2022-2023学年广西梧州市万秀区八年级（下）期中数学试卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．，， B．2，3，4 C．6，7，8 D．9，12，15
4．（3分）下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，在 ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD＝6，AC+BD＝16，则△BOC的周长为（ ）
A．8 B．12 C．14 D．16
6．（3分）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角
7．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣x﹣k2＝0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法判断
8．（3分）用配方法解方程x2﹣4x+3＝0，配方后可得（ ）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝4 C．（x﹣4）2＝3 D．（x﹣4）2＝1
9．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝10，AD＝6，则BC的长为（ ）
A．16 B．12 C．10 D．8
10．（3分）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元利润，应将销售单价定为（ ）
A．56元 B．57元 C．59元 D．57元或59元
11．（3分）已知实数a在数轴上对应的点如图所示，则﹣的值等于（ ）
A．2a+1 B．﹣1 C．1 D．﹣2a﹣1
12．（3分）如图，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转，得到△CBG．延长AE交CG于点F，连接DE．下列结论：
①AF⊥CG；
②四边形BEFG是正方形；
③若DA＝DE，则CF＝FG；
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①② C．②③ D．①
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13．（2分）在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
14．（2分）分解因式：x2+2x＝ ．
15．（2分）若y＝（k﹣1）x+k2﹣1是正比例函数，侧k＝ ．
16．（2分）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，AE⊥BC于点E，则AE的长是 ．
17．（2分）如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，△ABC的面积是 ．
18．（2分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间 秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19．（6分）计算：．
20．（6分）一个三角形三边的比为1：：2．这个三角形是直角三角形吗？
21．（10分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（3，2）．
（1）请作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）计算△A1B1C1的面积；
（3）借助已知点的坐标，直接作出直线y＝x的函数图象（不需要说明理由）．
22．（10分）如图，小明用一块有一个锐角为30°的直角三角形测量树高，已知小明与树的距离为．60°角所对直角边与地面平行，小明的眼睛到地面的距离AB为1.68m．这棵树的高度是多少m？
23．（10分）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DE、FG相交于点H．
（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；
（2）连接CG，求证：四边形CBEG是正方形．
24．（10分）现有A、B两种商品，已知买一件A商品要比买一件B商品少30元，用160元全部购买A商品的数量与用400元全部购买B商品的数量相同．
（1）求A、B两种商品每件各是多少元？
（2）如果小亮准备购买A、B两种商品共10件，总费用不超过380元，且不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？
25．（10分）已知＝0.1，＝1，＝10，＝100，……
（1）填空：＝ ，＝ ；
（2）按上述规律，已知数a的小数点移动与它的算术平方根的小数点移动间有何规律？
（3）按照（2）的规律解决下列问题：
①已知，则 ；
②已知，，用含x的代数式表示y，则y＝ ；
26．（10分）如图，直角坐标系中，平行四边形OABC的边OA＝8，OC＝4，∠AOC＝45°，点P以每秒2个单位的速度从点C向点B运动，同时，点Q以每秒个单位的速度从点O向点C运动．当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为t．
（1）求出点C，B的坐标；
（2）当t为何值时，AP⊥CB？
（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在点M，使得以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2022-2023学年广西梧州市万秀区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1． 解：A、＝3，故A错误；
B、是最简二次根式，故B正确；
C、＝2，不是最简二次根式，故C错误；
D、＝，不是最简二次根式，故D错误；
故选：B．
2． 解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
3． 解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故错误；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故错误；
C、62+72≠82，不能构成直角三角形，故错误；
D、92+122＝152，能构成直角三角形，故正确．
故选：D．
4． 解：A、，故本选项正确，符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、和不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
故选：A．
5． 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝6，OA＝OC，OB＝OD，
∵AC+BD＝16，
∴OB+OC＝8，
∴△BOC的周长＝BC+OB+OC＝6+8＝14，
故选：C．
6． 解：矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分．
故选：B．
7． 解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣k2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝1+4k2＞0
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
8． 解：∵x2﹣4x+3＝0，
∴x2﹣4x＝﹣3，
则x2﹣4x+4＝﹣3+4，即（x﹣2）2＝1，
故选：A．
9． 解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴BC＝2BD，AD⊥BC，
在Rt△ABD中，AB＝10，AD＝6，
∴BD＝＝＝8，
∴BC＝2BD＝16，
故选：A．
10． 解：将销售单价定为x元/件，则每星期可卖出[20（60﹣x）+300]件，
根据题意得：（x﹣40）[20（60﹣x）+300]＝6080，
整理得：x2﹣115x+3304＝0，
解得：x1＝56，x2＝59．
∵要使顾客获得实惠，
∴x＝56．
故选：A．
11． 解：根据实数a在数轴上的位置可知：a＜0，a+1＞0．
原式＝|a|﹣|a+1|＝﹣a﹣（a+1）＝﹣a﹣a﹣1＝﹣2a﹣1．
故选：D．
12． 解：设AF交BC于K，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABK＝90°，
∴∠KAB+∠AKB＝90°，
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBG，
∴∠KAB＝∠BCG，
∵∠AKB＝∠CKF，
∴∠BCG+∠CKF＝90°，
∴∠KFC＝90°，
∴AF⊥CG，故①正确；
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴∠AEB＝∠CGB＝90°，BE＝BG，∠EBG＝90°，
又∵∠BEF＝90°，
∴四边形BEFG是矩形，
又∵BE＝BG，
∴四边形BEFG是正方形，故②正确；
如图，过点D作DH⊥AE于H，
∵DA＝DE，DH⊥AE，
∴AH＝AE，
∴∠ADH+∠DAH＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAH+∠EAB＝90°，
∴∠ADH＝∠EAB，
又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°，
∴△ADH≌△BAE（AAS），
∴AH＝BE＝AE，
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴AE＝CG，
∵四边形BEFG是正方形，
∴BE＝GF，
∴GF＝CG，
∴CF＝FG，故③正确；
∴正确的有：①②③，
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13． 解：∵x﹣2≥0，
∴x≥2．
故答案为：x≥2．
14． 解：x2+2x＝x（x+2）．
故答案为：x（x+2）．
15． 解：∵y＝（k﹣1）x+k2﹣1是正比例函数，
∴k2﹣1＝0，且k﹣1≠0，
解得：k＝﹣1．
故答案为：﹣1．
16． 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CO＝AC＝3，BO＝BD＝4，AO⊥BO，
∴BC＝＝5，
∴S菱形ABCD＝＝×6×8＝24，
∵S菱形ABCD＝BC×AE，
∴BC×AE＝24，
∴AE＝．
故答案为：．
17． 解：作OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为E、F，连接OA，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OD＝OE＝OF，
∴S△ABC＝S△OBC+S△OAC+S△OAB
＝×OD×BC+×OE×AC+×OF×AB
＝×OD×（BC+AC+AB）
＝×3×21＝31.5．
故答案为：31.5．
18． 解：由已知梯形，
（1）当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，则得：
2t﹣＝6﹣t，
解得：t＝，
（2）当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，则得：
﹣2t＝6﹣t，
解得：t＝2，
故答案为：2或．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19． 解：
＝2+2×1﹣2
＝2+2﹣2
＝2．
20． 解：这个三角形是直角三角形，理由如下：
因为边长之比满足1：：2，
设三边分别为x、x、2x，
∵（x）2+（x）2＝（2x）2，
即满足两边的平方和等于第三边的平方，
∴这个三角形是直角三角形．
21． 解：（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1如下：
（2）∵2×3﹣×1×2﹣×1×3﹣×1×2＝，
∴△A1B1C1的面积为；
（3）作直线OB，则直线OB即为函数y＝x的图象，如图：
22． 解：在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，AD＝，
设CD＝xm．则AC＝2xm，
由AD2+CD2＝AC2，得（）2+x2＝4x2，
解得x＝1（舍去负值），
所以大树高为：1+1.68＝2.68（米）．
答：这棵树的高度是2.68米．
23． （1）解：FG⊥ED．
理由如下：
∵△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，
∴∠DEB＝∠ACB，
∵把△ABC沿射线平移至△FEG，
∴∠GFE＝∠A，
∵∠ABC＝90°，
∴∠A+∠ACB＝90°，
∴∠DEB+∠GFE＝90°，
∴∠FHE＝90°，
∴FG⊥ED；
（2）证明：根据旋转和平移可得∠GEF＝90°，∠CBE＝90°，CG∥EB，CB＝BE，
∵CG∥EB，
∴∠BCG＝∠CBE＝90°，
∴∠BCG＝90°，
∴四边形BCGE是矩形，
∵CB＝BE，
∴四边形CBEG是正方形．
24． 解：（1）设A商品每件x元，则B商品每件（30+x）元，
根据题意，得：，
解得：x＝20，
经检验：x＝20是原方程的解，
所以A商品每件20元，则B商品每件50元．
（2）设购买A商品a件，则购买B商品共（10﹣a）件，
列不等式组：300≤20 a+50 （10﹣a）≤380，
解得：4≤a≤，
a取整数：4，5，6．
有三种方案：
①A商品4件，则购买B商品6件；费用：4×20+6×50＝380，
②A商品5件，则购买B商品5件；费用：5×20+5×50＝350，
③A商品6件，则购买B商品4件；费用：6×20+4×50＝320，
所以方案③费用最低．
25． 解：（1）；；
故答案为：0.01；1000；
（2）观察可得，当被开方数a的小数点向左（或向右）移动2n位时，它的算术平方根的小数点向左（或向右）移动n位（n为正整数）．
（3）①根据解析（2）中总结出来的规律可知，当时，；
故答案为：0.0316；
②∵，，
∴由解析（2）中的规律可知，y＝10000x；
故答案为：10000x．
26． 解：（1）如图1，作CD⊥OA于点D，则∠ODC＝90°，
∵∠AOC＝45°，
∴∠DOC＝∠DCO＝45°，
∴OD＝CD，
∵OD2+CD2＝OC2，OC＝，
∴2CD2＝（）2，
∴OD＝CD＝4，
∴D（4，0），C（4，4），
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，BC＝OA＝8，
∴xB＝4+8＝12，
∴B（12，4）；
（2）如图3，当AP⊥CB时，则PA＝4，∠OAP＝∠APB＝90°，
∵∠ABC＝∠AOC＝45°，
∴∠PBA＝∠PAB＝45°，
∴PB＝PA＝4，
∴2t＝8﹣4，
解得t＝2；
（3）存在，
当平行四边形APQM1以AQ为对角线，设QM1交x轴于点E，
∵QM1∥PA，
∴∠OEQ＝∠OAP＝90°，
∴OE＝QE＝t＝1×2＝2，
∵QM1＝PA＝4，
∴EM1＝4﹣2＝2，
∴M1（2，﹣2）；
当平行四边形PAQM2以PQ为对角线，则QM2∥PA，QM2＝PA＝4，
∴EM2＝2+4＝6，
∴M2（2，6）；
当平行四边形AQPM3以AP为对角线，作M3G⊥CB交CB的延长线于点G，
∵PM3∥AQ，
∴∠APM3＝∠PAQ，
∴∠APB﹣∠APM3＝∠OAP﹣∠PAQ，
∴∠GPM3＝∠EAQ，
∵∠G＝∠AEQ＝90°，PM3＝AQ，
∴△PGM3≌△AEQ（AAS），
∴PG＝AE＝8﹣2＝6，GM3＝QE＝2，
∵xP＝12﹣4＝8，
∴xG＝8+6＝14，
∴M3（14，2），
综上所述，点M的坐标为（2，﹣2）或（2，6）或（14，2）．
