高一第二章不等式提升卷(含解析）
一、选择题
1．已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．下列不等式中，解集为或的不等式是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知正数、满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知正实数，满足，则下列不等式中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6．已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
7．已知a>0，b>0，a+3b﹣ab=0，若不等式m≤a+3b﹣1恒成立，则m的最大值为（ ）
A．11 B．15 C．26 D．3﹣1
8．已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有个正整数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．若“”是“”的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
10．若不等式的解集为，则不等式解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题
11．若，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则 B．若，则
C．若且，则 D．
12．下列结论错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，的最小值为
13．下列结论正确的是（ ）
A．设，则的最小值是
B．当时，的最小值是
C．当时，
D．当时，的最大值是
14．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若关于的不等式的解集为，则
D．若a>0，b>0，则“”是“”的必要不充分条件
15．已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的序号是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为
D．
16．已知关于的不等式，下列结论正确的是（ ）
A．当时，不等式的解集为
B．当时，不等式的解集为
C．不等式的解集恰好为，那么
D．不等式的解集恰好为，那么
三、填空题
17．若 ，则下列不等式：①a＋b
18．设m= ，n= ，那么它们的大小关系是m n．
19．已知m，n是正实数，函数的图象经过点，则的最小值为 .
20．已知函数，若关于的不等式的解为，则 ， ．
21．正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
22．已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ．
四、解答题
23．已知，，且．
（1）求的最小值；
（2）证明：．
24．已知命题：“，使得”为真命题．
（1）求实数m的取值的集合A；
（2）设不等式的解集为B，若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
25．设．
（1）若，p且为真，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
26．求下列最值：
（1）当时，求函数的最大值；
（2）设，求函数的最大值.
27．设不等式的解集为．
（1）求证：；
（2）试比较与的大小，并说明理由．
28．证明不等式．
（1），bd＞0，求证：；
（2）已知a＞b＞c＞0，求证：．
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】A
3．【答案】B
4．【答案】D
【解析】【解答】为正实数，且，
，
，
因此A选项正确.
，
，
，
因此B选项正确.
，
，
，
当m=n+1时，取“=”号，m=1，n=0.
又因为，不能取“=”，
.
因此C选项正确.
，
故选：D.
【分析】本题主要结合，四个常见的基本不等式，，对四个选项分别进行分析，求得变量范围，同时要注意取值范围.
5．【答案】A
【解析】【解答】因为，
由条件可得，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故选A.
【分析】利用条件消元只用一个量来表示，代入要求的式子通分转化成不等式的形式利用均值不等式即可求出.
6．【答案】C
【解析】【解答】由已知可得，，所以.
又，
所以.
当且仅当，即，时，等号成立.
所以，的最小值是.
故答案为：C.
【分析】由已知可推得，然后根据“1”的代换，利用基本不等式，即可得出最小值.
7．【答案】A
【解析】【解答】由得，因为，所以，所以，
所以
，当且仅当时，等号成立，
所以，所以的最大值为.
故答案为：A
【分析】由题意得，代入，变形后利用基本不等式求出最小值，利用恒成立求出的范围，可得结果.
8．【答案】D
9．【答案】A
【解析】【解答】解不等式可得，
由可得，
①当时，即当时，不等式即为，解得，
此时，“”“”，不合乎题意；
②当时，即当时，解不等式可得或，
由题意可知， 或，
所以，或，解得或，所以，；
③当时，即当时，解不等式可得或，
由题意可得，或，
所以，或，解得或，此时.
综上所述，实数的取值范围是或.
故答案为：A.
【分析】解不等式，对实数的取值进行分类讨论，求出不等式的解集，根据题意可得出集合的包含关系，综合可求得实数的取值范围.
10．【答案】B
【解析】【解答】因为由不等式的解集为，
所以，方程的两根为1和3，
由根与系数的关系得，则，
所以不等式可化为，即，
所以且，解得或，
所以解集为。
故答案为：B．
【分析】由不等式的解集为结合一元二次不等式求解方法，所以，方程的两根为1和3，再利用根与系数的关系得出的值，所以不等式可化为，再结合分式不等式求解方法，进而得出的解集，从而得出不等式解集。
11．【答案】B,D
【解析】【解答】解：A、当，有 ，A错误；
B、 若，即 ，B正确；
C、 若且，，，即 ，C错误；
D、 ， ，D正确.
故答案为：BD.
【分析】ABC根据不等式性质逐一判断，D作差判断.
12．【答案】A,B,D
【解析】【解答】解：A、当c=0时，ac2=bc2=0，此时a、b的大小关系不确定，故A错误；
B、因为a＞b＞0，所以，即，故B错误；
C、由不等式的基本性质可得，C正确；
D、由基本不等式得：，
当且仅当，即x2+2=1时等号成立，此方程显然无解，取等号条件达不到，故D错误，
故答案为：ABD.
【分析】用特例法判断A选项，用作差法判断B选项，用不等式的基本性质判断C选项，用基本不等式中等号成立的条件判断D选项。
13．【答案】C,D
14．【答案】B,C
【解析】【解答】解：对于A：例如，满足，但，即，故A错误；
对于B：若 ，可知：，
且在内单调递增，所以 ，故B正确；
对于C： 若关于的不等式的解集为，
可知为方程的两根，且，
则，解得，所以 ，故C正确；
对于D：因为 a>0，b>0，若“”，则，当且仅当时，等号成立，
若“”，例如，满足，但，
可知“”是“”的充分不必要条件，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】对于A：取特例，分析判断；对于B：由 可知，结合的单调性分析判断；对于C：分析可知为方程的两根，且，结合韦达定理运算求解；对于D：根据基本不等式结合充分、必要条件分析判断.
15．【答案】A,D
16．【答案】A,B,D
【解析】【解答】解：对于A：若 有解，则有解，
可得，解得
因为，所以不等式无解，所以的解集为，故A正确；
对于B，若，则，即，
解得，所以不等式的解集为，故B错误；
作出函数的图象以及的图象，
由图可知，此时不等式的解集应由两部分组成，
对于C，D：因为不等式的解集恰为 ，
即可以转化为二次函数在上的取值是.
可得，解得或，
又因为的最小值为，
所以且，
当时，即，解得或，
且，所以或均不符合题意；
当时，即，解得或，
且，所以符合题意；
综上所述：，可得 ，故C错误，D正确；
故答案为：ABD.
【分析】对A： 根据不等式结合运算求解；对B：根据题意可得，直接求解即可；对C、D：结合二次函数分析可知：或，且，进而分情况讨论即可.
17．【答案】①③
【解析】【解答】∵ ，∴b＜a＜0，∴a+b＜0，ab＞0，
∴a+b＜ab，①正确；|a|＜|b|，②错误； ＞2，③正确；④错误；
故答案为：①③．
【分析】根据不等式的性质，逐一进行判断即可.
18．【答案】=
【解析】【解答】解：∵m= ，n= ，
∴ =
=
= =1，
∴m=n．
故答案为：=．
【分析】依题意，将m与n作商与“1”比较大小即可．
19．【答案】
【解析】【解答】解： 函数的图象经过点， 则，即，
因为 m，n是正实数， 则 ，
当且仅当，即时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
【分析】根据题意可得，则结合基本不等式运算求解.
20．【答案】；
21．【答案】
22．【答案】
【解析】【解答】因为关于的一元二次不等式的解集为，
所以是方程的两根，且，
则，解得，
所以关于的不等式，即，化简得，解得，
则关于的不等式的解集为．
故答案为：．
【分析】由已知可得是方程的两根，且，利用根与系数的关系可得代入不等式化简得，根据一元二次不等式的解法可求出答案.
23．【答案】（1）解：因为，所以，所以．
因为，，所以，当且仅当时，等号成立，
则，即的最小值是2．
（2）证明：因为，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
所以．当且仅当时，等号成立
则，即，当且仅当时，等号成立．
【解析】【分析】（1）由 得 ，再利用基本不等式可求出 的最小值；
（2） ， ，利用基本不等式可得 ，进而证得 ．
24．【答案】（1）解：命题“，使得”为真命题，
所以，
即，
解之得或，
所以实数m的取值的集合或；
（2）解：不等式的解集为，
因为是的必要不充分条件，所以，
则或，
所以或，
故实数a的取值范围为．
【解析】【分析】（1）利用判别式求参数m的取值范围；
（2）由 是的必要不充分条件 ，推出，进而求出参数a的取值范围。
25．【答案】（1）解：对，则，
因为，所以不等式的解集为，
当时，p为真命题，实数x的取值范围为，
对，则，解得，
q为真命题，实数x的取值范围为，
∵p且为真命题，
所以实数x的取值范围为
（2）解：∵p是q的充分不必要条件，则，
∴，解得，
综上所述：实数a的取值范围为．
【解析】【分析】（1）当时，根据一元二次不等式的解法，分别求得不等式的解集和，由且为真命题，结合，即可求解；
（2）由（1） ， 根据 是的充分不必要条件，得到，列出不等式组，即可求解.
26．【答案】（1），则，
，
当，即时等号成立.
（2），
当，即时等号成立.
【解析】【分析】(1)根据题意可得 ， 结合基本不等式运算求解；
（2）根据题意可得 ， 结合基本不等式运算求解.
27．【答案】（1）证明：不等式，
或或或或，
即，
由，知，得，于是
；
（2）解：．理由如下：
由得，知，
所以，
得，即．
【解析】【分析】（1）根据绝对值不等式的求法可求出集合M，再根据不等式的性质可证得 ；
（2）利用作差法结合不等式的基本性质可证得 .
28．【答案】（1）证明：，
因为，，所以，，
又bd＞0，所以，，
即.
（2）证明：因为a＞b＞c＞0，
所以有，，，，
则，，
即有，成立；
因为，，所以，，
又，所以，成立.
所以，有.
【解析】【分析】（1）利用作差法，结合已知条件即可证得 ；
（2）由 a＞b＞c＞0，得，，， 利用作差法可证得 ．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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