2024数学中考专题复习
专题十二 一线三等角问题
1.如图,在△PMN中,点M在x轴上,PM=PN,PM⊥PN,P(0,2),N(2,-2),则M的坐标是( )
A.(-2,0)
C.(-2,0) D.(-4,0)
2.如图,直角三角形的直角顶点为坐标原点,∠OAB=30°,若点A在反比例函数y=(x>0)的图象上,则经过点B的反比例函数图象对应的解析式为 .
3.如图1,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=45°,点D,E,F分别在AB,BC,AC边上,且DE=EF,∠DEF=∠B.
(1)试猜想CF与BE之间的数量关系,并证明;
(2)如图2,若将已知条件中“∠A=45°”换成“∠A=30°”,其余条件不变,试探究BE和CF之间的关系.
图1
图2
4.(1)如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥m,CE⊥m,垂足分别为点D、E,猜测DE、BD、CE之间的数量关系(直接写出结果即可);
(2)如图2,将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角,请问第(1)问中DE、BD、CE之间的关系是否仍然成立 若成立,请你给出证明,若不成立,请说明理由;
(3)如图3,D、E是直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合),点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD、CE,若∠BDA=
∠AEC=∠BAC,试判断线段DF、EF之间的数量关系,并说明理由.
图1
图2
图3
5.【感知模型】
(1)“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一,请根据以下问题,把你的感知填写出来:
图1
图2
图3
图4
图5
①如图1,△ABC是等腰直角三角形,∠C=90°,点D为AB的中点,则△AED∽ ;
②如图2,△ABC为正三角形,BD=CF,∠EDF=60°,则△BDE≌ ;
③如图3,正方形ABCD的顶点B在直线l上,分别过点A、C作AE⊥l于E,CF⊥l于F.若AE=1,CF=2,则EF的长为 ;
【模型应用】
(2)如图4,将正方形OABC放在平面直角坐标系中,点O为原点,点A的坐标为(1,),则点C的坐标为 ;
【模型变式】
(3)如图5所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于E,AD⊥CD于D,DE=4 cm,AD=6 cm,求BE的长.
微专题十二 一线三等角问题
1.如图,在△PMN中,点M在x轴上,PM=PN,PM⊥PN,P(0,2),N(2,-2),则M的坐标是( )
A.(-2,0)
C.(-2,0) D.(-4,0)
答案 D 过点N作ND⊥y轴于点D.
∵P(0,2),N(2,-2),∴OP=2,OD=2,DN=2,∴PD=4,
∵PM⊥PN,∴∠MPN=90°,
∴∠MPO+∠DPN=90°,
又∵∠DPN+∠PND=90°,
∴∠MPO=∠PND,
又∵∠MOP=∠PDN=90°,
∴△MOP≌△PDN,
∴OM=PD=4,∴M(-4,0),故选D.
2.如图,直角三角形的直角顶点为坐标原点,∠OAB=30°,若点A在反比例函数y=(x>0)的图象上,则经过点B的反比例函数图象对应的解析式为 .
答案 y=-(x<0)
解析 过点B作BC⊥x轴于点C,过点A作AD⊥x轴于点D.
∵∠BOA=90°,∴∠BOC+∠AOD=90°,
∵∠AOD+∠OAD=90°,∴∠BOC=∠OAD,
又∵∠BCO=∠ADO=90°,
∴△BCO∽△ODA,∴ ,
∵∠OAB=30°,∠AOB=90°,∴=tan 30°=,
∴,
∵点A在反比例函数y=(x>0)的图象上,∴S△AOD=×4=2,
∴S△BCO=,
设经过点B的反比例函数图象对应的解析式为y=(m<0),
∴|m|=2S△BCO=,
∴m=-,
经过点B的反比例函数图象对应的解析式为y=-(x<0).
3.如图1,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=45°,点D,E,F分别在AB,BC,AC边上,且DE=EF,∠DEF=∠B.
(1)试猜想CF与BE之间的数量关系,并证明;
(2)如图2,若将已知条件中“∠A=45°”换成“∠A=30°”,其余条件不变,试探究BE和CF之间的关系.
图1
图2
解析 (1)CF=BE,证明如下:
过点F作FH⊥BC于点H,
∵在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=45°,∴∠C=45°,
∵∠DEF=∠B,∴∠DEF=90°,
∴∠DEB+∠FEH=90°.
∵∠BDE+∠DEB=90°,∴∠BDE=∠FEH.
在△BDE和△HEF中,
∴△BDE≌△HEF(AAS),
∴BE=FH.
∵FH⊥BC,∠C=45°,∴△FHC为等腰直角三角形.
∴CF=BE.
(2)CF=BE,证明如下:
过点F作FK⊥BC于点K,
∵在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,∴∠C=60°.
∵∠DEF=∠B,∴∠DEF=90°,
∴∠DEB+∠FEK=90°.
∵∠BDE+∠DEB=90°,
∴∠BDE=∠FEK.
在△BDE和△KEF中,
∴△BDE≌△KEF(AAS),
∴BE=FK.
∵FK⊥BC,∠C=60°,∴sin 60°=,
∴CF=BE.
4.(1)如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥m,CE⊥m,垂足分别为点D、E,猜测DE、BD、CE之间的数量关系(直接写出结果即可);
(2)如图2,将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角,请问第(1)问中DE、BD、CE之间的关系是否仍然成立 若成立,请你给出证明,若不成立,请说明理由;
(3)如图3,D、E是直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合),点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD、CE,若∠BDA=
∠AEC=∠BAC,试判断线段DF、EF之间的数量关系,并说明理由.
图1
图2
图3
解析 (1)DE=CE+BD.
详解:如题图1,∵BD⊥m,CE⊥m,∴∠BDA=∠AEC=90°,
又∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°,∠BAD+∠ABD=90°,∴∠CAE=∠ABD.
在△ABD和△CAE中,
∴△ABD≌△CAE(AAS),
∴BD=AE,AD=CE,
∵DE=AD+AE,∴DE=CE+BD.
(2)成立,证明如下:
如题图2,∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α,∴∠CAE=∠ABD.
在△ADB和△CEA中,
∴△ADB≌△CEA(AAS),
∴AE=BD,AD=CE,
∴CE+BD=AD+AE=DE.
(3)DF=EF,理由如下:
由(2)知BD=AE,∠ABD=∠CAE,
∵△ABF和△ACF均为等边三角形,∴∠ABF=∠CAF=60°,
∴∠ABD+∠ABF=∠CAE+∠CAF,∴∠DBF=∠FAE,
在△DBF和△EAF中,
∴△DBF≌△EAF(SAS),
∴DF=EF.
5.【感知模型】
(1)“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一,请根据以下问题,把你的感知填写出来:
图1
图2
图3
图4
图5
①如图1,△ABC是等腰直角三角形,∠C=90°,点D为AB的中点,则△AED∽ ;
②如图2,△ABC为正三角形,BD=CF,∠EDF=60°,则△BDE≌ ;
③如图3,正方形ABCD的顶点B在直线l上,分别过点A、C作AE⊥l于E,CF⊥l于F.若AE=1,CF=2,则EF的长为 ;
【模型应用】
(2)如图4,将正方形OABC放在平面直角坐标系中,点O为原点,点A的坐标为(1,),则点C的坐标为 ;
【模型变式】
(3)如图5所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于E,AD⊥CD于D,DE=4 cm,AD=6 cm,求BE的长.
解析 (1)①△BDF.
详解:如题图1,∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠A=∠B=45°,
∵点D是AB的中点,∴AD=BD,
∵∠EDB=∠A+∠AED=∠EDF+∠FDB,又∵∠A=∠EDF=45°,
∴∠AED=∠FDB,
∴△AED∽△BDF.
②△CFD.
详解:∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠C=60°,
∵∠EDC=∠B+∠BED=∠EDF+∠FDC,又∵∠B=∠EDF=60°,
∴∠BED=∠FDC,又∵BD=CF,∴△BDE≌△CFD(AAS).
③3.
详解:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=90°,
∵AE⊥EF,CF⊥EF,∴∠AEB=∠CFB=90°,
∴∠ABE+∠BAE=90°=∠ABE+∠CBF,∴∠BAE=∠CBF,
∴△ABE≌△BCF(AAS),∴AE=BF=1,BE=CF=2,
∴EF=BE+BF=3.
(2)(-,1).
详解:如图,过点A作AF⊥x轴于F,过点C作CE⊥x轴于E.
∵点A的坐标为(1,),
∴AF=,OF=1,
∵四边形ABCO是正方形,∴AO=OC,∠AOC=90°,
∵AF⊥EF,CE⊥EF,∴∠AFO=∠CEO=90°=∠AOC,
∴∠AOF+∠FAO=90°=∠AOF+∠COE,∴∠COE=∠FAO,
∴△AOF≌△OCE(AAS),
∴CE=OF=1,OE=AF=,
∴点C的坐标为(-,1).
(3)如题图5,∵AD⊥CE,BE⊥CE,∴∠ADC=∠BEC=90°,
∵∠DCA+∠BCE=90°,∠DCA+∠DAC=90°,∴∠DAC=∠BCE,
又∵AC=BC,
∴△ACD≌△CBE(AAS),
∴CE=AD=6 cm,CD=BE,
∴BE=CD=CE-DE=6-4=2(cm).
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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