2024人教版九年级数学下学期单元测试卷
第二十七章 相似
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)
1.用放大镜观察一个五边形时,不变的量是( )
A.各边的长度 B.各内角的度数 C.五边形的周长 D.五边形的面积
2.(2022·上海青浦区期末)下列图形中,一定是相似图形的是 ( )
A.两个直角三角形 B.两个菱形
C.两个等腰三角形 D.两个等边三角形
3. 新风向 结合真实情境(2022·浙江丽水中考)如图,五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的,同一条直线上的三个点A,B,C都在横线上.若线段AB=3,则线段BC的长是( )
A. B.1 C. D.2
(第3题) (第4题)
4.(2022·河北沧州期末)如图,在边长都为1的正方形网格中,△ABC和△EDF的顶点都在正方形网格的格点上,则∠ABC+∠ACB的度数为 ( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
5.(2022·山东淄博周村区二模)一张矩形的纸片对折后与原矩形相似,那么原矩形与对折后矩形的相似比是 ( )
A.∶1 B.4∶1 C.3∶1 D.2∶1
6.(2021·北京东城区期末)如图,在圆形花圃中有两条笔直的小径,分别记为AC,BD,设交点为P,点C,D之间有一座假山.为了计算C,D之间的距离,小明已经测量了线段AP和PD的长度,只需再测量一条线段的长度,就可以计算C,D之间的距离.小明应该测量的是 ( )
A.线段BP B.线段CP C.线段AB D.线段AD
(第6题) (第7题)
7.(2022·广东茂名期末)如图,已知△ABC和△A'B'C是以点C为位似中心的位似图形,且△ABC和△A'B'C的周长之比为1∶2,点C的坐标为(-1,0).若点B的对应点B'的横坐标为5,则点B的横坐标为 ( )
A.-5 B.-4 C.- D.-3
8. 新风向 关注数学文化(2022·湖北随州模拟)《九章算术》是中国古代的数学专著.书中有下列问题:“今有邑方不知大小,各中开门.出北门三十步有木,出西门七百五十步见木.问邑方几何.”意思是:如图,点M,N分别是正方形ABCD的边AD,AB的中点,ME⊥AD,NF⊥AB,EF过点A,且ME=30步,NF=750步,则正方形的边长为 ( )
A.150步 B.140步 C.280步 D.300步
9.(2022·江苏宿迁宿城区二模)如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,在BC的延长线上取一点E,连接OE交CD于点F.已知AB=5,CE=1,则CF的长是 ( )
A. B. C. D.
10.(2022·四川成都青羊区期中改编)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,P为BC上任意一点,连接PA,以PA,PC为邻边作平行四边形APCQ,连接PQ,则PQ的最小值为 ( )
A. B. C. D.2
二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)
11. 新风向 开放性试题(2022·四川成都青羊区期末)如图,在△ABC中,点P为边AB上的一点,补充条件,使△APC∽△ACB,这个条件可以是 .(写出一个即可)
(第11题) (第12题)
12.如图,点C,D在线段AB上,△PCD是等边三角形.当△ACP∽△PDB时,
∠APB= °.
13.(2022·北京中考)如图,在矩形ABCD中,若AB=3,AC=5,=,则AE的长为 .
14. 新风向 跨物理学科(2022·北京东城区二模)据《墨经》记载,在两千多年前,我国墨子和他的学生做了世界上第一个“小孔成像”的实验,阐释了光的直线传播原理,如图(1)所示.在如图(2)所示的小孔成像实验中,若物距为10 cm,像距为15 cm,蜡烛火焰倒立的像的高度是6 cm,则蜡烛火焰的高度是 cm.
15.如图,矩形ABCD由三个全等的矩形拼成,AC与DE,FE,FG,HG,HB分别交于点P,Q,K,M,N,设△EPQ,△GKM,△BNC的面积依次为S1,S2,S3.若S1+S3=40,则S2的值为 .
(第15题) (第16题)
16. 新题型 填空双空题如图,矩形ABCD中,AB=3 cm,AD=8 cm.点P在BC上,连接PD,折叠矩形,点B与点C都恰好落在PD上的点F处,折痕是PQ,PR,AB的对应线段EF与AD交于点G,则
(1)DG= cm.
(2)QG= cm.
选择填空题答题区
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
填空 11. 12. 13.
14. 15. 16.(1) (2)
三、解答题(共6小题,共52分)
17.(8分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(-2,2),B(-6,4),
C(-4,8).
(1)以原点O为位似中心,相似比为,将△ABC缩小得到△A'B'C',请在平面直角坐标系中画岀△A'B'C';
(2)已知△ABC的周长为4+2,则△A'B'C'的周长= .
18.(8分)(2022·浙江杭州钱塘区一模)如图,在平行四边形ABCD中,点E为BC边上的点(不与点B,C重合),连接DE并延长,交AB的延长线于点F.
(1)求证:△CDE∽△AFD.
(2)若BE∶CE=1∶2,且△BEF的面积为1,求四边形ABED的面积.
19.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E,F分别在BC,AB,AC上,∠EDF=∠B.
(1)如图(1),求证:DE·CD=DF·BE.
(2)若D为BC的中点,如图(2),连接EF.求证:ED平分∠BEF.
图(1)
图(2)
20.(9分) 新风向 综合与实践题(2022·河南平顶山期末)某数学兴趣小组为了测量校内路灯的灯柱AB的高度,设计了以下三个方案.
方案一:如图(1),在操场上点C处放一面平面镜,从点C处后退1 m到点D处,恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像.再将平面镜向后移动4 m(即FC=4 m)放在F处,从点F处向后退1.5 m到点H处,恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像,其中眼睛距地面的高度ED,GH均为1.5 m,已知点B,C,D,F,H在同一水平线上,且GH⊥FH,ED⊥CD,AB⊥BH.(平面镜的大小忽略不计)
方案二:如图(2),利用标杆CD测量灯柱的高度.已知标杆CD高1.5 m,测得DE=2 m,CE=2.5 m.
方案三:如图(3),将直角三角形支架的直角边CE保持水平,并且边CE与点M在同一直线上.已知两条边CE=0.4 m,EF=0.2 m,测得边CE离地面距离DC=1.5 m.
以上三种方案中,方案 不可行,请选择可行的方案,并求出灯柱的高度.
21.(9分)(2021·山东聊城期中)如图,四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形,C,F,G三点在同一直线上,连接BE,AC,AF,并延长AF交CD于点M.
(1)求证:△MFC∽△MCA.
(2)求证:△ACF∽△ABE.
(3)若DM=1,CM=2,求正方形AEFG的边长.
22.(10分) 新风向 探究性试题(2022·山东济南长清区二模)
(1)问题发现
如图(1),在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M.填空:
①的值为 ;
②∠AMB的度数为 .
(2)类比探究
如图(2),在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC,交BD的延长线于点M.请判断的值及∠AMB的度数,并说明理由.
(3)拓展延伸
在(2)的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M.若OD=1,OB=,请直接写出当点C与点M重合时AC的长.
图(1) 图(2)
第二十七章 相似
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B D C B A C B D D A
11.∠ACP=∠B(答案不唯一) 12.120 13.1
14.4 15.16 16.(1) (2)
1.B
2.D
3.C 如图,过点A作平行横线的垂线,交点B所在的平行横线于点D,交点C所在的平行横线于点E,由题意可得,=,即=2,解得BC=.
4.B 由题易得△ABC∽△EDF,∴∠BAC=∠DEF=135°,∴∠ABC+∠ACB=
180°-135°=45°.
5.A
图示速解 如图,设原矩形的长为2a,宽为b,则对折后的矩形的长为b,宽为a.∵对折后所得的矩形与原矩形相似,∴=,∴2a2=b2,∴=(负值已舍去),∴原矩形与对折后矩形的相似比是∶1.
6.C 如图,连接AB,CD,∵∠DCP=∠ABP,∠DPC=∠APB,∴△APB∽△DPC,
∴AP∶DP=AB∶DC.∴只需再测量线段AB的长度,就可以计算C,D之间的距离.
7.B 如图,过点B作BD⊥x轴于点D,过点B'作B'E⊥x轴于点E,则BD∥B'E,∴易得=.∵△ABC∽△A'B'C,△ABC和△A'B'C的周长之比为1∶2,∴=,∴=.由题意得,CE=1+5=6,∴=,解得DC=3,∴OD=4,即点B的横坐标为-4.
一题多解 将△ABC与△A'B'C均向右平移1个单位长度,则此时△ABC与△A'B'C的位似中心是原点O,点B'的横坐标为5+1=6,∴易得平移后点B的横坐标为-3,∴平移前点B的横坐标为-3-1=-4.
8.D ∵点M,N分别是正方形ABCD的边AD,AB的中点,∴AM=AD,AN=AB,∴AM=AN.由题意可得,Rt△AEM∽Rt△FAN,∴=,即AM2=30×750=22 500,解得AM=150(负值已舍去),∴AD=2AM=300,∴正方形的边长为300步.
9.D 如图,作OG∥CD交BC于点G,∵四边形ABCD是菱形,且AB=5,∴BC=CD=AB=5,
OB=OD,∴==1,∴CG=BC=,∴GO=CD=.∵CE=1,∴GE=CG+CE=+1=.∵CF∥GO,
∴△ECF∽△EGO,∴=,∴CF===,∴CF的长为.
10.A ∵∠BAC=90°,AB=3,AC=4,∴BC==5.设PQ交AC于点O,∵四边形APCQ是平行四边形,∴PO=QO,CO=AO=2,∴当PO最短时,PQ有最小值.过点O作BC的垂线OP',交BC于点P'.∵∠P'CO=∠ACB,∠CP'O=∠CAB=90°,∴△CP'O∽△CAB,
∴=,∴=,∴OP'=,即PQ的最小值为2OP'=.
11.∠ACP=∠B(或=等,答案不唯一)
12.120 ∵△ACP∽△PDB,∴∠A=∠BPD.∵△PCD是等边三角形,∴∠PCD=∠CPD
=60°,∴∠A+∠APC=60°,∴∠APC+∠BPD=60°,∴∠APB=∠APC+∠CPD+∠BPD=
120°.
13.1 ∵∠ABC=90°,∴BC===4.∵AD∥BC,∴△AEF∽△CBF,
∴==,∴AE=BC=×4=1.
14.4 设蜡烛火焰的高度是x cm,由相似三角形对应高的比等于相似比得=,解得x=4,即蜡烛火焰的高度是4 cm.
15.16 ∵矩形ABCD是由三个全等的矩形拼成,∴∠DEF=∠FGH=∠HBC.
∵FE∥HG∥CB,∴∠AQE=∠AMG=∠ACB,∴△EPQ∽△GKM∽△BNC.∵QE∥MG,
∴△AEQ∽△AGM,∴==,∴=()2=.∴S1=S2.同理可得S3=S2.∵S1+S3=40,
∴S2+S2=40,∴S2=16.
16.(1) (2) (1)∵矩形ABCD中,AB=3 cm,AD=8 cm,∴CD=3 cm,BC=8 cm.由折叠可得,BP=FP=CP=4 cm.在Rt△PCD中,PD===5(cm),∴DF=PD-PF=
5-4=1(cm).∵∠DFG=∠RFP=∠C=90°,∠GDF=∠DPC,∴△DFG∽△PCD,∴=,即=,∴DG= cm.(2)由折叠可得∠BPQ=∠DPQ.∵AD∥BC,∴∠BPQ=∠DQP,
∴∠DPQ=∠DQP,∴DQ=DP=5 cm,∴QG=DQ-DG=5-=(cm).
17.【解题思路】(1)直接利用相似比得出对应点位置,进而画出△A'B'C';(2)利用位似图形的性质得出周长比即可.
【参考答案】 (1)如图所示,第二象限和第四象限内的△A'B'C'即为所求. (6分)
(2)2+ (8分)
18.【参考答案】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD∥BF,∠A=∠C,
∴∠CDF=∠F,
∴△CDE∽△AFD. (3分)
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD∥BF,CD=AB,AD∥BC,
∴△BEF∽△CED,△BEF∽△ADF,
∴==,
∴=,
∴=,∴S△ADF=9S△BEF=9,
∴S四边形ABED=S△ADF-S△BEF=8. (8分)
19.【参考答案】(1)证明:∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵∠B+∠BDE+∠DEB=180°,∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°,∠EDF=∠B,
∴∠FDC=∠DEB,
∴△BDE∽△CFD,
∴=,
即DE·CD=DF·BE. (4分)
(2)证明:由(1)可知,=.
∵D为BC的中点,
∴BD=CD,
∴=,
∴=. (6分)
又∠B=∠EDF,
∴△BDE∽△DFE,
∴∠BED=∠DEF,
∴ED平分∠BEF. (8分)
高分锦囊 解答此题的关键是能看出此题涉及的图形为相似模型中的“一线三等角”模型,该模型在考试中经常出现,其基本图形如图(1)所示,当∠B=∠APM=∠C时,显然有△ABP∽△PCM.这一基本图形往往存在于一些特殊图形中,其常见形式有如下三种:
①如图(2),在等边三角形ABC中,∠DEF=60°,显然有△BED∽△CFE;
②如图(3),在矩形ABCD中,若∠CEF=90°,显然有△AEF∽△DCE;
③如图(4),在梯形ABCD中,若∠A=∠D=∠BPC,显然有△ABP∽△DPC.
图(1) 图(2) 图(3) 图(4)
20.【参考答案】二、三 (2分)
解法提示:根据相似三角形的知识可知,
方案二中△ABE缺少边长的条件,
故方案二不可行.
方案三中△AMC缺少边长的条件,
故方案三不可行.
选择方案一. (3分)
∵∠ECD=∠ACB,∠EDC=∠ABC,
∴△ABC∽△EDC,
∴=,
∴AB==1.5BC. (5分)
设BC=x m,
则AB=1.5x m,
同理可得△ABF∽△GHF,
∴=.
∵AB=1.5x m,BF=BC+CF=(x+4)m,GH=1.5 m,FH=1.5 m,
∴=,
解得x=8,
∴AB=1.5×8=12(m),
即灯柱的高度为12 m. (9分)
21.【参考答案】(1)证明:∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形,
∴∠ACD=∠AFG=45°.
∵∠CFM=∠AFG,∴∠CFM=∠ACM=45°.
∵∠CMF=∠AMC,∴△MFC∽△MCA. (3分)
(2)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°,∠BAC=45°,
∴AC=AB.
同理可得AF=AE,
∴==.
∵∠CAF+∠CAE=∠BAE+∠CAE=45°,
∴∠CAF=∠BAE,
∴△ACF∽△ABE. (5分)
(3)∵DM=1,CM=2,∴AD=CD=1+2=3,
∴AM===.
∵△MFC∽△MCA,
∴=,即=,
∴FM=,
∴AF=AM-FM=,
∴AG=AF=,
即正方形AEFG的边长为. (9分)
22.【参考答案】(1)①1 (1分)
②40° (2分)
解法提示:①∵∠AOB=∠COD,
∴∠BOD=∠AOC,
又∵OC=OD,OA=OB,
∴△AOC≌△BOD,
∴AC=BD,∠OBD=∠OAC,
∴=1.
②设BD,OA交于点N,
∵∠MNA=∠ONB,∠OBD=∠OAC,
∴∠AMB=∠AOB=40°.
(2)=,∠AMB=90°. (4分)
理由如下:
∵∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,
∴==,∠COD+∠AOD=∠AOB+∠AOD,即∠AOC=∠BOD,
∴△AOC∽△BOD,
∴==,∠CAO=∠DBO. (6分)
设AO,BM交于点N,
∵∠ANM=∠BNO,
∴∠AMB=∠AOB=90°. (8分)
(3)AC的长为2或3. (10分)
解法提示:由(2)可知,∠AMB=90°,=,
设BD=x,则AC=x.
分两种情况讨论.
如图(1),当点M,C在OA上侧重合时,
在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2,
∴(2)2=(x)2+(x+2)2,
解得x1=2,x2=-3(不合题意,舍去),
∴AC=x=2.
图(1) 图(2)
如图(2),当点M,C在OA下侧重合时,
在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2,
∴(2)2=(x)2+(x-2)2,
解得x1=-2(不合题意,舍去),x2=3,
∴AC=x=3.
综上所述,AC的长为2或3.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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