顺义一中2023-2024学年度第一学期高二年级10月考试
数学试卷
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。
一. 单选题(本大题共10 小题, 共40.0分)
1.已知向量 则
A.(-1,2,9) B.(-1,4, 5) C.(1,2, -7) D.(1, 4, 9)
2. 空间四边形 ABCD中, 则 等于( )
3.已知空间向量 则是 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知向量 且 那么 ( )
A.6 C.9 D. 18
5.已知 是空间的一个基底，在下列向量中，与向量 定可以构成空间的另一个基底的是( )
A. B. C.
6.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为 B，则
A. -10 B. 10 C. -12 D. 12
7. 已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段 AB有公共点,则直线l的斜率k
的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8. 正方体不在同一表面上的两顶点,则正方体的棱长是( )
A.64 C.4
9.如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,已知
则
10.在正方体中,O为线段的中点,点在线段上,则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是( )
二. 填空题(本大题共5小题，共25.0分)
11.与 同向的单位向量b是 .
12.如图,以长方体的顶点为坐标原点,过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 的坐标为,则 的坐标是 .
13.若过点和的直线的倾斜角α为钝角，则实数a的取值范围为 .
14.已知正方体的棱长为1,点 B到直线 AC 的距离为 .
15.在棱长为1的正方体中,点M和N分别是正方形和的中心,点P为正方体表面上及内部的点，若点P满足 其中且,则满足条件的所有点P构成的图形的面积是 .
三、解答题(本大题共6小题，共85.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16.(本小题 14.0分)已知直线过点,直线过点.
(1)若,求的值;
(2)若,求的值.
(本小题 14.0分)如图，在平行六面体.
, 设向量
(1)用表示向量
(2)求
18.(本小题15.0分)已知四棱锥中,底面是正方形,平面, 是的中点。
(1)求直线 BD与直线 PC所成角的余弦值；
(2)求证: PC⊥平面ADE
(3)求点B到平面ADE的距离.
19.(本小题 14.0分) 在三棱柱 ABC-A B C 中,侧面 BCC B 为矩形,AC⊥平面BCC B ,CC ⊥BC, D,E分别是棱 AA , BB 的中点.
(1)求证: AE∥平面B C D;
(2)若AC=BC=AA =2,求直线AB与平面 B C D所成角的正弦值.
20.(本小题 14.0分)如图1,在 Rt△ABC中,∠C=90°, BC=3,AC=6,D、E分别为AC、AB上的
点,且DE∥CB,DE=2,将△ADE沿 DE折起到△A DE的位置,使A C⊥CD,如图2.
(1)求证: A C⊥平面BCDE;
(2)若M是 A D的中点,求CM与A BE平面所成角的大小;
(3)线段 BC上是否存在点 P,使平面A DP与平面A BE垂直 说明理由.
21.(本小题 14.0分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BCA=60°,
AP=AC=AD=2,E为CD的中点, M在AB上,且
(1)求证:EM∥平面PAD;
(2)求平面 PAD与平面 PBC 所成角的余弦值;
(3)点F是线段PD上异于两端点的任意一点，若满足异面直线 EF与AC所成角45°,求AF的长.
