24 届高三理科数学上期 10 月阶段性考试试卷
本试卷分第 I卷(选择题)和第 II卷(非选择题)两部分，共 150分，考试时间 120分钟.
第 I 卷
一、 选择题(本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1. 已知复数 z 满足： z i 1 i（i为虚数单位），则 | z | ( )
A. 2 B. 1 C. 2 D. 2
2
2. 已知集合 2A {x | 2 x 0}， B {x | x 1}，则 A B ( )
A. [ 2, 1) B. [ 2,0] (1, ) C. ( , 0] (1, ) D. [ 2,1)
3. 抛物线C : y2 mx过点 ( 2, 3)，则抛物线C 的准线方程为( )
3 3 3 3
A. x B. x C. y D. y
8 8 8 8
4. 为了得到函数 y cos(2x ) 的图象，只要把函数 y cos(2x ) 的图象上所有点( )
6 6
A.向左平行移动 个单位长度 B.向右平行移动 个单位长度
6 6
C.向左平行移动 个单位长度 D.向右平行移动 个单位长度
3 3
x2 y2
5. 已知 F1，F2 为双曲线C : 1(a 0,b 0)的左、右焦点，以线段 F F2 2 1 2 为直径的圆与a b
双曲线C 的右支交于 P 、Q两点，若 | PF1 | 3 | PF O2 |，其中 为坐标原点，则C 的离心
率为( )
3 1 3
A. B. 3 C. 1 D. 3 1
2 2
6. 异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系，通常以幂函数形
式表示.比如，某类动物的新陈代谢率 y 与其体重 x满足 y kx ，其中 k 和 为正常数，
该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的 16倍时，其新陈代谢率
仅提高到初始状态的 8倍，则 为( )
1 1 2 3
A. B. C. D.
4 2 3 4
7. 设等比数列{an}的前 n项和为 Sn ，且有a3 2a2 5， S3 3，则{an}的公比为( )
1 1 1 1
A. 或5 B. 2或 C. 或 5 D. 2或
2 5 2 5
1
{#{QQABYQ4AoggAAAAAAQhCUwVACgAQkAECCAoGRAAAMAAAwBFABAA=}#}
{#{QQABYQ4AoggAAAAAAQhCUwVACgAQkAECCAoGRAAAMAAAwBFABAA=}#}
三、解答题(共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.（12分）已知等差数列 an 的前n项和为S ，且满足n a1 a3 a5 15，S 49 . 7
（1）求 an 的通项公式；
（2）若数列 bn 满足bn a 3
n ，求 bn 的前 n项和T . n n
18. （12 分）如图，已知等腰直角三角形RBC ，其中
RBC 90 ，
RB BC 2.点 A D 分别是 RB RC 的中点，现将 RAD
沿着边 AD折起到 PAD位置，使 PA AB，连接PB PC .
（1）求证： BC PB；
（2）求二面角 A CD P的平面角的余弦值.
19（12分）由“杂交水稻之父”袁隆平团队研发的晚稻品种“叁优一号”亩产为 911．7公
斤．在此之前，同一基地种植的早稻品种亩产为 619．06公斤．这意味着双季亩产达到
1530．76公斤，实现了“1500 公斤高产攻关”的目标．在水稻育种中，水稻的不同性
状对水稻的产量有不同的影响．某育种科研团队测量了株高(单位：cm)和穗长的数据，
如下表(单位：株)：
长穗 短穗 总计
高杆 34 16 50
低杆 10 40 50
总计 44 56 100
（1）试判断能否在犯错概率不超过 0.01的前提下认为株高和穗长之间有关系？
n(ad bc)2
(参考公式： K 2 ，其中 n a b c d )
(a b)(c d)(a c)(b d)
P K 2 k 0．10 0．05 0．025 0．010 0．005 0．001
k 2．706 3．841 5．024 6．635 7．879 10．828
（2）把频率当成概率，在采样的稻田里随机抽取 3株测量每穗总粒数，把抽取的低杆长
穗株数记为 X，求 X的分布列和数学期望．
3
{#{QQABYQ4AoggAAAAAAQhCUwVACgAQkAECCAoGRAAAMAAAwBFABAA=}#}
x2 y2
20.（12分）已知椭圆E : 1(a b 0) 的一个顶点为 A(0,1)，焦距为 2 3 ．
a2 b2
（1）求椭圆 E的方程；
（2）过点 P( 2,1)作斜率为 k的直线与椭圆 E交于不同的两点 B，C，直线 AB，AC分别与
2
x 轴交于点 M，N．证明： MN | k |为定值，并求出该值．
21.（12分）设函数 f (x) ex ln x，
（1）当 x 1时，判断方程 f (x) e(x 1)实根的个数，并说明原因；
1
x
（2）若 a ee ，有 f (x1) a ， f (x2 ) a 1，证明：
2 e .
x1
x 3cos
22. （10 分）在直角坐标系 xoy中，曲线C 的参数方程为 （ 为参数），以1
y 3sin 3
坐标原点 O 为极点，以 x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2
sin 2．
3
(1)写出C 的极坐标方程和C 的普通方程； 1 2
5
(2)设曲线C : ( 0)与C ，C 的交点分别为 M，N，求 MN 的值． 3 1 2
6
4
{#{QQABYQ4AoggAAAAAAQhCUwVACgAQkAECCAoGRAAAMAAAwBFABAA=}#}
24届高三理科数学上期10月阶段性考试试卷答案
一、单选题：共 12 道小题，每题 5 分,共 60 分.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C C A B D D C A D B B B
二、填空题：共 4 道小题，每题 5 分,共 20 分.
13. 24 14. 68 15. 1 16. ①④
三、解答题：共 5 道大题，共 70 分.
17.（12 分）解：（1）因为 a1 + a3 + a5 =15， S7 = 49，
3a1 + 6d =15,所以 所以 a =1， d = 2，所以 an =1+ (n 1) 2 = 2n 1 .
7a1 + 21d = 49,
（2）由题可知b = (2n 1) 3n，所以T =1 3+ 3 32 + 5 33n n + + (2n 1) 3
n ①，
3T 2n =1 3 + 3 3
3 + 5 34 + + (2n 1) 3n+1 ②，
①-②得， 2Tn =1 3+ 2 3
2 + 2 33 + 2 34 + + 2 3n (2n 1) 3n+1
2 32 2 3n+1 n+1
= 3+ (2n 1) 3n+1 = ( 2n + 2) 3 6，
1 3
故Tn = (n 1) 3
n+1 + 3 .
18. （12 分）解： 1（1）∵点 A D D 分别是 RB RC 的中点，∴ AD//BC ， AD = BC .
2
又∵ RBC = 90 ， RAD沿着边 AD折起到 PAD位置，
∴ PAD = RAD = RBC = 90 .∴ PA⊥ AD .∴ PA ⊥ BC ，
∵ BC ⊥ AB ， PA AB = A，∴ BC ⊥平面 PAB .
∵ PB 平面 PAB ，∴ BC ⊥ PB .
（2）取 RD的中点 F ，连接 AF PF .
∵ RA= AD =1，∴ AF ⊥ RC .
∵ AP ⊥ AR， AP ⊥ AD ，∴ AP ⊥平面 RBC .
∵ RC 平面 RBC ，∴ RC ⊥ AP ，
∵ AF AP = A，∴ RC ⊥平面 PAF .
∵ PF 平面 PAF ，∴ RC ⊥ PF .∴ AFP是二面角 A CD P 的平面角.
在 中， 1 1 2 2 2Rt△RAD AF = RD = RA + AD = ，在Rt△PAF 中，
2 2 2
2
6 AF 2 3
PF = PA2 + AF 2 = ， cos AFP = = = .
2 PF 6 3
2
∴二面角 A CD P 的平面角的余弦值是
3 .
3
2 100 (34 40 16 10)
2
19．（12 分）解： (1)根据 2×2 列联表中的数据，可得 K =
50 50 44 56
23.377 6.635，故能在犯错误的概率不超过 0．01 的前提下认为株高和穗长之间有关系．
(2)记“在采样的稻田里抽出低杆长穗稻株”为事件 A，
10 1 1
则 P(A) = = ，所以 X ~ B 3, ．X 的所有可能取值为 0，1，2，3，
100 10 10
1
{#{QQABYQ4AoggAAAAAAQhCUwVACgAQkAECCAoGRAAAMAAAwBFABAA=}#}
{#{QQABYQ4AoggAAAAAAQhCUwVACgAQkAECCAoGRAAAMAAAwBFABAA=}#}
令 ex xF (x) = f (ex) f (x) 1，而 F (x) = e ln ex e ln x 1 = eex + (eex ex ) ln x 1，
1
当 时， ln x 1， eex exx 0， ex 1 0，
e
x
F (x) eex + (eex ex )( 1) 1= e 1 0 ，取 x = x1 ，即 F (x1) 0，
x
则 f (ex1) f (x1) +1= f (x )，即 ex
2
2 1 x2 ，也即 e .
x1
x = 3cos x = 3cos ①
22. （10 分）解：（1）因为
，则 ① 2 +② 2 得C 的普通方程1
y = 3sin + 3 y 3 = 3sin ②
x = cos
为： 2x2 + ( y 3) = 9，即 x2 + y2 6y = 0根据
可知C 的极坐标方程为：1
y = sin
= 6sin ；
1 3
sin = 2 sin cos = 2，C 的普通方程为：2 3x y + 4 = 0 .
3 2 2
（2）设 5π 5π M M , ， N N ,
6 6
5 5 π
= 6sin π = 3， sin π = 2 = 2， MN = OM ON = =1 . M N N M N
6 6 3
3
{#{QQABYQ4AoggAAAAAAQhCUwVACgAQkAECCAoGRAAAMAAAwBFABAA=}#}
