第3章 实数章末测试卷
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．(3分)（2022 柳南区校级模拟）如果1.333，2.872，那么约等于（ ）
A．28.72 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333
2．(3分)（2022春 米东区校级月考）下列实数，3.14﹣π，3.14259，，，12 中无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．(3分)（2022春 朝阳区校级期中）下列说法正确的是（ ）
A．绝对值是的数是 B．的相反数是±
C．1的绝对值是1 D．的相反数是﹣2
4．(3分)（2022春 武城县期末）实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是（ ）
A．a﹣1 B．a﹣2b+1 C．2b﹣a﹣1 D．1﹣a
5．(3分)（2022春 遵义期中）已知a，b，c为△ABC的三边，且|b﹣c|＝0，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
6．(3分)（2022春 聊城期末）如图所示，以A为圆心的圆交数轴于B，C两点，若A，B两点表示的数分别为1，，则点C表示的数是（ ）
A．1 B．2 C．22 D．1
7．(3分)（2022 定远县模拟）x，y分别是8的整数部分和小数部分，则2xy﹣y2的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．(3分)（2022春 天门月考）设S1＝1，S2＝1，S3＝1，…，Sn＝1，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．(3分)（2022春 工业园区校级期末）若规定，f（x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n整数）例如：f（0.7）＝1，f（2.3）＝2，f（5）＝5，则f（1）+f（）+f（）+…+f（）的值（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
10．(3分)（2022春 石楼县校级月考）将1，，三个数按图中方式排列，若规定（a，b）表示第a排第b列的数，则（8，2）与（10，10）表示的两个数的积是（ ）
A． B． C． D．1
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．的最小值是 ，这时a＝ ．
12．(3分)（2022秋 温州期中）已知甲数是的平方根，乙数是的立方根，则甲、乙两个数的积是 ．
13．(3分)（2022 连云港模拟）元宵联欢晚会上，魔术师刘谦表演了一个魔术，用几个小正方形拼成一个大的正方形，现有四个小正方形的面积分别为a、b、c、d，且这四个小正方形能拼成一个大的正方形，则这个大的正方形的边长为 ．
14．(3分)（2022 兴平市一模）如已知，则的值为 ．
15．(3分)（2022 南京模拟）如图，面积为a（a＞1）的正方形ABCD的边AB在数轴上，点B表示的数为1．将正方形ABCD沿着数轴水平移动，移动后的正方形记为A'B'CD'，点A、B、C、D的对应点分别为A'、B'、C、D'，移动后的正方形A'B'C'D'与原正方形ABCD重叠部分图形的面积记为S．当S时，数轴上点B'表示的数是 （用含a的代数式表示）．
16．(3分)（2022秋 双流区校级期中）对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，如[4]＝4，[]＝1，如[﹣2.5]＝﹣3，现对82进行如下操作：82[]＝9[]＝3[]＝1，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，按照以上操作，只需进行3次操作后，变为2的所有正整数中，最大的正整数是 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．(6分)（2022春 自流井区校级月考）将下列各数填入相应的集合内
﹣7，3.14，，0，，，，π，0.，0.1010010001…
①有理数集合{ …}
②无理数集合{ …}
③负实数集合{ …}．
18．(6分)（2022秋 鄄城县期中）求下列各式中x的值．
（1）16x2﹣81＝0；
（2）﹣（x﹣2）3﹣64＝0．
19．(8分)（2022春 柘城县期中）计算：
（1）（﹣1）2020+（﹣2）3；
（2）．
20．(8分)（2022春 饶平县校级期末）已知2＝x，且与互为相反数，求x，y的值．
21．(8分)（2022秋 靖江市校级期中）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察表：
n 16 0.16 0.0016 1600 160000 …
4 0.4 0.04 40 400 …
（1）表中所给的信息中，你能发现什么规律？（请将规律用文字表达出来）
（2）运用你发现的规律，探究下列问题：
已知1.435，求下列各数的算术平方根：①0.0206； ②2060000．
22．(8分)（2022春 饶平县校级期末）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．
（1）仿照以上方法计算： ； ．
（2）若，写出满足题意的x的整数值 ．
如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．
（3）对100连续求根整数， 次之后结果为1．
（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ．
23．(8分)（2022秋 西湖区校级期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
操作一：
（1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与 表示的点重合；
操作二：
（2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题：
①表示的点与数 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是 ；
操作三：
在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．(3分)（2022 柳南区校级模拟）如果1.333，2.872，那么约等于（ ）
A．28.72 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333
【分析】根据立方根，即可解答．
【解答】解：∵1.333，
∴1.333×10＝13.33．
故选：C．
2．(3分)（2022春 米东区校级月考）下列实数，3.14﹣π，3.14259，，，12 中无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据无限不循环小数叫做无理数，判断出实数，3.14﹣π，3.14259，，，12 中无理数有多少个即可．
【解答】解：实数，3.14﹣π，3.14259，，，12 中无理数有2个：3.14﹣π，．
故选：A．
3．(3分)（2022春 朝阳区校级期中）下列说法正确的是（ ）
A．绝对值是的数是 B．的相反数是±
C．1的绝对值是1 D．的相反数是﹣2
【分析】利用绝对值的意义，立方根，相反数的意义对每个选项作出判断即可得出结论．
【解答】解：∵绝对值是的数是或，
∴A选项的结论不正确；
∵的相反数是，
∴B选项的结论不正确；
∵1的绝对值是1，
∴C选项的结论正确；
∵2，
∴的相反数为2．
∴D选项的结论不正确；
故选：C．
4．(3分)（2022春 武城县期末）实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是（ ）
A．a﹣1 B．a﹣2b+1 C．2b﹣a﹣1 D．1﹣a
【分析】首先根据图示，可得：a＜b，然后根据算术平方根、立方根的含义和求法，化简即可．
【解答】解：根据图示，可得：a＜b，
∴a﹣b＜0，
∴
＝b﹣a﹣（b﹣1）
＝b﹣a﹣b+1
＝1﹣a．
故选：D．
5．(3分)（2022春 遵义期中）已知a，b，c为△ABC的三边，且|b﹣c|＝0，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【分析】根据绝对值的性质求出a、b，b、c的关系，即可得解．
【解答】解：根据题意得，a2﹣2ab+b2＝0，b﹣c＝0，
解得a＝b，b＝c，
所以，a＝b＝c，
所以，△ABC的形状是等边三角形．
故选：B．
6．(3分)（2022春 聊城期末）如图所示，以A为圆心的圆交数轴于B，C两点，若A，B两点表示的数分别为1，，则点C表示的数是（ ）
A．1 B．2 C．22 D．1
【分析】根据数轴两点间的距离求出⊙A的半径AB，从而得到AC，即可求解．
【解答】解：∵A，B两点表示的数分别为1，，
∴，
∵AB＝AC，
∴，
∵点C在点A的左边，
∴点C表示的数为，
（备注：由A是BC的中点，用中点坐标公式也可求解），
故选：B．
7．(3分)（2022 定远县模拟）x，y分别是8的整数部分和小数部分，则2xy﹣y2的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】先估算出的范围，再得到8的整数部分和小数部分，代入计算即可．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵x，y分别是8的整数部分和小数部分，
∴x＝4，y，
∴2xy﹣y25，
故选：C．
8．(3分)（2022春 天门月考）设S1＝1，S2＝1，S3＝1，…，Sn＝1，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】观察第一步的几个计算结果，得出一般规律．
【解答】解：，，，，…，
，
∴
＝1+11
＝24+1
．
故选：A．
9．(3分)（2022春 工业园区校级期末）若规定，f（x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n整数）例如：f（0.7）＝1，f（2.3）＝2，f（5）＝5，则f（1）+f（）+f（）+…+f（）的值（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【分析】根据f（x）表示的意义，分别求出f（1），f（），f（），…f（）的值，再计算结果即可．
【解答】解：f（x）表示的意义可得，f（1）＝1，f（）＝1，f（）＝2，f（）＝2，
f（）＝2，f（）＝2，f（）＝3，f（）＝3，f（）＝3，
∴f（1）+f（）+f（）+…+f（）＝1+1+2+2+2+2+3+3+3＝19，
故选：D．
10．(3分)（2022春 石楼县校级月考）将1，，三个数按图中方式排列，若规定（a，b）表示第a排第b列的数，则（8，2）与（10，10）表示的两个数的积是（ ）
A． B． C． D．1
【分析】观察已知数列可得，每三个数一循环，即：以1，为一个循环体，联系已知条件，分别算出（8，2）与（10，10）是第几轮的第几个数，进而即可求出（8，2）与（10，10）所表示的数，然后进行计算即可．
【解答】解：由题意知每三个数一循环，即：以1，为一个循环体，
∵（8，2）在数列中是第8排第2列的数，
而（1+7）×7÷2+2＝30个，30÷3＝10，
∴（8，2）表示的数正好是第十轮的最后一个，
即（8，2）表示的数是，
∵（10，10）在数列中是第10排第10列的数，
而（1+10）×10÷2＝55个，55÷3＝18 1，
∴（10，10）表示的数正好是第19轮的第一个，
即（10，10）表示的数是1，
∴，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．的最小值是 0 ，这时a＝ 2 ．
【分析】根据是非负数可求得a≤2，由此所以当a＝2时，有最小值．
【解答】解：∵0，
∴4﹣2a＝0时有的最小值，
∴a＝2，
即当a＝2时，有最小值，且为0．
12．(3分)（2022秋 温州期中）已知甲数是的平方根，乙数是的立方根，则甲、乙两个数的积是 ±2 ．
【分析】分别根据平方根、立方根的定义可以求出甲数、乙数，进而即可求得题目结果．
【解答】解：∵甲数是的平方根
∴甲数等于；
∵乙数是的立方根，
∴乙数等于．
∴甲、乙两个数的积是±2．
故答案为：±2．
13．(3分)（2022 连云港模拟）元宵联欢晚会上，魔术师刘谦表演了一个魔术，用几个小正方形拼成一个大的正方形，现有四个小正方形的面积分别为a、b、c、d，且这四个小正方形能拼成一个大的正方形，则这个大的正方形的边长为 ．
【分析】利用正方形的面积公式计算即可求解．
【解答】解：设大正方形的边长为x，
则它的面积为x2，
在本题中大正方形的面积为四个小正方形面积的和有x2＝a+b+c+d，
∴x
故答案为：．
14．(3分)（2022 兴平市一模）如已知，则的值为 ．
【分析】根据已知条件可求出a和n的值，分别代入所求式子中，观察式子特征，可将式子互相抵消．
【解答】解：根据非负数性质可知a﹣1＝0且ab﹣2＝0
解得a＝1 b＝2
则原式
裂项得；
故答案为
15．(3分)（2022 南京模拟）如图，面积为a（a＞1）的正方形ABCD的边AB在数轴上，点B表示的数为1．将正方形ABCD沿着数轴水平移动，移动后的正方形记为A'B'CD'，点A、B、C、D的对应点分别为A'、B'、C、D'，移动后的正方形A'B'C'D'与原正方形ABCD重叠部分图形的面积记为S．当S时，数轴上点B'表示的数是 或2 （用含a的代数式表示）．
【分析】平移可分两种情况，左平移，右平移．根据面积求得边长，继而求得平移距离．
【解答】解：因为正方形面积为a，
所以边长AB，
当向右平移时，如图1，
因为重叠部分的面积为S＝AB' AD，
AB'，
所以AB'＝1，
所以平移距离BB'＝AB﹣AB'1，
所以OB'＝OB+BB'，
则B'表示的数是；
当向左平移时，如图2，
因为重叠部分的面积为S＝A'B A'D'，
A'B，
所以A'B＝1，
所以平移距离BB'＝A'B'﹣A'B1，
所以OB'＝OB﹣B'B＝1﹣（1）＝2，
则B'表示的数是2．
16．(3分)（2022秋 双流区校级期中）对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，如[4]＝4，[]＝1，如[﹣2.5]＝﹣3，现对82进行如下操作：82[]＝9[]＝3[]＝1，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，按照以上操作，只需进行3次操作后，变为2的所有正整数中，最大的正整数是 6560 ．
【分析】逆向思考，先求出第3次参与运算的最大数，再求出第2次参与运算的最大数，最后求出第1次参与运算的最大数即可．
【解答】解：∵最后的结果为2，
∴第3次参与运算的最大数为（2+1）2﹣1＝8，即[]＝2，
∴第2次的结果为8，
∴第2次参与运算的最大数为（8+1）2﹣1＝80，即[]＝8，
∴第1次的结果为80，
∴第1次参与运算的最大数为（80+1）2﹣1＝6560，即[]＝80，
也就是，
故答案为：6560．
3．解答题（共7小题，满分52分）
17．(6分)（2022春 自流井区校级月考）将下列各数填入相应的集合内
﹣7，3.14，，0，，，，π，0.，0.1010010001…
①有理数集合{ ﹣7，3.14，，0，，0.， …}
②无理数集合{ ，，π，0.1010010001…， …}
③负实数集合{ ﹣7，， …}．
【分析】利用有理数，无理数，以及负实数的定义判断即可．
【解答】解：①有理数集合{﹣7，3.14，，0，，0.，…}；
②无理数集合{，，π，0.1010010001…，…}
③负实数集合{﹣7，，…}．
故答案为：①﹣7，3.14，，0，，0.，；②，，π，0.1010010001…，③﹣7，，
18．(6分)（2022秋 鄄城县期中）求下列各式中x的值．
（1）16x2﹣81＝0；
（2）﹣（x﹣2）3﹣64＝0．
【分析】（1）方程整理后，利用平方根定义开方即可求出x的值；
（2）方程整理后，利用立方根定义开立方即可求出x的值．
【解答】解：（1）方程整理得：x2，
开方得：x＝±，
解得：x1，x2；
（2）方程整理得：（x﹣2）3＝﹣64，
开立方得：x﹣2＝﹣4，
解得：x＝﹣2．
19．(8分)（2022春 柘城县期中）计算：
（1）（﹣1）2020+（﹣2）3；
（2）．
【分析】（1）利用有理数的乘方法则，立方根的意义和算术平方根的意义解答即可；
（2）利用立方根的意义和算术平方根的意义，绝对值的意义和二次根式的性质化简计算即可．
【解答】解：（1）原式＝1+（﹣8）（﹣3）×（）
＝1﹣1﹣1
＝﹣1；
（2）原式＝﹣22+4
＝﹣22+4
．
20．(8分)（2022春 饶平县校级期末）已知2＝x，且与互为相反数，求x，y的值．
【分析】已知第一个等式变形得到立方根等于本身确定出x的值，再利用相反数之和为0列出等式，将x的值代入即可求出y的值．
【解答】解：∵2＝x，即x﹣2，
∴x﹣2＝0或1或﹣1，
解得：x＝2或3或1，
∵与互为相反数，即0，
∴3y﹣1+1﹣2x＝0，即3y﹣2x＝0，
∴x＝2时，y；当x＝3时，y＝2；当x＝1时，y．
21．(8分)（2022秋 靖江市校级期中）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察表：
n 16 0.16 0.0016 1600 160000 …
4 0.4 0.04 40 400 …
（1）表中所给的信息中，你能发现什么规律？（请将规律用文字表达出来） 被开方数的小数点向左或向右移动2n位，算术平方根的小数点就向左或向右移动n位
（2）运用你发现的规律，探究下列问题：
已知1.435，求下列各数的算术平方根：①0.0206； ②2060000．
【分析】（1）从被开方数和算术平方根的小数点的移动位数考虑解答；
（2）根据（1）中的规律解答即可．
【解答】解：（1）被开方数扩大或缩小102n倍，非负数的算术平方根就相应的扩大或缩小10n倍；
或者说成被开方数的小数点向左或向右移动2n位，算术平方根的小数点就向左或向右移动n位，
故答案为：被开方数的小数点向左或向右移动2n位，算术平方根的小数点就向左或向右移动n位；
（2）0.1435；1435．
22．(8分)（2022春 饶平县校级期末）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．
（1）仿照以上方法计算： 2 ； 5 ．
（2）若，写出满足题意的x的整数值 1，2，3 ．
如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．
（3）对100连续求根整数， 3 次之后结果为1．
（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 255 ．
【分析】（1）先估算和的大小，再由并新定义可得结果；
（2）根据定义可知x＜4，可得满足题意的x的整数值；
（3）根据定义对100进行连续求根整数，可得3次之后结果为1；
（4）最大的正整数是255，根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵22＝4，52＝25，62＝36，
∴56，
∴[2]＝2，[]＝5，
故答案为：2，5；
（2）∵12＝1，22＝4，且，
∴x＝1，2，3，
故答案为：1，2，3；
（3）第一次：[]＝10，
第二次：[]＝3，
第三次：[]＝1，
故答案为：3；
（4）最大的正整数是255，
理由是：∵[]＝15，[]＝3，[]＝1，
∴对255只需进行3次操作后变为1，
∵[]＝16，[]＝4，[]＝2，[]＝1，
∴对256只需进行4次操作后变为1，
∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255；
故答案为：255．
23．(8分)（2022秋 西湖区校级期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
操作一：
（1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与 2 表示的点重合；
操作二：
（2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题：
①表示的点与数 ﹣2 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是 ﹣5和3 ；
操作三：
（3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是 或或 ．
【分析】（1）根据对称性找到折痕的点为原点O，可以得出﹣2与2重合；
（2）根据对称性找到折痕的点为﹣1，
①设表示的点与数a表示的点重合，根据对称性列式求出a的值；
②因为AB＝8，所以A到折痕的点距离为4，因为折痕对应的点为﹣1，由此得出A、B两点表示的数；
（3）分三种情况进行讨论：设折痕处对应的点所表示的数是x，如图1，当AB：BC：CD＝1：1：2时，所以设AB＝a，BC＝a，CD＝2a，得a+a+2a＝9，a，得出AB、BC、CD的值，计算也x的值，同理可得出如图2、3对应的x的值．
【解答】解：操作一，
（1）∵表示的点1与﹣1表示的点重合，
∴折痕为原点O，
则﹣2表示的点与2表示的点重合，
故答案为：2；
操作二：
（2）∵折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，
则折痕表示的点为﹣1，
①设表示的点与数a表示的点重合，
则（﹣1）＝﹣1﹣a，
a＝﹣2；
②∵数轴上A、B两点之间距离为8，
∴数轴上A、B两点到折痕﹣1的距离为4，
∵A在B的左侧，
则A、B两点表示的数分别是﹣5和3；
故答案为：①﹣2，②﹣5和3；
操作三：
（3）设折痕处对应的点所表示的数是x，
如图1，当AB：BC：CD＝1：1：2时，
设AB＝a，BC＝a，CD＝2a，
a+a+2a＝9，
a，
∴AB，BC，CD，
x＝﹣1，
如图2，当AB：BC：CD＝1：2：1时，
设AB＝a，BC＝2a，CD＝a，
a+a+2a＝9，
a，
∴AB，BC，CD，
x＝﹣1，
如图3，当AB：BC：CD＝2：1：1时，
设AB＝2a，BC＝a，CD＝a，
a+a+2a＝9，
a，
∴AB，BC＝CD，
x＝﹣1，
综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是或或．
故答案为：或或．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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