陕西省宝鸡市2022届高三下学期理数三模试卷

陕西省宝鸡市2022届高三下学期理数三模试卷
一、单选题
1．（2022·宝鸡三模）设，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2019·山西模拟）已知集合 ，则 （　　）
A． B．
C． D．
3．（2022·宝鸡三模）已知向量满足，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2022·宝鸡三模）若，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2022·宝鸡三模）区块链作为一种新型的技术，已经被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B，则密码一共有种可能，为了破解该密码，最坏的情况需要进行次运算.现在有一台计算机，每秒能进行次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间大约为（　　）（参考数据：，）
A． B．
C． D．
6．（2022·宝鸡三模）若双曲线：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（　　）
A．2 B．4 C． D．
7．（2021·重庆模拟）孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题中的第8个：存在无穷多个素数P，使得 是素数，素数对 称为孪生素数，2013年华人数学家张益唐发表的论文《素数间的有界距离》第一次证明了存在无穷多组间距小于定值的素数对，那么在不超过16的素数中任意取出不同的两个．可组成孪生素数的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．（2022·宝鸡三模）若某多面体的三视图(单位∶)如图所示，则此多面体的体积是（　　）
A． B． C． D．
9．（2022·宝鸡三模）若，则sin的值为（　　）
A． B． C．－ D．－
10．（2022·宝鸡三模）已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．在区间上单调递减
B．的图像关于直线对称
C．的最大值为
D．在区间上有3个零点
11．（2022·宝鸡三模）已知点 ，若过 两点的动抛物线的准线始终与圆相切，该抛物线焦点的轨迹是某圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线是（　　）
A．椭圆 B．圆 C．双曲线 D．抛物线
12．（2022·宝鸡三模）定义在R上的函数f（x）满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（　　）
A．[，＋∞） B．[，＋∞）
C．[，＋∞） D．[，＋∞）
二、填空题
13．（2022·宝鸡三模）已知随机变量服从正态分布，若，则　 　．
14．（2022·宝鸡三模）已知函数，则在点处的切线方程为　 　.
15．（2022·宝鸡三模）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，的面积为，则的周长是　 　．
16．（2022·宝鸡三模）某电视台鉴宝栏目迎来一件清代老银方斗型挂件（图1），古代常用来作为女方陪嫁．该挂件佩戴起来非常漂亮，寓意“斗出斗入，日进万金”之意．其结构由长方体与正四棱台组合而成．图2是与该挂件结构相同的几何体，且，，，K为BC上一点，且，Z为PQ上一点．若，则的值为　 　；几何体外接球的表面积为　 　．
三、解答题
17．（2022·宝鸡三模）2022年北京冬奥会即第24届冬季奥林匹克运动会将在2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行．某研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣，从某大学随机抽取了600人进行调查，经统计男生与女生的人数之比是11∶13，对冰壶运动有兴趣的人数占总数的，女生中有75人对冰壶运动没有兴趣．
附：
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
（1）完成下面列联表，并判断是否有99.9％的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关？
有兴趣 没有兴趣 合计
男 　 　 　
女 　 75 　
合计 　 　 600
（2）按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取8人，若从这8人中随机选出3人作为冰壶运动的宣传员，设X表示选出的3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望．
18．（2022·宝鸡三模）已知数列中，，且．记﹒
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的前n项和．
19．（2022·晋中模拟）如图所示，点在圆柱的上底面圆周上，四边形为圆柱下底面的内接四边形，且为圆柱下底面的直径，为圆柱的母线，且，圆柱的底面半径为1.
（1）证明：；
（2）为的中点，点在线段上，记，求二面角的余弦值.
20．（2021·上虞模拟）已知椭圆 ： 的离心率为 ，长轴长为 ，抛物线 ： ，点 是椭圆 上的动点，点 是抛物线 准线上的动点.
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）已知 （O为坐标原点），且点O到直线 的距离为常数，求 的值.
21．（2022·宝鸡三模）已知函数．
（1）函数为的导函数，讨论的单调性；
（2）当时，证明：存在唯一的极大值点，且．
22．（2021高三上·绵阳月考）如图，在极坐标系中，已知点 ，曲线 是以极点 为圆心，以 为半径的半圆，曲线 是过极点且与曲线 相切于点 的圆.
（1）分别写出曲线 ， 的极坐标方程；
（2）直线 （ ， ）与曲线 ， 分别相交于点 ， （异于极点），求 面积的最大值.
23．（2022·宝鸡三模）已知函数.
（1）当时，求的解集；
（2）若的解集包含，求实数m的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【解答】因为，所以，故复数对应的点为，该点在第四象限。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合复数与共轭复数的关系，进而得出复数z的共轭复数，再利用复数的几何意义得出复数对应的点的坐标，再结合点的坐标确定点所在的象限。
2．【答案】B
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】由 ， ，则
故选B.
【分析】解不等式可得集合 ，根据并集的概念即可得结果.
3．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】，
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合数量积求向量的模的公式和数量积的运算法则，进而得出的值。
4．【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点；幂函数的单调性、奇偶性及其应用；不等式的基本性质
【解析】【解答】对于A，构造函数，因为单调递增，又，所以，，，A答案不对；
对于B ，构造函数，因为单调递增，又，所以，，B答案正确；
对于C，，没有意义，C答案不对；
对于D，取时，，D答案不对；
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合幂函数的单调性、指数函数的单调性、对数函数的单调性和特殊点判断大小的方法，进而找出结论正确的选项。
5．【答案】D
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；函数模型的选择与应用
【解析】【解答】设在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间为秒，则有；
两边取常用对数，得；
；
所以。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合指数与对数的互化公式，再结合对数的运算法则和指数幂的运算法则，进而得出在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间。
6．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为双曲线：的渐近线为，即，
根据对称性不妨取，圆的圆心为，半径，
可得圆心到渐近线的距离为，
则，化为，即，所以，即，
所以离心率。
故答案为：A
【分析】利用双曲线：的渐近线得出，根据对称性不妨取，再利用圆求出圆心坐标和半径长，再利用点到直线的距离公式得出圆心到渐近线的距离，再结合已知条件得出b的值，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式得出c的值，再结合双曲线的离心率公式得出双曲线的离心率的值。
7．【答案】A
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】不超过16的素数有 ， ， ， ， ， ，共 个，任取两个构成素数对，则有：
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 中取法，而是孪生素数的有 ， ， ，这三种取法，所以其概率为 .
故答案为：A.
【分析】首先根据题意由列举法求出不超过16的素数，以及任取两个素数和孪生素数的个数 结合概率公式代入数值计算出结果即可。
8．【答案】B
【知识点】由三视图求面积、体积；由三视图还原实物图
【解析】【解答】根据三视图还原几何体，可得该几何体为一个四棱锥，且顶点可都为一个正方体的顶点，如图粗线所示，
此多面体可看作半个正方体去掉一个三棱锥，
则此多面体的体积是。
故答案为：B.
【分析】根据三视图还原几何体，可得该几何体为一个四棱锥，且顶点可都为一个正方体的顶点，此多面体可看作半个正方体去掉一个三棱锥，再利用正方体的体积公式和三棱锥的体积公式以及作差法得出此多面体的体积。
9．【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】，则，
，
因为
所以，两边同时平方得：，所以
。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合两角差的正弦公式， 再结合平方差和角的取值范围以及平方法，再利用同角三角函数基本关系式和二倍角的正弦公式，进而得出的值。
10．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；图形的对称性；函数最值的应用；函数零点存在定理
【解析】【解答】依题意，函数，
对于A，时，在上单调递增，A不正确；
对于B，，，，
即点在函数的图像上，而该点关于直线的
对称点不在函数的图像上，B不正确；
对于C，当时，，
函数的取值集合是，
当时，，函数的
取值集合是，因此，函数在R上的值域为，则的最大值为，C符合题意；
对于D，当时，由得，当时，由得，
则在上只有2个零点，D不正确.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合绝对值的定义，将函数转化为分段函数，再利用对方的还是的解析式画出分段函数的图象，再结合分段函数的图象判断出分段函数在区间上的单调性；再利用分段函数的图象判断其对称性； 再利用分段函数的单调性求出分段函数的最大值；再结合函数求零点的方法和零点存在性定理，进而得出函数在上零点个数，从而找出说法正确的选项。
11．【答案】A
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】由题设知，抛物线焦点F到定点A和B的距离之和等于A和B分别到准线的距离和，等于
的中点O到准线的距离的二倍，由抛物线准线与圆相切知和为，
所以，
所以抛物线焦点的轨迹方程C是以A和B为焦点的椭圆.
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合抛物线准线求解方法和直线与圆相切位置关系判断方法，再利用椭圆的定义和抛物线焦点的定义，从而判断出圆锥曲线的形状。
12．【答案】A
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数恒成立问题；分段函数的应用
【解析】【解答】因为当时，，
所以，
因为，
当时，即时，
所以，即，
当，即时，，
当，即时，，
所以，
当，即时，，
当，即时，，
所以，
当，即时，，
当，即时，，
所以，
当，即时，，
当，即时，，
依此类推，作出函数的图象，如图所示：
由图象知：，
因为对任意，都有，则，
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合绝对值定义将函数转化为分段函数，再利用分段函数的解析式画出分段函数的图象，再结合分类讨论的方法和不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数m的取值范围。
13．【答案】0.6
【知识点】正态密度曲线的特点；概率的应用
【解析】【解答】因为，所以，
因为随机变量服从正态分布，
所以，
所以。
故答案为：0.6。
【分析】利用已知条件结合随机变量X服从正态分布，再结合正态分布对应的函数的图象的对称性，再利用概率的应用，进而结合对立事件求概率公式，从而得出的值。
14．【答案】3x-y+1=0
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】函数，，，
所以在点处的斜率为3，又因为，所以切点坐标为，
在点处的切线方程：，即3x-y+1=0。
故答案为：3x-y+1=0。
【分析】利用已知条件结合导数的几何意义求出切线的斜率，再结合代入法求出切点的坐标，再利用点斜式求出函数在切点处的切线方程。
15．【答案】
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】∵在中， ，
由正弦定理得，又，的面积为，
∴，
∴，
由余弦定理，可得：，
解得，
故的周长是。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合正弦定理和三角形的面积公式得出a，c的值，再利用余弦定理得出b的值，再结合三角形的周长公式得出三角形 的周长 。
16．【答案】；80π
【知识点】球的体积和表面积；平面与平面平行的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【解析】【解答】由题意可知：面ABCD//面EFGH//面MNPQ.
设面EMZ交平面EFGH于EI，交平面ABCD于AJ. 由面面平行的性质可知，MZ//EI//AJ.设.
由面面平行的性质可知，MZ//AJ.
因为，所以.
因为所以.
而，所以，所以，所以.
因为ABCD为正方形，所以.所以.
几何体为正四棱台，由正四棱台的对称性可知，几何体的外接球的球心必在平面NFHQ上，设NQ的中点为O1，FH的中点为O2，则球心在O在O1 O2上.
由题意可知：，，.
过N作NS垂直FH于S.则.
由勾股定理得：，所以.
设外接球的半径为R，.
由可得：，即，解得：，所以.
几何体外接球的表面积为。
故答案为：，80π。
【分析】由题意可知：面ABCD//面EFGH//面MNPQ，设面EMZ交平面EFGH于EI，交平面ABCD于AJ，由面面平行的性质可知MZ//EI//AJ，设，由面面平行的性质可知MZ//AJ，利用，所以，再利用已知条件结合两三角形相似判断方法得出，再利用两三角形相似对应边成比例得出，再利用ABCD为正方形，进而结合对应边成比例得出的值；利用几何体为正四棱台，由正四棱台的对称性可知，几何体的外接球的球心必在平面NFHQ上，设NQ的中点为O1，FH的中点为O2，则球心在O在O1 O2上，过N作NS垂直FH于S，再利用已知条件和中点的性质，得出FS的长，再利用勾股定理得出NS的长，进而得出的长，设外接球的半径为R，，由结合勾股定理得出，进而得出d的值，再结合球的表面积公式得出几何体外接球的表面积。
17．【答案】（1）解：根据题意得男生有275人，女生有325人；对冰壶运动有兴趣的人数为400人，对冰壶运动无兴趣的人数为200人，对冰壶运动无兴趣的男生为200-75=125人，对冰壶运动有兴趣的男生为275-125=150人，对冰壶运动有兴趣的女生为325-75=250人，
得到如下列联表：
有兴趣 没有兴趣 合计
男 150 125 275
女 250 75 325
合计 400 200 600
所以，
则有99.9％的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关．
（2）解：对冰壶运动有兴趣的一共有400人，
从中抽取8人，抽到的男生人数为（人），
女生人数分别为（人）．
X的所有可能取值为0，1，2，3．
，，
，，
所以X的分布列是：
X 0 1 2 3
P
则．
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分层抽样的方法填写完 列联表， 再利用独立性检验的方法判断出有99.9％的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关。
（2）利用已知条件结合分层抽样的方法得出从中抽取8人中抽到的男生人数和女生人数，进而得出随机变量X的取值，再结合组合数公式和古典概型求概率公式，进而得出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
18．【答案】（1）证明：∵，
且，∴是以2为首项，2为公比的等比数列；
（2）解：由(1)知，，则，
令的前项和为，
则.
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和
【解析】【分析】(1) 利用已知条件结合递推公式变形和等比数列的定义，从而证出数列是以2为首项，2为公比的等比数列。
（2）利用已知条件结合等比数列的通项公式得出数列 的通项公式，从而得出数列的通项公式，再利用分组求和的方法和等比数列前n项和公式和等差数列前n项和公式，进而得出数列的前n项和。
19．【答案】（1）证明为直径，点在圆上且不同于点，
，
又为母线，平面，
又平面，
从而，
又，
平面，
又平面，
（2）解：，圆柱的底面直径为2，
即，
又为的中点，，即四边形为正方形，
两两相互垂直，
以为原点，分别以的方向为，轴正方向，
建立空间直角坐标系，如图所示，
，
，
，
，
，
，
，
设平面的法向量为，
令，
易知平面的一个法向量为，
.
又由题知二面角为锐二面角，
所求的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 (1)证明AD⊥DC，推出PD⊥平面ABCD，证明PD⊥AD，得到 平面， 即可证明AD⊥PC；
(2)以为原点，分别以的方向为，轴正方向，建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量和平面的一个法向量， 利用向量法求解出二面角的余弦值.
20．【答案】（Ⅰ）∵长轴长为 ，∴
∵ ，∴ . .
∴椭圆 的方程为 .
（Ⅱ）设 ， ， 斜边 上的高为 ，
，
,
，
∵点 到直线 的距离 为常数，由题意 为常数.
当 的斜率存在时，由题意得 的斜率不为0
设直线 为 ，则直线 为 .
由 得 ，∴ ，∴
由 得 ，∴ ，∴
∴
∴ ，∴ .
当 的斜率不存在时， ， ，
符合点 到直线 的距离为常数，∴ .
【知识点】椭圆的标准方程；抛物线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 （Ⅰ） 根据题意利用离心率公式、以及椭圆里a、b、c的关系，和长轴求出a、b、c的值，即可求出椭圆方程；
（Ⅱ） 设出点和的坐标，分情况讨论：当直线斜率存在时设直线OP为y=ct，联立椭圆和直线的方程，消元后得到关于x的方程，由此得出，代入计算出；同理求出整理得到，由此得出，即计算出p的值即可。当斜率不存在时，代入验证即可求出p的值；由此得出符合点 到直线 的距离为常数 。
21．【答案】（1）解：，设，则．
①当时，，则在上单调递增；
②当时，令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：当时，，，
由（1）可知的最小值为，
而，又，
由函数零点存在定理可得存在使得，又在上单调递减，
所以当时，，当时，，故为的极大值点，
又在上单调递增，故在上不存在极大值点，
所以存在唯一的极大值点，
又，，，所以．
因为，而，所以．
又为极大值，，
所以综上，．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）利用导数的运算法则得出导函数，再利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而讨论出函数 的单调性 。
（2）利用a的值求出函数的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，再利用零点存在性定理和求导的方法求极值点的方法，进而证出函数 存在唯一的极大值点，且。
22．【答案】（1）曲线 的极坐标方程为 .
设P（ ）为曲线 上的任意一点，
∴ .
∴曲线 极坐标方程为 .
（2）∵直线 与曲线 ， 分别交于点A，B（异于极点），
∴设B（ ），A（ ）.
由题意得 ， ，
∴ .
∵点M到直线AB的距离 ，
∴
（当且仅当 时，等号成立）
∴ 的面积的最大值为 .
【知识点】平面内点到直线的距离公式；曲线与方程；简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件结合圆的极坐标方程，即可求出答案。
(2)根据题意设出点的坐标，再由两点间的距离公式把点的坐标代入，整理即可得出，再由点到直线的距离公式结合三角形的面积公式代入整理，然后由基本不等式即可求出面积的最大值。
23．【答案】（1）解：当时，.
①当时，，∴，
∴，
②当时，，∴，
∴.
③当时，，∴，∴不等式无解，
综上，不等式的解集为
（2）解：由题意可知当时不等式恒成立，
∴当时，恒成立，
∴当时，恒成立，
∴当时，恒成立，
∴当时，恒成立，
又当时，，
∴，即.
【知识点】函数恒成立问题；含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）利用m的值求出函数的解析式，再利用零点分段法，进而得出绝对值不等式 的解集 。
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法和不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数m的取值范围。
陕西省宝鸡市2022届高三下学期理数三模试卷
一、单选题
1．（2022·宝鸡三模）设，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【解答】因为，所以，故复数对应的点为，该点在第四象限。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合复数与共轭复数的关系，进而得出复数z的共轭复数，再利用复数的几何意义得出复数对应的点的坐标，再结合点的坐标确定点所在的象限。
2．（2019·山西模拟）已知集合 ，则 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】由 ， ，则
故选B.
【分析】解不等式可得集合 ，根据并集的概念即可得结果.
3．（2022·宝鸡三模）已知向量满足，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】，
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合数量积求向量的模的公式和数量积的运算法则，进而得出的值。
4．（2022·宝鸡三模）若，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点；幂函数的单调性、奇偶性及其应用；不等式的基本性质
【解析】【解答】对于A，构造函数，因为单调递增，又，所以，，，A答案不对；
对于B ，构造函数，因为单调递增，又，所以，，B答案正确；
对于C，，没有意义，C答案不对；
对于D，取时，，D答案不对；
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合幂函数的单调性、指数函数的单调性、对数函数的单调性和特殊点判断大小的方法，进而找出结论正确的选项。
5．（2022·宝鸡三模）区块链作为一种新型的技术，已经被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B，则密码一共有种可能，为了破解该密码，最坏的情况需要进行次运算.现在有一台计算机，每秒能进行次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间大约为（　　）（参考数据：，）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；函数模型的选择与应用
【解析】【解答】设在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间为秒，则有；
两边取常用对数，得；
；
所以。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合指数与对数的互化公式，再结合对数的运算法则和指数幂的运算法则，进而得出在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间。
6．（2022·宝鸡三模）若双曲线：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（　　）
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为双曲线：的渐近线为，即，
根据对称性不妨取，圆的圆心为，半径，
可得圆心到渐近线的距离为，
则，化为，即，所以，即，
所以离心率。
故答案为：A
【分析】利用双曲线：的渐近线得出，根据对称性不妨取，再利用圆求出圆心坐标和半径长，再利用点到直线的距离公式得出圆心到渐近线的距离，再结合已知条件得出b的值，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式得出c的值，再结合双曲线的离心率公式得出双曲线的离心率的值。
7．（2021·重庆模拟）孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题中的第8个：存在无穷多个素数P，使得 是素数，素数对 称为孪生素数，2013年华人数学家张益唐发表的论文《素数间的有界距离》第一次证明了存在无穷多组间距小于定值的素数对，那么在不超过16的素数中任意取出不同的两个．可组成孪生素数的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】不超过16的素数有 ， ， ， ， ， ，共 个，任取两个构成素数对，则有：
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 中取法，而是孪生素数的有 ， ， ，这三种取法，所以其概率为 .
故答案为：A.
【分析】首先根据题意由列举法求出不超过16的素数，以及任取两个素数和孪生素数的个数 结合概率公式代入数值计算出结果即可。
8．（2022·宝鸡三模）若某多面体的三视图(单位∶)如图所示，则此多面体的体积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】由三视图求面积、体积；由三视图还原实物图
【解析】【解答】根据三视图还原几何体，可得该几何体为一个四棱锥，且顶点可都为一个正方体的顶点，如图粗线所示，
此多面体可看作半个正方体去掉一个三棱锥，
则此多面体的体积是。
故答案为：B.
【分析】根据三视图还原几何体，可得该几何体为一个四棱锥，且顶点可都为一个正方体的顶点，此多面体可看作半个正方体去掉一个三棱锥，再利用正方体的体积公式和三棱锥的体积公式以及作差法得出此多面体的体积。
9．（2022·宝鸡三模）若，则sin的值为（　　）
A． B． C．－ D．－
【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】，则，
，
因为
所以，两边同时平方得：，所以
。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合两角差的正弦公式， 再结合平方差和角的取值范围以及平方法，再利用同角三角函数基本关系式和二倍角的正弦公式，进而得出的值。
10．（2022·宝鸡三模）已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．在区间上单调递减
B．的图像关于直线对称
C．的最大值为
D．在区间上有3个零点
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；图形的对称性；函数最值的应用；函数零点存在定理
【解析】【解答】依题意，函数，
对于A，时，在上单调递增，A不正确；
对于B，，，，
即点在函数的图像上，而该点关于直线的
对称点不在函数的图像上，B不正确；
对于C，当时，，
函数的取值集合是，
当时，，函数的
取值集合是，因此，函数在R上的值域为，则的最大值为，C符合题意；
对于D，当时，由得，当时，由得，
则在上只有2个零点，D不正确.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合绝对值的定义，将函数转化为分段函数，再利用对方的还是的解析式画出分段函数的图象，再结合分段函数的图象判断出分段函数在区间上的单调性；再利用分段函数的图象判断其对称性； 再利用分段函数的单调性求出分段函数的最大值；再结合函数求零点的方法和零点存在性定理，进而得出函数在上零点个数，从而找出说法正确的选项。
11．（2022·宝鸡三模）已知点 ，若过 两点的动抛物线的准线始终与圆相切，该抛物线焦点的轨迹是某圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线是（　　）
A．椭圆 B．圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】A
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】由题设知，抛物线焦点F到定点A和B的距离之和等于A和B分别到准线的距离和，等于
的中点O到准线的距离的二倍，由抛物线准线与圆相切知和为，
所以，
所以抛物线焦点的轨迹方程C是以A和B为焦点的椭圆.
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合抛物线准线求解方法和直线与圆相切位置关系判断方法，再利用椭圆的定义和抛物线焦点的定义，从而判断出圆锥曲线的形状。
12．（2022·宝鸡三模）定义在R上的函数f（x）满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（　　）
A．[，＋∞） B．[，＋∞）
C．[，＋∞） D．[，＋∞）
【答案】A
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数恒成立问题；分段函数的应用
【解析】【解答】因为当时，，
所以，
因为，
当时，即时，
所以，即，
当，即时，，
当，即时，，
所以，
当，即时，，
当，即时，，
所以，
当，即时，，
当，即时，，
所以，
当，即时，，
当，即时，，
依此类推，作出函数的图象，如图所示：
由图象知：，
因为对任意，都有，则，
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合绝对值定义将函数转化为分段函数，再利用分段函数的解析式画出分段函数的图象，再结合分类讨论的方法和不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数m的取值范围。
二、填空题
13．（2022·宝鸡三模）已知随机变量服从正态分布，若，则　 　．
【答案】0.6
【知识点】正态密度曲线的特点；概率的应用
【解析】【解答】因为，所以，
因为随机变量服从正态分布，
所以，
所以。
故答案为：0.6。
【分析】利用已知条件结合随机变量X服从正态分布，再结合正态分布对应的函数的图象的对称性，再利用概率的应用，进而结合对立事件求概率公式，从而得出的值。
14．（2022·宝鸡三模）已知函数，则在点处的切线方程为　 　.
【答案】3x-y+1=0
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】函数，，，
所以在点处的斜率为3，又因为，所以切点坐标为，
在点处的切线方程：，即3x-y+1=0。
故答案为：3x-y+1=0。
【分析】利用已知条件结合导数的几何意义求出切线的斜率，再结合代入法求出切点的坐标，再利用点斜式求出函数在切点处的切线方程。
15．（2022·宝鸡三模）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，的面积为，则的周长是　 　．
【答案】
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】∵在中， ，
由正弦定理得，又，的面积为，
∴，
∴，
由余弦定理，可得：，
解得，
故的周长是。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合正弦定理和三角形的面积公式得出a，c的值，再利用余弦定理得出b的值，再结合三角形的周长公式得出三角形 的周长 。
16．（2022·宝鸡三模）某电视台鉴宝栏目迎来一件清代老银方斗型挂件（图1），古代常用来作为女方陪嫁．该挂件佩戴起来非常漂亮，寓意“斗出斗入，日进万金”之意．其结构由长方体与正四棱台组合而成．图2是与该挂件结构相同的几何体，且，，，K为BC上一点，且，Z为PQ上一点．若，则的值为　 　；几何体外接球的表面积为　 　．
【答案】；80π
【知识点】球的体积和表面积；平面与平面平行的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【解析】【解答】由题意可知：面ABCD//面EFGH//面MNPQ.
设面EMZ交平面EFGH于EI，交平面ABCD于AJ. 由面面平行的性质可知，MZ//EI//AJ.设.
由面面平行的性质可知，MZ//AJ.
因为，所以.
因为所以.
而，所以，所以，所以.
因为ABCD为正方形，所以.所以.
几何体为正四棱台，由正四棱台的对称性可知，几何体的外接球的球心必在平面NFHQ上，设NQ的中点为O1，FH的中点为O2，则球心在O在O1 O2上.
由题意可知：，，.
过N作NS垂直FH于S.则.
由勾股定理得：，所以.
设外接球的半径为R，.
由可得：，即，解得：，所以.
几何体外接球的表面积为。
故答案为：，80π。
【分析】由题意可知：面ABCD//面EFGH//面MNPQ，设面EMZ交平面EFGH于EI，交平面ABCD于AJ，由面面平行的性质可知MZ//EI//AJ，设，由面面平行的性质可知MZ//AJ，利用，所以，再利用已知条件结合两三角形相似判断方法得出，再利用两三角形相似对应边成比例得出，再利用ABCD为正方形，进而结合对应边成比例得出的值；利用几何体为正四棱台，由正四棱台的对称性可知，几何体的外接球的球心必在平面NFHQ上，设NQ的中点为O1，FH的中点为O2，则球心在O在O1 O2上，过N作NS垂直FH于S，再利用已知条件和中点的性质，得出FS的长，再利用勾股定理得出NS的长，进而得出的长，设外接球的半径为R，，由结合勾股定理得出，进而得出d的值，再结合球的表面积公式得出几何体外接球的表面积。
三、解答题
17．（2022·宝鸡三模）2022年北京冬奥会即第24届冬季奥林匹克运动会将在2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行．某研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣，从某大学随机抽取了600人进行调查，经统计男生与女生的人数之比是11∶13，对冰壶运动有兴趣的人数占总数的，女生中有75人对冰壶运动没有兴趣．
附：
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
（1）完成下面列联表，并判断是否有99.9％的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关？
有兴趣 没有兴趣 合计
男 　 　 　
女 　 75 　
合计 　 　 600
（2）按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取8人，若从这8人中随机选出3人作为冰壶运动的宣传员，设X表示选出的3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望．
【答案】（1）解：根据题意得男生有275人，女生有325人；对冰壶运动有兴趣的人数为400人，对冰壶运动无兴趣的人数为200人，对冰壶运动无兴趣的男生为200-75=125人，对冰壶运动有兴趣的男生为275-125=150人，对冰壶运动有兴趣的女生为325-75=250人，
得到如下列联表：
有兴趣 没有兴趣 合计
男 150 125 275
女 250 75 325
合计 400 200 600
所以，
则有99.9％的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关．
（2）解：对冰壶运动有兴趣的一共有400人，
从中抽取8人，抽到的男生人数为（人），
女生人数分别为（人）．
X的所有可能取值为0，1，2，3．
，，
，，
所以X的分布列是：
X 0 1 2 3
P
则．
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分层抽样的方法填写完 列联表， 再利用独立性检验的方法判断出有99.9％的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关。
（2）利用已知条件结合分层抽样的方法得出从中抽取8人中抽到的男生人数和女生人数，进而得出随机变量X的取值，再结合组合数公式和古典概型求概率公式，进而得出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
18．（2022·宝鸡三模）已知数列中，，且．记﹒
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）证明：∵，
且，∴是以2为首项，2为公比的等比数列；
（2）解：由(1)知，，则，
令的前项和为，
则.
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和
【解析】【分析】(1) 利用已知条件结合递推公式变形和等比数列的定义，从而证出数列是以2为首项，2为公比的等比数列。
（2）利用已知条件结合等比数列的通项公式得出数列 的通项公式，从而得出数列的通项公式，再利用分组求和的方法和等比数列前n项和公式和等差数列前n项和公式，进而得出数列的前n项和。
19．（2022·晋中模拟）如图所示，点在圆柱的上底面圆周上，四边形为圆柱下底面的内接四边形，且为圆柱下底面的直径，为圆柱的母线，且，圆柱的底面半径为1.
（1）证明：；
（2）为的中点，点在线段上，记，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明为直径，点在圆上且不同于点，
，
又为母线，平面，
又平面，
从而，
又，
平面，
又平面，
（2）解：，圆柱的底面直径为2，
即，
又为的中点，，即四边形为正方形，
两两相互垂直，
以为原点，分别以的方向为，轴正方向，
建立空间直角坐标系，如图所示，
，
，
，
，
，
，
，
设平面的法向量为，
令，
易知平面的一个法向量为，
.
又由题知二面角为锐二面角，
所求的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 (1)证明AD⊥DC，推出PD⊥平面ABCD，证明PD⊥AD，得到 平面， 即可证明AD⊥PC；
(2)以为原点，分别以的方向为，轴正方向，建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量和平面的一个法向量， 利用向量法求解出二面角的余弦值.
20．（2021·上虞模拟）已知椭圆 ： 的离心率为 ，长轴长为 ，抛物线 ： ，点 是椭圆 上的动点，点 是抛物线 准线上的动点.
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）已知 （O为坐标原点），且点O到直线 的距离为常数，求 的值.
【答案】（Ⅰ）∵长轴长为 ，∴
∵ ，∴ . .
∴椭圆 的方程为 .
（Ⅱ）设 ， ， 斜边 上的高为 ，
，
,
，
∵点 到直线 的距离 为常数，由题意 为常数.
当 的斜率存在时，由题意得 的斜率不为0
设直线 为 ，则直线 为 .
由 得 ，∴ ，∴
由 得 ，∴ ，∴
∴
∴ ，∴ .
当 的斜率不存在时， ， ，
符合点 到直线 的距离为常数，∴ .
【知识点】椭圆的标准方程；抛物线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 （Ⅰ） 根据题意利用离心率公式、以及椭圆里a、b、c的关系，和长轴求出a、b、c的值，即可求出椭圆方程；
（Ⅱ） 设出点和的坐标，分情况讨论：当直线斜率存在时设直线OP为y=ct，联立椭圆和直线的方程，消元后得到关于x的方程，由此得出，代入计算出；同理求出整理得到，由此得出，即计算出p的值即可。当斜率不存在时，代入验证即可求出p的值；由此得出符合点 到直线 的距离为常数 。
21．（2022·宝鸡三模）已知函数．
（1）函数为的导函数，讨论的单调性；
（2）当时，证明：存在唯一的极大值点，且．
【答案】（1）解：，设，则．
①当时，，则在上单调递增；
②当时，令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：当时，，，
由（1）可知的最小值为，
而，又，
由函数零点存在定理可得存在使得，又在上单调递减，
所以当时，，当时，，故为的极大值点，
又在上单调递增，故在上不存在极大值点，
所以存在唯一的极大值点，
又，，，所以．
因为，而，所以．
又为极大值，，
所以综上，．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）利用导数的运算法则得出导函数，再利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而讨论出函数 的单调性 。
（2）利用a的值求出函数的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，再利用零点存在性定理和求导的方法求极值点的方法，进而证出函数 存在唯一的极大值点，且。
22．（2021高三上·绵阳月考）如图，在极坐标系中，已知点 ，曲线 是以极点 为圆心，以 为半径的半圆，曲线 是过极点且与曲线 相切于点 的圆.
（1）分别写出曲线 ， 的极坐标方程；
（2）直线 （ ， ）与曲线 ， 分别相交于点 ， （异于极点），求 面积的最大值.
【答案】（1）曲线 的极坐标方程为 .
设P（ ）为曲线 上的任意一点，
∴ .
∴曲线 极坐标方程为 .
（2）∵直线 与曲线 ， 分别交于点A，B（异于极点），
∴设B（ ），A（ ）.
由题意得 ， ，
∴ .
∵点M到直线AB的距离 ，
∴
（当且仅当 时，等号成立）
∴ 的面积的最大值为 .
【知识点】平面内点到直线的距离公式；曲线与方程；简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件结合圆的极坐标方程，即可求出答案。
(2)根据题意设出点的坐标，再由两点间的距离公式把点的坐标代入，整理即可得出，再由点到直线的距离公式结合三角形的面积公式代入整理，然后由基本不等式即可求出面积的最大值。
23．（2022·宝鸡三模）已知函数.
（1）当时，求的解集；
（2）若的解集包含，求实数m的取值范围.
【答案】（1）解：当时，.
①当时，，∴，
∴，
②当时，，∴，
∴.
③当时，，∴，∴不等式无解，
综上，不等式的解集为
（2）解：由题意可知当时不等式恒成立，
∴当时，恒成立，
∴当时，恒成立，
∴当时，恒成立，
∴当时，恒成立，
又当时，，
∴，即.
【知识点】函数恒成立问题；含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）利用m的值求出函数的解析式，再利用零点分段法，进而得出绝对值不等式 的解集 。
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法和不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数m的取值范围。