人教A版（2019）选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程
一、单选题
1．设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
2．设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
3．已知双曲线与椭圆：有共同的焦点，它们的离心率之和为，则双曲线的标准方程为
A． B． C． D．
4．设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ）
A． B．3 C． D．2
5．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
6．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
7．椭圆的焦点为，，与轴的一个交点为，若，则（ ）
A．1 B． C． D．2
8．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C．， D．
9．“”是“曲线表示椭圆”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆截抛物线的准线所得线段长为6，那么该椭圆的离心率为
A．2 B． C． D．
11．已知，是双曲线的两条渐近线，直线经过的右焦点，且，交于点，交于点，若，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知双曲线C： 的左.右焦点分别为，过点作直线的垂线，垂足为Q，直线与双曲线C在第一象限的交点为P，且点P在以为直径的圆上.则此双曲线的离心率为____________.
14．已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.
15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，若双曲线上一点使，则的值为______．
16．双曲线的右焦点到直线的距离为________．
三、解答题
17．在平面直角坐标系中，椭圆)的离心率为，短轴的一个端点的坐标为.
（1）求椭圆的方程.
（2）点为椭圆的右焦点，过上一点的直线与直线交于点为，直线交于另一点，设与交于点.证明：
（i）；
（ii）为线段的中点.
18．已知椭圆的焦点与双曲线的焦点相同，且D的离心率为.
（1）求C与D的方程；
（2）若，直线与C交于A，B两点，且直线PA，PB的斜率都存在.
①求m的取值范围.
②试问这直线PA，PB的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
19．已知P(1，2)在抛物线C：y2＝2px上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点．
20．已知椭圆一个顶 点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交y=-3交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．
21．如图，椭圆的离心率是，短轴长为，椭圆的左 右顶点为、.过椭圆与抛物线的公共焦点的直线与椭圆相交于两点，与抛物线相交于两点，点为的中点.
（1）求椭圆和抛物线的方程；
（2）记的面积为的面积为，若，求直线在轴上截距的范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.
【详解】，，根据双曲线的定义可得，
，即，
，，
，即，解得，
故选：A.
本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.
2．B因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案.
【详解】
双曲线的渐近线方程是
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
不妨设为在第一象限，在第四象限
联立，解得
故
联立，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当取等号
的焦距的最小值：
故选：B.
本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
3．C由椭圆方程求出双曲线的焦点坐标，及椭圆的离心率，结合题意进一步求出双曲线的离心率，从而得到双曲线的实半轴长，再结合隐含条件求得双曲线的虚半轴长得答案．
【详解】由椭圆，得，，
则，
双曲线与椭圆的焦点坐标为，，
椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为．
设双曲线的实半轴长为m，则，得，
则虚半轴长，
双曲线的方程是．
故选C．
本题考查双曲线方程的求法，考查了椭圆与双曲线的简单性质，是中档题．
4．B由是以P为直角直角三角形得到，再利用双曲线的定义得到，联立即可得到，代入中计算即可.
【详解】由已知，不妨设，
则，因为，
所以点在以为直径的圆上，
即是以P为直角顶点的直角三角形，
故，
即，又，
所以，
解得，所以
故选：B
【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.
5．A设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.
【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为，
则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
6．C利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.
故选：C.
【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.
7．C由椭圆的定义结合已知得，进而求出m即可.
【详解】
在椭圆中，，，.易知.
又，所以为等边三角形，即，所以，即.
故选：C.
8．D化曲线方程为椭圆的标准方程，由题意可得，求解此不等式可得的取值范围.
【详解】由方程，可得，
因为方程表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得.
所以实数的取值范围是.
故选：D.
9．B根据曲线表示椭圆，可求得t的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案.
【详解】因为曲线为椭圆，
所以，解得且，
所以“”是“且”的必要而不充分条件.
故选：B
10．D先求出抛物线的焦点、准线，再根据椭圆的通径公式求出a、c，算出离心率.
【详解】易知抛物线的焦点（2，0），准线x=-2，
即椭圆的c=2，
因为抛物线的准线恰好过椭圆的焦点，即相交的线段为椭圆的通径；
即通径为 ，又因为c=2
解得a=4
所以离心率
故选D.
本题目考察了抛物线的方程和性质，以及椭圆的性质，本题关键点在通径上，如果记不得通径公式就直接带入计算，一样可得答案，属于一般题型.
11．B首先根据直线平行，可设直线的方程，通过联立得点，的横坐标，求出的表达式，从而可解不等式组得到的取值范围.
【详解】由题意可知，，不妨记，，
由且经过的右焦点可得的方程为，
与的方程联立可解得，
与的方程联立得，
所以，
解得，.
故选：B.
双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.
12．C设，由，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．
【详解】设，由，因为 ，，所以
，
因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ；
当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立．
故选：C．
本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．
13．依题意画出草图，可得，，求出到直线的距离，即可得到，再利用勾股定理求出，由双曲线的定义得到，即可求出双曲线的离心率；
【详解】解：依题意可得，，所以，因为为的中点，所以为的中点，到直线的距离，所以，，所以
又，即，所以，所以
故答案为：
14．先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.
【详解】抛物线： ()的焦点,
∵P为上一点，与轴垂直，
所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,
不妨设,
因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，
又，
因为，所以,
，
所以的准线方程为
故答案为：.
利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.
15．3在中，设，则或．分别运用余弦定理可求得答案.
【详解】解：由已知得．在中，设，则或．
当时，由余弦定理，得，解得，所以．
当时，由余弦定理，得，无解．
故．
故答案为：3.
16．先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.
【详解】由已知，，所以双曲线的右焦点为，
所以右焦点到直线的距离为.
故答案为：
17．（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.（1）根据离心率及短轴的一个端点的坐标可求椭圆的方程；
（2）（i）求出点的坐标，然后利用向量的数量积证明；
（ii）利用中点坐标公式以及向量的共线就可以证明.
【详解】（1）设椭圆的半焦距为，
因为的短轴的一个端点的坐标为，所以，
因为，所以.
得，所以，
所以椭圆C的方程为.
（2）证明：（i）将代人，
解得，
所以
，
所以，即.
（ii）由直线AB过焦点，得到直线方程为
代入.并结合整理，得.
设).则，
设AB中点为，则，
，
即，
所以，
又，，
所以，即共线，
即AB的中点在直线上，从而点与重合，
故是线段的中点.
关键点睛：解决本题的关键一是求出点的坐标，二是运用向量的数量积为零，从而证明，三是通过中点坐标公式以及向量的共线间接证明所提的问题.
18．（1）C：；D：；（2）①且；
②见解析.（1）根据D的离心率为，求出从而求出双曲线的焦点，再由椭圆的焦点与双曲线的焦点相同，即可求出，即可求出C与D的方程；
（2）①根据题意容易得出，然后联立方程，消元，利用即可求出m的取值范围；
②设，由①得：，计算出，判断其是否为定值即可.
【详解】解：（1）因为D的离心率为，即，
解得：，
所以D的方程为：；焦点坐标为，
又因椭圆的焦点与双曲线的焦点相同，
所以，所以，
所以C的方程为：；
（2）①如图：
因为直线与C交于A，B两点，且直线PA，PB的斜率都存在，
所以，
联立，消化简得：，
所以，解得，
所以且；
②设，
由①得：，
，
所以，
故直线PA，PB的斜率之积不是是定值.
本题考查了求椭圆与双曲线的方程、直线与椭圆的位置关系及椭圆中跟定直有关的问题，难度较大.
19．(1)y2＝4x
(2)证明见解析
(1)把已知点坐标代入抛物线方程求得参数，即得抛物线方程；
(2)设AB：x＝my+t，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线方程与抛物线方程联立消元后应用韦达定理得，代入得参数值，从而可得定点坐标．
（1）
P点坐标代入抛物线方程得4＝2p，
∴p＝2，
∴抛物线方程为y2＝4x．
（2）
证明：设AB：x＝my+t，将AB的方程与y2＝4x联立得y2﹣4my﹣4t＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t，
所以Δ＞0 16m2+16t＞0 m2+t＞0，
，同理：，
由题意：，
∴4(y1+y2+4)＝2(y1y2+2y1+2y2+4)，
∴y1y2＝4，
∴﹣4t＝4，
∴t＝﹣1，
故直线AB恒过定点(﹣1，0)．
20．（1）；（2）．（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求，从而可求椭圆的标准方程.
（2）设，求出直线的方程后可得的横坐标，从而可得，联立直线的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简，从而可求的范围，注意判别式的要求.
【详解】（1）因为椭圆过，故，
因为四个顶点围成的四边形的面积为，故，即，
故椭圆的标准方程为：.
（2）
设，
因为直线的斜率存在，故，
故直线，令，则，同理.
直线，由可得，
故，解得或.
又，故，所以
又
故即，
综上，或.
21．（1）椭圆，拋物线；（2）.（1）依题意得到方程组，求出的值，即可求出拖椭圆方程，再根据抛物线的焦点求出抛物线方程；
（2）设，联立与椭圆，利用韦达定理及弦长公式，点到直线的距离，求出三角形的面积，，再根据得到不等式，解得即可；
【详解】（1）根据题意得：，解得，，，抛物线焦点，
因此椭圆，拋物线
（2）设，联立与椭圆，
整理得：，判别式：
弦长公式：，所以
联立与抛物线，整理得：，判别式：
弦长公式：，
所以，
因为，因此，解得：
在轴上截距或，因此在轴上截距取值范围是.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
