临洮县2023-2024学年高二上学期10月月考
数学试卷
考生注意：
1．满分150分，考试时间120分钟。
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
3．本卷命题范围：湘教版选择性必修第一册2.3.1结束。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．数列，，，，…的一个通项公式可以是（ ）
A． B． C． D．
2．在等差数列中，已知，公差，，则（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
3．直线l过点，斜率为，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．在等比数列中，若，，则的公比（ ）
A． B．2 C． D．4
5．已知等差数列共有21项，若奇数项的和为110，则偶数项的和为（ ）
A．100 B．105 C．90 D．95
6．数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离之半”，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．若已知的顶点，C(0，2)，且，则的欧拉线方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数，若数列满足（）且是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知等比数列的前n项和为．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
9．已知直线l：，A(1，0)，B(3，1)，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l恒过定点（0，1） B．当时，直线l的倾斜角为
C．当时，直线l的斜率不存在 D．当时，直线l与直线AB垂直
10．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱 ”（“钱”是古代的一种重量单位）．关于这个问题，下列说法错误的是（ ）
A．戊得钱是甲得钱的一半 B．乙得钱比丁得钱多钱
C．甲、丙得钱的和是乙得钱的2倍 D．丁、戊得钱的和比甲得钱多钱
11．数列中，，，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
12．列昂纳多 斐波那契（Leonardo Fibonacci，1170—1250年）是意大利数学家，1202年斐波那契在其代表作《算盘书》中提出了著名的“兔子问题”，于是得斐波那契数列，斐波那契数列可用如下递推的方式定义：用（）表示斐波那契数列的第n项，则数列满足：，．下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知直线l过点，，且直线l的方向向量为，则m的值为______．
14．已知等差数列的首项，且，则______．
15．若数列满足对任意的，只有有限个正整数m使得成立，记这样的m的个数为，则得到一个新数列．如数列是1，2，3，…，n，则数列是0，1，2，…，．已知对任意的，，则数列的前8项和为______．
16．在数列中，，，若对于任意的，恒成立，则实数k的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
17．（本小题满分10分）
已知直线：和：．
（1）若，求实数m的值；
（2）若，求实数m的值．
18．（本小题满分12分）
已知数列为等差数列，前n项和记为，，．
（1）求；
（2）求的最小值．
19．（本小题满分12分）
某公司本年度的研发投入估计为100万元，由于时代数据的日新月异，该公司也决定与时倶进．为将公司发展提升到一个新高度，该公司预计今后的研发投入每年都会比上一年增加．
（1）求该公司n年内研发的总投入；
（2）试估计大约几年后，该公司的研发总投入超过3000万元．
（参考数据：，，，）
20．（本小题满分12分）
已知直线l：（）．
（1）求证：无论k取何值，直线l始终经过第一象限；
（2）若直线l与x轴正半轴交于A点，与y轴正半轴交于B点，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
21．（本小题满分12分）
已知数列为等差数列，，公差，数列为等比数列，且，，（）．
（1）求数列的公比q；
（2）设，数列的前n项和为，求满足的n的最小值．
22．（本小题满分12分）
已知为数列的前n项和，，且，，记．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，证明：．
临洮县2023-2024学年高二上学期10月月考
数学
参考答案、提示及评分细则
1．B 分母2，4，6，8是序号n的2倍，分母加1是分子．故选B．
2．D ，，．
3．C
4．B 是等比数列，依题意，，所以．故选B．
5．A 由，有，偶数项的和为100．
6．D 由，，得线段BC中点的坐标为，线段BC所在直线的斜率，所以线段BC垂直平分线的方程为：，即，又因为，所以的外心、中心、垂心都在线段BC的垂直平分线上，所以的欧拉线方程为，故选D．
7．D 由题意知函数在每一段都是单调递增，且，所以，解得，所以实数a的取值范围是(2，3)．
8．C 易知等比数列的首项为1，公比为2，则、、、…、构成首项为1，公比为16的等比数列，故．
9．BD 直线l：，故时，，故直线l恒过定点，选项A错误；
当时，直线l：，斜率，故倾斜角为，选项B正确；
当时，直线l：，斜率，故选项C错误；
当时，直线l：，斜率，，
故，故直线l与直线AB垂直，选项D正确．故选BD．
10．BD 依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，a，，，
则由题意可知，，即，
又，所以，所以，
所以，，，，所以甲得钱，乙得钱，丙得1钱，丁得钱，戊得钱，所以戊得钱是甲得钱的一半，故A正确；
乙得钱比丁得钱多钱，故B错误；
甲、丙得钱的和是乙得钱的倍，故C正确；
丁、戊得钱的和比甲得钱多钱，故D错误．
11．ABD 由题意得：，，，，…，
∴数列是以3为周期的周期数列．
对于A，，A正确，
对于B，，B正确，
对于C，，C错误，
对于D，由递推关系式知：，
∴
，D正确．故选ABD．
12．BD 由题意知，，，，，，，
，故A错误；
对于B，，故B正确，
对于C，
，故C错误；
对于D，由，
则
，故D正确．故选BD．
13． 由题可，解得．
14．0 等差数列的首项，，则．
15．10 由题设，前8项依次为{2，4，8，16，32，64，128，256}，所以，，，所以数列的前8项和为．
16． 由有，故数列为首项为3，公比为3的等比数列，
可得不等式可化为，令（），
当时；当时，．
故有当时，，
故，可得实数k的最小值为．
17．解：（1）由直线的斜率存在，且为，则直线的斜率也存在，且为，
有，解得或2，
①当时，由，此时直线，重合，
②当时，由，此时直线，平行，
由上知若，则实数m的值为2．
（2）①当时，直线的斜率为0，此时若必有必有，不可能；
②当时，若必有，解得．
由上知若，则实数m的值为或．
18．解：（1）设数列的公差为d，由已知，，得
解得，，∴．
（2）数列首项是负的，公差大于零，是递增数列，令
即解得，
∴，即第1项到第12项都是负的，从第13项起变成正的，
∴时，最小，最小值为．
19．解：（1）设第n年该公司研发的投入估计为万元，
则，，所以数列是公比为的等比数列，
所以，
即该公司n年内研发的总投入为万元．
（2）由（1）知，令，所以，
由参考数据易得，，所以，所以大约8年后，该公司的研发总投入超过3000万元．
20．解：（1）因为直线l：，即，
令，得，，
即直线l过定点(2，1)，
所以无论k取何值，直线l始终经过第一象限．
（2）因为直线l与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，所以，
令，解得；令，得，
即，，
∴．
∵，∴，
则，当且仅当，即时，取得等号，
则，
∴，从而S的最小值为4，
此时直线l的方程为，即．
21．解：（1）∵，，，
又，，，，（），
∴，解得．
∴，∴，，
∴．
（2）由（1）知．
设数列的前n项和为，
则，
，
错位相减得：
，
∴．
即，∴，．
∴满足的n的最小值为13．
22．（1）解：时，，
又，满足，所以的通项公式为，．
（2）证明：由（1）可知：，则．
首先，．
所以．
又，所以．
其次，．
所以．
所以．
综上所述．
