1．1 空间向量及其运算
1.1.2 空间向量的数量积运算
一．选择题
1.下列式子中，正确的是( )
A．a·|a|＝a2 B．(a·b)2＝a2·b2
C．(a·b)c＝a(b·c) D．|a·b|≤|a|·|b|
2．已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于( )
A．12 B．8＋
C．4 D．13
3．(多选)已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是( )
A．(＋＋)2＝32
B．·(－)＝0
C．向量与向量的夹角是60°
D．正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|A··A|
4.已知|a|＝1，|b|＝，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为( )
A．60° B．30°
C．135° D．45°
5．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝( )
A． B．
C． D．4
6．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|等于( )
A． B．97
C． D．61
7. 如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于( )
A．6 B．6
C．12 D．144
8. 设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是( )
A．钝角三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．不确定
9．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉＝( )
A．4 B．
C．－ D．0
10．(多选)下列命题正确的为( )
A．若a·b＝0，则a，b有可能均不为0
B．若a≠0且a·b＝a·c，则b＝c
C．(a·b)·c＝a·(b·c)
D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
二、填空题
11．已知a，b是空间两向量，若|a|＝3，|b|＝2，|a－b|＝，则a与b的夹角为________．
12．已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则λ＝__________，|m－n|＝________.
13．已知空间四边形OABC，若各边及对角线长都相等，且E，F分别为AB，OC的中点，则向量与的夹角的余弦值为__________．
14．设a⊥b，〈a，c〉＝，〈b，c〉＝，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则|a＋b＋c|＝________.
15．设|m|＝1，|n|＝2,2m＋n与m－3n垂直，a＝4m－n，b＝7m＋2n，则〈a，b〉＝________.
三、解答题
16．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝AD＝1，求PB与CD所成的角．
17．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是边长为的正三角形，且侧棱AA1⊥底面ABC．
(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱长．
18. 如图，已知在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC．求证：OA⊥BC．
1．1 空间向量及其运算
1.1.2 空间向量的数量积运算
一．选择题
1.下列式子中，正确的是( )
A．a·|a|＝a2 B．(a·b)2＝a2·b2
C．(a·b)c＝a(b·c) D．|a·b|≤|a|·|b|
答案 D
解析 A显然错误；(a·b)2＝(|a||b|cos〈a，b〉)2＝|a|2·|b|2cos2〈a，b〉．而a2·b2＝|a|2|b|2≠(a·b)2，所以B错误；因为数量积的运算不满足结合律，所以C错误；因为|a·b|＝|a||b||cos〈a，b〉|，而|cos〈a，b〉|≤1，所以D正确．
2．已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于( )
A．12 B．8＋
C．4 D．13
答案 D
解析 (2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|cos120°＝2×4－2×5×＝13.故选D．
3．(多选)已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是( )
A．(＋＋)2＝32
B．·(－)＝0
C．向量与向量的夹角是60°
D．正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|A··A|
答案 AB
解析 由向量的加法得到＋＋＝，∵A1C2＝3A1B，∴2＝32，∴A正确；∵－＝，AB1⊥A1C，∴·＝0，故B正确；∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的夹角为60°，但是向量与向量的夹角是120°，故C不正确；∵AB⊥AA1，∴A·＝0，故|A··|＝0，因此D不正确．故选AB．
4.已知|a|＝1，|b|＝，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为( )
A．60° B．30°
C．135° D．45°
答案 D
解析 ∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0，∴a·a－a·b＝|a|2－|a||b|cos〈a，b〉＝1－1××cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝.∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝45°.
5．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝( )
A． B．
C． D．4
答案 C
解析 |a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2
＝|a|2＋6|a||b|cos〈a，b〉＋9|b|2，
∵|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，
∴|a＋3b|2＝13，∴|a＋3b|＝.
6．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|等于( )
A． B．97
C． D．61
答案 C
解析 |2a－3b|2＝(2a－3b)2＝4a2－12a·b＋9b2
＝4×22－12×2×3×＋9×32＝61.
∴|2a－3b|＝.
7. 如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于( )
A．6 B．6
C．12 D．144
答案 C
解析 ∵＝＋＋，∴2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144，∴PC＝12.故选C．
8. 设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是( )
A．钝角三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．不确定
答案 B
解析 ＝－，＝－，·＝(－)·(－)＝·－·－·＋||2＝||2>0，
∴cos∠CBD＝cos〈，〉＝>0，
∴∠CBD为锐角，同理，∠BCD与∠BDC均为锐角，
∴△BCD为锐角三角形．
9．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉＝( )
A．4 B．
C．－ D．0
答案 D
解析 ·＝·(－)＝·－·＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉，因为〈，〉＝〈，〉＝，||＝||，所以·＝0，所以⊥，所以cos〈，〉＝0.故选D．
10．(多选)下列命题正确的为( )
A．若a·b＝0，则a，b有可能均不为0
B．若a≠0且a·b＝a·c，则b＝c
C．(a·b)·c＝a·(b·c)
D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
答案 AD
解析 若a·b＝0 |a||b|cos〈a，b〉＝0 a＝0或b＝0，或cos〈a，b〉＝0，故A正确；若a·b＝a·c，则a·(b－c)＝0，尽管有a≠0，也不能得到b＝c，因为有可能a⊥(b－c)，故B不正确；因为(a·b)·c＝λc(即[(a·b)·c]∥c)，而a·(b·c)＝μa(即[a·(b·c)]∥a)，而a与c不一定共线，当然λc与μa不一定相等，故C不正确；(3a＋2b)·(3a－2b)＝9a·a－6a·b＋6a·b－4b·b＝9a2－4b2＝9|a|2－4|b|2，故D正确．故选AD．
二、填空题
11．已知a，b是空间两向量，若|a|＝3，|b|＝2，|a－b|＝，则a与b的夹角为________．
答案 60°
解析 由|a－b|＝，得(a－b)2＝7，
即|a|2－2a·b＋|b|2＝7，∴2a·b＝6.
∴|a||b|cos〈a，b〉＝3.∴cos〈a，b〉＝，〈a，b〉＝60°.即a与b的夹角为60°.
12．已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则λ＝__________，|m－n|＝________.
答案 － 10
解析 由于m⊥n，
所以m·n＝(a＋b)·(a＋λb)＝0，
即a2＋λb2＋(λ＋1)a·b＝0，
又|a|＝3，|b|＝4，〈a，b〉＝135°，
所以18＋16λ＋(λ＋1)×3×4×cos135°＝0，
解得λ＝－.
由m＝a＋b，n＝a－b，得m－n＝b，
则|m－n|＝|b|＝10.
13．已知空间四边形OABC，若各边及对角线长都相等，且E，F分别为AB，OC的中点，则向量与的夹角的余弦值为__________．
答案 －
解析 如图，不妨设＝a，＝b，＝c，
且|a|＝|b|＝|c|＝1，则
a·b＝b·c＝c·a＝，
∵＝(a＋b)，＝c－b，
且||＝，||＝.
∴·＝(a＋b)·
＝a·c＋b·c－a·b－b2＝－.
∴cos〈，〉＝＝－.
14．设a⊥b，〈a，c〉＝，〈b，c〉＝，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则|a＋b＋c|＝________.
答案
解析 |a＋b＋c|2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝12＋22＋32＋2×1×3×cos＋2×2×3×cos＝23.故|a＋b＋c|＝.
15．设|m|＝1，|n|＝2,2m＋n与m－3n垂直，a＝4m－n，b＝7m＋2n，则〈a，b〉＝________.
答案 0°
解析 ∵(2m＋n)⊥(m－3n)，∴(2m＋n)·(m－3n)＝0，化简得m·n＝－2.
又|a|＝＝＝＝6，
|b|＝＝＝＝3，
a·b＝(4m－n)·(7m＋2n)＝28|m|2－2|n|2＋m·n＝18，∴cos〈a，b〉＝＝＝1，〈a，b〉＝0°.
三、解答题
16．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝AD＝1，求PB与CD所成的角．
解 由题意知，PB＝，CD＝，
∵PA⊥平面ABCD，
∴·＝·＝·＝0.
∵AB⊥AD，∴·＝0.
∵AB⊥BC，∴·＝0.
∴·＝(＋)·(＋＋)＝2＝||2＝1.
∴cos〈，〉＝＝.
∴PB与CD所成的角为60°.
17．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是边长为的正三角形，且侧棱AA1⊥底面ABC．
(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱长．
解 (1)证明：＝＋，＝＋.
∵BB1⊥平面ABC，∴·＝0，·＝0.
又△ABC为正三角形，
∴〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝.
∴·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋2＋·
＝||·||·cos〈，〉＋2
＝××＋1＝0，
∴⊥，即AB1⊥BC1.
(2)结合(1)，知·
＝||·||·cos〈，〉＋2＝2－1.
又||＝＝＝||.
∴cos〈，〉＝＝，
∴||＝2，即侧棱长为2.
18. 如图，已知在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC．求证：OA⊥BC．
证明 ∵OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，
∴△OAC≌△OAB．
∴∠AOC＝∠AOB．
∵·＝·(－)＝·－·
＝||||cos∠AOC－||||cos∠AOB＝0，
∴OA⊥BC．
