2024数学中考专题复习练习题--3.4 二次函数(含答案)

2024数学中考专题复习
3.4　二次函数
5年中考
考点1　二次函数的图象与性质
1.(2023广西,9,3分)将抛物线y=x2先向右平移3个单位,再向上平移4个单位,得到的抛物线是(　　)
A.y=(x-3)2+4　　　　B.y=(x+3)2+4
C.y=(x-3)2-4　　　　 D.y=(x+3)2-4
2.(2023陕西,8,3分)在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+mx+m2-m(m为常数)的图象经过点(0,6),其对称轴在y轴左侧,则该二次函数有(　　)
A.最大值5　　　　B.最大值　　　　
C.最小值5　　　　D.最小值
3.(2023四川南充,7,4分)若点P(m,n)在抛物线y=ax2(a≠0)上,则下列各点在抛物线y=a(x+1)2上的是(　　)
A.(m,n+1)　　　　B.(m+1,n)
C.(m,n-1)　　　　D.(m-1,n)
4.(2022新疆,7,5分)已知抛物线y=(x-2)2+1,下列结论错误的是(　　)
A.抛物线开口向上
B.抛物线的对称轴为直线x=2
C.抛物线的顶点坐标为(2,1)
D.当x<2时,y随x的增大而增大
5.(2020四川成都,10,3分)关于二次函数y=x2+2x-8,下列说法正确的是(　　)
A.图象的对称轴在y轴的右侧
B.图象与y轴的交点坐标为(0,8)
C.图象与x轴的交点坐标为(-2,0)和(4,0)
D.y的最小值为-9
6.(2022陕西,8,3分)已知二次函数y=x2-2x-3的自变量x1,x2,x3对应的函数值分别为y1,y2,y3.当-13时,y1,y2,y3三者之间的大小关系是(　　)
A.y1C.y37.(2022四川南充,10,4分)已知点M(x1,y1),N(x2,y2)在抛物线y=mx2-2m2x+n(m≠0)上,当x1+x2>4且x1A.0C.m>2　　　　D.m<-2
考点2　二次函数的图象与a,b,c之间的关系
8.(2021山东东营,8,3分)一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　)
A B C D
9.(2022四川成都,8,4分)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴相交于A(-1,0),B两点,对称轴是直线x=1,下列说法正确的是(　　)
A.a>0
B.当x>-1时,y的值随x值的增大而增大
C.点B的坐标为(4,0)
D.4a+2b+c>0
10.(2022天津,12,3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,0①2a+b<0;
②当x>1时,y随x的增大而增大;
③关于x的方程ax2+bx+(b+c)=0有两个不相等的实数根.
其中,正确结论的个数是(　　)
A.0　　　　B.1
C.2　　　　D.3
11.(2023山东烟台,9,3分)如图,抛物线y=ax2+bx+c的顶点A的坐标为,与x轴的一个交点位于0和1之间,则以下结论:①abc>0;②2b+c>0;③若图象经过点(-3,y1),(3,y2),则y1>y2;④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c-3=0无实数根,则m<3.
其中正确结论的个数是(　　)
A.1　　　　B.2
C.3　　　　D.4
12.(2023湖北黄冈,8,3分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象与x轴的一个交点坐标为(-1,0),对称轴为直线x=1,下列结论中:①a-b+c=0;②若点(-3,y1),(2,y2),(4,y3)均在该二次函数图象上,则y13.正确结论的序号为(　　)
A.①②③　　　　B.①③④
C.②③④　　　　D.①④
考点3　二次函数与方程、不等式之间的关系
13.(2023湖南衡阳,12,3分)已知m>n>0,若关于x的方程x2+2x-3-m=0的根为x1,x2(x1A.x3C.x114.(2023山东日照,11,3分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx(a≠0),满足已知点(-3,m),(2,n),(4,t)在该抛物线上,则m,n,t的大小关系为(　　)
A.tC.n15.(2023四川南充,10,4分)抛物线y=-x2+kx+k-与x轴的一个交点为A(m,0),若-2≤m≤1,则实数k的取值范围是(　　)
A.-≤k≤1　　　　B.k≤-或k≥1
C.-5≤k≤　　　　 D.k≤-5或k≥
16.(2022内蒙古呼和浩特,16,3分)在平面直角坐标系中,点C和点D的坐标分别为(-1,-1)和(4,-1),抛物线y=mx2-2mx+2(m≠0)与线段CD只有一个公共点,则m的取值范围是　　　　　　　　　　.
17.(2022山西,20,8分)阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文,请仔细阅读并完成相应的任务.
用函数观点认识一元二次方程根的情况
我们知道,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是相应的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象(称为抛物线)与x轴交点的横坐标.抛物线与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、无交点.与此相对应,一元二次方程的根也有三种情况:有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根.因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况.
下面根据抛物线的顶点坐标-和一元二次方程根的判别式Δ=b2-4ac,分别从a>0和a<0两种情况进行分析:
(1)a>0时,抛物线开口向上.
①当Δ=b2-4ac>0时,有4ac-b2<0.
∵a>0,
∴顶点纵坐标<0.
∴顶点在x轴的下方,抛物线与x轴有两个交点(如图1).
∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根.
图1　　图2
②当Δ=b2-4ac=0时,有4ac-b2=0.∵a>0,
∴顶点纵坐标=0.
∴顶点在x轴上,抛物线与x轴有一个交点(如图2).
∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根.
③当Δ=b2-4ac<0时,
……
(2)a<0时,抛物线开口向下.
……
任务:(1)上面小论文中的分析过程,主要运用的数学思想是　　　　(从下面选项中选出两个即可);
A.数形结合　　　　B.统计思想
C.分类讨论　　　　D.转化思想
(2)请参照小论文中当a>0时①②的分析过程,写出③中当a>0,Δ<0时,一元二次方程根的情况的分析过程,并画出相应的示意图;
(3)实际上,除一元二次方程外,初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识,例如:可用函数观点来认识一元一次方程的解.请你再举出一例为　.
3年模拟
53·基础练
1.(2022湖南岳阳二模)将二次函数y=x2-2x+3化为y=(x-h)2+k的形式,结果为(　　)
A.y=(x+1)2+4　　　　
B.y=(x+1)2+2
C.y=(x-1)2+4　　　　
D.y=(x-1)2+2
2.(2023山西晋中一模)将某抛物线向右平移1个单位,再向上平移4个单位后得到的抛物线的表达式为y=x2-6x+4,则原抛物线的表达式为(　　)
A.y=x2-4x+1　　　　
B.y=x2-4x-5
C.y=x2-8x+15　　　　
D.y=x2+4x-1
3.(2023四川成都一模)下列关于抛物线y=x2+4x-5的说法正确的是(　　)
①开口向上;
②对称轴是直线x=-4;
③当x<-2时,y 随x的增大而减小;
④当x<-5或x>1时,y>0.
A.①③　　　　B.①④　　　　C.①③④　　　　D.①②③④
4.(2023陕西西安模拟)在抛物线y=4x2-4mx(m为常数)上有三点(-3,y1),,(m+1,y3),则y1,y2,y3三者之间的大小关系是(　　)
A.y1C.y35.(2022浙江温州二模)函数y=(k≠0)与y=ax2-bx+c(a≠0)的图象如图所示,则函数y=kx+b的大致图象为(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　D
①abc<0;②c+2a<0;③9a-3b+c=0;④am2-a+bm+b>0(m为任意实数).其中,结论正确的个数为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
7.(2022山东青岛一模)已知抛物线y1=x2+2x-3的顶点为A,与x轴交于点B,C(B在C的左侧),直线y2=kx+b过A,B两点.当y18.(2023浙江温州一模)如图,已知点C为二次函数y=x2-4x+1图象的顶点,点P(0,n)为y轴正半轴上一点,过点P作y轴的垂线交函数图象于点A,B(点A在点B的左侧).点M在射线PB上,且满足PM=1+n.过点M作MN⊥AB交抛物线于点N,记点N的纵坐标为yN.
(1)求顶点C的坐标;
(2)①若n=3,求MB的值;
②当09.(2023河北邢台一模)在平面直角坐标系中,抛物线y=a(x2-4x+3)(a>0)与x轴交于A、B两点(A点在B点的左侧),与y轴交于C点.
(1)求抛物线的对称轴;
(2)若点P(m,3)在抛物线上且在对称轴的右侧,过P点作PQ⊥x轴于Q点.
①若PQ=QA,求C点坐标;
②若PQ>QA,则m的取值范围是　　　　.
53·提升练
10.(2023陕西西安一模)已知二次函数y=ax2+2ax+2a2+5(其中x是自变量),当x≥2时,y随x的增大而增大,且当-2≤x≤1时,y的最大值为10,则a的值为(　　)
A.1　　　　 B.-
C.2.5　　　　D.1或-2.5
11.(2023天津南开模拟)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表:
x … -3 x1 x2 x3 x4 1 …
y … m 0 c 0 n m …
其中-3①b-2a=0;②abc<0;③3a+c>0;④关于x的方程m=ax2+bx+c的两根分别为1和-3.
其中正确的结论有(　　)
A.1个　　　　B.2个　　　　C.3个　　　　D.4个
12.(2022河北石家庄二模)如图,矩形OABC中,A(-3,0),C(0,2),抛物线y=-2(x-m)2-m+1的顶点M在矩形OABC内部或其边上,则m的取值范围是(　　)
A.-3≤m≤0　　　　B.-3≤m≤-1
C.-1≤m≤2　　　　D.-1≤m≤0
13.(2022江苏南通一模)在平面直角坐标系xOy中,已知二次函数y=ax2+bx,其中a-b<0.以下4个结论:
①若这个函数的图象经过点(-2,0),则它必有最小值;
②若这个函数的图象经过第四象限的点P(m,n),则必有a<0;
③若a>0,则方程ax2+bx=0必有一根小于-1;
④若a<0,则当-1≤x≤0时,必有y随x的增大而增大.其中,结论正确的是(　　)
A.①②③　　　　B.②③④　　　　C.①③④　　　　D.①②③④
14.(2021浙江杭州模拟)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-3,0),B(4,0)两点,则关于x的一元二次方程a(x-1)2+c=b-bx的解是　　　　.
15.(2023四川成都一模)在平面直角坐标系中,如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数,则称该点为“黎点”.例如(-1,1),(2 023,-2 023)都是“黎点”.若抛物线y=ax2-9x+c(a,c为常数)上有且只有一个“黎点”,当a>1时,c的取值范围是　　　　.
16.(2022江苏苏州一模)若抛物线y=x2-4mx+4m2+3m-1(m是常数)与直线y=x+1有两个交点,且这两个交点在抛物线对称轴的同侧,则m的取值范围是　　　　.
17.(2023安徽宿州联考)如图,抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求a,b的值;
(2)点P是第四象限内抛物线上一点,连接AC,过点P作AC的平行线,交x轴于点D,交y轴于点E,设点P的横坐标为t.
①若直线PE的解析式为y=kx+c(k≠0),试用含t的代数式表示c;
②若点D是线段PE的中点,试求点P的坐标.
18.(2022河北保定一模)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2-2ax+a-2(a>0),分别过点M(t,0)和点N(t+2,0)作x轴的垂线,交抛物线于点A和点B.记抛物线在A,B之间的部分为G(包括A,B两点).
(1)求抛物线的顶点坐标;
(2)记G上任意一点纵坐标的最大值与最小值的差为m.
①当a=2时,若G为轴对称图形,求m的值;
②若存在实数t,使得m=2,直接写出a的取值范围.
3.4　二次函数
5年中考
考点1　二次函数的图象与性质
1.(2023广西,9,3分)将抛物线y=x2先向右平移3个单位,再向上平移4个单位,得到的抛物线是(　　)
A.y=(x-3)2+4　　　　B.y=(x+3)2+4
C.y=(x-3)2-4　　　　 D.y=(x+3)2-4
答案　A　
2.(2023陕西,8,3分)在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+mx+m2-m(m为常数)的图象经过点(0,6),其对称轴在y轴左侧,则该二次函数有(　　)
A.最大值5　　　　B.最大值　　　　
C.最小值5　　　　D.最小值
答案　D　∵二次函数的图象经过点(0,6),∴m2-m=6,解得m1=-2,m2=3.∵对称轴在y轴左侧,∴x=-<0,即m>0,∴m=3.∴y=x2+3x+6=,∴二次函数有最小值,故选D.
3.(2023四川南充,7,4分)若点P(m,n)在抛物线y=ax2(a≠0)上,则下列各点在抛物线y=a(x+1)2上的是(　　)
A.(m,n+1)　　　　B.(m+1,n)
C.(m,n-1)　　　　D.(m-1,n)
答案　D　将P(m,n)代入抛物线y=ax2的解析式中,得n=am2,把x=m代入y=a(x+1)2得y=am2+2am+a=n+2am+a,选项A,C错误;将y=n代入y=a(x+1)2得n=am2=a(x+1)2,又a≠0,∴x+1=±m,x=-1±m,选项B错误,选项D正确,故选D.
4.(2022新疆,7,5分)已知抛物线y=(x-2)2+1,下列结论错误的是(　　)
A.抛物线开口向上
B.抛物线的对称轴为直线x=2
C.抛物线的顶点坐标为(2,1)
D.当x<2时,y随x的增大而增大
答案　D　∵1>0,∴抛物线开口向上,故选项A中结论正确;由解析式可得抛物线的对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,1),故选项B、C中结论正确;当x<2时,y随x的增大而减小,故选项D中结论错误.故选D.
5.(2020四川成都,10,3分)关于二次函数y=x2+2x-8,下列说法正确的是(　　)
A.图象的对称轴在y轴的右侧
B.图象与y轴的交点坐标为(0,8)
C.图象与x轴的交点坐标为(-2,0)和(4,0)
D.y的最小值为-9
答案　D　图象的对称轴为直线x=-=-1,在y轴的左侧,故A错误;
∵当x=0时,y=-8,
∴图象与y轴的交点坐标为(0,-8),故B错误;
∵y=x2+2x-8=(x+4)(x-2),
∴图象与x轴的交点坐标为(-4,0)和(2,0),故C错误;
∵y=x2+2x-8=(x+1)2-9,(x+1)2≥0,∴(x+1)2-9≥-9,
∴y的最小值为-9,故D正确.
6.(2022陕西,8,3分)已知二次函数y=x2-2x-3的自变量x1,x2,x3对应的函数值分别为y1,y2,y3.当-13时,y1,y2,y3三者之间的大小关系是(　　)
A.y1C.y3答案　B　根据二次函数解析式,可得二次函数图象开口向上,对称轴为直线x=1.设点(x1,y1)关于对称轴对称的点为(a,y1),则27.(2022四川南充,10,4分)已知点M(x1,y1),N(x2,y2)在抛物线y=mx2-2m2x+n(m≠0)上,当x1+x2>4且x1A.0C.m>2　　　　D.m<-2
答案　A　抛物线表达式可化为y=m(x-m)2+n-m3,所以抛物线的对称轴是直线x=m.设M(x1,y1)关于直线x=m的对称点为M'(x'1,y1),当m<0时,抛物线开口向下,x1+x'1=2m<0,而x1+x2>4,所以my2,不符合题意;当04且x12时,抛物线开口向上,x1+x'1=2m>4,而x1+x2>4,存在x'1>x2>m,y1>y2,所以y1考点2　二次函数的图象与a,b,c之间的关系
8.(2021山东东营,8,3分)一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　)
A B C D
答案　C　选项A中,由y=ax+b的图象得a>0,b>0,由y=ax2+bx+c的图象得a<0,b<0,相矛盾;选项B中,由y=ax+b的图象得a>0,b>0,由y=ax2+bx+c的图象得a>0,b<0,相矛盾;选项D中,由y=ax+b的图象得a<0,b>0,由y=ax2+bx+c的图象得a<0,b<0,相矛盾;只有选项C中,两个函数图象均为a<0,b<0.故选C.
9.(2022四川成都,8,4分)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴相交于A(-1,0),B两点,对称轴是直线x=1,下列说法正确的是(　　)
A.a>0
B.当x>-1时,y的值随x值的增大而增大
C.点B的坐标为(4,0)
D.4a+2b+c>0
答案　D　∵抛物线开口向下,∴a<0,故A错误;∵抛物线的对称轴是直线x=1,∴当-10,故D正确.故选D.
10.(2022天津,12,3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,0①2a+b<0;
②当x>1时,y随x的增大而增大;
③关于x的方程ax2+bx+(b+c)=0有两个不相等的实数根.
其中,正确结论的个数是(　　)
A.0　　　　B.1
C.2　　　　D.3
答案　C　∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,0),
∴a+b+c=0,∴b=-a-c,
∴2a+b=2a-a-c=a-c,
∵0∴a-c<0,即2a+b<0,故①正确.
∵2a+b<0,∴2a<-b,
又∵a>0,∴抛物线开口向上,对称轴x=->1.
∴当x>1时,y随x的增大会先减小后增大,故②错误.
Δ=b2-4a(b+c)=(-a-c)2-4a(-a-c+c)=(a+c)2+4a2.
∵00,
∴方程有两个不相等的实数根,故③正确.故选C.
11.(2023山东烟台,9,3分)如图,抛物线y=ax2+bx+c的顶点A的坐标为,与x轴的一个交点位于0和1之间,则以下结论:①abc>0;②2b+c>0;③若图象经过点(-3,y1),(3,y2),则y1>y2;④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c-3=0无实数根,则m<3.
其中正确结论的个数是(　　)
A.1　　　　B.2
C.3　　　　D.4
答案　C　①由题图知抛物线开口向下,∴a<0,
对称轴在y轴左侧,∴b<0,
抛物线与y轴交于正半轴,∴c>0,
∴abc>0,故①正确;
②∵顶点A,
∴抛物线的对称轴为直线x=-,∴a=b.
由题图知当x=1时,y<0,
即a+b+c=2b+c<0,故②不正确;
③∵抛物线的对称轴为直线x=-,
∴点(-3,y1),(3,y2)到对称轴的距离分别为,
∵抛物线开口向下,
∴抛物线上的点距离对称轴越远,其纵坐标越小,
∴y1>y2,故③正确;
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c-3=0的解的情况,可以转化成函数y=ax2+bx+c的图象与直线y=3的交点情况,
方程无实数根,说明函数图象与直线无交点,
则由题图可知m<3,故④正确.
故正确的结论有①③④,故选C.
12.(2023湖北黄冈,8,3分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象与x轴的一个交点坐标为(-1,0),对称轴为直线x=1,下列结论中:①a-b+c=0;②若点(-3,y1),(2,y2),(4,y3)均在该二次函数图象上,则y13.正确结论的序号为(　　)
A.①②③　　　　B.①③④
C.②③④　　　　D.①④
答案　B　将(-1,0)代入y=ax2+bx+c得a-b+c=0,①正确.对称轴为直线x=1,则点
(-3,y1)到对称轴的距离为4,点(2,y2)到对称轴的距离为1,点(4,y3)到对称轴的距离为3.∵a<0,∴抛物线上的点到对称轴的距离越远,其纵坐标的值越小,∵4>3>1,∴y1(-1,0),对称轴为直线x=1,∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3,0),又a<0,∴(x1,-1)在(-1,0)的左侧,(x2,-1)在(3,0)的右侧,∴x1<-1,x2>3,④正确.综上,正确的结论为①③④,故选B.
考点3　二次函数与方程、不等式之间的关系
13.(2023湖南衡阳,12,3分)已知m>n>0,若关于x的方程x2+2x-3-m=0的根为x1,x2(x1A.x3C.x1答案　B　如图,设直线y=m与抛物线y=x2+2x-3交于A、B两点,直线y=n与抛物线y=x2+2x-3交于C、D两点,
由题意得x1、x2、x3、x4分别是点A、B、C、D的横坐标,∴x114.(2023山东日照,11,3分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx(a≠0),满足已知点(-3,m),(2,n),(4,t)在该抛物线上,则m,n,t的大小关系为(　　)
A.tC.n答案　C　由可知a>0,-3a15.(2023四川南充,10,4分)抛物线y=-x2+kx+k-与x轴的一个交点为A(m,0),若-2≤m≤1,则实数k的取值范围是(　　)
A.-≤k≤1　　　　B.k≤-或k≥1
C.-5≤k≤　　　　 D.k≤-5或k≥
答案　B　①当抛物线与x轴有且仅有一个交点时,方程-x2+kx+k-=0有两个相等的实数根,则Δ=0,即k2+4k-5=0,解得k=-5或k=1.
a.当k=-5时,y=-x2-5x-,此时A,不符合题意,舍去.
b.当k=1时,y=-x2+x-,此时A,符合题意.
②当抛物线与x轴有两个交点时,方程-x2+kx+k-=0有两个不相等的根,则Δ>0,得k<-5或k>1.
易知抛物线的对称轴为直线x=,当x=-2时,y=-k-;当x=1时,y=2k-.
a.当k<-5时,,由图象可知,若则符合题意,解得k≤-.
b.当k>2时,>1,由图象可知,若则符合题意,解得k≥,又k>2,故k>2.
c.当1综上,k≤-或k≥1.
16.(2022内蒙古呼和浩特,16,3分)在平面直角坐标系中,点C和点D的坐标分别为(-1,-1)和(4,-1),抛物线y=mx2-2mx+2(m≠0)与线段CD只有一个公共点,则m的取值范围是　　　　　　　　　　.
答案　-1解析　当抛物线经过点D时,16m-8m+2=-1,∴m=-,当抛物线经过点C时,m+2m+2=-1,∴m=-1,当-1综上,m的取值范围是-117.(2022山西,20,8分)阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文,请仔细阅读并完成相应的任务.
用函数观点认识一元二次方程根的情况
我们知道,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是相应的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象(称为抛物线)与x轴交点的横坐标.抛物线与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、无交点.与此相对应,一元二次方程的根也有三种情况:有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根.因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况.
下面根据抛物线的顶点坐标-和一元二次方程根的判别式Δ=b2-4ac,分别从a>0和a<0两种情况进行分析:
(1)a>0时,抛物线开口向上.
①当Δ=b2-4ac>0时,有4ac-b2<0.
∵a>0,
∴顶点纵坐标<0.
∴顶点在x轴的下方,抛物线与x轴有两个交点(如图1).
∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根.
图1　　图2
②当Δ=b2-4ac=0时,有4ac-b2=0.∵a>0,
∴顶点纵坐标=0.
∴顶点在x轴上,抛物线与x轴有一个交点(如图2).
∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根.
③当Δ=b2-4ac<0时,
……
(2)a<0时,抛物线开口向下.
……
任务:(1)上面小论文中的分析过程,主要运用的数学思想是　　　　(从下面选项中选出两个即可);
A.数形结合　　　　B.统计思想
C.分类讨论　　　　D.转化思想
(2)请参照小论文中当a>0时①②的分析过程,写出③中当a>0,Δ<0时,一元二次方程根的情况的分析过程,并画出相应的示意图;
(3)实际上,除一元二次方程外,初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识,例如:可用函数观点来认识一元一次方程的解.请你再举出一例为　.
解析　(1)AC(或AD或CD)
(2)当a>0时,抛物线开口向上.
当Δ=b2-4ac<0时,有4ac-b2>0.
∵a>0,
∴顶点纵坐标>0.
∴顶点在x轴的上方,抛物线与x轴无交点(如图).
∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.
(3)可用函数观点认识二元一次方程组的解.(答案不唯一.又如:可用函数观点认识一元一次不等式的解集等)
3年模拟
53·基础练
1.(2022湖南岳阳二模)将二次函数y=x2-2x+3化为y=(x-h)2+k的形式,结果为(　　)
A.y=(x+1)2+4　　　　
B.y=(x+1)2+2
C.y=(x-1)2+4　　　　
D.y=(x-1)2+2
答案　D　
2.(2023山西晋中一模)将某抛物线向右平移1个单位,再向上平移4个单位后得到的抛物线的表达式为y=x2-6x+4,则原抛物线的表达式为(　　)
A.y=x2-4x+1　　　　
B.y=x2-4x-5
C.y=x2-8x+15　　　　
D.y=x2+4x-1
答案　B　
3.(2023四川成都一模)下列关于抛物线y=x2+4x-5的说法正确的是(　　)
①开口向上;
②对称轴是直线x=-4;
③当x<-2时,y 随x的增大而减小;
④当x<-5或x>1时,y>0.
A.①③　　　　B.①④　　　　C.①③④　　　　D.①②③④
答案　C　y=x2+4x-5=(x+2)2-9,∵1>0,∴抛物线开口向上,①正确;对称轴为直线x=-2,②错误;当x<-2时,y随x的增大而减小,③正确;令y=0,得x2+4x-5=0,解得x1=1,x2=-5,∴抛物线与x轴交于点(1,0),(-5,0),∴当x<-5或x>1时,y>0,④正确.
综上所述,正确的说法有①③④,故选C.
4.(2023陕西西安模拟)在抛物线y=4x2-4mx(m为常数)上有三点(-3,y1),,(m+1,y3),则y1,y2,y3三者之间的大小关系是(　　)
A.y1C.y3答案　B　∵y=4x2-4mx,∴抛物线的对称轴是直线x=-,
∵4>0,∴抛物线开口向上,
∴y2最小.
点(-3,y1)到对称轴的距离为,点(m+1,y3)到对称轴的距离为,
∵,
且抛物线上离对称轴越远的点的纵坐标越大,∴y1>y3,
∴y25.(2022浙江温州二模)函数y=(k≠0)与y=ax2-bx+c(a≠0)的图象如图所示,则函数y=kx+b的大致图象为(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　D
答案　D　
6.()二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,以下4个结论:
①abc<0;②c+2a<0;③9a-3b+c=0;④am2-a+bm+b>0(m为任意实数).其中,结论正确的个数为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
答案　C　∵抛物线开口向上,∴a>0,
∵对称轴x=-=-1<0,
∴a、b同号,∴b>0,
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上,∴c<0,
∴abc<0,故①正确;
∵抛物线过点(1,0),
∴a+b+c=0,
又∵对称轴为直线x=-1,即-=-1,∴b=2a,
∴a+2a+c=0,即3a+c=0,
而a>0,
∴2a+c<0,故②正确;
由题图可知,抛物线与x轴的一个交点坐标为(1,0),对称轴为直线x=-1,得抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-3,0),
∴9a-3b+c=0,故③正确;
当x=-1时,y最小值=a-b+c,
当x=m时,y=am2+bm+c,
∴am2+bm+c≥a-b+c,
即am2+bm-a+b≥0,故④不正确.
综上所述,结论正确的有①②③,共3个,故选C.
7.(2022山东青岛一模)已知抛物线y1=x2+2x-3的顶点为A,与x轴交于点B,C(B在C的左侧),直线y2=kx+b过A,B两点.当y1答案　-3解析　∵y1=x2+2x-3=(x+1)2-4,∴点A坐标为(-1,-4),
当y1=0时,x2+2x-3=0,
解得x=-3或x=1,
∵B在C的左侧,∴点B的坐标为(-3,0).
由题图可知当-3∴当y18.(2023浙江温州一模)如图,已知点C为二次函数y=x2-4x+1图象的顶点,点P(0,n)为y轴正半轴上一点,过点P作y轴的垂线交函数图象于点A,B(点A在点B的左侧).点M在射线PB上,且满足PM=1+n.过点M作MN⊥AB交抛物线于点N,记点N的纵坐标为yN.
(1)求顶点C的坐标;
(2)①若n=3,求MB的值;
②当0解析　(1)y=x2-4x+1=(x-2)2-3,∴顶点C的坐标为(2,-3).
(2)①当n=3时,PM=4,令y=3,得x2-4x+1=3,解得x1=2+.
∴MB=BP-PM=2+-2.
②由题意知xN=xM=1+n,∴yN=(n-1)2-3(0∴当n=1时,yN的最小值为-3.
当n=4时,yN的最大值为6.
∴-3≤yN≤6.
9.(2023河北邢台一模)在平面直角坐标系中,抛物线y=a(x2-4x+3)(a>0)与x轴交于A、B两点(A点在B点的左侧),与y轴交于C点.
(1)求抛物线的对称轴;
(2)若点P(m,3)在抛物线上且在对称轴的右侧,过P点作PQ⊥x轴于Q点.
①若PQ=QA,求C点坐标;
②若PQ>QA,则m的取值范围是　　　　.
解析　(1)y=a(x2-4x+3)=ax2-4ax+3a,
∴对称轴为直线x=-=2.
(2)①令y=a(x2-4x+3)=0,解得x1=1,x2=3,
∵A点在B点的左侧,∴A(1,0),B(3,0),∴OA=1.
∵P(m,3),∴OQ=m,PQ=3.
∵PQ=QA,∴3=m-1,∴m=4,
∴P(4,3).
将P(4,3)代入抛物线解析式得,3=a(42-4×4+3),
∴a=1,
∴抛物线解析式为y=x2-4x+3,
∴C点坐标为(0,3).
②3提示:∵PQ>QA,∴3>m-1,∴m<4,∵点P(m,3)在对称轴x=2的右侧,且x=3时,y=0,∴m>3.
∴m的取值范围是353·提升练
10.(2023陕西西安一模)已知二次函数y=ax2+2ax+2a2+5(其中x是自变量),当x≥2时,y随x的增大而增大,且当-2≤x≤1时,y的最大值为10,则a的值为(　　)
A.1　　　　 B.-
C.2.5　　　　D.1或-2.5
答案　A　y=ax2+2ax+2a2+5=a(x+1)2-a+2a2+5,
∴对称轴为直线x=-1.
∵当x≥2时,y随x的增大而增大,∴a>0,
∵当-2≤x≤1时,y的最大值为10,∴x=1时,y=ax2+2ax+2a2+5=10,即2a2+3a-5=0,解得a=1或a=-(舍去),故选A.
11.(2023天津南开模拟)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表:
x … -3 x1 x2 x3 x4 1 …
y … m 0 c 0 n m …
其中-3①b-2a=0;②abc<0;③3a+c>0;④关于x的方程m=ax2+bx+c的两根分别为1和-3.
其中正确的结论有(　　)
A.1个　　　　B.2个　　　　C.3个　　　　D.4个
答案　D　根据二次函数图象的对称性得,对称轴为直线x==-1,
∴-=-1,∴b=2a,即b-2a=0,①正确;
∵x4<1,n∴a>0,∴b>0.
∵对称轴为直线x=-1,a>0,根据题表可知(0,c)位于(x3,0)的左侧,∴c<0,∴abc<0,②正确;
当x=1时,y=a+b+c=a+2a+c=3a+c=m>0,③正确;
根据题表得,当x=1或x=-3时,ax2+bx+c=m,④正确.故选D.
12.(2022河北石家庄二模)如图,矩形OABC中,A(-3,0),C(0,2),抛物线y=-2(x-m)2-m+1的顶点M在矩形OABC内部或其边上,则m的取值范围是(　　)
A.-3≤m≤0　　　　B.-3≤m≤-1
C.-1≤m≤2　　　　D.-1≤m≤0
答案　D　抛物线y=-2(x-m)2-m+1的顶点坐标为M(m,-m+1),
∵A(-3,0),C(0,2),
∴
∴-1≤m≤0,故选D.
13.(2022江苏南通一模)在平面直角坐标系xOy中,已知二次函数y=ax2+bx,其中a-b<0.以下4个结论:
①若这个函数的图象经过点(-2,0),则它必有最小值;
②若这个函数的图象经过第四象限的点P(m,n),则必有a<0;
③若a>0,则方程ax2+bx=0必有一根小于-1;
④若a<0,则当-1≤x≤0时,必有y随x的增大而增大.其中,结论正确的是(　　)
A.①②③　　　　B.②③④　　　　C.①③④　　　　D.①②③④
答案　A　将点(-2,0)代入y=ax2+bx,可得4a-2b=0,即b=2a.∵a-b<0,∴a-2a=-a<0,∴a>0,∴抛物线开口向上,有最小值,故①正确.
由二次函数y=ax2+bx的图象经过第四象限的点P(m,n),则m>0,n<0,
∴n=m(am+b),且am+b<0.∵a-b<0,∴a∵m>0,∴a<0,故②正确.
方程ax2+bx=0可转化为x(ax+b)=0,∴x=0或ax+b=0.
在ax+b=0中,∵a≠0,∴x=->1,
∴x<-1,故③正确.
当a<0时,二次函数y=ax2+bx的图象开口向下,对称轴为直线x=-.
∵a-b<0,∴a14.(2021浙江杭州模拟)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-3,0),B(4,0)两点,则关于x的一元二次方程a(x-1)2+c=b-bx的解是　　　　.
答案　x=-2或x=5
解析　将方程整理可得a(x-1)2+b(x-1)+c=0,它的解是函数y=a(x-1)2+b(x-1)+c的图象与x轴交点的横坐标,而y=a(x-1)2+b(x-1)+c的图象可以看作由函数y=ax2+bx+c的图象向右平移一个单位长度得到,所以函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点向右平移一个单位长度后,坐标为(-2,0)和(5,0),即方程的解为x=-2或x=5.
15.(2023四川成都一模)在平面直角坐标系中,如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数,则称该点为“黎点”.例如(-1,1),(2 023,-2 023)都是“黎点”.若抛物线y=ax2-9x+c(a,c为常数)上有且只有一个“黎点”,当a>1时,c的取值范围是　　　　.
答案　0解析　∵抛物线y=ax2-9x+c上有且只有一个“黎点”,
∴方程ax2-9x+c=-x(a≠0)有两个相等的实数根,
即Δ=64-4ac=0,解得ac=16,
∴a=,∵a>1,∴016.(2022江苏苏州一模)若抛物线y=x2-4mx+4m2+3m-1(m是常数)与直线y=x+1有两个交点,且这两个交点在抛物线对称轴的同侧,则m的取值范围是　　　　.
答案　2解析　∵抛物线y=x2-4mx+4m2+3m-1=(x-2m)2+3m-1与直线y=x+1有两个交点,且这两个交点在抛物线对称轴的同侧,
∴当x=2m时,(2m-2m)2+3m-1>2m+1,
∴m>2.
∵y=x2-4mx+4m2+3m-1(m是常数)与直线y=x+1有两个交点,
∴x2-4mx+4m2+3m-1=x+1,
整理得x2-(4m+1)x+4m2+3m-2=0,
∴Δ=[-(4m+1)]2-4(4m2+3m-2)>0,
解得m<.
∴m的取值范围是217.(2023安徽宿州联考)如图,抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求a,b的值;
(2)点P是第四象限内抛物线上一点,连接AC,过点P作AC的平行线,交x轴于点D,交y轴于点E,设点P的横坐标为t.
①若直线PE的解析式为y=kx+c(k≠0),试用含t的代数式表示c;
②若点D是线段PE的中点,试求点P的坐标.
解析　(1)把A(-1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx-3,
得
(2)①由(1)知抛物线的解析式为y=x2-2x-3.令x=0,得y=-3.
∴C(0,-3).
设直线AC的解析式为y=mx+n,把A(-1,0),C(0,-3)代入y=mx+n,得
∴直线AC的解析式为y=-3x-3.
∵PE∥AC,∴k=-3.
∴直线PE的解析式为y=-3x+c.
∵点P在抛物线y=x2-2x-3上,点P的横坐标为t,
∴点P(t,t2-2t-3),则t2-2t-3=-3t+c,
∴c=t2+t-3.
②由①知直线PE的解析式为y=-3x+t2+t-3.
令x=0,得y=t2+t-3,即E(0,t2+t-3).
∵点D在x轴上,且是线段PE的中点,
∴yD=(yE+yP)=0,
∴t2+t-3+t2-2t-3=0,
即2t2-t-6=0.
解得t=2或t=-(不符合题意,舍去).
当t=2时,t2-2t-3=22-2×2-3=-3,∴点P的坐标为(2,-3).
18.(2022河北保定一模)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2-2ax+a-2(a>0),分别过点M(t,0)和点N(t+2,0)作x轴的垂线,交抛物线于点A和点B.记抛物线在A,B之间的部分为G(包括A,B两点).
(1)求抛物线的顶点坐标;
(2)记G上任意一点纵坐标的最大值与最小值的差为m.
①当a=2时,若G为轴对称图形,求m的值;
②若存在实数t,使得m=2,直接写出a的取值范围.
解析　(1)抛物线的解析式为y=ax2-2ax+a-2=a(x-1)2-2,
∴抛物线的顶点坐标为(1,-2).
(2)①当a=2时,抛物线为y=2(x-1)2-2,其对称轴为直线x=1.
∵G为轴对称图形,∴点A,B必关于对称轴x=1对称.
∵点A的横坐标为t,点B的横坐标为t+2,∴=1,
∴t=0,即点A(0,0),点B(2,0).
∵当0≤x≤1时,y随x的增大而减小,当1≤x≤2时,y随x的增大而增大,
∴G上任意一点纵坐标的最大值为0,最小值为-2.
∴m=2.
②0详解:∵过点M(t,0)和点N(t+2,0)作x轴的垂线,交抛物线于点A和点B,
∴A(t,at2-2at+a-2),B(t+2,at2+2at+a-2),
又a>0,抛物线对称轴为直线x=1,
则当t+2≤1,即t≤-1时,G上点A的纵坐标的值最大,点B的纵坐标的值最小,∴(at2-2at+a-2)-(at2+2at+a-2)=2,
解得t=-,∵t≤-1,
∴-≤-1,∴a≤.
当t<1∴(at2-2at+a-2)-(-2)=2,
∴a=,
∵-1∴当t<11-t,即0∴at2+2at+a-2-(-2)=2,
∴a=,
∵0∴当t≥1时,G上点B的纵坐标的值最大,点A的纵坐标的值最小,
∴at2+2at+a-2-(at2-2at+a-2)=2,
∴t=,
∵t≥1,∴0综上所述,若存在实数t,使得m=2,则0 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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