第1课时 等差数列前n项和的推导及初步应用
A级 必备知识基础练
1.已知等差数列{an}满足a1=1,am=99,d=2,则其前m项和Sm等于( )
A.2 300 B.2 400 C.2 600 D.2 500
2.已知等差数列{an}的前n项和是Sn,a3=1,S7=3a6,则S3=( )
A.1 B.-1 C.3 D.-3
3.[2023云南曲靖民族中学校考期中]在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项的和为( )
A.44 B.88 C.99 D.110
4.记等差数列的前n项和为Sn,若S2=4,S4=20,则该数列的公差d等于( )
A.2 B.3 C.6 D.7
5.已知在数列{an}中,a1=1,an=an-1+(n≥2,n∈N+),则数列{an}的前9项和等于( )
A.27 B. C.45 D.-9
6.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9= .
7.已知等差数列{an}的通项公式为an=2n-1(n∈N+),那么它的前n项和Sn= .
8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3+a4+a5+a6+a7=150,则S9= .
9.[2023河南洛阳第三中学校联考模拟预测]已知数列{an},等差数列{bn}满足bn=an+an+1,b1=-3,b2+b3=-12.
(1)证明:an-an+2=2;
(2)若{an}为等差数列,求数列{an}的前n项和.
B级 关键能力提升练
10.(多选题)[2023山东日照高二统考期中]已知{an}是等差数列,其公差为d,前n项和为Sn,a10=10,S10=70,则( )
A.a1=4 B.d=
C.数列{an}为递减数列 D.数列是等差数列
11.在等差数列{an}中,+2a3a8=9,且an<0,则S10等于( )
A.-9 B.-11 C.-13 D.-15
12.在等差数列{an}和{bn}中,a1=25,b1=75,a100+b100=100,则数列{an+bn}的前100项的和为( )
A.10 000 B.8 000 C.9 000 D.11 000
13.(多选题)[2023安徽安庆一中校考阶段练习]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S11=,则 ( )
A.S11=0 B.a6=0 C.S6=S5 D.S7=S6
14.(多选题)[2023贵州黔东南高二阶段练习]设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3=0,a4=4,则( )
A.an=4n-8 B.an=2n-4
C.Sn=2n2-6n D.Sn=n2-3n
15.正整数数列前n(n∈N+)个奇数的和为 .
16.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若=a1+a200,且A,B,C三点共线(该直线不过原点O),则S200= .
17.记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和,若a3=S5,a1a4=a5,则an= .
18.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足:a3a4=117,a2+a5=22.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)若数列{bn}是等差数列,且bn=,求非零常数c.
19.[2023辽宁朝阳高二阶段练习]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a4=13,S7=13a1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证:{}是等差数列.
C级 学科素养创新练
20.已知数列{an}的所有项均为正数,其前n项和为Sn,且Sn=an-(n∈N+).
(1)证明:{an}是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
参考答案
2.2 等差数列的前n项和
第1课时 等差数列前n项和
的推导及初步应用
1.D 由am=a1+(m-1)d,得99=1+(m-1)×2,解得m=50,所以S50=50×1+×2=2500.
2.D 由已知设等差数列的公差为d,则a3=a1+2d=1,7a1+d=3(a1+5d),
解得a1=-3,d=2,所以S3=3a1+3d=-3.
故选D.
3.B 由等差数列的性质可知,a1+a11=a4+a8=16,故前11项的和为S11==88.
故选B.
4.B (方法一)由解得d=3.
(方法二)由S4-S2=a3+a4=a1+2d+a2+2d=S2+4d,所以20-4=4+4d,解得d=3.
5.A 由已知数列{an}是以1为首项,以为公差的等差数列,∴S9=9×1+=9+18=27.
6.15 设等差数列的公差为d,
则S3=3a1+d=3a1+3d=3,即a1+d=1,
S6=6a1+d=6a1+15d=24,即2a1+5d=8.
由解得
故a9=a1+8d=-1+8×2=15.
7.n2 ∵等差数列{an}的通项公式为an=2n-1(n∈N+),∴Sn==n2.
8.270 因为在等差数列{an}中,a3+a4+a5+a6+a7=5a5=150,a5=30,则S9==9a5=270.
9.(1)证明设数列{bn}的公差为d,由b2+b3=-12,得2b1+3d=-12,
由b1=-3,解得d=-2,故bn=-2n-1,
即an+an+1=-2n-1, ①
则an+1+an+2=-2n-3, ②
①-②得an-an+2=2,
故an-an+2=2得证.
(2)解若{an}为等差数列,设公差为d',
由an+2-an=-2,可得2d'=-2,则d'=-1.
又an+an+1=-2n-1,∴2an+d'=-2n-1,∴an=-n,
∴a1=-1,∴{an}的前n项和Sn==-.
10.AB 由题意可得解得故A,B均正确;数列{an}为递增数列,C错误;
Sn-Sn-1=4+(n-1)=n+(n≥2)不是常数,故数列{Sn}不是等差数列,D错误.
故选AB.
11.D 由+2a3a8=9,得(a3+a8)2=9,
∵an<0,∴a3+a8=-3,
∴S10==-15.
12.A 由已知得{an+bn}为等差数列,故其前100项的和为S100==50×(25+75+100)=10000.
13.ABC 因为{an}是等差数列,所以a5+a7=a1+a11=2a6.
根据题意S11==a6,
又因为S11==11a6,所以11a6=a6,
从而a6=0,S11=0,故选项A,B正确;
又因为a6=S6-S5=0,即S6=S5,故选项C正确;
对于选项D,S7-S6=a7,根据题意无法判断a7是否为零,故选项D错误.
故选ABC.
14.BD 由题意,解得
所以an=-2+(n-1)·2=2n-4,Sn=-2n+=n2-3n.
故选BD.
15.n2 1+3+5+…+(2n-1)==n2.
16.100 因为A,B,C三点共线(该直线不过原点O),所以a1+a200=1,所以S200==100.
17.3-n 设等差数列{an}的公差为d,
∵a3=S5,a1a4=a5,
∴a1+2d=5a1+d,a1(a1+3d)=a1+4d,
解得a1=2,d=-1,
则an=2-(n-1)=3-n.
18.解(1)设等差数列{an}的公差为d,且d>0.
∵a3+a4=a2+a5=22,又a3a4=117,
∴a3,a4是方程x2-22x+117=0的两个根.
又公差d>0,∴a3
(2)由(1)知,Sn=n×1+×4=2n2-n,
∴bn=.∴b1=,b2=,b3=.
∵{bn}是等差数列,∴2b2=b1+b3,
∴2c2+c=0,∴c=-(c=0舍去).
经检验,c=-符合题意,∴c=-.
19.(1)解设等差数列{an}的公差为d,
由a4=13,S7=13a1,得a1+3d=13,7a1+d=13a1,解得a1=7,d=2,所以an=a1+(n-1)d=2n+5.
(2)证明结合(1)可得Sn=na1+d=7n+n2-n=n2+6n,所以=n+3,
故=4,=(n+4)-(n+3)=1,
所以数列是以4为首项,1为公差的等差数列.
20.(1)证明当n=1时,a1=S1=a1-,
解得a1=3或a1=-1(舍去).
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=+2an-3)-+2an-1-3).
所以4an=+2an-2an-1,
即(an+an-1)(an-an-1-2)=0.
因为an+an-1>0,所以an-an-1=2(n≥2).
所以数列{an}是以3为首项,2为公差的等差数列.
(2)解由(1)知an=3+2(n-1)=2n+1,n∈N+.
