，，……
∴第10行第1列的数为：，
∵每行的数个数与对应列的数的个数相等，
∴第10行第9列的数为．
故选：C．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类的知识，解答此题的关键是找出两个规律，即第一列每行的数都等于行数的2次方和每行的数个数与对应列的数的个数相等，此题有难度．
33．如图，将数列排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第11行从左数第5个数为（ ）
A．119 B． C． D．123
【答案】A
【分析】根据数字的变化寻找每个数字的规律，再求出第11行从左数第5个数即可．
【详解】解：∵排列的数中，第n个数为，
又第11行从左数第5个数总体应为第个数，
∴第11行从左数第5个数为：，
故选：A．
【点睛】本题考查了数字的变化类规律探究，解题的关键是发现整个数字规律，以及数字所处总体位置．
34．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，如图，这个三角形给出了
的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）：
请依据上述规律判断：若今天是星期三，则经过天后是（ ）
A．星期四 B．星期五 C．星期六 D．星期天
【答案】A
【分析】结合一个星期7天，即相应的尾数是7个数一循环，利用所给的规律求得天的尾数即可判断．
【详解】解：∵，
∴的余数为：1，
即的余数为：1，
∴若今天是星期三，则经过1510天后是星期四．
故选：A．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是理解清楚所给的规律，求得1510÷7的余数．
35．如图，“杨辉三角”是我国古代奉献给人类伟大的数学遗产之一，从下列图中取一列数：1，3，6，10，…
分别记作，，，…，若（n为正整数），此时
的值为（ ）
A． B．5 C．15 D．16
【答案】C
【分析】由已知数列得出，利用其计算出，再通过计算可得．
【详解】解：由，，，……，
得：，
则，
∵，
∴，
即：，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
36．将一列有理数，2，，4，，6……按如图所示进行排列，则2022应排在（ ）
A．A位置 B．B位置 C．D位置 D．E位置
【答案】A
【分析】根据图中的数字，可以发现数字的变化特点，从而可以求得2022应排在哪个位置，本题得以解决．
【详解】解：由图可知，
每个凸起对应5个数字，这些数字的奇数都是负数，偶数都是正数，
∵，
∴2022应排在A位置，
故选：A．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出2022所在的位置．
37．我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，我们把第2行从左到右数第
1个定为，我们把第4行从左到右数第3个定为，由图我们可以知道：，，
按照图中数据规律，的值为 ．
【答案】91
【分析】根据图中得到规律得到，，即可得到答案．
【详解】解：如图所示，
按照图中数据规律，，，
∴，
故答案为：91．
【点睛】本题考查了数字类规律题，找到规律是解题的关键．
38．将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第6行、第5列的
数是 ．
【答案】32
【分析】先观察每一行左边第1个数的规律，再观察同一行从左往右的规律即可．
【详解】解：观察第1行左边第1个数为1，第2行左边第1个数为，第3行左边第1个数为，
∴第6行左边第1个数为，
∵观察同一行从左往右每隔一列依次小1，
∴位于第6行、第5列的数是32．
故答案为：32．
【点睛】本题主要考查学生寻找规律的能力，分别按行和列找规律是关键．
39．将连续正整数按如表规律排列：若正整数565位于第a行，第b列，则＝ ．
第一列 第二列 第三列 第四列 第五列
第一行 1 2 3 4
第二行 8 7 6 5
第三行 9 10 11 12
第四行 16 15 14 13
第五行 17 18 19 20
【答案】147
【分析】找到每一行数字排列的规律，找到565排列的位置即可解决．
【详解】解：由表中数据排列知，每一行都有4个数，奇数行是从小到大排列，偶数行是从大到小排列，
∵，
∴正整数565位于第142行，即；
∵142是偶数，而且是从大到小排列，
∴565是这一行中最小的数，因此在第5列，
∴，
∴．
故答案为：147．
【点睛】本题考查的是数字排列规律，需要找出每一行每一列的排列规律．
40．如图是一个数表，用一个长方形在数表中任意框出4个数，如图所示，若所框出四个数和为84，则这
四个数为 ， ， ， ．
【答案】18，19，23，24
【分析】设第一行第一个数是x，则第一行第二数是，第二行第一个数是，第二个数是，列出方程，求出x即可求解．
【详解】解：设第一行第一个数是x，则第一行第二数是，第二行第一个数是，第二个数是，
∴，
解得，
∴这四个数分别是18，19，23，24，
故答案为：18，19，23，24．
【点睛】本题考查数字的变化规律，通过观察所框的四个数的特点，找到数之间的联系是解题的关键．
六、图形类
41．按如图方法拼下去（单位：厘米），第九个图形的周长是（ ）厘米．
A．48 B．52 C．47 D．53
【答案】B
【分析】依据所给的图形，得出第九个图形的组成即可解决问题．
【详解】解：由所给的图形可知，
第九个图形由九个相同的直角三角形拼接而成，且是一个梯形，
其上底长为（厘米），下底长为（厘米），两腰分别是4厘米和3厘米，
所以它的周长为：（厘米）．
故选：B．
【点睛】本题考查图形变化的规律，能根据已给图形得出第九个图形的组成是解题的关键．
42．如图，摆第一个图形需要4根火柴，摆第二个图形需要7根火柴，…，以此类推．
那么摆第八个图形需要（ ）根火柴．
A．24 B．27 C．25 D．28
【答案】C
【分析】根据图1、图2和图3的摆放规则，得出摆放的规律即可解决问题．
【详解】解：由所给的图形可知，
摆第一个图形需要的火柴根数是：；
摆第二个图形需要的火柴根数是：；
摆第一个图形需要的火柴根数是：；
…
所以摆第八个图形需要的火柴根数是：（根）．
故选：C．
【点睛】本题考查图形的变化规律，能根据所给图形得出每增加一个正方形需要的火柴根数增加3是解题的关键．
43．如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个图形，图形①面积是正方形纸片面积的，图形②面
积是图形①面积的2倍的，图形③面积是图形②面积的2倍的，……，图形⑥面积是图形⑤面积的2
倍的，图形⑦面积是图形⑥面积的2倍．计算的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据图形规律，写出每个图形的数字．
【解答】解：根据题意可得，正方形的面积为1，
图形①面积为：，
图形②面积为：，
图形③面积为：为：，
……，
根据规律可得，
图形④的面积为：，
图形⑤的面积为：，
图形⑥的面积为：，
∴值刚好为图形①②③④⑤⑥的面积之和，
图形①②③④⑤⑥的面积之和为正方形的面积减去图形⑦的面积，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了图形的变化以及有理数的混合运算，数形结合是解本题的关键，综合性较强，难度较大．
44．法国数学家柯西于1813年在拉格朗日、高斯的基础上彻底证明了《费马多边形数定理》，其主要突破
在“五边形数（点的个数）”的证明上．如图，这是前几个“五边形数”的对应图形，请据此推断，第8个
“五边形数”为 ．
【答案】92
【分析】根据前几个“五边形数”的对应图形找到规律，得出第n个“五边形数”为，再将代入求出第8个“五边形数”．
【详解】解：∵第1个“五边形数”为1，，
第2个“五边形数”为5，，
第3个“五边形数”为12，，
第4个“五边形数”为22，，
第5个“五边形数”为35，，
…
∴第n个“五边形数”为，
将代入，得第8个“五边形数”为，
故答案为：92．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，通过观察图形，得出第n个“五边形数”为是解题的关键．
45．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…这样的数称为“三角形数”（如图1），而把1，4，9，
16，…这样的数称为“正方形数”（如图2），如果规定，，，，…；，，
，，…；，，，，…，那么，按此规定求得
的值为 ．
【答案】155
【分析】根据图形的变化找出“”、“”，代入分别求出、的值，再将其代入中即可得出结论．
【详解】解：∵，，，，…，
∴，
∴；
∵，，，，…，
∴，
∴．
∵，，，，…，
∴．
故答案为：155．
【点睛】本题考查了规律型中图形的变化类以及数字的变化类，观察图形结合数字的变化找出变化规律
“”、“”是解题的关键．
46．如图是一组有规律的图案，它们是由大小相同的“×”图案组成的，依此规律，第10个图案中有“×”
图案 个．
【答案】51
【分析】先算出前3个图案中的数目，找到规律，再代入求解．
【详解】解：第1个图案中有“×”图案：个；
第2个图案中有“×”图案：个；
第3个图案中有“×”图案：个；
……；
第n个图案中有“×”图案：个；
当时，，
故答案为：51．
【点睛】本题考查了图形的变化类，找到变化规律是解题的关键．
47．古希腊数学家定义了五边形数，如下表所示，将点按照表中方式排列成五边形点阵，图形中的点的个
数即五边形数；
图形 …
五边形数 1 5 12 22 35 51 …
将五边形数1，5，12，22，35，51，…，排成如下数表；
观察这个数表，则这个数表中的第八行从左至右第2个数为 ．
【答案】1335
【分析】观察表中图形及数字的变化规律可发现第n个五边形数可表示为：，观察数表找到规律，计算出这个数表中的第八行从左至右第2个数是第几个五边形数即n的值，代入上面的代数式即可求得答案．
【详解】解：观察表中图形及数字的变化规律可得第n个五边形数可表示为：，
由数表可知前七行数的个数和为：，
∴数表中的第八行从左至右第2个数是第30个五边形数即，
∴把代入得：，
故答案为：1335．
【点睛】本题考查了学生的观察能力，发现规律总结概括能力，观察表中图形及数字、数表的变化，发现其规律是解决本题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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