北师大版（2019）必修第二册《第一章 三角函数》单元测试卷
一、单选题
1．已知角α的终边过点（m，﹣2），若tan（π+α）＝，则m＝（ ）
A．﹣ B． C．﹣10 D．10
2．如图所示的函数图象对应的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
3．下列函数中，同时满足①对于定义域内的任意x，都有f（﹣x）＝﹣f（x）；②存在区间D，f（x）在区间D上单调递减的函数是（ ）
A．y＝sinx B．y＝x3 C． D．y＝lnx
4．已知函数f（x）＝（x∈R）的最大值为M，最小值为m，则M+m的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．函数f（x）＝，x∈[﹣2π，2π]的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．等于（ ）
A． B． C． D．
7．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为米，肩宽约为米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）
（参考数据：）
A．1.012米 B．1.768米 C．2.043米 D．2.945米
8．若函数f（x）＝sinωx（ω＞0）在（0，）上单调递增，则ω的取值范围是（ ）
A．[，1] B．（0，] C．[，] D．（0，]
二、多选题
（多选）9．已知函数f（x）＝sin[cosx]（[x]表示不超过实数x的最大整数部分），则（ ）
A．f（x）的最小正周期为2π
B．f（x）是偶函数
C．f（x）在单调递减
D．f（x）的值域为[﹣sin1，sin1]
（多选）10．下列说法正确的是（ ）
A． x∈R，使得2x≤0
B．命题“ x∈R，sinx+1＞0”的否定是“ x∈R，sinx+1≤0”
C．“x＞1”的一个充分不必要条件是“x＞0”
D．若m＞0，n＞0，则“|lgm|＝|lgn|”是“mn＝1”的必要不充分条件
三、填空题
11．不等式的解集是 ．
12．已知扇形AOB的圆心角∠AOB＝，弧长为2π，则该扇形的面积为 ．
13．已知函数f（x）＝x3+asinx+btanx+3（a，b为常数），且f（2）＝5，则f（﹣2）＝ ．
14．已知函数y＝sin（ωx﹣）（ω＞0）相邻两个零点之间的距离是，若将该函数的图象向左平移个单位，则所得函数的解析式为 ．
15．已知函数f（x）＝cos2x，若x1，x2满足|f（x1）﹣f（x2）|＝2，则|x1﹣x2|的一个取值为 ．
四、解答题
16．已知函数．
（1）求函数f（x）图像的对称中心以及函数的单调递减区间；
（2）若β∈（0，π），，求角β的大小．
17．设函数的图象关于直线x＝π对称，其中．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若函数y＝f（x）的图象过点（π，0），求f（x）在上的值域；
18．已知角α满足，且lg（cosα）有意义．
（1）试判断角α是第几象限角；
（2）若角α的终边与单位圆相交于点M（，m），求m的值及sinα．
19．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若将函数y＝f（x）的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍，得到函数g（x）的图象，求当x∈[0，π]时，函数y＝g（x）的单调递增区间．
20．已知函数只能同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为2π；②最大值为2；③f（0）＝﹣1；④．
（Ⅰ）请指出f（x）同时满足的三个条件，并说明理由；
（Ⅱ）求f（x）的解析式；
（Ⅲ）求f（x）的单调递增区间．
参考答案与试题解析
一、单选题
1． 解：∵角α的终边过点（m，﹣2），
∴tanα＝﹣，
∵tan（π+α）＝tanα＝，
∴﹣，解得m＝﹣10．
故选：C．
2． 解：根据题意，依次判断选项：
对于A，y＝sinx，其定义域为R，有f（﹣x）＝sin（﹣x）＝sinx＝f（x），是偶函数，
在区间（0，π）上，＞0，sinx＞0，则有f（x）＞0，符合题意，
对于B，y＝cosx，其定义域为R，有f（﹣x）＝cos（﹣x）＝﹣cosx＝﹣f（x），是奇函数，不符合题意；
对于C，y＝sinx，其定义域为R，有f（﹣x）＝sin（﹣x）＝sinx＝f（x），是偶函数，
在区间（0，π）上，＜0，sinx＞0，则有f（x）＜0，不符合题意，
对于D，y＝cosx，其定义域为R，有f（﹣x）＝cos（﹣x）＝﹣cosx＝﹣f（x），是奇函数，不符合题意．
故选：A．
3． 解：对于A，y＝sinx为奇函数，满足①，且在区间（，π）上单调递减，满足②，故A符合题意；
对于B，y＝x3为奇函数，满足①，但在R上单调递增，不满足②，故B不符合题意；
对于C，y＝为偶函数，不满足①，故C不符合题意；
对于D，y＝lnx为非奇非偶函数，不满足①，故D不符合题意．
故选：A．
4． 解：函数f（x）可变形为f（x）＝1+，令g（x）＝，则g（﹣x）＝＝﹣g（x），
∴g（x）为奇函数，
当x＝a时，g（x）有最大值g（a），当x＝﹣a时，g（x）有最小值g（﹣a）＝﹣g（a），
∵f（x）＝1+g（x），
∴当x＝a时，f（x）有最大值g（a）+1，则当x＝﹣a时，f（x）有最小值﹣g（a）+1，
即M＝g（a）+1，m＝﹣g（a）+1，
∴M+m＝2
故选：C．
5． 解：根据题意，f（x）＝，x∈[﹣2π，2π]，有f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），
则f（x）在[﹣2π，2π]上为奇函数，排除C，D；
又由在区间（0，）上，x＞0，sinx＞0，cosx＞0，则f（x）＝＞0，函数图象在x轴上方，排除B，
故选：A．
6． 解：＝＝＝＝．
故选：D．
7． 解：由题得：弓所在的弧长为：l＝++＝；
所以其所对的圆心角α＝＝；
∴两手之间的距离d＝2Rsin＝×1.25≈1.768．
故选：B．
8． 解：∵函数f（x）＝sinωx（ω＞0）在（0，）上单调递增，
∴ω×≤，∴ω≤，
故选：D．
二、多选题
9． 解：对于A：函数f（x）＝sin[cosx]（[x]表示不超过实数x的最大整数部分），
当x＝0时f（x）＝sin1，x时，
当0＜cosx＜1，f（x）＝0，
当x时，﹣1＜cosx＜0，f（x）＝﹣sin1，
当x＝π时，f（x）＝﹣sin1，
当x时，﹣1＜cosx＜0，f（x）＝﹣sin1，
当x＝时，f（x）＝0，
当x时，0＜cosx＜1，f（x）＝0，
当x＝2π时，f（x）＝sin1，故A正确．
对于B：令﹣x＝x，所以cos（﹣x）＝cosx，故函数f（x）为偶函数，故B正确．
对于C：x时mf（x）＝0，不单调，故C错误．
对于D：函数取到的值为sin1，0，﹣sin1，故D错误．
故选：AB．
10． 解：对于A，∵2x＞0恒成立，所以A错；
对于B，命题“ x∈R，sinx+1＞0”的否定是“ x∈R，sinx+1≤0”，所以B对；
对于C，∵x＞1 x＞0，反之不成立，所以C错；
对于D，若|lgm|＝|lgn|，则lgm＝lgn或lgm＝﹣lgn，那么或lg（mn）＝0，也即或mn＝1，
∴“|lgm|＝|lgn|”不是“mn＝1”充分条件；
若mn＝1 lgm+lgn＝0 |lgm|＝|lgn|，所以“|lgm|＝|lgn|”是“mn＝1”的必要条件；
从而“|lgm|＝|lgn|”是“mn＝1”的必要不充分条件，所以D对．
故选：BD．
三、填空题
11． 解：满足不等式的区域如图所示的阴影部分，
故x的范围为[0，]∪[]．
故答案为：[0，]∪[]．
12． 解：扇形的圆心角为，
则半径R＝＝6，
则扇形的面积S＝×2π×6＝6π，
故答案为：6π
13． 解：根据题意，函数f（x）＝x3+asinx+btanx+3，则f（﹣x）＝﹣（x3+asinx+btanx）+3，
则有f（x）+f（﹣x）＝6，故f（2）+f（﹣2）＝6；
又由f（2）＝5，则f（﹣2）＝1；
故答案为：1．
14． 解：∵函数y＝sin（ωx﹣）（ω＞0）相邻两个零点之间的距离是 ＝，∴ω＝2，函数为y＝sin（2x﹣）．
若将该函数的图象向左平移个单位，则所得函数的解析式为y＝sin（2x+﹣）＝sin2x，
故答案为：y＝sin2x．
15． 解：时满足题意，
∴|x1﹣x2|的一个取值为．
故答案为：．
四、解答题
16． 解：（1）函数，
令，整理得，
所以函数的对称中心为（）（k∈Z）．
令（k∈Z），
整理得：（k∈Z），
故函数的单调递减区间为[]（k∈Z）．
（2）由于，
且满β∈（0，π），故，
所以，
整理得．
17． 解：（1）函数的图象关于直线x＝π对称，
∴2πω﹣＝+kπ，k∈Z，
∴ω＝+，k∈Z，
∵，
∴ω＝，
∴T＝＝3π，
故f（x）的最小正周期为3π；
（2）由（1）可得f（x）＝2sin（x﹣）+m，
∵函数y＝f（x）的图象过点（π，0），
∴2sin（﹣）+m＝0，
解得m＝﹣2，
∴f（x）＝2sin（x﹣）﹣2，
∵x∈[0，]，
∴x﹣∈[﹣，]，
∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，
∴2sin（x﹣）﹣2∈[﹣3，0]，
故函数f（x）的值域为[﹣3，0]．
18． 解：（1）由，且lg（cosα）有意义，
得，∴α为第四象限角；
（2）∵角α的终边与单位圆相交于点M（，m），
∴（）2+m2＝1，解得m＝±，又α为第四象限角，
∴m＝﹣．
则sinα＝﹣．
19． 解：（1）根据函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，|ω|＜）的部分图象，
可得A＝1， ＝﹣，∴ω＝2．
再根据五点法作图，2×+φ＝π，∴φ＝，
∴f（x）＝sin（2x+）．
（2）若将函数y＝f（x）的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍，
得到函数g（x）＝sin（x+） 的图象，
对于函数y＝g（x），令2kπ﹣≤x+≤2kπ+，求得3kπ﹣≤x≤3kπ+，
可得g（x）的增区间为[3kπ﹣，3kπ+]，k∈Z．
结合x∈[0，π]，可得增区间为[0，]．
20． 解：（Ⅰ）若函数f（x）满足条件③，则f（0）＝Asinφ＝﹣1，
这与A＞0，0＜φ＜矛盾，故函数f（x）不能满足条件③，
所以函数f（x）只能满足条件①，②，④，
（Ⅱ）由条件①，可得＝2π，
又因为ω＞0，可得ω＝1，
由条件②，可得A＝2，
由条件④，可得f（﹣）＝2sin（﹣+φ）＝0，
又因为0＜φ＜，
所以φ＝，
所以f（x）＝2sin（x+）；
（Ⅲ）由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，
可得：2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，
可得f（x）的单调递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）
