14.1 整式的乘法 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河北保定·八年级期末）已知xa＝3，xb＝5，则xa+b＝（ ）
A．15 B．8 C． D．52
2．（2022秋·河北邢台·八年级统考期末）计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·河北张家口·八年级统考期末）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）若55+55+55+55+55＝25n，则n的值为（ ）
A．10 B．6 C．5 D．3
5．（2022秋·河北张家口·八年级统考期末）下列运算中正确的是（ ）
A．（﹣a）4＝a4 B．a2 a3＝a4 C．a2+a3＝a5 D．（a2）3＝a5
6．（2022秋·河北邯郸·八年级统考期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·河北保定·八年级期末）下列可以表示的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋·河北石家庄·八年级期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（ ）
A．14 B．16 C．8+5 D．14+
10．（2022秋·河北邢台·八年级统考期末）下列四个等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）若x和y互为倒数，则的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
13．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）若M＝（x－3）（x－4），N＝（x－1）（x－6），则M与N的大小关系为（）
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．由x的取值而定
14．（2022秋·河北邢台·八年级统考期末）若关于x的多项式展开合并后不含项，则a的值是（ ）
A．2 B． C．0 D．
15．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）三个连续偶数，中间一个为n，这三个连续偶数之积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．根据上述规定， ，若，，，且满足，则 ．
17．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）若am＝2，an＝3，则a3m+2n＝ ．
18．（2022秋·河北唐山·八年级统考期末）若x+3y﹣3＝0，则2x 8y＝ ．
19．（2022秋·河北廊坊·八年级统考期末）若点和点关于y轴对称，则 ．
20．（2022秋·河北唐山·八年级期末）已知，，则的值为 ．
21．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）若，则 ．
22．（2022秋·河北唐山·八年级统考期末）计算： ．
三、解答题
23．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）阅读材料
小明遇到这样一个问题：求计算所得多项式的一次项系数．
小明想通过计算所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法．
他决定从简单情况开始，先找所得多项式中的一次项系数．通过观察发现：
也就是说，只需用x+2中的一次项系数1乘以2x+3中的常数项3，再用x+2中的常数项2乘以2x+3中的一次项系数2，两个积相加1×3+2×2=7，即可得到一次项系数．
延续上面的方法，求计算所得多项式的一次项系数．可以先用x+2的一次项系数1，2x+3的常数项3，3x+4的常数项4，相乘得到12；再用2x+3的一次项系数2，x+2的常数项2，3x+4的常数项4，相乘得到16；然后用3x+4的一次项系数3，x+2的常数项2，2x+3的常数项3，相乘得到18．最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46．
参考小明思考问题的方法，解决下列问题：
（1）计算（2x+1）（3x+2）所得多项式的一次项系数为 ．
（2）计算（x+1）（3x+2）（4x﹣3）所得多项式的一次项系数为 ．
（3）若计算（x2+x+1）（x2﹣3x+a）（2x﹣1）所得多项式的一次项系数为0，则a= ．
（4）若x2﹣3x+1是x4+ax2+bx+2的一个因式，则2a+b的值为 ．
24．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）如图，一个长和宽分别为，的长方形中剪下两个大小相同的边长为的正方形有关线段的长如图所示)，留下一个“”型的图形(阴影部分)．
(1)用含，的式子表示“”型图形的面积并化简；
(2)若 ，请计算“”型区域的面积．
25．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图1，这是由8个同样大小的正方体组成的魔方，其体积为64．
求出这个魔方的棱长；
图1中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的边长及其面积；
如图2，把正方形ABCD放到数轴上，使点A与重合，那么点B表示的数为a，请计算的值．
26．（2022秋·河北廊坊·八年级期末）计算：
(1)
(2)
参考答案：
1．A
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此计算即可．
【详解】解：∵xa＝3，xb＝5，
∴xa+b＝xa xb＝3×5＝15．
故选：A．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
2．C
【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的乘法运算计算即可，注意结果的符号问题．
【详解】解：
故选C
【点睛】本题考查了幂的乘方以及同底数幂的乘法，掌握运算法则是解题的关键．
3．A
【分析】根据幂的乘方的逆运算可直接进行排除选项．
【详解】解：∵，，，
∴，，，
∴；
故选A．
【点睛】本题主要考查幂的乘方的逆用，熟练掌握幂的乘方的逆用是解题的关键．
4．D
【分析】直接利用提取公因式法以及幂的乘方运算法则将原式变形进而得出答案．
【详解】解：∵55+55+55+55+55=25n，
∴55×5=52n，
则56=52n，
解得：n=3．
故选D．
【点睛】此题主要考查了幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．
5．A
【分析】根据幂的乘方运算法则，根据同底数幂的乘法运算法则，根据合并同类项运算法则对选项进行判断．
【详解】解：A、，正确，故此选项符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、与不是同类项，不能合并计算，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握幂的乘方，同底数幂的乘法（底数不变，指数相加），以及合并同类项的运算法则．
6．C
【分析】由合并同类项可判断A，由同底数幂的乘法可判断B，由积的乘方可判断C，由幂的乘方运算可判断D，从而可得答案．
【详解】解：A．，故本选项不合题意；
B．，故本选项不合题意；
C．，故本选项符合题意；
D．，故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法运算，积的乘方运算，幂的乘方运算，掌握以上基础运算的运算法则是解本题的关键．
7．A
【分析】根据积的乘方和幂的乘方进行计算即可．
【详解】解：
，
故选：A．
【点睛】本题考查积的乘方及幂的乘方，解题关键是掌握(ab)n=anbn，(an)m=amn．
8．D
【分析】根据乘方的定义，即可解答
【详解】可以表示为a个7相乘.
故选D.
【点睛】此题考查乘方的定义，解题关键在于掌握其定义.
9．C
【详解】试题分析：当n=时，n（n+1）=（+1）=2+＜15；
当n=2+时，n（n+1）=（2+）（3+）=6+5+2=8+5＞15，
则输出结果为8+5．
故选C．
考点：实数的运算．
10．B
【分析】根据合并同类项、幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法法则计算即可．
【详解】解：A. ，故选项错误，不符合题意；
B. ，故选项正确，符合题意；
C. ，故选项错误，不符合题意；
D. ，故选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查合并同类项、幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法，掌握上述运算法则是解题的关键．
11．A
【分析】根据运算法则计算判断即可．
【详解】因为，
所以A计算正确；
因为，
所以B计算错误；
因为
所以C计算错误；
因为，
所以D计算错误；
故选A．
【点睛】本题考查了幂的计算，熟练掌握运算的法则是解题的关键．
12．C
【分析】根据倒数定义可知，再利用多项式乘多项式法则计算，最后将代入即可．
【详解】解：x和y互为倒数，
，
，
故选C．
【点睛】本题考查多项式乘多项式、倒数的定义，解题的关键是熟练运用整体代入思想．
13．A
【分析】根据多项式乘多项式法则，计算出M、N。再进行作差比较．
【详解】解： M＝（x－3）（x－4）=
N＝（x－1）（x－6）=
即：
【点睛】本题考查多项式乘多项式的法则，关键在于作差比较大小．
14．A
【分析】根据多项式乘以多项式法则展开后，根据项的系数相等0可得出a的值
【详解】
∵的结果中不含项，
∴，解得，
故选：A．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的法则的应用，关键是理解不含二次项则二次项系数为0
．
15．A
【分析】首先表示出另外两个偶数，分别为n+2，n-2，然后计算出三个连续偶数之积即可．
【详解】三个连续偶数，中间一个为n，另外两个为n+2，n-2，
三个连续偶数之积为：
故选A．
【点睛】本题考查了整式的乘法运算，准确表示出三个连续偶数是本题的关键．
16． 3 80
【分析】由，根据规定易得(2，8)=3；由规定可得，根据同底数幂的运算及已知p+q=r，即可求得t的值．
【详解】∵
∴(2，8)=3
故答案为：3；
由规定得：
∴
∵p+q=r
∴
∴t=80
故答案为：80
【点睛】本题考查了同底数幂的运算，关键理解题意，能熟练进行同底数幂的运算．
17．72
【分析】根据幂的运算公式的逆运算即可求解．
【详解】∵am＝2，an＝3，
∴a3m+2n＝（am）3×（an）2=23×32=72
故答案为：72．
【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算公式的运用．
18．8．
【详解】∵x+3y﹣3=0，
∴x+3y=3，
∴2x 8y=2x 23y=2x+3y=23=8.
故答案为8.
点睛：本题考查了幂的乘方与积的乘方，先化成底数为2的幂的形式，再进行同底数幂的乘法运算即可．
19．
【分析】由点和点关于y轴对称，列方程组先求解 再利用进行计算即可.
【详解】解： 点和点关于y轴对称，
解得：
故答案为：
【点睛】本题考查的是关于轴对称的两个点的坐标关系，同底数幂的乘法的逆用，积的乘方的逆用，二元一次方程组的解法，掌握以上基础知识是解本题的关键.
20．
【分析】根据同底数幂的除法法则和幂的乘方法则的逆运用即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查同底数幂的除法法则和幂的乘方法则，掌握上述法则的逆运用是解题的关键．
21．
【分析】利用多项式乘以多项式法则展开，根据两多项式相等，则对应项系数相等，求出m、n值，代入即可求解．
【详解】解：∵x2+mx+n=(x+1)(x-2)=x2-x-2，
∴m=-1，n=-2，
∴m+n=-1-2=-3．
故答案为：-3．
【点睛】本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解题的关键．
22．/2+3a
【分析】利用多项式的每一项除以单项式，即可得到答案．
【详解】解：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式除以单项式，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．
23．（1）7（2）-7（3）-3（4）-15
【分析】（1）用2x+1中的一次项系数2乘以3x+2中的常数项2得4，用2x+1中的常数项1乘以3x+2中的一次项系数3得3，4+3=7即为积中一次项的系数；
（2）用x+1中的一次项系数1，3x+2中的常数项2，4x-3中的常数项-3相乘得-6，用x+1中的常数项1，3x+2中的一次项系数3，4x-3中的常数项-3相乘得-9，用x+1中的常数项1，3x+2中的常数项2，4x-3中的一次项系数4相乘得8，-6-9+8=-7即为积中一次项系数；
（3）用每一个因式中的一次项系数与另两个因式中的常数项相乘，再把所得的积相加，列方程、解方程即可得；
（4）设可以分成（ ）(x2+kx+2)，根据小明的算法则有k-3=0，a=-3k+2+1，b=-3×2+k，解方程即可得.
【详解】解：（1）2×2+1×3=7，
故答案为：7；
（2）1×2×（-3）+3×1×（-3）+4×1×2=，
故答案为：；
（3）由题意得：，解得：，
故答案为：；
（4）设可以分成（ ），
则有
解得：，
所以，
故答案为： .
24．(1)
(2)平方米
【分析】（1）根据“”型图形的面积等于大长方形的面积减去2个正方形的面积列出代数式，根据多项式的乘法进行计算化简即可求解；
（2）根据非负数的性质求得的值，代入（1）中化简结果进行计算即可求解．
【详解】（1）解：“”型区域的面积为：
；
（2）∵
∴
∴ (平方米)，
答：“”型区域的面积是平方米．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式与图形的面积，数形结合是解题的关键．
25．（1）4；（2）边长为面积为8；（3）．
【分析】根据正方体的体积公式求出棱长即可；
求出每个小正方体的棱长，再根据勾股定理求出CD即可；
求出a的值，再代入化简即可．
【详解】这个魔方的棱长为：；
每个小正方体的棱长为：；
阴影部分的边长为：，
阴影部分的面积为：；
根据图可知，
∴
=
=
=
．
【点睛】本题考查了数轴、平方差公式、整式的化简等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键．
26．(1)
(2)
【分析】（1）去括号，根据整式除法法则运算即可得到答案；
（2）先根据多项式乘法法则运算，再合并同类项即可得到答案．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查整式的四则混合运算，解题的关键是去括号时注意符号选择．14.2 乘法公式 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河北沧州·八年级统考期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022秋·河北唐山·八年级期末）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）已知，则等于（ ）
A． B．8 C． D．4
4．（2022秋·河北沧州·八年级期末）计算的结果为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022秋·河北邯郸·八年级统考期末）的计算结果是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·河北廊坊·八年级统考期末）如图分割的正方形，拼接成长方形的方案中，可以验证（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022秋·河北廊坊·八年级期末）记则x+1=（ ）
A．一个奇数 B．一个质数
C．一个整数的平方 D．一个整数的立方
8．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）等于（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋·河北邯郸·八年级统考期末）如果是一个完全平方式，那么的值为（ ）
A．3 B． C．6 D．
二、填空题
10．（2022秋·河北秦皇岛·八年级期末）计算： ．
11．（2022秋·河北保定·八年级统考期末） ．
12．（2022秋·河北廊坊·八年级统考期末）已知 x+y-3=0，，则 ，x－y的值为 ．
13．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）丽丽在做一道计算题目的时候是这样分析的：这个算式里面每个括号内都是两数和的形式，跟最近学的乘法公式作比较，发现如果添加两数的差作为新的因式，就可以运用平方差公式进行运算，她尝试添了因式，很快得到计算结果．
① ；
请参考丽丽的方法进行运算：
②的值为 ．
14．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）如图1，将一个长为，宽为的长方形沿图中虚线剪开分成四个完全相同的小长方形，然后将这四个完全相同的小长方形拼成一个正方形（如图2），设图2中的大正方形面积为，小正方形面积为，则 ， ， （用含a，b的式子表示）．
三、解答题
15．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”如：，，，因此4，12，20都是“神秘数”．
(1)请说明28是否为“神秘数”；
(2)下面是两个同学演算后的发现，请判断真假，并说明理由．
①嘉嘉发现：两个连续偶数和（其中k取非负整数）构造的“神秘数”也是4的倍数
②洪淇发现：2024是“神秘数”
16．（2022秋·河北廊坊·八年级统考期末）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为，的正方形秧田，，其中不能使用的面积为．
(1)用含，的代数式表示中能使用的面积___________；
(2)若，，求比多出的使用面积．
17．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）观察下列等式然后完成下面问题：
；
；
；
……
(1)验证第二个等式成立；
(2)猜想规律= ；
(3)由以上情形，你能求出下面式子的结果吗？= ；
(4)已知，求的值．
18．（2022春·河北邢台·八年级统考期末）我们用表示不大于a的最大整数，的值称为数a的相对小数部分．如［2.13]=2，2.13的相对小数部分为2.13－［2.13]=0.13．
(1)______，的相对小数部分=______，－3.2的相对小数部分=______．
(2)设的相对小数部分为m，求的值．
19．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）已知，求代数式的值．
20．（2022秋·河北沧州·八年级统考期末）发现：两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和
验证：设“发现”中的两个已知正整数为2和1，则，10为偶数，且10的一半5也可表示为
探究：设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．
21．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）计算：
(1)
(2)
22．（2022秋·河北张家口·八年级统考期末）人教版八年级上册数学教材第112页的第7题：已知，，求的值．老师讲解了这道题的两种方法：
方法一 方法二
，， ． ， ． ， ． ，， ．
请你参照上面两种解法中的一种，解答以下问题．
(1)已知，，求的值；
(2)已知，求的值．
23．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
(1)图2中的阴影部分的正方形的边长等于___________；面积等于___________．
(2)观察图2，请你写出下列三个代数式，之间的等量关系为___________．
(3)运用你所得到的公式，计算：若、为实数，且，，试求的值．
24．（2022秋·河北邢台·八年级统考期末）利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如根据图①我们可以得到两数和的平方公式：，根据以上结论解决下列问题．
(1)如图②，点是线段上的一点，以、为边向外作正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积为__________．
(2)若x满足，求的值．
25．（2022秋·河北廊坊·八年级期末）若我们规定三角“”表示为：abc；方框“”表示为：（xm＋yn）．例如：＝1×19×3÷（24＋31）＝3．请根据这个规定解答下列问题：
(1)计算：＝______；
(2)代数式为完全平方式，求k的值．
26．（2022秋·河北邢台·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中实数a，b满足．
27．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）计算：
(1)
(2)
28．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）化简：．
29．（2022秋·河北唐山·八年级期末）某种植基地有一块长方形和一块正方形实验田，长方形实验田每排种植株豌豆幼苗，种植了排，正方形实验田每排种植株豌豆幼苗，种植了排，其中．
(1)长方形实验田比正方形实验田多种植豌豆幼苗多少株？
(2)当，时，该种植基地这两块实验田一共种植了多少株豌豆幼苗？
参考答案：
1．D
【分析】根据积的乘方运算可判断A，根据合并同类项可判断B，根据平方差公式的应用可判断C，D，从而可得答案．
【详解】解：，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
，故D符合题意；
故选D
【点睛】本题考查的是积的乘方运算，合并同类项，平方差公式的应用，熟记各自的运算法则是解本题的关键．
2．A
【分析】根据大正方形的面积减小正方形的面积矩形的面积，即可解答．
【详解】解：根据题意，得：
矩形一边长为，则另一边长为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查平方差公式的应用，熟记图形的面积公式是解决此题的关键．
3．C
【分析】根据平方差公式即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
．
故选C．
【点睛】本题考查了利用平方差公式因式分解，掌握平方差公式是解题的关键．
4．A
【分析】根据平方差公式直接计算即可．
【详解】解：原式＝（0.1x）2﹣（0.3y）2
＝0.01x2﹣0.09y2，
故选：A．
【点睛】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
5．D
【分析】原式化为，根据平方差公式进行求解即可．
【详解】解：
故选D．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用．解题的关键与难点在于应用平方差公式．
6．A
【分析】对图形中阴影部分的面积进行计算即可得到相关的等式．
【详解】解：如图所示，
右边阴影部分面积为：，
左边阴影部分面积为：，
由阴影部分面积相等可得：，
故选A．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景．分别表示出图形阴影部分的面积是解题的关键．
7．C
【分析】根据平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，先把原式乘以因式（2-1），然后依次利用平方差公式计算，最后得出x+1=2512．
【详解】
= （2-1）
=（-1）
=（-1）
=-1
则x+1= 1+1=.
故答案为：C.
【点睛】本题考查平方差公式.,关键是先把原式乘以因式（2-1）．
8．C
【分析】将原式变形为，再运用平方差公式和完全平方公式进行求解．
【详解】解：
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查运用平方差公式和完全平方公式进行求解．
9．D
【分析】根据完全平方公式即可得．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题关键．
10．
【分析】先用15写出，再多次利用平方差公式求解．
【详解】解：原式
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方差公式，把15变式表示是解题的关键．
11．/
【分析】利用平方差公式计算，即可求解．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式：是解题的关键．
12． 27 -4
【分析】根据x+y-3=0可得x+y的值，代入3x 3y=3x+y即可得到答案，对x2-y2=-12左边利用平方差公式分解因式后即可得到答案．
【详解】解：∵x+y-3=0，
∴x+y=3，
∴3x 3y=3x+y=33=27，
∵x2-y2=（x+y）（x-y）=-12，
∴3（x-y）=-12，
∴x-y=-4，
故答案为：27，-4．
【点睛】此题考查的是同底数幂的乘法及平方差公式，掌握同底数幂的运算法则是解决此题关键．
13．
【分析】（1）添加因式，然后依次按照平方差公式计算即可；
（2）将原式化为，依次按照平方差公式计算即可．
【详解】解：①
故答案为：
②
=
=
=
=
=
=
故答案为：
【点睛】本题考查平方差公式的应用，能够根据定义观察得出需要添加的因式并能进行准确计算是解题关键．
14．
【分析】观察图形，根据长方形的面积公式与正方形的面积公式，列出代数式，进而即可求解．
【详解】解：
，
∴；
故答案为：，，．
【点睛】本题考查了完全平方公式与图形面积，数形结合是解题的关键．
15．(1)是，见解析
(2)①见解析，②见解析
【分析】（1）判断28是否可以用两个连续偶数的平方差表示即可；
（2）化简，判断化简后的式子是否为4的倍数即可；令，判断k是否是整数即可．
【详解】（1）解：假设28是“神秘数”，则，
解得，，
，
因此假设成立， 28是“神秘数”；
（2）解：①嘉嘉的发现是真的，理由如下：
，
两个连续偶数和（其中k取非负整数）构造的“神秘数”也是4的倍数，
②洪淇的发现是假的，理由如下：
假设2024是“神秘数”，则，
解得，
k不是整数，
假设不成立， 2024不是“神秘数”．
【点睛】本题考查平方差公式的应用，解题的关键是读懂题意，理解“神秘数”的定义．
16．(1)
(2)50
【分析】（1）利用正方形秧田的面积减去不能使用的面积即可得；
（2）先求出中能使用的面积为，再求出比多出的使用面积为，利用平方差公式求解即可得．
【详解】（1）解：中能使用的面积为，
故答案为：．
（2）解：中能使用的面积为，
则比多出的使用面积为，
，，
，
答：比多出的使用面积为50．
【点睛】本题考查了列代数式、平方差公式与图形面积，熟练掌握平方差公式是解题关键．
17．(1)见解析
(2)
(3)
(4)1
【分析】（1）将左边式子进行展开后即可发现左右两边相等；
（2）根据已知的等式，可发现等式的右边是两项，且的指数比左边式子后边括号中的的最高指数大1；
（3）由题目规律可知，，所以；
（4）由可得，即可得出，据此计算即可．
【详解】（1）解：左边
左边=右边，所以等式成立；
（2）解：由题意，得；
故答案为：；
（3）解：∵，
∴；
故答案为：；
（4）解：∵即，
∴即，
当时，不合题意舍去；
∴ ．
【点睛】本题主要考查了平方差的公式、多项式乘法中的规律性问题及多项式乘多项式等知识点，能灵活运用规律进行计算是解决此题的关键．
18．(1)2；；0.8
(2)1
【分析】（1）根据新定义[a]的意义，结合无理数的估算，逐个进行计算即可；
（2）利用新定义表示出m，再代入代数式求值即可．
【详解】（1）解：表示不大于的最大整数，即为2
∴=2
∴的小数部分为-2
-3.2的小数部分为-3.2-[-3.2]=-3.2-（-4）=0.8．
故答案为2，，0.8．
（2）解：由题意得：，m=-2
∴．
【点睛】本题主要考查了新定义的概念的理解、无理数的运算以及平方差公式等知识点，准确理解新定义的意义是解答本题的关键．
19．5.
【分析】先将化为，再对代数式进行化简，将整体代入即可.
【详解】解：∵，
∴ .
原式
.
【点睛】本题考查整式的混合运算，代数式求值——已知式子的值，求代数式的值.在化简过程中掌握单项式乘多项式法则和平方差公式是解题关键，在代入值的过程中掌握整体思想，能整体代入是解题关键.
20．证明见解析
【分析】通过观察分析验证10的一半为5，；再列式并计算即可证明．
【详解】证明：验证：10的一半为5，；
设“发现”中的两个已知正整数为m，n，
∴，
其中为偶数，
且其一半正好是两个正整数m和n的平方和，
∴“发现”中的结论正确．
【点睛】本题考查了利用完全平方公式进行计算，解答本题的关键是明确题意，列出正确的运算式，写出相应的结论并进行验证．
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据多项式乘以多项式进行计算即可求解；
（2）根据完全平方公式分别计算，然后合并同类项即可求解．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，完全平方公式，掌握整式乘法运算的运算法则以及乘法公式是解题的关键．
22．(1)
(2)12
【分析】（1）把两边平方，利用完全平方公式化简后将代入计算即可求出的值；
（2）把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，所求式子化简后代入计算即可求出值；
【详解】（1）把两边平方，得，
化简，得
将代入得，解得
（2）把两边平方，得
化简，得，即，
则
【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则及完全平方公式是解本题的关键．
23．(1)， 或
(2)
(3)6
【分析】（1）根据图中给出的数据即可求得图乙中阴影部分正方形边长，根据正方形的面积公式求得面积；
（2）用两种不同方式求得阴影部分面积可得关于、、的等式；
（3）根据（2）中结论即可解题．
【详解】（1）图中阴影部分边长为，
则阴影部分的面积为 或
故答案为：； 或；
（2）用两种不同的方法表示阴影的面积：
方法一：阴影部分为边长的正方形，故面积；
方法二：阴影部分面积为边长的正方形面积四个以为长、b为宽的个长方形面积；
∴；
即，
故答案为：；
（3）由（2）得，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了完全平方公式的计算，考查了正方形面积计算，本题中求得是解题的关键．
24．(1)
(2)
【分析】（1）设，根据题意可得，进而根据完全平方公式变形即可求解．
（2）根据题意，，根据完全平方公式变形求值即可求解．
【详解】（1）解：设，根据题意可得，
∴，
∴，
∴阴影部分面积面积为，
故答案为：．
（2）解：∵，
∴
．
【点睛】本题考查了完全平方公式与图形面积以及完全平方公式变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键．
25．(1)
(2)±3
【分析】（1）依据题目给出的运算规律即可求解；
（2）先依据题目的给出的运算规律将其简化为，再根据是完全平方式，将其配方为，展开后通过比较同类项系数即可求出k值．
【详解】（1）解：根据题意，
有：原式=．
（2）解：依据题意，
有：原式=；
∵代数式为完全平方式，
∴原式=，
∴将展开，比较等号两边同类项系数可得2k＝±6，
解得k＝±3．
【点睛】本题考查了完全平方式的知识，依据题目给出的运算法则将所求代数式准确转化为常见的代数式形式是解答本题的关键．
26．，7
【分析】先根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，根据绝对值和偶次方的非负性得出，，最后代入求出答案即可．
【详解】解：
∵
∴
∴，，
原式．
【点睛】本题考查了整式的化简求值和偶次方、绝对值的非负性，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
27．(1)
(2)
【分析】（1）利用平方差公式、完全平方公式的运算法则计算后合并同类项即可；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式计算中括号里面的式子，合并同类项后再利用多项式除以单项式的法则计算即可.
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
.
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解题的关键.
28．
【分析】先利用完全平方公式，多项式乘以多项式计算整式的乘法，再合并同类项即可.
【详解】解：
【点睛】本题考查的是整式的乘法运算，完全平方公式的应用，掌握“利用完全平方公式进行简便运算”是解本题的关键.
29．(1)长方形实验田比正方形实验田多种植豌豆幼苗株
(2)该种植基地这两块实验田一共种植了184株豌豆幼苗
【分析】（1）利用正方形的面积与长方形的面积，列式计算即可．
（2）把两块面积加起来化简后代入数值即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
答：长方形实验田比正方形实验田多种植豌豆幼苗株；
（2）解：由题意得：，
当，时，原式，
答：该种植基地这两块实验田一共种植了184株豌豆幼苗.
【点睛】本题主要考查整式的乘法公式的应用，能够利用整式表示实际意义并列式计算是解题关键．14.3 因式分解 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）下列变形中是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）下列因式分解错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·河北廊坊·八年级期末）将多项式利用提公因式法分解因式，则提取的公因式为（ ）
A． B．ab C．a D．b
4．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）如图，边长为a、b的长方形周长为20，面积为16，则a2b+ab2的值为（ ）
A．80 B．160 C．320 D．480
5．（2022秋·河北廊坊·八年级期末）已知，，那么的值为（ ）
A．3 B．6 C． D．
6．（2022春·河北保定·八年级统考期末）用提公因式法分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022春·河北邯郸·八年级统考期末）若长和宽分别是的长方形的周长为10，面积为4，则的值为（ ）
A．14 B．16 C．20 D．40
8．（2022春·河北保定·八年级统考期末）下列多项式中，能进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋·河北邢台·八年级统考期末）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022春·河北邯郸·八年级统考期末）下列多项式中，既能用提取公因式又能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022秋·河北唐山·八年级期末）若，则整式为（ ）
A． B． C． D．
12．（2022春·河北邯郸·八年级统考期末）课堂上老师在黑板上布置了四道用平方差公式分解因式的题目：，，，，小华发现其中有一道题目错了，你知道是哪一道吗？( )
A．第1道题 B．第2道题 C．第3道题 D．第4道题
13．（2022秋·河北廊坊·八年级期末）若多项式能用完全平方公式分解因式，则m的值是（ ）
A．2 B． C． D．
14．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）下列四个多项式中，不能因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
15．（2022秋·河北邯郸·八年级统考期末）把多项式分解因式，下列结果正确的是( )
A． B． C． D．
16．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）如图，长与宽分别为、的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为（ ）
A．2560 B．490 C．70 D．49
二、填空题
17．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）把分解因式得，则c的值是 ．
18．（2022春·河北邯郸·八年级统考期末）分解因式：x(x－3)－x+3= ．
19．（2022春·河北保定·八年级统考期末）因式分解： ．
20．（2022秋·河北唐山·八年级统考期末）因式分解： ．
21．（2022秋·河北邯郸·八年级统考期末）一个长方形的长与宽分别为a，b，若周长为12，面积为5，则的值为 ．
三、解答题
22．（2022秋·河北张家口·八年级统考期末）因式分解：
(1)；
(2)．
23．（2022秋·河北唐山·八年级期末）因式分解：
(1)；
(2)．
24．（2022春·河北邯郸·八年级统考期末）给出三个多项式，，，请你任选两个进行加（减）法运算，再将结果因式分解．
25．（2022秋·河北廊坊·八年级期末）阅读下列材料：
常用分解因式的技法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：
(1)分解因式：①；②
(2)三边a，b，c满足，判断的形状，并说明理由．
26．（2022秋·河北沧州·八年级期末）【阅读】下列是多项式因式分解的过程：．请利用上述方法解决下列问题．
【应用】
(1)因式分解：；
(2)若x>5，试比较与0的大小关系；
(3)【灵活应用】若，求的值．
27．（2022秋·河北邢台·八年级统考期末）【阅读】代数中的很多等式可以用几何图形直观表示，这种思想叫“数形结合”思想．如图1，现有正方形类、类卡片和长方形类卡片若干张，若要拼成一个长为、宽为的大长方形，可以先计算大长方形面积为，则分别需要类、类、类卡片2张、2张、5张，拼成的图形如图2所示．
【探究】（1）若要拼成一个长为、宽为的大长方形，则需要类、类、类卡片各多少张？并画出示意图．
【应用】（2）①由图3可得等式：____________________；
②已知，，利用①中所得结论，求的值．
参考答案：
1．B
【分析】将多项式变形为几个整式的积的形式是因式分解．
【详解】A. ，不是因式分解，不合题意；
B. ，是因式分解，符合题意；
C. ，变形错误，不合题意；
D. ，不是因式分解，不合题意；
故选：B
【点睛】本题考查因式分解的定义，理解因式分解的定义是解题的基础．
2．D
【分析】根据公式特点判断，然后利用排除法求解．
【详解】解：A.是平方差公式，故A选项正确，不符合题意；
B.是完全平方公式，故B选项正确，不符合题意；
C.是提公因式法，故C选项正确，不符合题意；
D.，故D选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分解因式的方法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
3．D
【分析】利用提公因式法进行分解即可．
【详解】解：a2b-2b=b（a2-2），
将多项式a2b-2b利用提公因式法分解因式，则提取的公因式为：b，
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握因式分解-提公因式法是解题的关键．
4．B
【分析】根据题意可得，，则，代入求解即可．
【详解】解：根据题意可得，，即，
，
故选：B
【点睛】此题考查了代数式求值，解题的关键是利用因式分解法求得．
5．D
【分析】根据完全平方公式求出，再把原式因式分解后可代入求值．
【详解】解：因为，，
所以，
所以
故选：D
【点睛】考核知识点：因式分解的应用．灵活应用完全平方公式进行变形是解题的关键．
6．C
【分析】此题通过提取公因式可对选项进行一一分析，排除错误的答案．
【详解】解：A、12abc-9a2b2c2=3abc（4-3abc），故本选项错误；
B、3x2y-3xy+6y=3y（x2-x+2），故本选项错误；
C、-a2+ab-ac=-a（a-b+c），正确；
D、x2y+5xy-y=y（x2+5x-1），故本选项错误．
故选：C．
【点睛】此题考查提取公因式的方法，通过得出结论推翻选项．
7．C
【分析】直接利用矩形周长和面积求法结合提取公因式法分解因式计算即可．
【详解】∵长和宽分别是的长方形的周长为10，面积为4，
∴，，
∴，
则．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，矩形的性质以及提取公因式法分解因式，正确得出的值是解题关键．
8．C
【分析】直接利用公式法分解因式进而判断得出答案．
【详解】解：A、，无法分解因式，故此选项不合题意；
B、，无法分解因式，故此选项不合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，无法分解因式，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用公式是解题关键．
9．D
【分析】依据因式分解的定义以及提公因式法和公式法分解因式，依次判断即可得到正确结论．
【详解】解：A、，本选项不符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，正确，本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了因式分解的知识，解决问题的关键是掌握提公因式法和公式法分解因式．
10．C
【分析】根据因式分解，逐项判断即可求解．
【详解】解：A.，不能因式分解，故该选项不符合题意；
B.，只用了平方差公式因式分解，故该选项不符合题意；
C.，故该选项符合题意；
D. ，能用提公因式的方法因式分解，故该选项不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
11．C
【分析】利用整式的除法即可求解．
【详解】∵，
∴
，
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的除法运算、用平方差公式进行因式分解的知识，掌握整式的除法是解答本题的关键．
12．C
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3），不能进行因式分解；
（4），
则第3道题目错了．
故选：C．
【点睛】此题考查了因式分解 运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
13．C
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
【详解】解：∵多项式能用完全平方公式分解因式，
∴．
∴，
故选C．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，熟记有关完全平方的几个变形公式是解题关键．
14．A
【分析】根据因式分解的方法，对各项分析即可得出答案．
【详解】解：∵不能再分解因式，∴符合题意；
∵，∴不符合题意；
∵，∴不符合题意；
∵，∴项不符合题意
故答案为：
【点睛】本题考查了因式分解的方法，熟记因式分解的方法是解题的关键．
15．B
【分析】利用十字相乘法分解因式，由（-1）×（-2）=2，（-1）+（-2）=-3可得，写成因式分解的形式即可.
【详解】=.
故答案为B.
【点睛】本题主要考查十字相乘法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.
16．B
【分析】利用面积公式得到，由周长公式得到，所以将原式因式分解得出．将其代入求值即可．
【详解】解：∵长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，
∴，，
∴
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了因式分解和代数式求值，准确计算、整体代入求值是解题的关键．
17．2
【分析】将展开即可得到c的值．
【详解】解：∵（x＋1）（x＋2）＝x2＋2x＋x＋2＝x2＋3x＋2，
∴x2＋3x＋c＝x2＋3x＋2，
∴c＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了因式分解与整式乘法．熟知因式分解与整式的乘法互为逆运算是解题的关键．
18．(x－3)(x－1)
【分析】先将后两项添加括号，括号前加负号，再用提公因式法分解即可．
【详解】解：x(x－3)－x+3
＝x(x－3)－(x－3)
＝(x-3)(x-1)，
故答案为：(x-3)(x-1)．
【点睛】本题考查提公因式法分解因式，熟练掌握添括号法则与提公因式法分解因式是解题的关键．
19．x（x﹣4）
【分析】直接提取公因式x，进而分解因式得出即可．
【详解】解：x2﹣4x＝x（x﹣4）．
故答案为：x（x﹣4）．
【点睛】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
20．
【分析】根据因式分解中的提公因式法和完全平方公式即可求出答案．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，涉及到提公因式法和完全平方公式，解题的关键需要掌握完全平方公式．
21．180
【分析】直接提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式，进而得出答案．
【详解】解：长与宽分别为，的长方形周长为12，面积为5，
，，
，
则原式．
故答案为：180．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．
22．(1)
(2)
【分析】（1）利用提取公因式法分解因式；
（2）利用平方差公式、完全平方公式分解因式．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．
23．(1)
(2)
【分析】（1）根据提公因式和平方差公式进行因式分解即可；
（2）根据完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
【点睛】本题考查了因式分解，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
24．（答案不唯一）
【分析】从其中选两个，利用整式的加减运算法则和因式分解的方法求解即可．
【详解】解：（）－（）
=
=
=．（答案不唯一）
比如（）－（）
=
=
=．
【点睛】本题考查整式的加减运算、因式分解，熟练掌握整式的加减运算法则和因式分解的方法是解答的关键．
25．(1)①②
(2)△ABC是等边三角形，理由见详解
【分析】（1）①根据所给代数式前两项一组，后两项一组，分组分解后再提公因式即可；②先运用完全平方公式分解，再整体运用平方差公式进行分解；
（2）将分成两项，分别与其他项组成完全平方公式，然后利用非负数的性质进行解答．
【详解】（1）解：①原式
；
②原式=
；
（2）△ABC是等边三角形．
理由如下：
∵三边a，b，c满足，
∴，
即有，
∵，，
∴，
∴且，
∴，
∴△ABC为等边三角形．
【点睛】本题主要考查了因式分解以及因式分解的应用，解题关键是利用分组分解法时要明确分组的目的，并熟练运用完全平方式和平方差公式进行因式分解．
26．(1)
(2)
(3)5
【分析】（1）先配方，然后利用平方差公式因式分解即可；
（2）先配方，然后利用平方差公式因式分解，根据条件得出x+1＞0，x-5＞0即可；
（3）先列用配方法化为偶次方的和为0，根据偶次方非负性质，得出解一元一次方程即可．
【详解】（1）解：，
（2）解：，，
∴x+1＞0，x-5＞0，
，
；
（3）解：，
，
∵，
∴，
，，
．
【点睛】本题考查配方法化为完全平方数，平方差公式因式分解，比较大小，非负数性质，代数式的值，掌握配方法化为完全平方数，平方差公式因式分解，比较大小，非负数性质，代数式的值是解题关键．
27．（1）A、B、C三类卡片各需要1张、3张、4张；图见解析；（2）①（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；②45．
【分析】（1）利用多项式的乘法即可得出结论，利用题干类似的方法可以画出示意图；
（2）①利用多项式的乘法结合示意图即可得出结论；
②利用①中的结论，变形后即可求得结论．
【详解】解：（1）∵（a+3b）（a+b）=a2+4ab+3b2，
∴A、B、C三类卡片各需要1张、3张、4张；
如下图：
（2）①∵图3是一个边长为（a+b+c）的正方形，
它由边长分别为a，b，c的3个小正方形和边长为a，b的2个小长方形，边长为a，c的2个小长方形与边长为b，c的2个小长方形组成，
∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
故答案为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
②由①知：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
又，，
∴a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+ac+bc）=121-2×38=45．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，完全平方公式的几何背景，正方形、长方形的面积，多项式乘以多项式．本题还渗透了数形结合的数学方法，依据题意画出符合题意的图形是解题的关键．
