2024数学中考专题复习
5.2 与圆有关的位置关系
5年中考
考点1 与圆有关的位置关系
1.(2022吉林,6,2分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=4.以点A为圆心,r为半径作圆,当点C在☉A内且点B在☉A外时,r的值可能是( )
2.(2021浙江嘉兴,7,3分)已知平面内有☉O和点A,B,若☉O的半径为2 cm,线段OA=3 cm,OB=2 cm,则直线AB与☉O的位置关系为( )
A.相离 B.相交
C.相切 D.相交或相切
3.(2023湖南衡阳,17,3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.以点C为圆心,r为半径作圆,当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时,r的值为 .
考点2 切线的性质与判定
4.(2023重庆A卷,8,4分)如图,AC是☉O的切线,B为切点,连接OA,OC.若∠A=30°,AB=2,BC=3,则OC的长度是( )
A.3 B.2 D.6
5.(2022重庆A卷,10,4分)如图,AB是☉O的切线,B为切点,连接AO交☉O于点C,延长AO交☉O于点D,连接BD.若∠A=∠D,且AC=3,则AB的长度是( )
A.3 B.4 C.3
6.(2023湖北武汉,9,3分)如图,在四边形ABCD中, AB∥CD,AD⊥AB,以D为圆心,AD为半径的弧恰好与BC相切,切点为E.若,则sin C的值是( )
7.(2022内蒙古呼和浩特,15,3分)已知AB为☉O的直径且AB=2,点C是☉O上一点(不与A、B重合),点D在半径OB上,且AD=AC,AE与过点C的☉O的切线垂直,垂足为E.若∠EAC=36°,则CD= ,OD= .
8.(2022四川南充,22,10分)如图,AB为☉O的直径,点C是☉O上一点,点D是☉O外一点,∠BCD=∠BAC,连接OD交BC于点E.
(1)求证:CD是☉O的切线;
(2)若CE=OA,sin∠BAC=,求tan∠CEO的值.
9.(2023天津,21,10分)在☉O中,半径OC垂直于弦AB,垂足为D,∠AOC=60°,E为弦AB所对的优弧上一点.
(1)如图1,求∠AOB和∠CEB的大小;
(2)如图2,CE与AB相交于点F,EF=EB,过点E作☉O的切线,与CO的延长线相交于点G.若OA=3,求EG的长.
图1
图2
考点3 三角形的内切圆
10.(2022湖北武汉,9,3分)如图,在四边形材料ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AD=9 cm,AB=20 cm,BC=24 cm.现用此材料截出一个面积最大的圆形模板,则此圆的半径是( )
A. cm B.8 cm C.6 cm D.10 cm
11.(2021湖北黄冈,21,9分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,☉O与BC,AC分别相切于点E,F,BO平分∠ABC,连接OA.
(1)求证:AB是☉O的切线;
(2)若BE=AC=3,☉O的半径是1,求图中阴影部分的面积.
3年模拟
53·基础练
1.(2022浙江舟山一模)在△ABC中,已知AB=AC=4 cm,BC=6 cm,D是BC的中点,以D为圆心作一个半径为3 cm的圆,则下列说法正确的是( )
A.点A在☉D外
B.点A在☉D 上
C.点A在☉D内
D.无法确定
2.(2022山东青岛二模)如图,△OAB与☉O交于点B和C, 其中B为切点, D为劣弧BC上一点, 若∠A=20°,则∠CDB的度数为 ( )
A.110° B.130° C.135° D.145°
3.(2023安徽合肥模拟)如图,点P是☉O外的一点,PA,PC是☉O的切线,切点分别为A,C,AB是☉O的直径,连接BC,PO,PO交弦AC于点D.下列结论中不正确的是( )
A.PO∥BC
B.PD=2OD
C.若∠ABC=2∠CPO,则△PAC是等边三角形
D.若△PAC是等边三角形,则∠ABC=2∠CPO
4.(2022浙江温州模拟)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,☉O是它的内切圆,分别切AB,BC,CA于点D,E,F.若∠C=40°,则∠DOE= °.
5.(2022安徽合肥一模)如图,已知☉O上有三点A、B、C,半径OC=2,∠ABC=30°,切线AP交OC的延长线于点P,则△OAP的周长为 .
6.(2023浙江宁波一模)如图,☉O的直径AB=8,点M是☉O外一点,若MB是☉O的切线,B为切点,且MB=3,Q为☉O上一动点,则MQ的最小值为 .
7.(2023湖北黄冈二模)如图,AB、AC是☉O的弦,过点A的切线交CB的延长线于点D,若∠BAD=35°,则∠C= °.
8.(2023广东广州一模)如图,在△ABC中,∠A=60°,BC=8,O为BC的中点,☉O分别与AB,AC相切于D,E两点,则☉O的半径为 .
9.(2023陕西西安一模)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,O为边BC上一点,以OB为半径的☉O与AC相切于点D,连接BD.
(1)求证:BD平分∠ABC;
(2)连接AO,若∠AOB=90°,AB=4,求☉O的半径.
10.(2023湖北孝感联考)如图,AB是☉O的直径,点C是的中点,过点C的切线与AD的延长线交于点E,连接CD,AC.
(1)求证:CE⊥AE;
(2)若CD∥AB,DE=1,求☉O的半径.
11.(2022江苏扬州一模)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O与BC相交于点D,过点D作DE⊥AC交AC于点E.
(1)试判断直线DE与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)若☉O的半径为5,BC=16,求DE的长.
53·提升练
12.(2022浙江宁波一模)如图,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的点,∠CDB=15°,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点E,则sin E的值为( )
A.
13.(2023广东模拟)如图,以正方形ABCD的边AD的中点O为圆心,AD长为直径作圆,过点B作圆O的切线,切点为点E,切线交CD于点F.设AB=t(t为最小的质数),则△BCF的面积是( )
A.3 B.
14.(2022山东枣庄一模)如图,已知PA,PB是☉O的两条切线,A,B为切点,线段OP交☉O于点M.给出下列四种说法:
①PA=PB;②OP⊥AB;③四边形OAPB有外接圆;④M是△AOP外接圆的圆心.
其中正确说法的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
15.(2022江苏常州模拟)以正方形ABCD的BC边为直径作半圆O,过点D作直线与半圆相切于点F,交AB边于点E,则tan∠ADE等于( )
A.
16.(2022河北保定二模)如图,在 ABCD中,AD=12,以AD为直径的☉O与BC相切于点E,连接OC.若OC=AB,则 ABCD的周长为 .
17.(2022山东菏泽一模)如图,正方形ABCD的边长为4,☉O的半径为1.若☉O在正方形ABCD内平移(☉O可以与该正方形的边相切),则点A到☉O上的点的距离的最大值为 .
18.(2023江西南昌一模)已知点M(2,0),☉M的半径为1,OA切☉M于点A,点P为☉M上的动点,连接OP,AP,若△POA是等腰三角形,则点P的坐标为 .
19.(2023湖北黄冈二模)如图,AB是☉O的直径,CD是☉O的一条弦,AB⊥CD,连接AC,OD.
(1)求证:∠BOD=2∠CAB;
(2)连接DB,过点C作CE⊥DB,交DB的延长线于点E,延长DO,交AC于点F,若F为AC的中点,求证:直线CE为☉O的切线.
20.(2022江苏无锡二模)如图,AB是☉O的直径,点E是劣弧AD上一点,∠PBD=∠BED,且DE=,BE平分∠ABD,BE与AD交于点F.
(1)求证:BP是☉O的切线;
(2)若tan∠DBE=,求EF的长;
(3)延长DE,BA交于点C,若CA=AO,求☉O的半径.
21.(2023湖北孝感一模)如图,AB是☉O的直径,C是圆上的一点,D为的中点,过点D作☉O的切线与BC的延长线交于点F,与BA的延长线交于点G,弦BD、AC交于点E,连接CD.
(1)求证:AC∥FG;
(2)求证:CD2=DE·BD;
(3)若DE=2,BE=4,求CF的长.
5.2 与圆有关的位置关系
5年中考
考点1 与圆有关的位置关系
1.(2022吉林,6,2分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=4.以点A为圆心,r为半径作圆,当点C在☉A内且点B在☉A外时,r的值可能是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 C ∵∠ACB=90°,AB=5,BC=4,∴AC=3.
当点C在☉A内且点B在☉A外时,3
2.(2021浙江嘉兴,7,3分)已知平面内有☉O和点A,B,若☉O的半径为2 cm,线段OA=3 cm,OB=2 cm,则直线AB与☉O的位置关系为( )
A.相离 B.相交
C.相切 D.相交或相切
答案 D ∵☉O的半径为2 cm,OA=3 cm,OB=2 cm,
∴点A在☉O外,点B在☉O上,∴直线AB与☉O一定有公共点B,当只有一个公共点时,直线AB与☉O相切;当有两个公共点时,直线AB与☉O相交,故选D.
3.(2023湖南衡阳,17,3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.以点C为圆心,r为半径作圆,当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时,r的值为 .
答案
解析 ∵∠ACB=90°,AC=8,BC=6,∴AB==10.
根据题意得S△ACB=AB·r=AC·BC,∴r=.
考点2 切线的性质与判定
4.(2023重庆A卷,8,4分)如图,AC是☉O的切线,B为切点,连接OA,OC.若∠A=30°,AB=2,BC=3,则OC的长度是( )
A.3 B.2 D.6
答案 C 连接OB,∵AC是☉O的切线,B为切点,
∴OB⊥AC,
在Rt△AOB中,∵∠A=30°,AB=2,
∴OB=AB·tan 30°=2,
在Rt△OBC中,OB2+BC2=OC2,
∴OC2=22+32=13,∴OC=.故选C.
5.(2022重庆A卷,10,4分)如图,AB是☉O的切线,B为切点,连接AO交☉O于点C,延长AO交☉O于点D,连接BD.若∠A=∠D,且AC=3,则AB的长度是( )
A.3 B.4 C.3
答案 C 连接OB.∵OB=OD,∴∠OBD=∠D,
∴∠AOB=∠OBD+∠D=2∠D.
∵AB是☉O的切线,∴OB⊥AB,∴∠ABO=90°.
∵∠A=∠D,∴∠A+∠AOB=∠A+2∠D=3∠A=90°,
∴∠A=30°,∴AO=2OB.
∵OB=OC,∴OB=AC=3,∴OA=6,∴AB=.故选C.
6.(2023湖北武汉,9,3分)如图,在四边形ABCD中, AB∥CD,AD⊥AB,以D为圆心,AD为半径的弧恰好与BC相切,切点为E.若,则sin C的值是( )
A.
答案 B 连接DE,过点B作BF⊥CD于点F,易得四边形ADFB是矩形,
∴BF=AD,AB=DF,
由相切得∠DEC=90°=∠BFC,
∵∠C=∠C,BF=AD=DE,
∴△DEC≌△BFC,
∴CE=CF.
设AB=x,则CD=3x,DF=AB=x,
∴CF=CD-DF=2x,
∴CE=CF=2x,
在Rt△DEC中,DE=x,
∴sin C=.故选B.
7.(2022内蒙古呼和浩特,15,3分)已知AB为☉O的直径且AB=2,点C是☉O上一点(不与A、B重合),点D在半径OB上,且AD=AC,AE与过点C的☉O的切线垂直,垂足为E.若∠EAC=36°,则CD= ,OD= .
答案 1;
解析 如图,∵AE与过点C的☉O的切线垂直,∠EAC=36°,∴AE∥OC,
∴∠ACO=∠EAC=36°,∵OA=OC,∴∠CAO=∠ACO=36°,∴∠DOC=72°.∵AD=AC,AB=2,∴OA=OC=1,∠CDO=∠DCA=72°,∴∠DCO=36°,∠DOC=∠CDO,∴CO=CD=1,且△OCD∽△CAD,∴OD∶CD=CD∶AD,∴OD·AD=CD2,设OD=x,则AD=x+1,∴x(1+x)=1,∴x=或x=(舍去),∴OD=.
8.(2022四川南充,22,10分)如图,AB为☉O的直径,点C是☉O上一点,点D是☉O外一点,∠BCD=∠BAC,连接OD交BC于点E.
(1)求证:CD是☉O的切线;
(2)若CE=OA,sin∠BAC=,求tan∠CEO的值.
解析 (1)证明:连接OC.
∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°.
∵OA=OC,∴∠BAC=∠OCA.
∵∠BCD=∠BAC,
∴∠OCA=∠BCD.
∵∠OCA+∠OCB=90°,
∴∠BCD+∠OCB=90°.
即∠OCD=90°.
∴OC⊥CD.
又OC是☉O的半径,∴CD是☉O的切线.
(2)过点O作OF⊥BC于点F.
设CE=OA=r,则AB=2r,在Rt△ABC中,BC=AB·sin∠BAC=2r×r.
∴AC=r.
∵OF⊥BC,OC=OB,∴CF=r.
∵O,F分别为AB,BC的中点,
∴OF=r.
∵EF=CE-CF=r-r,
∴tan∠CEO==3.
9.(2023天津,21,10分)在☉O中,半径OC垂直于弦AB,垂足为D,∠AOC=60°,E为弦AB所对的优弧上一点.
(1)如图1,求∠AOB和∠CEB的大小;
(2)如图2,CE与AB相交于点F,EF=EB,过点E作☉O的切线,与CO的延长线相交于点G.若OA=3,求EG的长.
图1
图2
解析 (1)在☉O中,半径OC垂直于弦AB,
∴,∴∠AOC=∠BOC.
∵∠AOC=60°,
∴∠AOB=2∠AOC=120°.
∵∠CEB=∠BOC=∠AOC,
∴∠CEB=30°.
(2)如图,连接OE.
∵EF=EB,∠CEB=30°,
∴∠EBF=∠EFB=75°.
∴∠AOE=2∠EBA=150°.
又∠AOG=180°-∠AOC=120°,
∴∠GOE=∠AOE-∠AOG=30°.
∵GE与☉O相切于点E,
∴OE⊥GE,即∠OEG=90°.
在Rt△OEG中,tan∠GOE=,OE=OA=3,
∴EG=3×tan 30°=.
考点3 三角形的内切圆
10.(2022湖北武汉,9,3分)如图,在四边形材料ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AD=9 cm,AB=20 cm,BC=24 cm.现用此材料截出一个面积最大的圆形模板,则此圆的半径是( )
A. cm B.8 cm C.6 cm D.10 cm
答案 B 延长BA,CD交于点E.∵AD∥BC,∠BAD=90°,∴∠B=90°,∴△EAD∽△EBC,∴,∴AE=12 cm,根据勾股定理得DE=15 cm,CE=40 cm.用此材料截出一个面积最大的圆形模板,即求△EBC的内切圆.如图,☉O与AB,BC,CD分别相切于点G、H、F,连接OG,OH,根据切线长定理得EG=EF,CH=CF,GB=BH.∴GB+EG+BH+CH=2GB+EF+CF=2GB+CE=BE+BC,∴GB==8 cm.∵GB,BH是☉O的切线,∴∠OGB=∠OHB=90°,∵∠B=90°,∴四边形OGBH是矩形,又∵GB=BH,∴四边形OGBH是正方形,∴OG=GB=8 cm,∴此圆的半径是8 cm,故选B.
11.(2021湖北黄冈,21,9分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,☉O与BC,AC分别相切于点E,F,BO平分∠ABC,连接OA.
(1)求证:AB是☉O的切线;
(2)若BE=AC=3,☉O的半径是1,求图中阴影部分的面积.
解析 (1)证明:连接OE,OF,过点O作OD⊥AB,垂足为点D.
∵☉O与BC,AC分别相切于点E,F,∴OE⊥BC,OF⊥AC.
∵BO平分∠ABC,∴OD=OE.
∵OE是☉O的半径,即OD为☉O的半径,
∴AB是☉O的切线.
(2)连接OC.
∵∠ACB=90°,OE⊥BC,OF⊥AC,OE=OF,
∴四边形OECF是正方形,
∴OE=OF=EC=FC=1,
∴BC=BE+EC=4.
又AC=3,∴AB==5.
∵OD=OF,OD⊥AB,OF⊥AC,
∴AO平分∠BAC,
∴∠AOB=180°-∠BAC+∠ABC=135°.
设OA,OB分别与圆交于点H,G.∴S阴影=S△ABO-S扇形OGH=.
3年模拟
53·基础练
1.(2022浙江舟山一模)在△ABC中,已知AB=AC=4 cm,BC=6 cm,D是BC的中点,以D为圆心作一个半径为3 cm的圆,则下列说法正确的是( )
A.点A在☉D外
B.点A在☉D 上
C.点A在☉D内
D.无法确定
答案 C 连接AD,∵AB=AC,D为BC的中点,BC=6 cm,
∴AD⊥BC,BD=BC=3 cm,
∵AB=4 cm,∴AD= cm.
∵<3,
∴若以D为圆心作一个半径为3 cm的圆,则点A在☉D内.
2.(2022山东青岛二模)如图,△OAB与☉O交于点B和C, 其中B为切点, D为劣弧BC上一点, 若∠A=20°,则∠CDB的度数为 ( )
A.110° B.130° C.135° D.145°
答案 D 如图,在优弧BC上任取一点E,连接CE、BE.
∵AB与☉O相切,
∴OB⊥AB,
∴∠AOB=90°-20°=70°,
∵,∴∠E=∠COB=35°.
∵四边形CDBE为☉O的内接四边形,∴∠CDB=180°-∠E=180°-35°=145°,故选D.
3.(2023安徽合肥模拟)如图,点P是☉O外的一点,PA,PC是☉O的切线,切点分别为A,C,AB是☉O的直径,连接BC,PO,PO交弦AC于点D.下列结论中不正确的是( )
A.PO∥BC
B.PD=2OD
C.若∠ABC=2∠CPO,则△PAC是等边三角形
D.若△PAC是等边三角形,则∠ABC=2∠CPO
答案 B ∵PA,PC是☉O的切线,
∴PA=PC,∠APO=∠CPO,∴PO⊥AC.
∵AB是☉O的直径,∴BC⊥AC,
∴PO∥BC,选项A中结论正确.
∵PA是☉O的切线,∴∠PAO=90°,∴∠BAC+∠PAC=90°,∵PO⊥AC,∴∠APO+∠PAC=90°,
∴∠BAC=∠APO=∠CPO,
∵∠ABC=2∠CPO,∴∠ABC=2∠BAC,
∵BC⊥AC,∴∠ABC+∠BAC=90°,∴∠BAC=30°,
∴∠APO=30°,∠APC=60°,
又∵PA=PC,∴△PAC是等边三角形,选项C中结论正确.
∵△PAC是等边三角形,∴∠APC=∠PAC=60°,
∵∠APO=∠CPO,∴∠CPO=30°.
∵∠PAO=90°,∴∠BAC=30°,
∵BC⊥AC,∴∠ABC=90°-30°=60°,
∴∠ABC=2∠CPO,选项D中结论正确.
无法得到PD=2OD,故选B.
4.(2022浙江温州模拟)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,☉O是它的内切圆,分别切AB,BC,CA于点D,E,F.若∠C=40°,则∠DOE= °.
答案 130
解析 ∵☉O是△ABC的内切圆,∴DO⊥AB,OE⊥BC,∴∠ODB=90°,∠OEB=90°.
∵∠A=90°,∠C=40°,
∴∠B=50°,∴∠DOE=130°.
5.(2022安徽合肥一模)如图,已知☉O上有三点A、B、C,半径OC=2,∠ABC=30°,切线AP交OC的延长线于点P,则△OAP的周长为 .
答案 6+2
解析 连接OA,由圆周角定理得∠AOP=2∠ABC=60°,∵AP为☉O的切线,
∴OA⊥AP,∴∠P=30°,又OA=OC=2,
∴在Rt△AOP中,OP=2OA=4,由tan∠AOP=,得AP=OA·tan∠AOP=2,
∴△OAP的周长为2+4+2.
6.(2023浙江宁波一模)如图,☉O的直径AB=8,点M是☉O外一点,若MB是☉O的切线,B为切点,且MB=3,Q为☉O上一动点,则MQ的最小值为 .
答案 1
解析 连接OM,交☉O于点Q,此时MQ的值最小.
∵BM是☉O的切线,
∴OB⊥BM,
∵AB=8,
∴OQ=OB=4,
∵BM=3,
∴由勾股定理得OM=5,
∴MQ的最小值为OM-OQ=1.
7.(2023湖北黄冈二模)如图,AB、AC是☉O的弦,过点A的切线交CB的延长线于点D,若∠BAD=35°,则∠C= °.
答案 35
8.(2023广东广州一模)如图,在△ABC中,∠A=60°,BC=8,O为BC的中点,☉O分别与AB,AC相切于D,E两点,则☉O的半径为 .
答案 2
解析 连接OA,OE,OD,如图,
∵AB、AC分别与☉O相切于D、E两点,∴∠OEC=∠ODB=∠AEO=∠ADO=90°,
∵∠BAC=60°,∴∠DOE=120°,
∵点O为BC的中点,∴OC=OB=BC=4,
又∵OE=OD,∴Rt△OEC≌Rt△ODB(HL),∴∠COE=∠BOD.
∵∠DOE=120°,∴∠COE=∠BOD=30°.
在Rt△OBD中,OB=4,∴OD=2.故☉O的半径为2.
9.(2023陕西西安一模)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,O为边BC上一点,以OB为半径的☉O与AC相切于点D,连接BD.
(1)求证:BD平分∠ABC;
(2)连接AO,若∠AOB=90°,AB=4,求☉O的半径.
解析 (1)证明:连接OD.
∵AC与☉O相切于点D,
∴∠ODA=90°.
又∵∠BAC=90° ,
∴OD∥AB,∴∠ODB=∠ABD.
∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB,
∴∠OBD=∠ABD,
即BD平分∠ABC.
(2)设OB=OD=r(r>0),
∵OD∥AB,∴∠DOA=∠OAB.
又∵∠ODA=∠AOB=90°,
∴△DOA∽△OAB,
∴,即AO2=4r,在Rt△AOB中,AO2=AB2-OB2=42-r2.
∴42-r2=4r,
解得r=2-2(负值舍去).
故☉O的半径为2-2.
10.(2023湖北孝感联考)如图,AB是☉O的直径,点C是的中点,过点C的切线与AD的延长线交于点E,连接CD,AC.
(1)求证:CE⊥AE;
(2)若CD∥AB,DE=1,求☉O的半径.
解析 (1)证明:连接OC.
∵CE是☉O的切线,∴OC⊥CE.∵点C是的中点,∴,
∴∠CAB=∠CAD.
∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,
∴∠OCA=∠CAD.∴OC∥AE,
∴CE⊥AE.
(2)连接OD.
∵CD∥AB,OC∥AE,∴四边形AOCD是平行四边形.
又∵OA=OC,∴四边形AOCD是菱形,∴AD=CD=OA.∵OA=OD,
∴OA=AD=OD,∴△AOD是等边三角形,∴∠OAD=60°.
∵CD∥AB,∴∠CDE=∠OAD=60°,∴∠DCE=30°.
∴CD=2DE=2,∴OA=CD=2,即☉O的半径为2.
11.(2022江苏扬州一模)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O与BC相交于点D,过点D作DE⊥AC交AC于点E.
(1)试判断直线DE与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)若☉O的半径为5,BC=16,求DE的长.
解析 (1)直线DE与☉O相切.
理由:连接AD,OD.
∵AB为☉O的直径,
∴∠ADB=90°,即AD⊥BC.
∵AB=AC,∴BD=CD.
∵AO=BO,∴DO∥AC.
∵DE⊥AC,∴DE⊥OD.
∵OD是☉O的半径,
∴直线DE与☉O相切.
(2)∵☉O的半径为5,
∴AC=AB=10.
∵BC=16,BD=CD,∴CD=8.
在Rt△ACD中,AD==6.
∵S△ADC=AC·DE=AD·CD,
∴DE=.
53·提升练
12.(2022浙江宁波一模)如图,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的点,∠CDB=15°,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点E,则sin E的值为( )
A.
答案 D 连接OC,如图所示.
∵EC与☉O相切于C,
∴∠OCE=90°,
∵∠CDB=15°,,
∴∠BOC=2∠CDB=30°,
∴∠E=90°-30°=60°,
∴sin E=.故选D.
13.(2023广东模拟)如图,以正方形ABCD的边AD的中点O为圆心,AD长为直径作圆,过点B作圆O的切线,切点为点E,切线交CD于点F.设AB=t(t为最小的质数),则△BCF的面积是( )
A.3 B.
答案 D 易知t=2,连接OE,OF,OB,
∵BF为圆O的切线,
∴∠OEF=∠OEB=90°,∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ODF=90°,∴∠OEF=∠ODF.
∵OF=OF,OE=OD,∴Rt△OEF≌Rt△ODF(HL),∴EF=DF.同理可知Rt△ABO≌Rt△EBO,∴AB=EB=2,设DF=EF=x,则CF=2-x,BF=2+x,
在Rt△BCF中,CF2+BC2=BF2,
∴(2-x)2+22=(2+x)2,解得x=,∴S△BCF=,故选D.
14.(2022山东枣庄一模)如图,已知PA,PB是☉O的两条切线,A,B为切点,线段OP交☉O于点M.给出下列四种说法:
①PA=PB;②OP⊥AB;③四边形OAPB有外接圆;④M是△AOP外接圆的圆心.
其中正确说法的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 C ∵PA,PB是☉O的两条切线,A,B为切点,
∴PA=PB,故①正确;
∵OA=OB,PA=PB,
∴OP垂直平分AB,故②正确;
∵PA,PB是☉O的两条切线,A,B为切点,∴OA⊥PA,OB⊥PB,
∴∠OAP=∠OBP=90°,
∴点A、B在以OP为直径的圆上,
∴四边形OAPB有外接圆,故③正确;
∵只有当∠APO=30°时,OP=2OA,此时PM=OM,
∴M不一定为△AOP外接圆的圆心,故④错误.
有3个说法正确,故选C.
15.(2022江苏常州模拟)以正方形ABCD的BC边为直径作半圆O,过点D作直线与半圆相切于点F,交AB边于点E,则tan∠ADE等于( )
A.
答案 C 由题意得∠ABC=∠DCB=∠BAD=90°,AB=AD=DC.
∵BC是半圆O的直径,
∴AB,CD是半圆O的切线.
∵DE是半圆O的切线,
∴BE=EF,DF=DC=AD=AB.
设EF=x,DF=y,
则AE=y-x,AD=CD=y,DE=x+y.
在Rt△ADE中,根据勾股定理可得(y-x)2+y2=(x+y)2,
∴y=4x,
∴AE=3x,AD=4x,
∴tan∠ADE=.故选C.
16.(2022河北保定二模)如图,在 ABCD中,AD=12,以AD为直径的☉O与BC相切于点E,连接OC.若OC=AB,则 ABCD的周长为 .
答案 24+6
解析 连接OE,过点C作CF⊥AD交AD于点F.
∵BC与☉O相切于点E,∴OE⊥BC.
∵AD=12,且AD为☉O的直径,
∴OA=OD=OE=AD=6.
在 ABCD中,AD BC,CD=AB.
∵OC=AB,∴CD=OC,
又∵CF⊥OD,
∴OF=DF=OD=3.
∵CF⊥AD,OE⊥BC,AD∥BC,
∴CF=OE=6.
在Rt△CDF中,CD=,
∴C ABCD=2(CD+AD)=2×(3.
17.(2022山东菏泽一模)如图,正方形ABCD的边长为4,☉O的半径为1.若☉O在正方形ABCD内平移(☉O可以与该正方形的边相切),则点A到☉O上的点的距离的最大值为 .
答案 3+1
解析 如图,当☉O与CB、CD相切时,点A到☉O上的点Q的距离最大.
设E、F为切点,连接OE,OF.则OE⊥BC,OF⊥CD,
∴OE=OF=1,∴CO平分∠BCD,
∵四边形ABCD为正方形,
∴点O在AC上.
∵AC=+1,即点A到☉O上的点的距离的最大值为3+1.
18.(2023江西南昌一模)已知点M(2,0),☉M的半径为1,OA切☉M于点A,点P为☉M上的动点,连接OP,AP,若△POA是等腰三角形,则点P的坐标为 .
答案 或(1,0)或(3,0)
解析 分三种情况讨论:①过点O作OP与☉M相切(P在x轴上方),连接MP,此时OP=OA,MP⊥OP,记AP与OM交于点Q,易证PQ⊥OM.
∵OM=2,MP=1,∴∠MOP=30°,
OP=.
∴PQ=OP·sin 30°=,OQ=OP·cos 30°=,∴点P的坐标为.
②当点P为x轴与圆M的左交点时,连接AM.
∵OA切☉M于点A,OM=2,AM=1,∴∠MAO=90°,∠MOA=30°,
∴∠OMA=60°,
∵MP=MA,∴△MPA是等边三角形,∴PA=MP=MA=1,∴OP=1,∴OP=PA,此时P(1,0).
③当点P为x轴与圆M的右交点时,过点A作AN⊥x轴于点N,连接AM,
∵OA切☉M于点A,OM=2,AM=1,∴∠MAO=90°,∠MOA=30°,
∴OA=,∴ON=OA·cos 30°=,
∴PN=,∴ON=PN,即AN垂直平分OP,
∴OA=AP,此时P(3,0).
综上所述,点P的坐标为或(1,0)或(3,0).
19.(2023湖北黄冈二模)如图,AB是☉O的直径,CD是☉O的一条弦,AB⊥CD,连接AC,OD.
(1)求证:∠BOD=2∠CAB;
(2)连接DB,过点C作CE⊥DB,交DB的延长线于点E,延长DO,交AC于点F,若F为AC的中点,求证:直线CE为☉O的切线.
证明 (1)设AB交CD于点H,连接OC,
∵AB是☉O的直径,AB⊥CD,
∴,∴∠COB=∠BOD,
∵∠COB=2∠CAB,∴∠BOD=2∠CAB.
(2)连接AD,
∵AB是☉O的直径,AB⊥CD,
∴,∴AC=AD.
∵点F是AC的中点,∴OF⊥AC,∴,∴AD=CD,∴AD=CD=AC,∴△ACD为等边三角形,∴点O为△ACD的外心.
∴∠OCD=∠BAC=30°,∵∠BAC=∠CDB,
∴∠OCD=∠CDB,∴OC∥DE,
∵CE⊥DE,∴CE⊥OC,
∵OC是☉O的半径,
∴直线CE为☉O的切线.
20.(2022江苏无锡二模)如图,AB是☉O的直径,点E是劣弧AD上一点,∠PBD=∠BED,且DE=,BE平分∠ABD,BE与AD交于点F.
(1)求证:BP是☉O的切线;
(2)若tan∠DBE=,求EF的长;
(3)延长DE,BA交于点C,若CA=AO,求☉O的半径.
解析 (1)证明:∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠DAB+∠ABD=90°,∵,
∴∠BED=∠DAB,又∠PBD=∠BED,∴∠DAB=∠PBD,
∴∠PBD+∠ABD=90°,∴∠ABP=90°,∴AB⊥PB,∵AB是直径,
∴BP是☉O的切线.
(2)连接AE.
∵AB是直径,∴∠AEB=90°,
∵BE平分∠ABD,
∴∠ABE=∠DBE,
∴,∠ABE=∠DBE=∠DAE,
∴tan∠DBE=tan∠DAE=.
(3)连接OE.
∵OE=OB, ∴∠ABE=∠OEB,
∵∠ABE=∠DBE,
∴∠DBE=∠OEB,
∴OE∥BD,∴,
∵CA=AO,故设CA=AO=BO=R,
∴=2,即CE=2,
∵∠ADC=∠ABE,∠C=∠C,
∴△CAD∽△CEB,∴,
∴,解得R=(舍负),
∴☉O的半径为.
21.(2023湖北孝感一模)如图,AB是☉O的直径,C是圆上的一点,D为的中点,过点D作☉O的切线与BC的延长线交于点F,与BA的延长线交于点G,弦BD、AC交于点E,连接CD.
(1)求证:AC∥FG;
(2)求证:CD2=DE·BD;
(3)若DE=2,BE=4,求CF的长.
解析 (1)证明:连接OD,OC,OD与AC交于点H,
∵D是的中点,∴,
∴OD⊥AC,∴∠OHC=90°,
∵FG是☉O的切线,切点为D,
∴OD⊥FG,∴∠ODF=90°,
∴∠OHC=∠ODF,∴AC∥FG.
(2)证明:∵D是的中点,∴,∴∠ECD=∠DBC,
又∵∠CDE=∠BDC,∴△CDE∽△BDC,∴,∴CD2=DE·BD.
(3)连接AD,∵DE=2,BE=4,
∴BD=6.
由(2)可得CD2=DE·BD,∴CD2=12,∴CD=2.
∵D是的中点,∴,
∴CD=AD=2.
∵AB是☉O的直径,
∴∠ADB=90°,∴tan∠ABD=,
∴∠ABD=30°,∴∠ACD=30°,
∵AC∥FG,∴∠CDF=∠ACD=30°,∠ACB=∠GFC,
∴∠GFC=90°,
∴sin∠CDF=,即sin 30°=.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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