湖南省长沙市岳麓区长郡双语实验中学2022-2023学年九年级上学期入学数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36分。）
1．（2022九上·岳麓开学考）若平行四边形中两内角的度数比为2：3，则其中较小的内角是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022九上·岳麓开学考）期末考试后，办公室里有两位数学老师正在讨论他们班的数学考试成绩，邱老师：“我班的学生考得还不错，有一半的学生考90分以上，一半的学生考不到90分，”张老师：“我班大部分的学生都考在85分到90分之间，“依照上面两位老师所叙述的话你认为邱者师、张者师所说的话分别针对（ ）
A．平均数、众数 B．中位数、众数
C．中位数、方差 D．平均数、中位数
3．（2022八下·平谷期末）已知一次函数 ，那么下列结论正确的是（ ）
A．y 的值随 x 的值增大而增大 B．图象经过第一、二、三象限
C．图象必经过点 D．当 时，y<0
4．（2022·鄂尔多斯）一组数据2，4，5，6，5．对该组数据描述正确的是（ ）
A．平均数是4.4 B．中位数是4.5 C．众数是4 D．方差是9.2
5．（2022九上·岳麓开学考）如图，一次函数的图象经过点和点，一次函数的图象过点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022九上·岳麓开学考）某商场销售某种水果，第一次降价60%，第二次又降价10%，则这两次平均降价的百分比是（ ）
A．35% B．30% C．40% D．50%
7．（2022九上·岳麓开学考）根据表格中二次函数的自变量与函数值的对应值，可以判断方程的一个解的范围是（ ）
0 0.5 1 1.5 2
-1 -0.5 1 3.5 7
A． B． C． D．
8．（2022九上·岳麓开学考）已知二次函数为常数的图象与轴有交点，且当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
9．（2022九上·岳麓开学考）已知，，且，令，则函数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022九上·岳麓开学考）设、是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A．2020 B．2021 C．-1 D．-2
11．（2020九上·南宁期末）如图，抛物线 与 轴交于点 ,与 轴的负半轴交于点 ,点 是对称轴上的一个动点.连接 ,当 最大时，点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
12．（2021八下·南京期末）如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，动点F从点B出发，沿BC运动到点C时停止，以EF为边作 EFGH，且点G、H分别在CD、AD上.在动点F运动的过程中， EFGH的面积（ ）
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．不变 D．先增大，再减小
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
13．（2022九上·岳麓开学考）将一次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象表达式为 ．
14．（2022九上·岳麓开学考）中国贵州省省内的射电望远镜是目前世界上口径最大，精度最高的望远镜根据有关资料显示，该望远镜的轴截面呈抛物线状，口径为500米，最低点到口径面的距离是100米，若按如图（2）所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是 ．
15．（2022九上·岳麓开学考）若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是 ．
16．（2022九上·岳麓开学考）如图，在平行四边形中，，，，作对角线的垂直平分线，分别交对边、于点和点，则的长为 ．
17．（2021九上·长沙开学考）对于任意实数 ，抛物线 与 轴都有公共点.则 的取值范围是 .
18．（2022九上·岳麓开学考）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：
；；；；，的实数．
其中正确的结论有 填序号
三、解答题（本大题共8小题，共66分。）
19．（2022九上·岳麓开学考）解一元二次方程：
（1）；（用配方法）
（2）．
20．（2022九上·岳麓开学考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于，且与正比例函数图象交于点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）直接写出时，的取值范围．
21．（2022九上·岳麓开学考）甲乙两组各有10名学生，进行电脑汉字输入速度比赛，现将他们的成绩进行统计，过程如下：
收集数据
各组参赛学生每分钟输入汉字个数统计如下表：
输入汉字个 132 133 134 135 136 137
甲组人数人 1 0 1 5 2 1
乙组人数人 0 1 4 1 2 2
分析数据
两组数据的众数、中位数、平均数、方差如下表所示：
组 众数 中位数 平均数 方差
甲组 135 1.6
乙组 134 135
得出结论
（1）①直接写出，的值： ▲ ， ▲ ；
②求和的值；
（2）请你根据所学的统计知识，从不同角度评价甲、乙两组学生的比赛成绩至少从两个角度进行评价．
22．（2022九上·岳麓开学考）如图，在中，，是的中点，过点作交于点，过点作交的延长线于点，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
23．（2022九上·岳麓开学考）已知关于的方程
（1）求证：无论取何值，此方程总有实数根；
（2）若此方程有两个整数根，求正整数的值；
（3）若一元二次方程满足，求的值．
24．（2022·鄂尔多斯）某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个．
（1）求第二批每个挂件的进价；
（2）两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？
25．（2022九上·岳麓开学考）如图，已知二次函数的图象的顶点为，且过点．
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）若一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，为抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，以为直径作圆交直线于点设点的横坐标为，问：当为何值时，线段的长取得最小值？最小值为多少？
26．（2022九上·岳麓开学考）已知抛物线过点，两点，与轴交于点，．
（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）过点作，垂足为，求证：四边形为正方形；
（3）若点为线段上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，设，，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
解得：，
，
即其中较小的内角是，
故答案为：D．
【分析】如图，设∠A=3x，∠B=2x，由平行四边形的邻角互补可得∠A+∠B=180°，于是可得关于x的方程，解方程可求解.
2．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：有一半的学生考90分以上，一半的学生考不到90分，
∴90分是这组数据的中位数，
大部分的学生都考在85分到90分之间，
众数在此范围内．
故答案为：B．
【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数，根据定义并结合题意可求解.
3．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由于一次函数y=-x+2的k=-1<0，所以y的值随x的值增大而减小，故该选项不符合题意；
B、一次函数y=-x+2的k=-1<0，b=2>0，所以该函数过一、二、四象限，故该选项不符合题意；
C、将（0，2）代入y=-x+2中得2=0+2，等式成立，所以（0，2）在y=-x+2上，故该选项符合题意；
D、一次函数y=-x+2的k=-1<0，所以y的值随x的值增大而减小，所以当x<2时，y>0，故该选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用一次函数的图象、性质与系数的关系逐项判断即可。
4．【答案】A
【知识点】分析数据的集中趋势
【解析】【解答】解： A、平均数为＝4.4，符合题意；
B、中位数为5，不符合题意；
C、将这组数据重新排列为2，4，5，5，6，所以这组数据的众数为5，不符合题意；
D、方差为[（2﹣4.4）2+（4﹣4.4）2+2×（5﹣4.4）2+（6﹣4.4）2]＝1.84，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据平均数，中位数，众数和方差的定义计算求解即可。
5．【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由图象可知：正比例函数和一次函数的图象的交点是，
不等式的解集是，
一次函数的图象与轴的交点坐标是，
不等式的解集是，
不等式的解集是，
故答案为：B．
【分析】由题意可知不等式的解集即为直线y=kx+b在x轴下方的部分和直线y=2x的图象低于直线y=kx+b的图象上的x的范围，结合图象可得不等式2x＜kx+b≤0的解集.
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设这两次平均降价的百分比是，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去，
这两次平均降价的百分比是40%．
故答案为：C．
【分析】设这两次平均降价的百分比是x，根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率）增长次数可列方程求解.
7．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：观察表格可知：当时，；当时，，
方程为常数的一个解的范围是．
故答案为：B．
【分析】由表格中的信息可知，当x=0.5时，y=-0.5；当x=1时，y=1，由此可得x的取值范围.
8．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数为常数的图象与轴有交点，
．
．
解得：．
，
二次函数的图象的对称轴为直线．
当时，随的增大而增大，
．
．
故答案为：B．
【分析】根据抛物线与x轴有交点可得，Δ=b2-4ac≥0，解不等式即可得到m的范围；根据a= 1＜0可得抛物线的开口向下，对称轴直线左侧y随x的增大而增大，据此得m的范围，综合以上信息即可求解．
9．【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：，，
，
当时，有最小值-4，
，
当时，有最大值5，
函数S的取值范围是，
故答案为：A．
【分析】由题意把x、y代入S=xy并配方得S=xy=（t+1）2-4，由解析式可知抛物线的开口向上，对称轴直线是t=-1，故当t=-1时，S有最小值-4，结合-2≤t≤2可知，当t=2时有最大值5，于是可得S的取值范围是-4≤S≤5.
10．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：、是方程的两个实数根，
，，，
，
．
故答案为：C．
【分析】由一元二次方程的根的意义可得a2+a-2021=0，则a2+a=2021，由一元二次方程的根与系数的关系可得a+b=-=-1，ab==-2021，将所求代数式变形得原式=（a2+a）+ab+(a+b)，然后整体代换即可求解.
11．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形三边关系
【解析】【解答】解:根据三角形三边的关系得：
≤AB,当ABM三点共线时取等号，
当 B,A,M三点共线时， 最大,
则直线 与对称轴的交点即为点 .
由 可知， ,
对称轴
设直线 为 .
故直线 解析式为
当 时，
.
故答案为：D.
【分析】先根据题意求出点A、点B的坐标，抛物线的对称轴为x=1,根据三角形三边的关系得 ≤AB,当A、B、M三点共线时取等号，即M点是x=-1与直线AB的交点时， 最大.求出点M的坐标即可.
12．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x，
连接EG，
∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF＝HG，EF∥HG，
∴∠FEG＝∠HGE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BEG＝∠DGE，
∴∠BEG﹣∠FEG＝∠DGE﹣∠EGH，
∴∠BEF＝∠HGD
∵EF＝HG，∠B＝∠D，
∴Rt△BEF≌Rt△DGH（AAS），
同理Rt△AEH≌Rt△CGF，
∴S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2(S△BEF+S△AEH)
＝ab﹣2[ cx+ (a﹣c)(b﹣x)]
＝ab﹣(cx+ab﹣ax﹣bc+cx)
＝ab﹣cx﹣ab+ax+bc﹣cx
＝(a﹣2c)x+bc，
∵E是AB的中点，
∴a＝2c，
∴a﹣2c＝0，
∴S平行四边形EFGH＝bc＝ ab，
故答案为：C.
【分析】设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x，连接EG，利用平行四边形的性质可证得EF＝HG，EF∥HG，由平行线的性质可得∠FEG＝∠HGE；由矩形的性质去证明∠BEF＝∠HGD；利用AAS证明Rt△BEF≌Rt△DGH，同理可证Rt△AEH≌Rt△CGF；S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2(S△BEF+S△AEH)，利用矩形和三角形的面积公式，可得到S平行四边形EFGH＝(a﹣2c)x+bc；然后证明a-2c=0，由此可证得平行四边形EFGH的面积=矩形ABCD的面积的一半，可得答案.
13．【答案】y=3x-4
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：根据平移，得，
化简，得y=3x-4，
故答案为：y=3x-4．
【分析】由图象平移规律“左加右减、上加下减”可求解.
14．【答案】
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由题意可得：，，
设抛物线解析式为：，
则，
解得：，
故抛物线解析式为：．
故答案为：．
【分析】由题意可设抛物线解析式为y=ax2+k，将A、B两点的坐标代入解析式可求得a、k的值，于是抛物线的解析式可求解.
15．【答案】k≥-3且k≠-2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得且，
解得k≥-3且k≠-2，
所以实数k的取值范围是k≥3且k≠-2．
故答案为：k≥-3且k≠-2．
【分析】根据一元二次方程的一般形式“ax2+bx+c=0(a≠0)”可得关于k的不等式：k+2≠0；根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"并结合已知可得关于a的不等式：b2-4ac=(-2)2-4(k+2)(-1)≥0，解这两个不等式可求解.
16．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接CE，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，
平行四边形ABCD中，，，
，，
又，
，
，
设，则，
∵EF垂直平分AC，
，
在中，，
，
解得，
的长为．
故答案为：．
【分析】如图，连接CE，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，由平行四边形对边相等得BC=AD，由邻补角的定义可得∠CBH=45°，根据直角三角形两锐角互余可求得∠BCH=45°，然后根据等角对等边可得CH=BH；设AE=x，则由线段的构成得BE=AB-AE=8-x；由线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得CE=AE=x，在直角三角形CEH中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程可求解.
17．【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：由抛物线 与 轴都有公共点可得： ，即 ，
∴ ，
设 ，则 ，
要使对于任意实数 ，抛物线 与 轴都有公共点，则需满足 小于等于 的最小值即可，
∴ ，即 的最小值为 ，
∴ ；
故答案为 .
【分析】根据抛物线与x轴有公共点，则可由△≥0来判断，则得，于是设 ，则需满足 小于等于 的最小值，再根据二次函数的性质求出t的最小值，即可解答.
18．【答案】③④⑤
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为x=1，能得到：，，，
，
，
∴①错误；
②当时，由图象知，
把代入解析式得：，
，
∴②错误；
③由①知，，
所以．
∴③正确；
④∵由①②知且，
，④正确；
⑤时，最大值，
时，，
的实数，
，
成立．
∴⑤正确．
故正确结论的序号是③④⑤．
【分析】①观察抛物线可知：开口向下，可得a＜0；抛物线与y轴交于正半轴可得c＞0；抛物线的对称轴在y轴右侧可得a、b异号，b＞0，然后根据有理数乘法的符号法则可得abc＜0；
②观察图象可知：当x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0，移项可得b＞a+c；
③由①可得a＜0，c＞0，由图中的对称轴x=1可得-=1，则b=-2a，把b=-2a代入4a+2b+c=c＞0；
④由①和②的结论可得2c＜3b；
⑤观察图象可知：当x=1时，y有最大值，所以a+b+c＞am2+bm+c，整理可得a+b＞am2+bm.
19．【答案】（1）解：，
，
，
，
，
所以，；
（2）解：，
，
，
或，
所以，．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）由配方法的步骤“把常数项移到等号的右边，方程两边同时除以二次项的系数2将二次项的系数化为1，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方“”，左边配成完全平方式，再两边开平方”即可求解；
（2）观察方程可知：原方程中含有公因式（x+2），用提公因式可将原方程化为两个一元一次方程，解之可求解.
20．【答案】（1）解：图象交于点，
，解得：，
与轴交于，与图象交于点，
，
解得：，
一次函数的解析式为：；
（2）解：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：（2）根据图象得：当时，有．
【分析】（1）把点C（a，6）代入直线y=2x计算可求得a的值，从而得出点C的坐标，然后再将A、C的坐标代入直线y=mx+n可得关于m、n的方程组，解方程组求得m、n的值，从而即可求出直线y=mx+n的解析式；
（2）求不等式mx+n＞2x得解集，即为直线y=mx+n的图象高于直线y=2x的图象部分自变量的取值范围，结合图形即可求解.
21．【答案】（1）解：①135；134.5；
②甲组的平均数；
乙组的方差；
（2）解：从中位数看，甲组每分钟输入135字以上的人数比乙组多，甲组成绩更好一些；
从方差看，，甲组成绩波动小，比较稳定．
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势
【解析】【解答】解：（1）①甲组的众数135；
乙组中位数是；
故答案为：135，134.5；
【分析】（1）①众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后，偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数，根据定义并结合表格中的信息可求解；
②根据平均数公式“”并结合表格中的信息计算可求得n的值；根据方差公式“”并结合表格中的信息计算可求得m的值；
（2）中位数代表一组数据的“中等水平”，根据中位数可知甲组成绩更好一些； 方差就是样本数据与样本平均数偏差的平方的平均数，样本方差越大，则样本数据波动越大，相应总体数据波动越大；样本方差越小，样本数据波动越小，相应总体数据波动越小；所以从方差来看， 甲组成绩波动小，比较稳定．
22．【答案】（1）证明：点是的中点，
，
，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形
（2）解：由得：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）由线段中点定义可得AD=DC，由平行线的性质可得∠FAD=∠ECD，∠AFD=∠CED，结合已知条件用角角边可证△AFD≌△CED，根据全等三角形的对应边相等可得AF=EC，结合已知由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AECF是平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得平行四边形AECF是菱形；
（2）由菱形的性质得AE=CF，AE∥CF，∠ECF=∠FAE=2∠FAC=60°=∠AEB，∠ACB=∠FAC=30°，由直角三角形两锐角互余可得∠B=60°，根据有两个角等于60° 的三角形是等边三角形可得三角形ABE是等边三角形，然后根据等边三角形的性质得AB=AE可求解.
23．【答案】（1）证明：当，即时，原方程为，
解得：；
当，即时，，
方程有实数根．
综上可知：无论取何值，此方程总有实数根．
（2）解：方程有两个整数根，
，，且，
为整数，为正整数，
或．
（3）解：由得，，且，
，
解得：或，
经检验或是原方程的解．
故的值为-3或0．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）由题意分两种情况：①当二次项系数为0时，即k+1=0，可得关于x的一元一次方程为-4x-4=0，解得x=-1；②当K+1≠0时，计算b2-4ac=（3k-1）2-4(k+1)(2k-2)=(k-3)2，由平方的非负性可得b2-4ac=(k-3)2≥0，根据一元二次方程的根的判别式“①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根”可得原方程有两个实数根；结合两种情况可得：无论k取何值，原方程总有两个实数根；
（2）由题意用公式法解方程可得x1=-1；x2=-2+，根据方程有两个整数根且k为正整数可得k=1或k=3；
（3）由（2）可得x1=-1；x2=-2+，且k≠-1；把x1、x2代入已知的等式=3可得关于k的方程，解方程可求解.
24．【答案】（1）解：设第二批每个挂件的进价为x元，则第一批每个挂件的进价为1.1x元，
根据题意可得，
，
解得x＝40．
经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合实际意义，
∴1.1x＝44．
∴第二批每个挂件的进价为40元．
（2）解：设每个售价定为y元，每周所获利润为w元，
根据题意可知，w＝（y﹣40）[40+10（60﹣y）]＝﹣10+1440，
∵﹣10＞0，
∴当x≥52时，y随x的增大而减小，
∵40+10（60﹣y）≤90，
∴y≥55，
∴当y＝55时，w取最大，此时w＝﹣10+1440＝1350．
∴当每个挂件售价定为55元时，每周可获得最大利润，最大利润是1350元．
【知识点】分式方程的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再解方程即可；
（2）先求出 w＝（y﹣40）[40+10（60﹣y）]＝﹣10+1440， 再利用函数解析式计算求解即可。
25．【答案】（1）解：设这个二次函数的关系式为．
把，代入得，解得．
故这个二次函数的关系式为或写成．
（2）解：由题意知，
当时，取得最小值为．
易证∽，
，
．
当时，取得最小值，为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）由题意可设二次函数的解析式为顶点式y=a(x-2)2+1，再把点N的坐标代入解析式可求得a的值，则抛物线的解析式可求解；
（2）根据点P在抛物线上，可将点P的纵坐标用含n的代数式表示出来，由PQ∥y轴可知P、Q两点的横坐标相同，根据点Q在直线y=-x-4上，可将点Q的纵坐标用含n的代数式表示出来，则可得PQ与n之间的函数关系式，根据二次函数的性质可得当n=时，PQ取得最小值；根据△DPQ∽△OAB可得比例式，于是DQ=PQ，把n=代入DQ=PQ可求解.
26．【答案】（1）解：函数的表达式为：，
即：，解得：，
故抛物线的表达式为：，
，
顶点；
（2）证明：，
，
，
，
，
四边形为菱形，
，
，
四边形为正方形；
（3）解：存在，理由：
如图，过点作与轴夹角为的直线，作，垂足为，交于点，
则，最小值，
，
直线所在表达式中的值为，
直线的表达式为：，
则直线所在表达式中的值为，
则直线的表达式为：，将点的坐标代入并解得：，
则直线的表达式为：，
联立①②并解得：，
故点，
点，
则，
即：的最小值为．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；待定系数法求二次函数解析式；正方形的判定；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）由题意用交点式可求得抛物线的解析式；将抛物线的解析式配成顶点式可得顶点D的坐标；
（2）解直角三角形AMB可求得AM=BM的值，用两点间的距离公式可求得AD=BD的值，根据计算结果可得AM=BM=AD=BD，由四边都相等的四边形是菱形可得四边形ADBM是菱形，然后根据有一个角是直角的菱形是正方形可得四边形ADBM是正方形；
（3） 存在，理由：如图，过点C作与y轴夹角为30°的直线CH，作AH⊥CH，垂足为H，交OC于点Q，由题意可知：AQ+QC的最小值=AQ+HQ=AH，结合已知易求得直线HC、AH的解析式，于是将直线HC和AH的解析式联立解方程组可求出点H的坐标，则可求得AH的值，即为AQ+QC的最小值.
湖南省长沙市岳麓区长郡双语实验中学2022-2023学年九年级上学期入学数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36分。）
1．（2022九上·岳麓开学考）若平行四边形中两内角的度数比为2：3，则其中较小的内角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，设，，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
解得：，
，
即其中较小的内角是，
故答案为：D．
【分析】如图，设∠A=3x，∠B=2x，由平行四边形的邻角互补可得∠A+∠B=180°，于是可得关于x的方程，解方程可求解.
2．（2022九上·岳麓开学考）期末考试后，办公室里有两位数学老师正在讨论他们班的数学考试成绩，邱老师：“我班的学生考得还不错，有一半的学生考90分以上，一半的学生考不到90分，”张老师：“我班大部分的学生都考在85分到90分之间，“依照上面两位老师所叙述的话你认为邱者师、张者师所说的话分别针对（ ）
A．平均数、众数 B．中位数、众数
C．中位数、方差 D．平均数、中位数
【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：有一半的学生考90分以上，一半的学生考不到90分，
∴90分是这组数据的中位数，
大部分的学生都考在85分到90分之间，
众数在此范围内．
故答案为：B．
【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数，根据定义并结合题意可求解.
3．（2022八下·平谷期末）已知一次函数 ，那么下列结论正确的是（ ）
A．y 的值随 x 的值增大而增大 B．图象经过第一、二、三象限
C．图象必经过点 D．当 时，y<0
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由于一次函数y=-x+2的k=-1<0，所以y的值随x的值增大而减小，故该选项不符合题意；
B、一次函数y=-x+2的k=-1<0，b=2>0，所以该函数过一、二、四象限，故该选项不符合题意；
C、将（0，2）代入y=-x+2中得2=0+2，等式成立，所以（0，2）在y=-x+2上，故该选项符合题意；
D、一次函数y=-x+2的k=-1<0，所以y的值随x的值增大而减小，所以当x<2时，y>0，故该选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用一次函数的图象、性质与系数的关系逐项判断即可。
4．（2022·鄂尔多斯）一组数据2，4，5，6，5．对该组数据描述正确的是（ ）
A．平均数是4.4 B．中位数是4.5 C．众数是4 D．方差是9.2
【答案】A
【知识点】分析数据的集中趋势
【解析】【解答】解： A、平均数为＝4.4，符合题意；
B、中位数为5，不符合题意；
C、将这组数据重新排列为2，4，5，5，6，所以这组数据的众数为5，不符合题意；
D、方差为[（2﹣4.4）2+（4﹣4.4）2+2×（5﹣4.4）2+（6﹣4.4）2]＝1.84，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据平均数，中位数，众数和方差的定义计算求解即可。
5．（2022九上·岳麓开学考）如图，一次函数的图象经过点和点，一次函数的图象过点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由图象可知：正比例函数和一次函数的图象的交点是，
不等式的解集是，
一次函数的图象与轴的交点坐标是，
不等式的解集是，
不等式的解集是，
故答案为：B．
【分析】由题意可知不等式的解集即为直线y=kx+b在x轴下方的部分和直线y=2x的图象低于直线y=kx+b的图象上的x的范围，结合图象可得不等式2x＜kx+b≤0的解集.
6．（2022九上·岳麓开学考）某商场销售某种水果，第一次降价60%，第二次又降价10%，则这两次平均降价的百分比是（ ）
A．35% B．30% C．40% D．50%
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设这两次平均降价的百分比是，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去，
这两次平均降价的百分比是40%．
故答案为：C．
【分析】设这两次平均降价的百分比是x，根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率）增长次数可列方程求解.
7．（2022九上·岳麓开学考）根据表格中二次函数的自变量与函数值的对应值，可以判断方程的一个解的范围是（ ）
0 0.5 1 1.5 2
-1 -0.5 1 3.5 7
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：观察表格可知：当时，；当时，，
方程为常数的一个解的范围是．
故答案为：B．
【分析】由表格中的信息可知，当x=0.5时，y=-0.5；当x=1时，y=1，由此可得x的取值范围.
8．（2022九上·岳麓开学考）已知二次函数为常数的图象与轴有交点，且当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数为常数的图象与轴有交点，
．
．
解得：．
，
二次函数的图象的对称轴为直线．
当时，随的增大而增大，
．
．
故答案为：B．
【分析】根据抛物线与x轴有交点可得，Δ=b2-4ac≥0，解不等式即可得到m的范围；根据a= 1＜0可得抛物线的开口向下，对称轴直线左侧y随x的增大而增大，据此得m的范围，综合以上信息即可求解．
9．（2022九上·岳麓开学考）已知，，且，令，则函数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：，，
，
当时，有最小值-4，
，
当时，有最大值5，
函数S的取值范围是，
故答案为：A．
【分析】由题意把x、y代入S=xy并配方得S=xy=（t+1）2-4，由解析式可知抛物线的开口向上，对称轴直线是t=-1，故当t=-1时，S有最小值-4，结合-2≤t≤2可知，当t=2时有最大值5，于是可得S的取值范围是-4≤S≤5.
10．（2022九上·岳麓开学考）设、是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A．2020 B．2021 C．-1 D．-2
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：、是方程的两个实数根，
，，，
，
．
故答案为：C．
【分析】由一元二次方程的根的意义可得a2+a-2021=0，则a2+a=2021，由一元二次方程的根与系数的关系可得a+b=-=-1，ab==-2021，将所求代数式变形得原式=（a2+a）+ab+(a+b)，然后整体代换即可求解.
11．（2020九上·南宁期末）如图，抛物线 与 轴交于点 ,与 轴的负半轴交于点 ,点 是对称轴上的一个动点.连接 ,当 最大时，点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形三边关系
【解析】【解答】解:根据三角形三边的关系得：
≤AB,当ABM三点共线时取等号，
当 B,A,M三点共线时， 最大,
则直线 与对称轴的交点即为点 .
由 可知， ,
对称轴
设直线 为 .
故直线 解析式为
当 时，
.
故答案为：D.
【分析】先根据题意求出点A、点B的坐标，抛物线的对称轴为x=1,根据三角形三边的关系得 ≤AB,当A、B、M三点共线时取等号，即M点是x=-1与直线AB的交点时， 最大.求出点M的坐标即可.
12．（2021八下·南京期末）如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，动点F从点B出发，沿BC运动到点C时停止，以EF为边作 EFGH，且点G、H分别在CD、AD上.在动点F运动的过程中， EFGH的面积（ ）
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．不变 D．先增大，再减小
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x，
连接EG，
∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF＝HG，EF∥HG，
∴∠FEG＝∠HGE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BEG＝∠DGE，
∴∠BEG﹣∠FEG＝∠DGE﹣∠EGH，
∴∠BEF＝∠HGD
∵EF＝HG，∠B＝∠D，
∴Rt△BEF≌Rt△DGH（AAS），
同理Rt△AEH≌Rt△CGF，
∴S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2(S△BEF+S△AEH)
＝ab﹣2[ cx+ (a﹣c)(b﹣x)]
＝ab﹣(cx+ab﹣ax﹣bc+cx)
＝ab﹣cx﹣ab+ax+bc﹣cx
＝(a﹣2c)x+bc，
∵E是AB的中点，
∴a＝2c，
∴a﹣2c＝0，
∴S平行四边形EFGH＝bc＝ ab，
故答案为：C.
【分析】设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x，连接EG，利用平行四边形的性质可证得EF＝HG，EF∥HG，由平行线的性质可得∠FEG＝∠HGE；由矩形的性质去证明∠BEF＝∠HGD；利用AAS证明Rt△BEF≌Rt△DGH，同理可证Rt△AEH≌Rt△CGF；S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2(S△BEF+S△AEH)，利用矩形和三角形的面积公式，可得到S平行四边形EFGH＝(a﹣2c)x+bc；然后证明a-2c=0，由此可证得平行四边形EFGH的面积=矩形ABCD的面积的一半，可得答案.
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
13．（2022九上·岳麓开学考）将一次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象表达式为 ．
【答案】y=3x-4
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：根据平移，得，
化简，得y=3x-4，
故答案为：y=3x-4．
【分析】由图象平移规律“左加右减、上加下减”可求解.
14．（2022九上·岳麓开学考）中国贵州省省内的射电望远镜是目前世界上口径最大，精度最高的望远镜根据有关资料显示，该望远镜的轴截面呈抛物线状，口径为500米，最低点到口径面的距离是100米，若按如图（2）所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是 ．
【答案】
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由题意可得：，，
设抛物线解析式为：，
则，
解得：，
故抛物线解析式为：．
故答案为：．
【分析】由题意可设抛物线解析式为y=ax2+k，将A、B两点的坐标代入解析式可求得a、k的值，于是抛物线的解析式可求解.
15．（2022九上·岳麓开学考）若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是 ．
【答案】k≥-3且k≠-2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得且，
解得k≥-3且k≠-2，
所以实数k的取值范围是k≥3且k≠-2．
故答案为：k≥-3且k≠-2．
【分析】根据一元二次方程的一般形式“ax2+bx+c=0(a≠0)”可得关于k的不等式：k+2≠0；根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"并结合已知可得关于a的不等式：b2-4ac=(-2)2-4(k+2)(-1)≥0，解这两个不等式可求解.
16．（2022九上·岳麓开学考）如图，在平行四边形中，，，，作对角线的垂直平分线，分别交对边、于点和点，则的长为 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接CE，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，
平行四边形ABCD中，，，
，，
又，
，
，
设，则，
∵EF垂直平分AC，
，
在中，，
，
解得，
的长为．
故答案为：．
【分析】如图，连接CE，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，由平行四边形对边相等得BC=AD，由邻补角的定义可得∠CBH=45°，根据直角三角形两锐角互余可求得∠BCH=45°，然后根据等角对等边可得CH=BH；设AE=x，则由线段的构成得BE=AB-AE=8-x；由线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得CE=AE=x，在直角三角形CEH中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程可求解.
17．（2021九上·长沙开学考）对于任意实数 ，抛物线 与 轴都有公共点.则 的取值范围是 .
【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：由抛物线 与 轴都有公共点可得： ，即 ，
∴ ，
设 ，则 ，
要使对于任意实数 ，抛物线 与 轴都有公共点，则需满足 小于等于 的最小值即可，
∴ ，即 的最小值为 ，
∴ ；
故答案为 .
【分析】根据抛物线与x轴有公共点，则可由△≥0来判断，则得，于是设 ，则需满足 小于等于 的最小值，再根据二次函数的性质求出t的最小值，即可解答.
18．（2022九上·岳麓开学考）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：
；；；；，的实数．
其中正确的结论有 填序号
【答案】③④⑤
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为x=1，能得到：，，，
，
，
∴①错误；
②当时，由图象知，
把代入解析式得：，
，
∴②错误；
③由①知，，
所以．
∴③正确；
④∵由①②知且，
，④正确；
⑤时，最大值，
时，，
的实数，
，
成立．
∴⑤正确．
故正确结论的序号是③④⑤．
【分析】①观察抛物线可知：开口向下，可得a＜0；抛物线与y轴交于正半轴可得c＞0；抛物线的对称轴在y轴右侧可得a、b异号，b＞0，然后根据有理数乘法的符号法则可得abc＜0；
②观察图象可知：当x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0，移项可得b＞a+c；
③由①可得a＜0，c＞0，由图中的对称轴x=1可得-=1，则b=-2a，把b=-2a代入4a+2b+c=c＞0；
④由①和②的结论可得2c＜3b；
⑤观察图象可知：当x=1时，y有最大值，所以a+b+c＞am2+bm+c，整理可得a+b＞am2+bm.
三、解答题（本大题共8小题，共66分。）
19．（2022九上·岳麓开学考）解一元二次方程：
（1）；（用配方法）
（2）．
【答案】（1）解：，
，
，
，
，
所以，；
（2）解：，
，
，
或，
所以，．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）由配方法的步骤“把常数项移到等号的右边，方程两边同时除以二次项的系数2将二次项的系数化为1，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方“”，左边配成完全平方式，再两边开平方”即可求解；
（2）观察方程可知：原方程中含有公因式（x+2），用提公因式可将原方程化为两个一元一次方程，解之可求解.
20．（2022九上·岳麓开学考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于，且与正比例函数图象交于点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）直接写出时，的取值范围．
【答案】（1）解：图象交于点，
，解得：，
与轴交于，与图象交于点，
，
解得：，
一次函数的解析式为：；
（2）解：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：（2）根据图象得：当时，有．
【分析】（1）把点C（a，6）代入直线y=2x计算可求得a的值，从而得出点C的坐标，然后再将A、C的坐标代入直线y=mx+n可得关于m、n的方程组，解方程组求得m、n的值，从而即可求出直线y=mx+n的解析式；
（2）求不等式mx+n＞2x得解集，即为直线y=mx+n的图象高于直线y=2x的图象部分自变量的取值范围，结合图形即可求解.
21．（2022九上·岳麓开学考）甲乙两组各有10名学生，进行电脑汉字输入速度比赛，现将他们的成绩进行统计，过程如下：
收集数据
各组参赛学生每分钟输入汉字个数统计如下表：
输入汉字个 132 133 134 135 136 137
甲组人数人 1 0 1 5 2 1
乙组人数人 0 1 4 1 2 2
分析数据
两组数据的众数、中位数、平均数、方差如下表所示：
组 众数 中位数 平均数 方差
甲组 135 1.6
乙组 134 135
得出结论
（1）①直接写出，的值： ▲ ， ▲ ；
②求和的值；
（2）请你根据所学的统计知识，从不同角度评价甲、乙两组学生的比赛成绩至少从两个角度进行评价．
【答案】（1）解：①135；134.5；
②甲组的平均数；
乙组的方差；
（2）解：从中位数看，甲组每分钟输入135字以上的人数比乙组多，甲组成绩更好一些；
从方差看，，甲组成绩波动小，比较稳定．
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势
【解析】【解答】解：（1）①甲组的众数135；
乙组中位数是；
故答案为：135，134.5；
【分析】（1）①众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后，偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数，根据定义并结合表格中的信息可求解；
②根据平均数公式“”并结合表格中的信息计算可求得n的值；根据方差公式“”并结合表格中的信息计算可求得m的值；
（2）中位数代表一组数据的“中等水平”，根据中位数可知甲组成绩更好一些； 方差就是样本数据与样本平均数偏差的平方的平均数，样本方差越大，则样本数据波动越大，相应总体数据波动越大；样本方差越小，样本数据波动越小，相应总体数据波动越小；所以从方差来看， 甲组成绩波动小，比较稳定．
22．（2022九上·岳麓开学考）如图，在中，，是的中点，过点作交于点，过点作交的延长线于点，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：点是的中点，
，
，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形
（2）解：由得：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）由线段中点定义可得AD=DC，由平行线的性质可得∠FAD=∠ECD，∠AFD=∠CED，结合已知条件用角角边可证△AFD≌△CED，根据全等三角形的对应边相等可得AF=EC，结合已知由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AECF是平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得平行四边形AECF是菱形；
（2）由菱形的性质得AE=CF，AE∥CF，∠ECF=∠FAE=2∠FAC=60°=∠AEB，∠ACB=∠FAC=30°，由直角三角形两锐角互余可得∠B=60°，根据有两个角等于60° 的三角形是等边三角形可得三角形ABE是等边三角形，然后根据等边三角形的性质得AB=AE可求解.
23．（2022九上·岳麓开学考）已知关于的方程
（1）求证：无论取何值，此方程总有实数根；
（2）若此方程有两个整数根，求正整数的值；
（3）若一元二次方程满足，求的值．
【答案】（1）证明：当，即时，原方程为，
解得：；
当，即时，，
方程有实数根．
综上可知：无论取何值，此方程总有实数根．
（2）解：方程有两个整数根，
，，且，
为整数，为正整数，
或．
（3）解：由得，，且，
，
解得：或，
经检验或是原方程的解．
故的值为-3或0．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）由题意分两种情况：①当二次项系数为0时，即k+1=0，可得关于x的一元一次方程为-4x-4=0，解得x=-1；②当K+1≠0时，计算b2-4ac=（3k-1）2-4(k+1)(2k-2)=(k-3)2，由平方的非负性可得b2-4ac=(k-3)2≥0，根据一元二次方程的根的判别式“①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根”可得原方程有两个实数根；结合两种情况可得：无论k取何值，原方程总有两个实数根；
（2）由题意用公式法解方程可得x1=-1；x2=-2+，根据方程有两个整数根且k为正整数可得k=1或k=3；
（3）由（2）可得x1=-1；x2=-2+，且k≠-1；把x1、x2代入已知的等式=3可得关于k的方程，解方程可求解.
24．（2022·鄂尔多斯）某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个．
（1）求第二批每个挂件的进价；
（2）两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1）解：设第二批每个挂件的进价为x元，则第一批每个挂件的进价为1.1x元，
根据题意可得，
，
解得x＝40．
经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合实际意义，
∴1.1x＝44．
∴第二批每个挂件的进价为40元．
（2）解：设每个售价定为y元，每周所获利润为w元，
根据题意可知，w＝（y﹣40）[40+10（60﹣y）]＝﹣10+1440，
∵﹣10＞0，
∴当x≥52时，y随x的增大而减小，
∵40+10（60﹣y）≤90，
∴y≥55，
∴当y＝55时，w取最大，此时w＝﹣10+1440＝1350．
∴当每个挂件售价定为55元时，每周可获得最大利润，最大利润是1350元．
【知识点】分式方程的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再解方程即可；
（2）先求出 w＝（y﹣40）[40+10（60﹣y）]＝﹣10+1440， 再利用函数解析式计算求解即可。
25．（2022九上·岳麓开学考）如图，已知二次函数的图象的顶点为，且过点．
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）若一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，为抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，以为直径作圆交直线于点设点的横坐标为，问：当为何值时，线段的长取得最小值？最小值为多少？
【答案】（1）解：设这个二次函数的关系式为．
把，代入得，解得．
故这个二次函数的关系式为或写成．
（2）解：由题意知，
当时，取得最小值为．
易证∽，
，
．
当时，取得最小值，为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）由题意可设二次函数的解析式为顶点式y=a(x-2)2+1，再把点N的坐标代入解析式可求得a的值，则抛物线的解析式可求解；
（2）根据点P在抛物线上，可将点P的纵坐标用含n的代数式表示出来，由PQ∥y轴可知P、Q两点的横坐标相同，根据点Q在直线y=-x-4上，可将点Q的纵坐标用含n的代数式表示出来，则可得PQ与n之间的函数关系式，根据二次函数的性质可得当n=时，PQ取得最小值；根据△DPQ∽△OAB可得比例式，于是DQ=PQ，把n=代入DQ=PQ可求解.
26．（2022九上·岳麓开学考）已知抛物线过点，两点，与轴交于点，．
（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）过点作，垂足为，求证：四边形为正方形；
（3）若点为线段上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：函数的表达式为：，
即：，解得：，
故抛物线的表达式为：，
，
顶点；
（2）证明：，
，
，
，
，
四边形为菱形，
，
，
四边形为正方形；
（3）解：存在，理由：
如图，过点作与轴夹角为的直线，作，垂足为，交于点，
则，最小值，
，
直线所在表达式中的值为，
直线的表达式为：，
则直线所在表达式中的值为，
则直线的表达式为：，将点的坐标代入并解得：，
则直线的表达式为：，
联立①②并解得：，
故点，
点，
则，
即：的最小值为．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；待定系数法求二次函数解析式；正方形的判定；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）由题意用交点式可求得抛物线的解析式；将抛物线的解析式配成顶点式可得顶点D的坐标；
（2）解直角三角形AMB可求得AM=BM的值，用两点间的距离公式可求得AD=BD的值，根据计算结果可得AM=BM=AD=BD，由四边都相等的四边形是菱形可得四边形ADBM是菱形，然后根据有一个角是直角的菱形是正方形可得四边形ADBM是正方形；
（3） 存在，理由：如图，过点C作与y轴夹角为30°的直线CH，作AH⊥CH，垂足为H，交OC于点Q，由题意可知：AQ+QC的最小值=AQ+HQ=AH，结合已知易求得直线HC、AH的解析式，于是将直线HC和AH的解析式联立解方程组可求出点H的坐标，则可求得AH的值，即为AQ+QC的最小值.
