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济南市、潍坊市、淄博市部分学校2023-2024学年高三上学期10月份阶段监测
数 学
2023.10
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知等差数列的公差不为0，若，，成等比数列，则这个等比数列的公比是（ ）
A． B． C．2 D．4
3．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，，分别为圆柱上、下底面圆的圆心，为圆锥的顶点，若圆锥的底面圆周长为，高为，圆柱的母线长为2，则该几何体的体积是（ ）
图1 图2
A． B． C． D．
5．某地投资亿元进行基础建设，年后产生的社会经济效益为亿元，若该地投资基础建设4年后产生的社会经济效益是投资额的2倍，且再过年，该项投资产生的社会经济效益是投资额的16倍，则（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
6．若，是函数（，）的两个不同的零点，且，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．设集合是关于的不等式的解集，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知实数满足，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．若函数为奇函数，则（ ）
A． B．的定义域为
C．的值域是 D．在上是增函数
10．已知两个平面，，及两条直线，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，，，则
B．若，，，则
C．若，，，，则
D．若，是异面直线，，，，，则
11．已知数列满足，则（ ）
A． B．的前项和为
C．的前100项和为 D．的前20项和为284
12．已知函数，（其中）．对于不相等的实数，，设，，则（ ）
A．对于任意不相等的实数，，都有
B．对于任意的及任意不相等的实数，，都有
C．对于任意的，一定存在不相等的实数，，使得
D．若存在不相等的实数，，使得，则的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数则__________．
14．如图，在正四棱台中，已知，，且棱台的侧面积为6，则该棱台的高为__________．
15．已知函数及其导函数的定义域均为，对任意的，，恒有，则必为__________函数（用“偶、奇、非奇非偶”填空）；若，则__________．
16．在正四面体中，以为直径作球，点在球与的中垂面相交所得的圆上运动，当三棱锥的体积的最小值为时，该正四面体外接球的体积为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步 ．
17．（10分）如图，三棱柱中，，底面，，．
（1）求点到平面的距离；
（2）若直线与距离为4，求与平面所成角的正弦值．
18．（12分）已知数列满足，（其中，）．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）若，，且，求数列的前项和为．
19．（12分）经研究发现所有的一元三次函数的图象都有对称中心，设是一元三次函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数根，则称为一元三次函数的图象的对称中心．根据以上信息和相关知识解答下列问题：已知函数．
（1）求函数图象的对称中心和的值；
（2）若，解关于的不等式．
20．（12分）如图，已知四边形和都是直角梯形，，，，，，，且二面角的大小为．
（1）证明：平面平面；
（2）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由．
21．（12分）已知数列是公差不为零的等差数列，满足，，正项数列的前项和为，且．
（1）求数列和的通项公式；
（2）在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；…；在和之间插入个数，，…，，使，，，，成等差数列．
（ⅰ）求；
（ⅱ）求的值．
22．（12分）已知函数．
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）若过点的切线分别交轴和轴于，两点，为坐标原点，记的面积为，求最小值；
（3）设函数，且不等式对任意恒成立，求实数的值．
高三数学试题参考答案
2023.10
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1-5CBACC 6-8DBC
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．AC 10．ABD 11．ABD 12．ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14． 15．奇 （第一空2分，第二空3分） 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）解：（1）如图，因为底面，面，所以，
又，，平面，，所以平面，
又平面，所以平面平面，
过作交于，又平面平面，平面，
所以平面，则的长为点到平面的距离．
在中，，，则．
所以点到平面的距离为2．
（2）连结因为，，，
所以，所以，
过作，交于，则为中点，
由直线与距离为4，所以，因为，所以，
又点到平面距离也为2，
设与平面所成角为，则．
18．（12分）解：（1）由得，，
所以，数列是以为公比的等比数列．
（2）由，得，数列是以2为公比的等比数列，
又因为，所以，，，
所以，，，
所以，．
19．（12分）
解：（1），，令可得，
因为为三次函数，所以图象的对称中心为，故，
设，则，
所以，故．
（2）不等式化为：，且，即：．
①当时，解得，
②当时，不等式的解集为，
③当时，解得；
综上所述，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为．
20．（12分）解：（1）证明：因为四边形和都是直角梯形，
所以，，，且，所以，平面，
因为平面，所以平面平面．
（2）过点、分别作直线、的垂线、垂足为、．
由已知和平面几何知识易知，，，
则四边形和四边形是矩形，所以在和中，，
假设在上存在点，使得二面角的大小为．
由（1）知平面，则是二面角的平面角，
所以，所以是正三角形．
取的中点，则，又平面，
所以平面，过点作平行线，
则以点为原点，，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
设，则，，，，
则，则，，
设平面的法向量为，
由，得，取，
又平面的法向量，所以，
整理化简的，解得或（舍去）．
所以存在点，使得二面角的大小为，且．
21．（12分）解：（1）设数列的公差为，由题意知，，解得，所以，
因为数列的前项和为，且满足，
当时，，
当时，，
经验证当时，也满足上式，
综上得，．
（2）（ⅰ）在和之间插入个数，，，因为，，，…，成等差数列，
设公差为，，
则．
（ⅱ）设，
则，
设，
即
．
所以，．
22．（12分）
解：（1）函数的定义域为，，
令得，，由得，；由得，，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
列表得：
0
极小值
所以当时的极小值为，无极大值．
函数在上单调递减，在上单调递增．
（2）由题意得，，，所以，
故切线的方程为：，所以，，，
令，，所以，令，，
列表得，
0
极小值
所以当时，，此时．
（3）由条件得，，
令，，，
则不等式对任意恒成立可转化为对任意恒成立，
又，当时，恒成立，所以函数在上单调递减，
又不符合题意，故舍去，
当时，令，解得，
①当时，，此时恒成立，所以函数在上单调递增，
但是，不符合题意，故舍去，
②当且时，由（1）知，，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以，则，即，，④
构造函数，，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，故，
即，，⑤
由④⑤得，即，解得．
