嘉禾县第六中学2023-2024学年高一上学期第一次月考
数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超过答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
3．本卷命题范围：必修一第一章至第二章。
一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题“”的否定为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．使得命题“”为真命题的的取值范围（ ）
A． B． C． D．
5．已知集合，，，则，，的关系为（ ）
A． B． C． D．
6．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A． B．
C． D．
7．下列结论：①函数有最大值；②函数有最大值10；③若，则．正确的序号是（ ）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
8．在整数集Z中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，给出如下四个结论：
①；
②；
③若整数，属于同一“类”，则；
④若，则整数，属于同一“类”．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为
10．若实数，满足，，则下列说法正确的有（ ）
A．的取值范围为 B．的取值范围是
C．的取值范围是 D．的取值范围是
11．已知实数，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
12．已知，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的取值范围是 B．的取值范围是
C．的最小值是 D．的最小值为
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．设，，则，的大小关系为________．
14．能够说明“若，则”是假命题的一组实数，，的值依次为________．
15．已知集合，，若，则符合条件的集合的个数为________．
16．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店这三天售出的商品最少有________．
四、解答题：本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）设集合，，．
（1），求；
（2）若，求实数的取值范围．
18．（12分）设．
（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式．
19．（12分）第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日至8月8日在四川成都举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．
20．（12分）已知．
（1）已知，设，若关于的不等式的解集为，且的充分不必要条件是，求实数的取值范围；
（2）方程有两个实数根，，
①若，均大于0，求实数的取值范围；
②若，求实数的值．
21．（12分）已知函数．
（1）当时，求关于的不等式的解集；
（2）若在区间上恒成立，求实数的范围．
22．（12分）设，，，其中为参数．
（1）当时，求的最小值；
（2）当时，求的最小值．
嘉禾县第六中学2023-2024学年高一上学期第一次月考
数学答案
1．C 解：集合，，
．
2．D 因为命题“”，则其否定为“”
3．A 由，，，得，，于是，
由，取，，满足，显然“，”不成立，
所以“，”是“”的充分不必要条件．
4．B 【详解】根据题意可知关于的不等式的解集为，当时，恒成立；
当时，则满足，解得，综上，
5．B 因为，
，
，
且，，，，，，
所以．
6．D 设，，可得圆的半径为，
又由，
在中，可得，
因为，所以，当且仅当时取等号．
7．B 试题分析：对于①；对于②因为，所以；对于③因为，所以．故应选B．
8．C 对于①，，因此，①正确；
对于②，，因此，②错误；
对于③，由，是同一“类”，令，，因此，，，③正确；
对于④，若，则令，，即，不妨令，，，于是，，因此整数，属于同一“类”， ④正确，所以正确结论的个数是3．
9．ABD 由于不等式的解集为，
所以和是的两个实数根，
所以，故，，
，故AB正确，
对于C，不等式为，故，故C错误，
对于D，不等式可变形为，
解得，故D正确，
10．ABC 由，，两式相加得，即，故A正确；由，得，又，两式相加得，即，故B正确；设，所以，解得，则，因为，所以，又因为，所以，所以，即，故C正确，D错误．
11．BC 对于选项A，当时，若，则，错误；
对于选项B，若，故，则，正确；
对于选项C，若，则，，所以，正确；
对于选项D，，当时，，但是的符号与的符号不确定，所以与大小关系不确定，错误．
12．AC 对于A，因为，，所以，当且仅当时取等号
由，即，解得，即，A正确；
对于B，由，，，当且仅当时取等号，
得，所以，又
所以，即，故B错误；
对C选项，因为，，，则，
得，结合，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立，C正确；
对于D选项知：，
当且仅当时，即，
但由于，因此等号不成立，故D不正确．
13． ，所以．
14．，，（答案不唯一） 由“若，则”是假命题可得，存在，，满足条件，但，由此可得，故，
若取，，则，故可取．
15．4 由题意得，含有元素0且是集合的子集的集合有，，，即符合条件的集合共有4个．
16．29 因为前两天都售出的商品有3种，因此第一天售出且第二天没有售出的商品有（种）；同理第三天售出的商品中有14种第二天未售出，有1种商品第一天未售出；所以三天商品种数最少时，是第三天中14种第二天未售出的商品都是第一天售出过的，此时商品总数是（种）；
分别用集合、、表示第一、第二和第三天售出的商品，则商品数最少时，
17．（1） （2）或
【详解】（1）当时，，故或，
又，故
（2）当时，，，符合题意；
当时，需满足或，解得，
综上所述，的取值范围为或
18．（1） （2）答案见解析
【详解】（1）由题意，不等式对于一切实数恒成立，
等价于对于一切实数恒成立．
所以．
（2）不等式等价于．
当即时，不等式可化为，不等式的解集为；
当即时，不等式可化为，不等式的解集为；
当即时，不等式可化为，此时．
综上所述：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．
19．（1）要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元
（2）当该商品改革后的销售量至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元
【详解】（1）解：设每件定价为元，依题意得，整理得，解得．所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
（2）解：依题意，时，不等式有解等价于时，有解
（当且仅当时，等号成立）
．此时该商品的每件定价为30元
当该商品明年的销售量至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
20．（1） （2）①；②．
【详解】（1）由，得，
即，即，
又，，即，
的充分不必要条件是，是的真子集，
则解得，则，即实数的取值范围是．
（2）方程为，
①若，均大于0，则满足，
解得，故，即的取值范围为．
②若，则，
则，即，即，
解得或，由，得或．
所以，即实数的值是．
21．（1）；（2）．
【详解】（1）当时，则，
由，得，原不等式的解集为；
（2）由即在上恒成立，得．
令，则，
当且仅当，即时取等号．则，故实数的范围是
22．（1）9；（2）．
【详解】解：（1）当时，，，，则，
，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为9；
（2），由可得，
，，由可得，
所以，则，
当且仅当，即当，时，等号成立，因此，最小值为
