第二十二章 二次函数
一、选择题
1．下列各式中，y是关于x的二次函数的是（ ）
A．y＝4x+2 B．y＝（x﹣1）2﹣x2
C．y＝3x2+5﹣4x D．y
2．二次函数y＝2x2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（0，2） D．（0，0）
3．对于的性质，下列叙述正确的是（ ）
A．顶点坐标为 B．当时，y随x增大而减小
C．当时，y有最大值2 D．对称轴为直线
4．点A(﹣2，)，B(0，)，C(1，)为二次函数的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．已知二次函数（其中是自变量），当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为（ ）
A． B．或
C．或 D．或
6．若二次函数的图象经过点，，则关于x的方程的解为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为（ ）
A．14米 B．12米 C．11米 D．10米
8．如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴的正半轴交于点，它的对称轴为直线，有下列结论：；；；当时，；若，是方程的两根，则方程的两根，满足且；其中正确的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题
9．将二次函数 y＝x2+2的图象向上平移 3 个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式是 ．
10． 已知二次函数的图象的顶点在轴下方，则实数的取值范围是 ．
11．若抛物线与x轴有公共点，则a的取值范围是
12．如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪 ，喷水口A距地面 ，喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点P到喷水枪 所在直线的距离为 ，且到地面的距离为 ，则水流的落地点C到水枪底部B的距离为 .
13．二次函数 的图像如图所示，根据图像可知：当k＝ 时，方程 有两个不相等的实数根．
三、解答题
14．若抛物线的顶点坐标是，并且抛物线经过点B坐标为．求出该抛物线的关系式．
15．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，求实数m的值.
16．已知抛物线经过点和点，
（1）求这个抛物线的解析式及顶点坐标．
（2）求抛物线与x轴两个交点之间的距离．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ，点 在 轴正半轴上，且 .抛物线 经过点 ， .
（1）求这条抛物线的解析式，并直接写出当 时 的取值范围；
（2）将抛物线先向右平移 个单位，再向上平移2个单位，此时点 恰好落在线段 上，求 的值.
18．某商店经销一种销售成本为40元/kg的水产品，据市场分析：若按60元/kg销售，一个月能售出300kg，销售单价每涨2元，月销售量就减少20kg，针对这种水产品，请解答以下问题：
（1）写出月销售量y(kg)与售价x（元/kg）之间的函数解析式
（2）当售价定为多少时，月销售利润最大？最大利润是多少？
（3）商店想在月销售成本不超过8000元的情况下，使得月销售利润不少于4000元，销售单价可定在什么范围？
参考答案
1．C
2．D
3．D
4．B
5．D
6．A
7．B
8．B
9．y=x2+5
10．
11．且
12．
13．k＜2
14．解：∵抛物线的顶点坐标是，
∴设抛物线的关系式为．
把代入，得
，
解得：．
∴该抛物线的关系式为．
15.解：该抛物线的对称轴为：x＝m；
∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x＜m时，y随x的增大而增大；当x＞m时，y随x的增大而减小；
当m≥1时，
∵﹣2≤x≤1，当x＝1时，y取得最大值，即
﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，
解得：m＝2.
当﹣2≤m≤1时，x＝m时，y取得最大值，即
m2+1＝4，解得：m＝﹣ 或 （不合题意，舍去）；
当m≤﹣2时，x＝﹣2时，y取得最大值，即
﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，
解得：m＝﹣ （不合题意，舍去）.
综上所述，实数m的值为2或-
16．（1）解：由题意得
解之：
∴抛物线的解析式为： ；
∴y=-2（x+1）2+6，
∴抛物线的顶点坐标为（-1，6）
（2）解：当y=0，
∴-2（x+1）2+6=0
∴（x+1）2=3，
解之：，
∴抛物线与x轴两个交点之间的距离为.
17．（1）解：∵B(0，2)，
∴OB=2，
∵点A在x轴正半轴上，且OA=2OB，
∴A(4，0).
∶将A(4，0)， 代入y=ax +bx得∶
解得
∴抛物线的表达式为
把y= 代入
解得x=1或x=3，
由图象可知，当y> 时，x的取值范围是x<1或x>3；
（2）解：设直线AB的解析式是y=px+q，
将A(4，0)，B(0，2)代入得
解得
∴直线AB的解析式是y=- x+2，
∵抛物线 向右平移m个单位，再向上平移2个单位，则其上的点C也向右平移m个单位，再向上平移2个单位，而C(1， )·
∴
∵ 在线段AB上，
∴ ，
∴m=2.
18．（1）解：由题意得：
（2）解：，
当时，有最大值为6250
（3）解：由，解得，
令，则，
解得，.
故：销售单价为：.
