长沙市重点中学2023-2024学年高一上学期第一次阶段性检测（月考）
数 学
时量：120分钟 满分：150分
得分：___________
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，则集合（ ）
A． B． C． D．
3．如下图所示，I为全集，M、P、S为I的子集，则阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
4．设集合，，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．P与Q无包含关系
5．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得，”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．若a，b，且，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．若x的不等式的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
8．若，且，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知a，b，c是实数，下列说法正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若且，则 D．若，则
10．关于x的不等式的解集为非空集合的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
11．已知集合，，，则关于集合A、B、C之间的关系，下列说法正确的有（ ）
A． B． C． D．
12．在实数集R中定义一种运算“”，具有以下三条性质：
①对任意，；
②对任意a，，；
③对任意a，b，，．
以下正确的选项是（ ）
A．
B．
C．对任意的a，b，，有
D．存在a，b，，有
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．不等式的解集是_________．
14．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至少参加一个至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26、15、13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有_________人．
15．已知当时，不等式恒成立，则x的取值范围为_________．
16．设，，称为a、b的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD、AD、BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则图中线段OD的长度是a、b的算术平均数，线段________的长度是a、b的几何平均数，线段________的长度是a、b的调和平均数．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知，且，求实数m的取值范围．
18．（12分）
设全集是实数集R，，．
（1）当时，求和；
（2）若，求实数a的取值范围．
19．（12分）
如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
（1）现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
（2）若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小
20．（12分）
已知（）．
（1）若关于x的不等式的解集为（），求a和b的值；
（2）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围．
21．（12分）
若正数a，b，c满足．
（1）求的最大值；
（2）求证：．
22．（12分）
设数集A由实数构成，且满足：若（且），则．
（1）若，试证明A中还有另外两个元素；
（2）集合A是否为只含有两个元素的集合，并说明理由；
（3）若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A．
