2024 届高三年级第二次调研测试数学学科试卷
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 ：log2 < 1，则 的充分不必要条件是( )
A. < 2 B. 0 < < 2 C. 0 < < 1 D. 0 < < 3
1 9
2.已知正实数 ， 满足 + = 6，则( + 1)( + 9)的最小值是( )
A. 36 B. 32 C. 16 D. 8
3.已知函数 ( ) = lg[( 2 1) 2 + ( + 1) + 1]的值域为 ，则实数 的取值范围是( )
A. [1, 5 ] B. (1, 5 ]
3 3
C. ( ∞, 1] ∪ ( 5 , +∞) D. ( ∞, 1) ∪ [1, 5 )
3 3
= + 1, ≤ 1,4.已知函数 2 对 , ∈ R， ≠ ，满足( )[ ( ) ( )] > 0，则实2 + 1 + 5 , > 1, 1 2 1 2 1 2 1 2
数 的取值范围是 ( )
A. 1 < ≤ 3 B. 1 < < 3 C. 1 < < 5 D. 1 < ≤ 5
2 2
5.已知定义在 上的函数 ( )满足 ( ) + ( ) = 0, ( + 1) = (1 ) 1，且当 ∈ ( 1,0)时， ( ) = (
2 4
) 17，则 =( )
2
1 1
A. B. 1 C. D. 1
2 2
6.如图，在边长为 2的正方形 中，其对称中心 平分线段 ，且 = 2 ，点 为 的中点，则 =
( )
3 2 3A. B. C. D. 1
2 2
7.已知函数 ( ) = 2 + 与函数 ( ) = ln 1 3 ∈ 1 , 2 的图象上至少存在一对关于 轴对称的点，则实数
2
的取值范围是( )
5
A. + ln2,2 B. 2 ln2, 5 + ln2
4 4
5
C. + ln2,2 + ln2 D. [2 2,2]
4
第 1页，共 4页
{#{QQABDQaAogCAABAAAAgCQwUgCkEQkAACAIoGRBAEIAAAQQNABAA=}#}
8.将函数 ( ) = cos 5 1的图象先向右平移 个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的 ( > 0)倍，纵坐
6
3
标不变，得到函数 ( )的图象，若函数 ( )在( , )上没有零点，则 的取值范围是 ( )
2 2
(0, 2A. ] ∪ [ 2 , 8 ] (0, 2 2B. ] C. (0, ] ∪ [ 8 , 1] (0,1]9 3 9 9 9 9 D.
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的
得 5分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9.设函数 ( ) = sin 2 + 3cos 2 ，则下列结论正确的是 ( )
A. ( )的最小正周期为 B. ( )的图象关于直线 = 12对称
C. ( )的一个零点为 = 3 D. ( )的最大值为 3 + 1
10.下列说法中错误的为 ( )
A. 已知 = (1,2) 5， = (1,1)，且 与 + 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是( , +∞)3
B. 向量 1 = (2, 3)， 2 = (
1 , 3 )不能作为平面内所有向量的一组基底
2 4
C. 若 // ，则 在 方向上的正射影的数量为
D. 三个不共线的向量OA, OB, OC，满足 ( + ) = ( | | | | | + | | ) = (| | + ) = 0，则 是 | | | ΔABC
的内心
11.在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到，而信号处
= 7 sin 2 1 理背后的“功臣”就是正弦型函数． =1 的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则下列说法正2 1
确的是 ( )
A. 函数 为周期函数，且最小正周期为 B. 函数 为偶函数
C. 函数 = 的图象关于直线 = 2对称 D. 函数 的导函数 ′ 的最大值为 7
12.设函数 = sin + > 0 ，已知 在 0,2 有且仅有 5个零点，则 ( )
5
A. 在 0,2 有且仅有 3个极大值点 B. 在 0,2 有且仅有 2个极小值点
12 29
C. 在 0, 单调递增 D. 的取值范围是 ,
10 5 10
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.如果函数 ( )在区间 上是凸函数，那么对于区间 内的任意 1， 2，…，
( 1)+ ( 2)+…+ ( )
，都有 ≤
1+ 2+…+ .若 = 在区间(0, )上是凸函数，那么在△ 中， + + 的最大值
是 ．
第 2页，共 4页
{#{QQABDQaAogCAABAAAAgCQwUgCkEQkAACAIoGRBAEIAAAQQNABAA=}#}
14.在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
，且 的面积为 2 3，则边 的值为________．
15.如图，在 中，∠ = ， = 2 ， 为 上一点，且满足 = +
1
3 ，若 的面积为2 2 3，
则 的最小值为 ．
16.若函数 ( ) = + cos + sin 的图象经过点(0,1)和( , )4 ，且当 ∈ [0, ]2 时，| ( )| ≤ 2恒成立，则实数
的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共 6小题，共 70.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题 10.0分)
已知函数 = ln + + 在点 1, 1 处的切线方程为 2 2 1 = 0．
(1)求实数 , 的值；
(2)求 的单调区间．
18. (本小题 12.0分)
已知函数 ( ) = 3cos2 + sin cos 3 ( > 0)的最小正周期为 ．
2
(1)求函数 ( )的单调递减区间；
(2)若 ( ) > 2，求 的取值集合．
2
19.(本小题 12.0分)
目前颍州西湖正在开发建设，下图若为颍州西湖湿地规划的旅游项目，已知射线 ， 为湿地两边夹角为 120°的
公路(长度均超过 2千米)，在两条公路 ， 上分别设立游客接送点 ， ，从观景台 到 ， 建造两条观光线路
， ，测得 AM = 2千米，AN = 2千米．
(1)求线段 的长度；
(2)若∠ = 60 ，求两条观光线路 与 之和的最大值．
第 3页，共 4页
{#{QQABDQaAogCAABAAAAgCQwUgCkEQkAACAIoGRBAEIAAAQQNABAA=}#}
20.(本小题 12.0分)
已知函数 ( ) = 2 + ln 有两个极值点 1， 2．
(1)求 的取值范围;
(2)证明： ( 1) + (
24 24
2) + + < 16ln2. 1 2
21.(本小题 12.0分)
设函数 ( ) = + + ．
(1)当 = 1， ∈ [0, +∞)时， ( ) ≥ 0恒成立，求实数 的取值范围；
(2)若 ( )在 = 0 处的切线为 1 = 0，且方程 ( ) = 2 恰有两解，求实数 的取值范围．
22.(本小题 12.0分)
已知函数 ( ) = sin + ∈ ( ,
， ).
( )求证： ( )在( , ) 上单调递增;
( )当 ∈ ( , )时，[ ( ) sin ] cos ≤ sin 恒成立，求 的取值范围．
第 4页，共 4页
{#{QQABDQaAogCAABAAAAgCQwUgCkEQkAACAIoGRBAEIAAAQQNABAA=}#}{#{QQABDQaAogCAABAAAAgCQwUgCkEQkAACAIoGRBAEIAAAQQNABAA=}#}
{#{QQABDQaAogCAABAAAAgCQwUgCkEQkAACAIoGRBAEIAAAQQNABAA=}#}
{#{QQABDQaAogCAABAAAAgCQwUgCkEQkAACAIoGRBAEIAAAQQNABAA=}#}
{#{QQABDQaAogCAABAAAAgCQwUgCkEQkAACAIoGRBAEIAAAQQNABAA=}#}
{#{QQABDQaAogCAABAAAAgCQwUgCkEQkAACAIoGRBAEIAAAQQNABAA=}#}
{#{QQABDQaAogCAABAAAAgCQwUgCkEQkAACAIoGRBAEIAAAQQNABAA=}#}
{#{QQABDQaAogCAABAAAAgCQwUgCkEQkAACAIoGRBAEIAAAQQNABAA=}#}
{#{QQABDQaAogCAABAAAAgCQwUgCkEQkAACAIoGRBAEIAAAQQNABAA=}#}
{#{QQABDQaAogCAABAAAAgCQwUgCkEQkAACAIoGRBAEIAAAQQNABAA=}#}
{#{QQABDQaAogCAABAAAAgCQwUgCkEQkAACAIoGRBAEIAAAQQNABAA=}#}
{#{QQABDQaAogCAABAAAAgCQwUgCkEQkAACAIoGRBAEIAAAQQNABAA=}#}
{#{QQABDQaAogCAABAAAAgCQwUgCkEQkAACAIoGRBAEIAAAQQNABAA=}#}
{#{QQABDQaAogCAABAAAAgCQwUgCkEQkAACAIoGRBAEIAAAQQNABAA=}#}
