2023-2024学年人教新版九年级上册数学期中复习试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A．等腰三角形 B．平行四边形 C．菱形 D．正方形
2．下列函数中（x是自变量）是二次函数的是（ ）
A．y＝﹣x+ B．y＝1+x+5x2
C．y＝22+2x D．y＝
3．下列选项中，能描述函数y＝ax2与y＝ax+b（ab＜0）图象的是（ ）
A． B．
C． D．
4．关于x一元二次方程中有两个相等的实数根的方程是（ ）
A．x2﹣1＝0 B．x2+2x+1＝0 C．x2+2x+3＝0 D．x2+2x﹣3＝0
5．等腰三角形的两边的长是方程x2﹣20x+36＝0的两个根，则此三角形的周长为（ ）
A．22 B．38 C．22和38 D．以上都不对
6．若a+b+c＝0，9a﹣3b+c＝0，则抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是（ ）
A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝﹣2 D．直线x＝﹣3
7．我省2020年的快递业务量为1.8亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多冲因素，快递业务迅猛发展，2021年增速位居全国第一．若年的快递业务量达到5亿件，设2020年与2021年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．1.8（1+x）＝5 B．1.8（1+2x）＝5
C．1.8（1+x）2＝5 D．1.8（1+x）+1.8（1+x）2＝5
8．以下有关抛物线y＝﹣x2+4x﹣3的结论，正确的是（ ）
A．开口向上
B．与y轴的交点坐标是（0，3）
C．与x轴只有一个交点
D．顶点坐标是（2，1）
9．已知函数y＝，且使y＝k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．1 D．0
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上（如图），它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0）、（3，0）．对于下列结论：①c＜0；②b＜0；③4a﹣2b+c＞0．其中正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
11．抛物线y＝4x2﹣8x+3的对称轴是直线 ．
12．将抛物线y＝x2经过两次平移后所得抛物线的顶点坐标为（﹣3，2），则平移后所得抛物线的解析式为 ．
13．若y与x的函数+3x是二次函数，则m＝ ．
14．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1.5米后，水面的宽度为 米．
15．当x＝ 时，代数式值为0．
16．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平．某市开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间赛一场），现计划一共安排15场比赛，则应邀请 个足球队参赛．
17．已知ab＜0，，则＝ ．
18．如图，坐标系中，四边形OABC与CDEF都是正方形，OA＝2，M，D分别是AB，BC的中点，当把正方形CDEF绕点C旋转某个角度后，如果点F的对应点为F′，且O F′＝OM．则点F′的坐标是 ．
19．请写出一个两根分别是1，﹣2的一元二次方程 ．
20．将△OBA按如图方式放置在平面直角坐标系xOy中，其中∠OBA＝90°，∠A＝30°，顶点A的坐标为（1，），将△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束时，点A对应点的坐标为 ．
三．解答题（共4小题，满分60分）
21．解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣4＝0；
（2）（x﹣1）2＝2（x﹣1）；
（3）（x+1）2＝4x2．
22．如图，在方格网中已知格点△ABC
（1）试在图中画出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针旋转90°后的图形△AB1C1；
（2）请在方格网中标出使以点A、B、C、D为顶点的四边形是中心对称图形的点D（标出一个即可）
23．某水果商店以5元/千克的价格购进一批水果进行销售，运输过程中质量耗5%，运输费用是0.7元/千克，假设不计其他费用
（1）商店要把水果售完至少定价为多少元才不会亏本？
（2）在销售过科中，商店发现每天荔枝的销售量m（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足关系m＝﹣10x+120，那么当销售单价定为多少时，每天获得的利润w最大？
（3）该商店决定每销售一千克水果就捐赠a元利润（a≥1）给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于每千克11元时，扣除捐赠后每天的利润随x增大而减小，直接写出a的取值范围．
24．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，过点P作PD∥y轴交AC于点D，过点P作PE⊥AC于点E，过点E作EF⊥y轴于点F，求出PD+EF的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y'，y'与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：A、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义．故正确；
B、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；即不满足轴对称图形的定义．是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误．
故选：A．
2．解：A、，分母中含有x，不是二次函数，故A选项错误；
B、y＝1+x+5x2，是二次函数，故B选项正确；
C、y＝22+2x，x的最高次幂是1，是一次函数，故C选项错误；
D、，x的最高次幂是3，不是二次函数，故D选项错误．
故选：B．
3．解：当a＞0，b＜0时，y＝ax+b的图象不经过第二象限，y＝ax2的图象开口向上，D选项符合，
当a＜0，b＞0时，y＝ax+b的图象不经过第三象限，y＝ax2的图象开口向下，无选项符合，
故选：D．
4．解：A、Δ＝﹣4×（﹣1）＝4＞0，该方程有两个不相等的实数根．故本选项不符合题意；
B、Δ＝22﹣4×1×1＝0，该方程有两个相等的实数根．故本选项符合题意；
C、Δ＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，该方程没有实数根．故本选项不符合题意；
D、Δ＝22﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，该方程有两个不相等的实数根．故本选项不符合题意；
故选：B．
5．解：x2﹣20x+36＝0，
因式分解得：（x﹣2）（x﹣18）＝0，
可化为x﹣2＝0或x﹣18＝0，
解得：x1＝2，x2＝18，
当2为腰时，三角形三边长分别为2，2，18，不能构成三角形，此情况不成立；
当18为腰时，三角形三边长分别为18，18，2，此时三角形的周长为18+18+2＝38，
综上，此三角形的周长为38．
故选：B．
6．解：由题意可知，当x＝1时，y＝a+b+c＝0；当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＝0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过（1，0）和（﹣3，0）两点，
∴抛物线对称轴为直线x＝＝﹣1，
故选：B．
7．解：设2020年与2021年这两年的平均增长率为x，由题意得：
1.8（1+x）2＝5，
故选：C．
8．解：∵y＝﹣x2+4x﹣3，
∴抛物线开口向下，与y轴交点坐标为（0，﹣3）．
∴选项A，B错误．
∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴抛物线顶点（2，1）在x轴上方，抛物线与x轴有2个交点，
∴选项C错误，选项D正确．
故选：D．
9．解：函数y＝的图象如图：
根据图象知道当y＝3时，对应成立的x值恰好有三个，
∴k＝3．
故选：B．
10．解：∵抛物线与y轴的交点坐标在x轴下方，
∴c＜0，所以①正确；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，所以①正确；
∵抛物线与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，即﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，所以②正确；
∵x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，所以③正确．
故选：A．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
11．解：
∵y＝4x2﹣8x+3，
∴抛物线对称轴为x＝﹣＝1，
故答案为：x＝1．
12．解：∵抛物线y＝x2经过两次平移后所得抛物线的顶点坐标为（﹣3，2），则平移后所得抛物线的解析式为y＝（x+3）2+2，
故答案为：y＝（x+3）2+2．
13．解：∵ +3x是二次函数，
∴m2+1＝2，m﹣1≠0．
解得：m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．解：如图：
以拱顶到水面的距离为2米时的水面为x轴，拱顶所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
根据题意设二次函数解析式为：
y＝ax2+2
把A（2，0）代入，得
a＝﹣，
所以二次函数解析式为：y＝﹣x2+2，
当y＝﹣1.5时，﹣ x2+2＝﹣1.5
解得x＝±．
所以水面的宽度为2．
故答案为2．
15．解：由题意知2x+1＝0且x﹣1≠0．
解得x＝﹣．
故答案为：﹣．
16．解：设应该邀请x个足球队参赛，
由题意得： x（x﹣1）＝15，
解得：x＝6或x＝﹣5（舍去），
即应邀请6个足球队参赛．
故答案为：6．
17．解：对已知等式整理得＝，
∴b2﹣a2＝ab，
∴（b2﹣a2）2＝a2b2，
∴b4+a4＝3a2b2，
又∵（）2＝（）2＝，
∴（）2＝＝5，
又∵ab＜0，
∴＜0，
即＝﹣．
故答案为﹣．
18．解：由Rt△AOM三边长产生联想，连接OD，点D符合题意，故点F绕C点顺时针旋转90°或者逆时针旋转90°都符合题意．∴F′（1，2），或（﹣1，2）．
19．解：∵1+（﹣2）＝﹣1，1×（﹣2）＝﹣2，
∴两根分别是1，﹣2的一元二次方程可为x2+x﹣2＝0．
故答案为x2+x﹣2＝0．
20．解：∵A（1，），∠ABO＝90°，
∴OB＝1，AB＝，
∵∠A＝30°，
∴OA＝2OB＝2，
∴第一次旋转后的A的对应点的坐标为（﹣1，），
第二次旋转后的A的对应点的坐标为（﹣2，0），
第三次旋转后的A的对应点的坐标为（﹣1，﹣），
第四次旋转后的A的对应点的坐标为（1，﹣），
第五次旋转后的A的对应点的坐标为（2，0），
第六次旋转后的A的对应点的坐标为（1，），
，
6次一个循环，
∵2023÷6＝337 1，
∴第2023次旋转结束时，点A对应点的坐标为（﹣1，），
故答案为：（﹣1，）．
三．解答题（共4小题，满分60分）
21．解：（1）x2﹣2x﹣4＝0，
x2﹣2x＝4，
x2﹣2x+1＝4+1，即（x﹣1）2＝5，
∴x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）（x﹣1）2＝2（x﹣1），
（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（x﹣1﹣2）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝1，x2＝3；
（3）（x+1）2＝4x2，
∴x+1＝2x或x+1＝﹣2x，
∴x1＝1，x2＝﹣．
22．解：（1）如图所示，△AB1C1即为所求．
（2）如图所示，点D即为所求．
23．解：（1）设购进水果k千克，水果售价定为y元/千克时，水果商才不会亏本，由题意得
y k（1﹣5%）≥（5+0.7）k，
由k＞0可解得：y≥6，
所以，水果商要把水果售价至少定为6元/千克才不会亏本．
（2）由（1）可知，每千克水果的平均成本为6元，由题意得
w＝（x﹣6）m
＝（x﹣6）（﹣10x+120）
＝﹣10（x﹣9）2+90
因此，当x＝9时，w有最大值．
所以，当销售单价定为9元/千克时，每天可获利润w最大．
（3）设扣除捐赠后的利润为P，
则P＝（x﹣6﹣a）（﹣10x+120）＝﹣10x2+（10a+180）x﹣120（a+6），
抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝，
∵销售价格大于每千克11元时，扣除捐赠后每天的利润P随x增大而减小，
∴≤11，解得：a≤4，
故1≤a≤4．
24．（1）解：设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
即y＝ax2+2ax﹣3a，
∴﹣3a＝3，解得a＝﹣1，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）由题意，C（0.3），则△OAC为等腰直角三角形，∠CAO＝45°，
设AC的解析式为yAC＝kx+b，将A（﹣3，0）与C（0.3）代入得，则yAC＝x+3，
∵点P在抛物线上，PD∥y轴交AC于点D，
∴设P（m，﹣m2﹣2m+3），则D（m，m+3），PD＝﹣m2﹣3m，其中﹣3＜m＜0，
如图，延长FE交PD于点G，则FG⊥PD，
且由题可知，△PDE为等腰直角三角形，由”三线合一“知，EG＝PD＝，
∴EF＝，
∴PD+EF＝﹣m2﹣3m+＝﹣m2﹣m＝﹣（m+）2+，
由二次函数的性质可得，当m＝﹣时，PD+EF最大值为，此时P（﹣，）；
（3）由平移可求得平移后函数解析式为y＝﹣（x+3+2）（x﹣1+2）＝﹣x2﹣6x﹣5，与原函数交点M（﹣2，3）；
①以AM为边，作MN1⊥AM交对称轴于N1，可构造矩形AMN1H1，设N1（﹣1，y1），
∴AM2＝10，MN12＝[（﹣1）﹣（﹣2）]2+（y1﹣3）2，AN12＝[（﹣1）﹣（﹣3）]2+（y1﹣0）2，
∵AM2+MN12＝AN12，
∴10+[（﹣1）﹣（﹣2）]2+（y1﹣3）2＝[（﹣1）﹣（﹣3）]2+（y1﹣0）2，
解得y1＝，即N1（﹣1，），
此时设H1（p1，q1），由A、M、N1、H1四点的相对位置关系可得：
，解得：，
∴H1（﹣2，﹣）；
②同理，以AM为边，作MN2⊥AM交对称轴于N2，可构造矩形AMH2N2，设N2（﹣1，y2），
∵AM2+AN22＝MN22，
∴10+[（﹣1）﹣（﹣3）]2+（y2﹣0）2＝[（﹣1）﹣（﹣2）]2+（y2﹣3）2，
解得y2＝﹣，即N2（﹣1，﹣），
此时设H2（p2，q2），由A、M、N2、H2四点的相对位置关系可得：
，解得：，
∴H2（0，）；
③以AM为对角线，作MN3⊥AN3交对称轴于N3，可构造矩形AN3MH3，设N3（﹣1，y3），
∵AM2＝AN32+MN32，
∴10＝[（﹣1）﹣（﹣3）]2+（y3﹣0）2+[（﹣1）﹣（﹣2）]2+（y3﹣3）2，
解得y3＝1，y4＝2，即N3（﹣1，1），N4（﹣1，2），
此时设H3（p3，q3），由A、M、N3、H3四点的相对位置关系可得：
，解得：，
∴H3（﹣4，2）；
设H4（p4，q4），由A、M、N4、H4四点的相对位置关系可得：
，解得：，
∴H4（﹣4，1）．
综上所述，点H的坐标为（﹣2，﹣）或（0，）或（﹣4，2）或（﹣4，1）．
