河南省郑州市高新区创启学校2023-2024学年北师大版八年级上学期开学考试数学试卷
一、选择题（每题3分）
1．有下列各数：（相邻两个1之间0的个数逐次加1，其中是无理数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．PM2.5是大气压中直径小于或等于0.000025的颗粒物，0.000025用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八上·郑州开学考）下列运算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023七下·广宁期末）下列选项中，过点P画的垂线，三角板放法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2019·河北模拟）如图，△ABC中，AB>AC，∠CAD为△ABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是（ ）
A．∠DAE=∠B B．∠EAC=∠C C．AE∥BC D．∠DAE=∠EAC
6．（2020八上·长沙期中）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A '处，点B落在点B '处，若∠1=115° ,则图中∠2的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
7．（2020八上·平潭月考）如图，AB//CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若点P到BC的距离是4，则AD的长为 （ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
8．（2023七下·章丘期末）甲乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，两车同时出发，中途不停留．各自到达目的地后停止，已知货车的速度为．轿车的速度为．设货车行驶时间为x（小时），两车间距离为y（千米），则下列图象中可以反映变量y与x之间关系的是（ ）
A． B．
C． D．
9．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则等腰三角形的底角度数为（ ）
A．15° B．30° C．15°或75° D．30°或150°
10．如图，已知长方形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段BC上由点C向点B运动，若 AEP与 BPQ全等，则点Q的运动速度是（ ）
A．2或 B．6或 C．2或6 D．1或
二、填空题（每题3分，共5小题）
11．（2019八上·新蔡期中）的平方根是 ．
12．（2023八上·郑州开学考）已知a，b，c是三角形的三边长，且满足，则该三角形的形状是 .
13．（2023八上·郑州开学考）将一个完全平方式展开后得到，则的值为 .
14．（2023八上·郑州开学考）七巧板是我们祖先的一项伟大创造，被兴为“东方魔板”．在一次“美术制作”活动课上，小明用边长为4cm的正方形纸片制作了如图所示的七巧板（如图1），并设计了一幅作品“我跑步，我快乐”创作画（如图2），则创作画中阴影部分的面积是 cm2
15．（2023八上·郑州开学考）如图，在 ABC中，AB=AC，直线MN垂直平分AB，点D为BC的中点，点E为线段MN上一动点，若BC=4，等腰△ABC面积为12，则△BDE的周长的最小值为 .
三、解答题（共55分）
16．（2023八上·郑州开学考）解答题
（1）计算：：
（2）先化简，再求值：，其中.
17．（2021七下·莲湖期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上.
（1）请在如图所示的网格平面内作出△ABC关于直线l对称的△DEF（点A，B，C的对应点为点D，E，F）.
（2）求出△DEF的面积.
18．（2023八上·郑州开学考）如图，一个均匀的转盘被平均分成10等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的规则从下面两种中选一种：
①猜“是3的倍数”或“不是3的倍数”；
②猜“是大于6的数”或“不是大于6的数”．如果轮到你猜数，那么为了尽可能获胜，你将选择哪一种猜数方法？怎样猜？请说明理由．
19．（2020八上·普宁期中）如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E．
（1）试判断△BDE的形状，并说明理由；
（2）若AB＝4，AD＝8，求△BDE的面积．
20．（2023八上·郑州开学考）已知动点P以每秒2cm的速度沿如图甲所示的边框按B C D E F A的路径移动，其中∠A=∠B=∠C=∠E=∠F=90°，相应的 ABP的面积S关于时间t的函数图象如图乙所示，若AB=6cm，试回答下列问题：
（1）如图甲BC= cm；EF= cm．
（2）如图乙，图中的a= ，b= ．
（3）在上述运动过程中，△ABP面积的最大值是 cm2
21．（2023八上·郑州开学考）先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题：
（1）的有理化因式是 .
（2）化去式子分母中的根号： （直接写结果）
（3）利用你发现的规律计算下列式子的值：）.
22．（2019七下·深圳期末）如图1，点C为线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝30°，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接CP．
（1）线段AE与DB的数量关系为 ；请直接写出∠APD＝ ；
（2）将△BCE绕点C旋转到如图2所示的位置，其他条件不变，探究线段AE与DB的数量关系，并说明理由；求出此时∠APD的度数；
（3）在（2）的条件下求证：∠APC＝∠BPC．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的认识
【解析】【解答】解：是有理数，是无理数，是有理数，是有理数，是有理数，（相邻两个1之间0的个数逐次加1 ）是无理数，是有理灵敏，是无理数，这些数中共有3个无理数.
故答案为：C.
【分析】 无理数是无限不循环小数， 对每一个数逐一判别，再得出无理数的个数.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法—记绝对值小于1的数
【解析】【解答】解： 0.000025=0.00001×2.5=2.5×10-6.
故答案为：C.
【分析】 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解： A．m2+m2=2m2，故错误；
B．a2 a3=a2+3=a5，故正确；
C．（mn2）3=m3（n2）3=m3n6，故错误；
D．m6÷m2=m4，故错误．
故答案为：B.
【分析】（1）利用合并同类项法则求解；
（2）利用同底数幂的乘法法则计算；
（3）先利用积的乘方法则计算，再用幂的乘方法则计算；
（4）利用同底数幂的除法计算.
4．【答案】C
【知识点】垂线
【解析】【解答】解：∵三角板有一个角是直角，
∴三角板的一条直角边与直线AB重合，
∵过点P作直线AB的垂线，
∴三角板的另一条直角边过点P.
故答案为：C.
【分析】此题是过直线外一点作已知直线的垂线，借助三角板的直角，让三角板的一条直角边与直线AB重合，另一条直角边经过点P即可.
5．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：由作图痕迹可得∠DAE=∠B，
∴AE∥AB，故A、C不符合题意，
∴∠EAC=∠C，故B不符合题意，
∵AB＞AC，
∴∠C＞∠B，
∴∠EAC＞∠DAE.故D符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据作图痕迹可得∠DAE=∠B，利用同位角相等，两直线平行可得AE∥AB，由两直线平行内错角相等，可得∠EAC=∠C，据此判断A、B、C.根据三角形中大边对大角，可得∠C＞∠B，从而可得∠EAC＞∠DAE，据此判断D.
6．【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）；邻补角
【解析】【解答】如图,∵∠1=115°，
∴∠EFG=65°，
由折叠可得,∠EFB′=∠EFB=115°，
∴∠GFB′=115° 65°=50°，
又∵∠B′=90°，
∴∠FGB′=90° 50°=40°，
∴∠2=40°，
故答案为：A.
【分析】根据邻补角的含义以及折叠的性质，计算得到答案即可。
7．【答案】A
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点 作 于 ，
， ，
，
和 分别平分 和 ，
， ，
，
，
，
．
故答案为： ．
【分析】过点P作于E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PA=PE,PD=PE，得PE=PA=PD，又PE=4，进而求AD的长。
8．【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：两车相遇的时间为：300÷（40+60）=3小时，
轿车到达甲地的时间为：300÷60=5小时，
此时两车间的距离（货车此时行驶的路程）为5×40=200千米，
货车到达乙地的时间为：300÷40=7.5小时，
∴ 可以反映变量y与x之间关系的是C；
故答案为：C.
【分析】根据题中的条件分别求出两车相遇的时间，轿车到达甲地的时间，货车到达乙地的时间，然后判断即可.
9．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当这个三角形是锐角三角形时，如图，
AB=AC，BD⊥AC，
∠ABD=60°，则∠A=90°-∠ABD=30°，所以底角为∠C=（180°-∠A）=75°.
当这个三角形是钝角三角形时，如图.
AB=AC，∠ABD=60°，则∠BAD=90°-∠ABD=30°，
所以∠BAC=180°-∠BAD=150°，所以底角为∠C=（180°-∠A）=15°.
故答案为：C.
【分析】由于题中没有给出图形，根据分析，可分为两种情况讨论：第一种情况为这个三角形是锐角三角形；第二种情况为这个三角形是钝角三角形.
10．【答案】B
【知识点】四边形-动点问题
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=∠B=90°，
∵点E为AD的中点，AD=8cm，
∴AE=AD=4cm，
设点Q的运动速度为x cm/s，
①经过y秒后，△AEP≌△BPQ，则AP=BQ，AE=BP，
， 解得：.
所以点Q的运动速度6cm/s时能使两三角形全等．
②经过y秒后，△AEP≌△BQP，则AP=BP，AE=BQ，
，解得，
所以当点Q的运动速度cm/s时能使两三角形全等．
综上所述，点Q的运动速度6或cm/s时能使两三角形全等．
故答案为：B.
【分析】分两种情况讨论：①经过y秒后，△AEP≌△BPQ；②经过y秒后，△AEP≌△BQP.分别可列出方程组求解．
11．【答案】±3
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解：=9，
9的平方根是±3，
故答案为：±3．
【分析】首先化简，再根据平方根的定义计算平方根．
12．【答案】直角三角形
【知识点】勾股定理的逆定理；偶次幂的非负性；算数平方根的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴a-12=0，b-5=0，k-13=0，
解得：a=12，b=5，c=13，
∵a2+b2=122+52=132=c2，
∴以a，b，c为的三边的三角形为直角三角形．
故答案为：直角三角形.
【分析】根据“几个非负数的和为0，只有都等于0”，列出方程组求解，再判断三角形的形状.
13．【答案】±44
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵是一个完全平方式 ，
∴，解得m=±44.
故答案为：±44.
【分析】根据是一个完全平方式 ，可将首尾两项分别写成一个式子的平方，从而可得中间项的系数，注意这个系数可正也可以负，不要漏解.
14．【答案】5
【知识点】二次根式的应用；七巧板
【解析】【解答】解：∵图1正方形纸片的边长为4cm，
∴图2中的阴影部分较大的三角形的直角边长为（cm）.
图2中较小的阴影部分三角形的斜边长为2cm，所以直角边长为（cm）.
∴图2阴影部分的面积为( cm2 ).
故答案为：5.
【分析】经观察比较，不难发现图2中的阴影部分较大的三角形是图1中最大的2块三角形之一，而图2中较小的阴影部分三角形是图1中最小的两个三角形之一，由此可以根据图1进行求解.
15．【答案】8
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连结AD，因为AB=AC，D为BC的中点，
所以AD⊥BC.
因为等腰△ABC面积为12，
所以.
因为BC=4，
所以，解得AD=6.
所以 △BDE的周长的最小值为 AD+BD=6+2=8.
故答案为：8.
【分析】由B、D两点为定点，可知BD长不定，只需求BE+DE的最小值，而E为MN上动点，B、D在直线MN的同侧，当作点B关于MN的对称点与D相连的线就是最短，又MN垂直平分AB，所以点B与点A关于直线MN对称，所以连结AD就是BE+DE的最小值，由此可以求解.
16．【答案】（1）解：
（2）解：
当 时，
原式=
【知识点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）先求出4次方，0次方，-2次方，再作加减运算；
（2）先利用单项乘多项式和完全平方公式化简代数式，再代入求值.
17．【答案】（1）解：如图，△DEF即为所求.
（2）解：S△DEF＝3×4﹣ ×1×4﹣ ×1×3﹣ ×3×2＝5.5.
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）作出△ABC各点关于直线l的对称点，再顺次连接即可；
（2）利用△DEF的面积=矩形的面积减去3个直角三角形的面积，列出算式进行计算，即可得出答案.
18．【答案】解：①共有“1、2、3、4、5、6、7、8、9、10”10 种等可能出现的结果数， “是 3 的倍数”的有“3、6、9”3 种，
“不是 3 的倍数”的有“1、2、4、5、7、8、10”7 种，
∴“是 3 的倍数”的概率= 3÷10×100% = 30%，
“不是 3 的倍数”的概率= 7 ÷10×100% = 70%，
②共有“1、2、3、4、5、6、7、8、9、10”10 种等可能出现的结果数，
“是大于 6 的数”的有“7、8、9、10”4 种，
“不是大于 6 的数”的有“1、2、3、4、5、6”6 种，
∴“是大于 6 的数”的概率= 4 ÷10×100% = 40%，
“不是大于 6 的数”的概率= 6 ÷10×100% = 60%，
∵70% > 60% > 40% > 30%，
∴选择①，猜“不是 3 的倍数”，最可能获胜
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【分析】 ① 、 ②分别求出各种情况，再求出各情况获胜的概率，比较后作出决策．
19．【答案】（1）解：△BDE是等腰三角形．
由折叠可知，∠CBD=∠EBD，
∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠EDB，
∴∠EBD=∠EDB，
∴BE=DE，
即△BDE是等腰三角形；
（2）解：设DE=x，则BE=x，AE=8﹣x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2=BE2即42+（8﹣x）2=x2，
解得：x=5，
所以S△BDE= DE×AB= ×5×4=10．
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定；勾股定理
【解析】【分析】1）由折叠可知，∠CBD=∠EBD，再由AD∥BC，得到∠CBD=∠EDB，即可得到∠EBD=∠EDB，于是得到BE=DE，等腰三角形即可证明；（2）设DE=x，则BE=x，AE=8﹣x，在Rt△ABE中，由勾股定理求出x的值，再由三角形的面积公式求出面积的值．
20．【答案】（1）8；2
（2）24；17
（3）42
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解： （1）观察图甲，可知当P在BC上时，以AB为底的三角形的高在不断增大，到达点C时，开始不变，根据图乙得，P在BC上移动了4秒，
∴BC=4×2=8cm.
在CD上移动了2秒，
∴CD=2×2=4cm，
在DE上移动了3秒，
∴DE=3×2=6cm，
∵AB=6cm，
∴EF=AB-CD=2cm，
故答案为：8；2；
（2）根据图甲、乙得，点P运行4秒时△ABP的面积为a，
∴S△ABP=×6×8=24，
b为点P走完全程的时间：t=9+1+7=17s，
∴a=24，b=17．
故答案为：24；17；
（3）∵点P移动到点E时面积达到最大值a，
∴S=AB （BC+DE），
∵AB=6cm，BC=8cm，DE=6cm，
∴S=×6×（8+6）=42（cm2）．
故答案为：42．
【分析】 （1）根据图乙，可得出BC、EF的长度；
（2）利用三角形的面积计算公式，进行求解；
（3）点P移动到点E时面积达到最大值．利用三角形的面积公式进行计算．
21．【答案】（1）
（2）
（3）解：
而
，
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】解：（1）的有理化因式是.
故答案为.
（2）
故答案为.
（3）原式=
=
=2021-1
=2020
【分析】 （1）利用有理化因式的定义求解；
（2）先将分子分母都乘以（3+），再利用平方差公式计算；
（3）先将分母有理化，再合并后利用平方差公式计算．
22．【答案】（1）AE＝BD；30°
（2）解：如图2中，结论：AE＝BD，∠APD＝30°．
理由：∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE＝∠DCB，
又∵CA＝CD，CE＝CB，
∴△ACE≌△DCB．
∴AE＝BD，∴CAE＝∠CDB，
∵∠AMP＝∠DMC，
∴∠APD＝∠ACD＝30°．
（3）证明：如图2﹣1中，分别过C作CH⊥AE，垂足为H，过点C作CG⊥BD，垂足为G，
∵△ACE≌△DCB．
∴AE＝BD，
∵S△ACE＝S△DCB（全等三角形的面积相等），
∴CH＝CG，
∴∠DPC＝∠EPC（角平分线的性质定理的逆定理），
∵∠APD＝∠BPE，
∴∠APC＝∠BPC．
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】（1）如图1中，
∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE＝∠DCB，
又∵CA＝CD，CE＝CB，
∴△ACE≌△DCB．
∴AE＝BD，∴CAE＝∠CDB，
∵∠AMC＝∠DMP，
∴∠APD＝∠ACD＝30°，
故答案为AE＝BD，30°
【分析】（1）根据SAS可证△ACE≌△DCB，可得AE＝BD，CAE＝∠CDB，利用对顶角相等可得∠AMC＝∠DMP，由三角形内角和即得∠APD＝∠ACD＝30°；
（2）根据SAS可证△ACE≌△DCB，可得AE＝BD，CAE＝∠CDB，利用对顶角相等可得∠AMC＝∠DMP，由三角形内角和即得∠APD＝∠ACD＝30°；
（3）如图2﹣1中，分别过C作CH⊥AE，垂足为H，过点C作CG⊥BD，垂足为G， 由△ACE≌△DCB，可得AE＝BD，S△ACE＝S△DCB，从而可得CH＝CG，根据角平分线的判定定理可得∠DPC＝∠EPC ，根据等式的性质即得∠APC＝∠BPC．
河南省郑州市高新区创启学校2023-2024学年北师大版八年级上学期开学考试数学试卷
一、选择题（每题3分）
1．有下列各数：（相邻两个1之间0的个数逐次加1，其中是无理数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】无理数的认识
【解析】【解答】解：是有理数，是无理数，是有理数，是有理数，是有理数，（相邻两个1之间0的个数逐次加1 ）是无理数，是有理灵敏，是无理数，这些数中共有3个无理数.
故答案为：C.
【分析】 无理数是无限不循环小数， 对每一个数逐一判别，再得出无理数的个数.
2．PM2.5是大气压中直径小于或等于0.000025的颗粒物，0.000025用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法—记绝对值小于1的数
【解析】【解答】解： 0.000025=0.00001×2.5=2.5×10-6.
故答案为：C.
【分析】 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（2023八上·郑州开学考）下列运算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解： A．m2+m2=2m2，故错误；
B．a2 a3=a2+3=a5，故正确；
C．（mn2）3=m3（n2）3=m3n6，故错误；
D．m6÷m2=m4，故错误．
故答案为：B.
【分析】（1）利用合并同类项法则求解；
（2）利用同底数幂的乘法法则计算；
（3）先利用积的乘方法则计算，再用幂的乘方法则计算；
（4）利用同底数幂的除法计算.
4．（2023七下·广宁期末）下列选项中，过点P画的垂线，三角板放法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】垂线
【解析】【解答】解：∵三角板有一个角是直角，
∴三角板的一条直角边与直线AB重合，
∵过点P作直线AB的垂线，
∴三角板的另一条直角边过点P.
故答案为：C.
【分析】此题是过直线外一点作已知直线的垂线，借助三角板的直角，让三角板的一条直角边与直线AB重合，另一条直角边经过点P即可.
5．（2019·河北模拟）如图，△ABC中，AB>AC，∠CAD为△ABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是（ ）
A．∠DAE=∠B B．∠EAC=∠C C．AE∥BC D．∠DAE=∠EAC
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：由作图痕迹可得∠DAE=∠B，
∴AE∥AB，故A、C不符合题意，
∴∠EAC=∠C，故B不符合题意，
∵AB＞AC，
∴∠C＞∠B，
∴∠EAC＞∠DAE.故D符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据作图痕迹可得∠DAE=∠B，利用同位角相等，两直线平行可得AE∥AB，由两直线平行内错角相等，可得∠EAC=∠C，据此判断A、B、C.根据三角形中大边对大角，可得∠C＞∠B，从而可得∠EAC＞∠DAE，据此判断D.
6．（2020八上·长沙期中）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A '处，点B落在点B '处，若∠1=115° ,则图中∠2的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）；邻补角
【解析】【解答】如图,∵∠1=115°，
∴∠EFG=65°，
由折叠可得,∠EFB′=∠EFB=115°，
∴∠GFB′=115° 65°=50°，
又∵∠B′=90°，
∴∠FGB′=90° 50°=40°，
∴∠2=40°，
故答案为：A.
【分析】根据邻补角的含义以及折叠的性质，计算得到答案即可。
7．（2020八上·平潭月考）如图，AB//CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若点P到BC的距离是4，则AD的长为 （ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点 作 于 ，
， ，
，
和 分别平分 和 ，
， ，
，
，
，
．
故答案为： ．
【分析】过点P作于E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PA=PE,PD=PE，得PE=PA=PD，又PE=4，进而求AD的长。
8．（2023七下·章丘期末）甲乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，两车同时出发，中途不停留．各自到达目的地后停止，已知货车的速度为．轿车的速度为．设货车行驶时间为x（小时），两车间距离为y（千米），则下列图象中可以反映变量y与x之间关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：两车相遇的时间为：300÷（40+60）=3小时，
轿车到达甲地的时间为：300÷60=5小时，
此时两车间的距离（货车此时行驶的路程）为5×40=200千米，
货车到达乙地的时间为：300÷40=7.5小时，
∴ 可以反映变量y与x之间关系的是C；
故答案为：C.
【分析】根据题中的条件分别求出两车相遇的时间，轿车到达甲地的时间，货车到达乙地的时间，然后判断即可.
9．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则等腰三角形的底角度数为（ ）
A．15° B．30° C．15°或75° D．30°或150°
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当这个三角形是锐角三角形时，如图，
AB=AC，BD⊥AC，
∠ABD=60°，则∠A=90°-∠ABD=30°，所以底角为∠C=（180°-∠A）=75°.
当这个三角形是钝角三角形时，如图.
AB=AC，∠ABD=60°，则∠BAD=90°-∠ABD=30°，
所以∠BAC=180°-∠BAD=150°，所以底角为∠C=（180°-∠A）=15°.
故答案为：C.
【分析】由于题中没有给出图形，根据分析，可分为两种情况讨论：第一种情况为这个三角形是锐角三角形；第二种情况为这个三角形是钝角三角形.
10．如图，已知长方形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段BC上由点C向点B运动，若 AEP与 BPQ全等，则点Q的运动速度是（ ）
A．2或 B．6或 C．2或6 D．1或
【答案】B
【知识点】四边形-动点问题
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=∠B=90°，
∵点E为AD的中点，AD=8cm，
∴AE=AD=4cm，
设点Q的运动速度为x cm/s，
①经过y秒后，△AEP≌△BPQ，则AP=BQ，AE=BP，
， 解得：.
所以点Q的运动速度6cm/s时能使两三角形全等．
②经过y秒后，△AEP≌△BQP，则AP=BP，AE=BQ，
，解得，
所以当点Q的运动速度cm/s时能使两三角形全等．
综上所述，点Q的运动速度6或cm/s时能使两三角形全等．
故答案为：B.
【分析】分两种情况讨论：①经过y秒后，△AEP≌△BPQ；②经过y秒后，△AEP≌△BQP.分别可列出方程组求解．
二、填空题（每题3分，共5小题）
11．（2019八上·新蔡期中）的平方根是 ．
【答案】±3
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解：=9，
9的平方根是±3，
故答案为：±3．
【分析】首先化简，再根据平方根的定义计算平方根．
12．（2023八上·郑州开学考）已知a，b，c是三角形的三边长，且满足，则该三角形的形状是 .
【答案】直角三角形
【知识点】勾股定理的逆定理；偶次幂的非负性；算数平方根的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴a-12=0，b-5=0，k-13=0，
解得：a=12，b=5，c=13，
∵a2+b2=122+52=132=c2，
∴以a，b，c为的三边的三角形为直角三角形．
故答案为：直角三角形.
【分析】根据“几个非负数的和为0，只有都等于0”，列出方程组求解，再判断三角形的形状.
13．（2023八上·郑州开学考）将一个完全平方式展开后得到，则的值为 .
【答案】±44
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵是一个完全平方式 ，
∴，解得m=±44.
故答案为：±44.
【分析】根据是一个完全平方式 ，可将首尾两项分别写成一个式子的平方，从而可得中间项的系数，注意这个系数可正也可以负，不要漏解.
14．（2023八上·郑州开学考）七巧板是我们祖先的一项伟大创造，被兴为“东方魔板”．在一次“美术制作”活动课上，小明用边长为4cm的正方形纸片制作了如图所示的七巧板（如图1），并设计了一幅作品“我跑步，我快乐”创作画（如图2），则创作画中阴影部分的面积是 cm2
【答案】5
【知识点】二次根式的应用；七巧板
【解析】【解答】解：∵图1正方形纸片的边长为4cm，
∴图2中的阴影部分较大的三角形的直角边长为（cm）.
图2中较小的阴影部分三角形的斜边长为2cm，所以直角边长为（cm）.
∴图2阴影部分的面积为( cm2 ).
故答案为：5.
【分析】经观察比较，不难发现图2中的阴影部分较大的三角形是图1中最大的2块三角形之一，而图2中较小的阴影部分三角形是图1中最小的两个三角形之一，由此可以根据图1进行求解.
15．（2023八上·郑州开学考）如图，在 ABC中，AB=AC，直线MN垂直平分AB，点D为BC的中点，点E为线段MN上一动点，若BC=4，等腰△ABC面积为12，则△BDE的周长的最小值为 .
【答案】8
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连结AD，因为AB=AC，D为BC的中点，
所以AD⊥BC.
因为等腰△ABC面积为12，
所以.
因为BC=4，
所以，解得AD=6.
所以 △BDE的周长的最小值为 AD+BD=6+2=8.
故答案为：8.
【分析】由B、D两点为定点，可知BD长不定，只需求BE+DE的最小值，而E为MN上动点，B、D在直线MN的同侧，当作点B关于MN的对称点与D相连的线就是最短，又MN垂直平分AB，所以点B与点A关于直线MN对称，所以连结AD就是BE+DE的最小值，由此可以求解.
三、解答题（共55分）
16．（2023八上·郑州开学考）解答题
（1）计算：：
（2）先化简，再求值：，其中.
【答案】（1）解：
（2）解：
当 时，
原式=
【知识点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）先求出4次方，0次方，-2次方，再作加减运算；
（2）先利用单项乘多项式和完全平方公式化简代数式，再代入求值.
17．（2021七下·莲湖期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上.
（1）请在如图所示的网格平面内作出△ABC关于直线l对称的△DEF（点A，B，C的对应点为点D，E，F）.
（2）求出△DEF的面积.
【答案】（1）解：如图，△DEF即为所求.
（2）解：S△DEF＝3×4﹣ ×1×4﹣ ×1×3﹣ ×3×2＝5.5.
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）作出△ABC各点关于直线l的对称点，再顺次连接即可；
（2）利用△DEF的面积=矩形的面积减去3个直角三角形的面积，列出算式进行计算，即可得出答案.
18．（2023八上·郑州开学考）如图，一个均匀的转盘被平均分成10等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的规则从下面两种中选一种：
①猜“是3的倍数”或“不是3的倍数”；
②猜“是大于6的数”或“不是大于6的数”．如果轮到你猜数，那么为了尽可能获胜，你将选择哪一种猜数方法？怎样猜？请说明理由．
【答案】解：①共有“1、2、3、4、5、6、7、8、9、10”10 种等可能出现的结果数， “是 3 的倍数”的有“3、6、9”3 种，
“不是 3 的倍数”的有“1、2、4、5、7、8、10”7 种，
∴“是 3 的倍数”的概率= 3÷10×100% = 30%，
“不是 3 的倍数”的概率= 7 ÷10×100% = 70%，
②共有“1、2、3、4、5、6、7、8、9、10”10 种等可能出现的结果数，
“是大于 6 的数”的有“7、8、9、10”4 种，
“不是大于 6 的数”的有“1、2、3、4、5、6”6 种，
∴“是大于 6 的数”的概率= 4 ÷10×100% = 40%，
“不是大于 6 的数”的概率= 6 ÷10×100% = 60%，
∵70% > 60% > 40% > 30%，
∴选择①，猜“不是 3 的倍数”，最可能获胜
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【分析】 ① 、 ②分别求出各种情况，再求出各情况获胜的概率，比较后作出决策．
19．（2020八上·普宁期中）如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E．
（1）试判断△BDE的形状，并说明理由；
（2）若AB＝4，AD＝8，求△BDE的面积．
【答案】（1）解：△BDE是等腰三角形．
由折叠可知，∠CBD=∠EBD，
∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠EDB，
∴∠EBD=∠EDB，
∴BE=DE，
即△BDE是等腰三角形；
（2）解：设DE=x，则BE=x，AE=8﹣x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2=BE2即42+（8﹣x）2=x2，
解得：x=5，
所以S△BDE= DE×AB= ×5×4=10．
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定；勾股定理
【解析】【分析】1）由折叠可知，∠CBD=∠EBD，再由AD∥BC，得到∠CBD=∠EDB，即可得到∠EBD=∠EDB，于是得到BE=DE，等腰三角形即可证明；（2）设DE=x，则BE=x，AE=8﹣x，在Rt△ABE中，由勾股定理求出x的值，再由三角形的面积公式求出面积的值．
20．（2023八上·郑州开学考）已知动点P以每秒2cm的速度沿如图甲所示的边框按B C D E F A的路径移动，其中∠A=∠B=∠C=∠E=∠F=90°，相应的 ABP的面积S关于时间t的函数图象如图乙所示，若AB=6cm，试回答下列问题：
（1）如图甲BC= cm；EF= cm．
（2）如图乙，图中的a= ，b= ．
（3）在上述运动过程中，△ABP面积的最大值是 cm2
【答案】（1）8；2
（2）24；17
（3）42
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解： （1）观察图甲，可知当P在BC上时，以AB为底的三角形的高在不断增大，到达点C时，开始不变，根据图乙得，P在BC上移动了4秒，
∴BC=4×2=8cm.
在CD上移动了2秒，
∴CD=2×2=4cm，
在DE上移动了3秒，
∴DE=3×2=6cm，
∵AB=6cm，
∴EF=AB-CD=2cm，
故答案为：8；2；
（2）根据图甲、乙得，点P运行4秒时△ABP的面积为a，
∴S△ABP=×6×8=24，
b为点P走完全程的时间：t=9+1+7=17s，
∴a=24，b=17．
故答案为：24；17；
（3）∵点P移动到点E时面积达到最大值a，
∴S=AB （BC+DE），
∵AB=6cm，BC=8cm，DE=6cm，
∴S=×6×（8+6）=42（cm2）．
故答案为：42．
【分析】 （1）根据图乙，可得出BC、EF的长度；
（2）利用三角形的面积计算公式，进行求解；
（3）点P移动到点E时面积达到最大值．利用三角形的面积公式进行计算．
21．（2023八上·郑州开学考）先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题：
（1）的有理化因式是 .
（2）化去式子分母中的根号： （直接写结果）
（3）利用你发现的规律计算下列式子的值：）.
【答案】（1）
（2）
（3）解：
而
，
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】解：（1）的有理化因式是.
故答案为.
（2）
故答案为.
（3）原式=
=
=2021-1
=2020
【分析】 （1）利用有理化因式的定义求解；
（2）先将分子分母都乘以（3+），再利用平方差公式计算；
（3）先将分母有理化，再合并后利用平方差公式计算．
22．（2019七下·深圳期末）如图1，点C为线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝30°，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接CP．
（1）线段AE与DB的数量关系为 ；请直接写出∠APD＝ ；
（2）将△BCE绕点C旋转到如图2所示的位置，其他条件不变，探究线段AE与DB的数量关系，并说明理由；求出此时∠APD的度数；
（3）在（2）的条件下求证：∠APC＝∠BPC．
【答案】（1）AE＝BD；30°
（2）解：如图2中，结论：AE＝BD，∠APD＝30°．
理由：∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE＝∠DCB，
又∵CA＝CD，CE＝CB，
∴△ACE≌△DCB．
∴AE＝BD，∴CAE＝∠CDB，
∵∠AMP＝∠DMC，
∴∠APD＝∠ACD＝30°．
（3）证明：如图2﹣1中，分别过C作CH⊥AE，垂足为H，过点C作CG⊥BD，垂足为G，
∵△ACE≌△DCB．
∴AE＝BD，
∵S△ACE＝S△DCB（全等三角形的面积相等），
∴CH＝CG，
∴∠DPC＝∠EPC（角平分线的性质定理的逆定理），
∵∠APD＝∠BPE，
∴∠APC＝∠BPC．
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】（1）如图1中，
∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE＝∠DCB，
又∵CA＝CD，CE＝CB，
∴△ACE≌△DCB．
∴AE＝BD，∴CAE＝∠CDB，
∵∠AMC＝∠DMP，
∴∠APD＝∠ACD＝30°，
故答案为AE＝BD，30°
【分析】（1）根据SAS可证△ACE≌△DCB，可得AE＝BD，CAE＝∠CDB，利用对顶角相等可得∠AMC＝∠DMP，由三角形内角和即得∠APD＝∠ACD＝30°；
（2）根据SAS可证△ACE≌△DCB，可得AE＝BD，CAE＝∠CDB，利用对顶角相等可得∠AMC＝∠DMP，由三角形内角和即得∠APD＝∠ACD＝30°；
（3）如图2﹣1中，分别过C作CH⊥AE，垂足为H，过点C作CG⊥BD，垂足为G， 由△ACE≌△DCB，可得AE＝BD，S△ACE＝S△DCB，从而可得CH＝CG，根据角平分线的判定定理可得∠DPC＝∠EPC ，根据等式的性质即得∠APC＝∠BPC．
