全等三角形压轴精选36题
1．根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，AC＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．∠C＝90°，AB＝6
【答案】C
【解答】解：A、因为AB+BC＜AC，所以这三边不能构成三角形；
B、因为∠A不是已知两边的夹角，无法确定其他角的度数与边的长度；
C、已知两角可得到第三个角的度数，已知一边，则可以根据ASA来画一个三角形；
D、只有一个角和一个边无法根据此作出一个三角形．
故选：C．
2．如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（ ）
A．50 B．62 C．65 D．68
【答案】A
【解答】解：∵AE⊥AB且AE＝AB，EF⊥FH，BG⊥FH，
∴∠EAB＝∠EFA＝∠BGA＝90°，
∵∠EAF+∠BAG＝90°，∠ABG+∠BAG＝90°，
∴∠EAF＝∠ABG，
∴AE＝AB，∠EFA＝∠AGB，∠EAF＝∠ABG，
∴△EFA≌△AGB，
∴AF＝BG，AG＝EF．
同理证得△BGC≌△CHD得GC＝DH，CH＝BG．
故FH＝FA+AG+GC+CH＝3+6+4+3＝16
故S＝（6+4）×16﹣3×4﹣6×3＝50．
故选：A．
3．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（ ）
A．a2 B．a2 C．a2 D．a2
【答案】D
【解答】解：过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
又∵∠EPM＝∠EQN＝90°，
∴∠PEQ＝90°，
∴∠PEM+∠MEQ＝90°，
∵三角形FEG是直角三角形，
∴∠NEF＝∠NEQ+∠MEQ＝90°，
∴∠PEM＝∠NEQ，
∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC＝∠EQC＝90°，
∴EP＝EQ，四边形PCQE是正方形，
在△EPM和△EQN中，
，
∴△EPM≌△EQN（ASA）
∴S△EQN＝S△EPM，
∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积，
∵正方形ABCD的边长为a，
∴AC＝a，
∵EC＝2AE，
∴EC＝a，
∴EP＝PC＝a，
∴正方形PCQE的面积＝a×a＝a2，
∴四边形EMCN的面积＝a2，
故选：D．
4．在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE、BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG＝CE； ②BG⊥CE； ③AM是△AEG的中线； ④∠EAM＝∠ABC，其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【解答】解：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，
即∠CAE＝∠BAG，
∵在△ABG和△AEC中，
，
∴△ABG≌△AEC（SAS），
∴BG＝CE，（故①正确）；
设BG、CE相交于点N，
∵△ABG≌△AEC，
∴∠ACE＝∠AGB，
∵∠NCF+∠NGF＝∠ACF+∠AGF＝90°+90°＝180°，
∴∠CNG＝360°﹣（∠NCF+∠NGF+∠F）＝360°﹣（180°+90°）＝90°，
∴BG⊥CE，（故②正确）；
过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，
∵AH⊥BC，
∴∠ABH+∠BAH＝90°，
∵∠BAE＝90°，
∴∠EAP+∠BAH＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABH＝∠EAP，
∵在△ABH和△EAP中，
，
∴△ABH≌△EAP（AAS），
∴∠EAM＝∠ABC，（故④正确），
EP＝AH，
同理可得GQ＝AH，
∴EP＝GQ，
∵在△EPM和△GQM中，
，
∴△EPM≌△GQM（AAS），
∴EM＝GM，
∴AM是△AEG的中线，（故③正确）．
综上所述，①②③④结论都正确．
故选：A．
5．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（ ）
A．11 B．5.5 C．7 D．3.5
【答案】B
【解答】解：作DM＝DE交AC于M，作DN⊥AC于点N，
∵DE＝DG，
∴DM＝DG，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF＝DN，
在Rt△DEF和Rt△DMN中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），
∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，
∴S△MDG＝S△ADG﹣S△ADM＝50﹣39＝11，
S△DNM＝S△EDF＝S△MDG＝×11＝5.5．
故选：B．
6．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：
①△ABE≌△DBC；②∠DMA＝60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC，
其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解答】解：∵△ABD、△BCE为等边三角形，
∴AB＝DB，∠ABD＝∠CBE＝60°，BE＝BC，
∴∠ABE＝∠DBC，∠PBQ＝60°，
在△ABE和△DBC中，，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴①正确；
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE＝∠BDC，
∵∠BDC+∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠DMA＝∠BAE+∠BCD＝∠BDC+∠BCD＝60°，
∴②正确；
在△ABP和△DBQ中，，
∴△ABP≌△DBQ（ASA），
∴BP＝BQ，
∴△BPQ为等边三角形，
∴③正确；
∵∠DMA＝60°，
∴∠AMC＝120°，
∴∠AMC+∠PBQ＝180°，
∴P、B、Q、M四点共圆，
∵BP＝BQ，
∴，
∴∠BMP＝∠BMQ，
即MB平分∠AMC；
∴④正确；
综上所述：正确的结论有4个；
故选：D．
7．如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（ ）
A．54° B．50° C．48° D．46°
【答案】D
【解答】解：如图所示，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DF＝DE，
又∵∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，
∴∠ACB＝92°，∠DCF＝44°，
∴CD平分∠BCF，
又∵DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，
∴DF＝DG，
∴DE＝DG，
∴BD平分∠CBE，
∴∠DBE＝∠CBE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC，
∴∠ADB＝∠DBE﹣∠BAD＝（∠CBE﹣∠BAC）＝∠ACB＝×92°＝46°，
故选：D．
8．如图，在△ABC，AB＝AC，D为BC上的一点，∠BAD＝28°，在AD的右侧作△ADE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE、DE，DE交AC于点O，若CE∥AB，则∠DOC的度数为（ ）
A．124° B．102° C．92° D．88°
【答案】C
【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC，
∴∠DAB＝∠EAC，
在△DAB和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∵CE∥AB，
∴∠B+∠BCE＝180°，
∴∠B+∠ACB+∠ACE＝180°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠ACB＝∠ACE＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE＝60°，
∵∠BAD＝28°，
∴∠OAD＝60°﹣28°＝32°，
∴∠DOC＝∠OAD+∠ADE＝32°+60°＝92°．
故选：C．
9．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，∠OAC＝∠OBD，AC＝BD，
故①正确，符合题意；
∵∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，
∴∠AMB＝∠AOB＝40°，
故②正确，符合题意；
如图所示，作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，
则∠OGC＝∠OHD＝90°，
在△OCG和△ODH中，
，
∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG＝OH，
∴MO平分∠BMC，
故④正确，符合题意；
∵∠AOB＝∠COD，
∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM＝∠AOM，
∵∠AOB＝∠COD＝40°，
∴∠COM＝∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO＝∠BMO，
在△COM和△BOM中，
，
∴△COM≌△BOM（ASA），
∴OB＝OC，
∵OA＝OB，
∴OA＝OC，
与题意不符，
故③错误，不符合题意；
综上，符合题意的有①②④；
故选：B．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D．已知AB＝16，CD＝5，则△ABD的面积为（ ）
A．80 B．40 C．20 D．10
【答案】B
【解答】解：如图，
作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，
∴DE＝CD＝5，
∴S△ABD＝＝＝40，
故选：B．
二．填空题（共7小题）
11．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC＝4，DE＝2，则△BCD的面积是 4 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DF＝DE＝2，
∴S△BCD＝ BC×DF＝×4×2＝4
故答案为：4．
12．如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若∠B＝50°，则∠BDF＝ 80 度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据折叠的性质，可得：AD＝DF，
∵D是AB边上的中点，
即AD＝BD，
∴BD＝DF，
∵∠B＝50°，
∴∠DFB＝∠B＝50°，
∴∠BDF＝180°﹣∠B﹣∠DFB＝80°．
故答案为：80．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，点E为BC上一点，连接AE，∠BAE＝∠CAD，连接DE．下列结论中正确的是 ②③④ ．（填序号）
①AC⊥DE；
②∠ADE＝∠ACB；
③若CD∥AB，则AE⊥AD；
④DE＝CE+2BE．
【答案】②③④．
【解答】解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M，
∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥GE，
∴AB垂直平分GE，
∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝∠DAC，
∵∠BAE＝∠GAE，
∴∠GAE＝∠CAD，
∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，
∴∠GAC＝∠EAD，
在△GAC与△EAD中，
，
∴△GAC≌△EAD（SAS），
∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，
∴②是正确的；
∵AG＝AE，
∴∠G＝∠AEG＝∠AED，
∴AE平分∠BED，
当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE，
当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE，
∴①是不正确的；
设∠BAE＝x，则∠CAD＝2x，
∴∠ACD＝∠ADC＝＝90°﹣x，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°﹣x，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝90°﹣x﹣x＝90°﹣2x，
∴∠DAE＝∠CAE+∠DAC＝90°﹣2x+2x＝90°，
∴AE⊥AD，
∴③是正确的；
∵△GAC≌△EAD，
∴CG＝DE，
∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，
∴DE＝CE+2BE，
∴④是正确的，
故答案为：②③④．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两锐角的角平分线交于点P，点E、F分别在边BC、AC上，且都不与点C重合，若∠EPF＝45°，连接EF，当AC＝6，BC＝8，AB＝10时，则△CEF的周长为 4 ．
【答案】4．
【解答】解：如图，过点P作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PK⊥AB于K，在EB上取一点J，使得MJ＝FN，连接PJ．
∵BP平分∠BC，PA平分∠CAB，PM⊥BC，PN⊥AC，PK⊥AB，
∴PM＝PK，PK＝PN，
∴PM＝PN，
∵∠C＝∠PMC＝∠PNC＝90°，
∴四边形PMCN是矩形，
∴四边形PMCN是正方形，
∴CM＝PM，
∴∠MPN＝90°，
在△PMJ和△PNF中，
，
∴△PMJ≌△PNF（SAS），
∴∠MPJ＝∠FPN，PJ＝PF，
∴∠JPF＝∠MPN＝90°，
∵∠EPF＝45°，
∴∠EPF＝∠EPJ＝45°，
在△PEF和△PEJ中，
，
∴△PEF≌△PEJ（SAS），
∴EF＝EJ，
∴EF＝EM+FN，
∴△CEF的周长＝CE+EF+CF＝CE+EM+CF+FN＝2CM＝2PM，
∵S△ABC＝ BC AC＝（AC+BC+AB） PM，
∴PM＝2，
∴△ECF的周长为4，
故答案为：4．
15．如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°，CE⊥AD于点E，AD＝12cm，AB＝7cm，那么DE的长度为 2.5 cm．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：如图，
过C作CF⊥AB的延长线于点F，
∵AC平分∠BAD，
∴∠FAC＝∠EAC，
∵CE⊥AD，CF⊥AB，
∴∠BFC＝∠CED＝90°，
在△AFC和△AEC中，
，
∴△AFC≌△AEC（AAS），
∴AF＝AE，CF＝CE，
∵∠ABC+∠D＝180°，
∴∠FBC＝∠EDC，
∴△FBC≌△EDC，
∴BF＝ED，
∴AB+AD＝AE+ED+AF﹣BF＝2AE，
∵AD＝12cm，AB＝7cm，
∴19＝2AE，
∴AE＝9.5cm，
∴DE＝AD﹣AE＝12﹣9.5＝2.5cm．
16．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．CD与BM相交于点E，若点E是CD的中点，下列结论：①∠AMD＝45°；②NE﹣EM＝MC；③EM：MC：NE＝1：2：3；④S△ACD＝2S△DNE．其中正确的结论有 ①②③ ．（填写序号即可）
【答案】①②③．
【解答】解：①∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝∠ADC＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴BD＝CD，
∵BM⊥AC，
∴∠AMB＝∠ADC＝90°，
∴∠A+∠DBN＝90°，∠A+∠DCM＝90°，
∴∠DBN＝∠DCM，
∵DN⊥MD，
∴∠CDM+∠CDN＝90°，
∵∠CDN+∠BDN＝90°，
∴∠CDM＝∠BDN，
∴△BDN≌△CDM（ASA），
∴DN＝DM，
∵∠MDN＝90°，
∴△DMN是等腰直角三角形，
∴∠DMN＝45°，
∴∠AMD＝90°﹣45°＝45°，
故①正确；
②如图1，由（1）知，DN＝DM，
过点D作DF⊥MN于点F，则∠DFE＝90°＝∠CME，
∵DN⊥MD，
∴DF＝FN，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△DEF和△CEM中，
，
∴△DEF≌△CEM（AAS），
∴ME＝EF，CM＝DF，
∴FN＝CM，
∵NE﹣EF＝FN，
∴NE﹣EM＝MC，
故②正确；
③由①知，∠DBN＝∠DCM，
又∵∠BED＝∠CEM，
∴△BDE∽△CME，
∴＝＝2，
∴CM＝2EM，NE＝3EM，
∴EM：MC：NE＝1：2：3，
故③正确；
④如图2，∵CD⊥AB，
∴∠BDE＝∠CDA＝90°，
由①知：∠DBN＝∠DCM，BD＝CD，
∴△BED≌△CAD（ASA），
∴S△BED＝S△CAD，
由①知，△BDN≌△CDM，
∴BN＝CM，
∵CM＝FN，
∴BN＝FN，
∴BN＜NE，
∴S△BDN＜S△DEN，
∴S△BED＜2S△DNE．
∴S△ACD＜2S△DNE．
故④不正确，
故答案为：①②③．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B分别为x轴和y轴上一点，且OA＝OB，过点B作BE⊥AC于点E，延长BE至点D，使得BD＝AC，连接OC、OD，若点C在第一象限，点C的坐标为（2，1.5），连接CD，AC与OD交于点F，则点D的坐标为 （﹣1.5，2） ．
【答案】（﹣1.5，2）．
【解答】解：∵BE⊥AC，
∴∠BEA＝90°．
∴∠OBE+∠EGB＝90°，
∵∠OGA+∠OAG＝90°，∠OGA＝∠OGE，
∴∠OAG＝∠OBE，
∵AO＝BO，BD＝AC，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴OC＝OD，∠OCA＝∠ODB，
∵∠OFC＝∠EFD，
∴∠DOC＝∠DEF＝90°，
∴OC⊥OD，
如图，过点D作DK⊥x轴交于点K，CL⊥x轴交于点L，
∵∠DOK+∠COL＝90°，∠DOK+∠KDO＝90°，
∴∠KDO＝∠COL，
∵OC＝OD，
∴△DOK≌△OCL（AAS），
∴DK＝OL，OK＝CL，
∵点C的坐标为（2，1.5），
∴OK＝CL＝1.5，DK＝OL＝2，
∴D（﹣1.5，2）．
故答案为：（﹣1.5，2）．
三．解答题（共19小题）
18．（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）成立．
∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠CAE＝∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（3）△DEF是等边三角形．
由（2）知，△ADB≌△CEA，
BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴∠ABF＝∠CAF＝60°，
∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF＝∠FAE，
∵BF＝AF
在△DBF和△EAF中
，
∴△DBF≌△EAF（SAS），
∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，
∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，
∴△DEF为等边三角形．
19．CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE ＝ CF；EF ＝ |BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“＝”）；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 ∠α+∠BCA＝180° ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①∵∠BCA＝90°，∠α＝90°，
∴∠BCE+∠CBE＝90°，∠BCE+∠ACF＝90°，
∴∠CBE＝∠ACF，
∵CA＝CB，∠BEC＝∠CFA；
∴△BCE≌△CAF，
∴BE＝CF；EF＝|CF﹣CE|＝|BE﹣AF|．
②所填的条件是：∠α+∠BCA＝180°．
证明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE＝180°﹣∠BEC＝180°﹣∠α．
∵∠BCA＝180°﹣∠α，
∴∠CBE+∠BCE＝∠BCA．
又∵∠ACF+∠BCE＝∠BCA，
∴∠CBE＝∠ACF，
又∵BC＝CA，∠BEC＝∠CFA，
∴△BCE≌△CAF（AAS）
∴BE＝CF，CE＝AF，
又∵EF＝CF﹣CE，
∴EF＝|BE﹣AF|．
（2）猜想：EF＝BE+AF．
证明过程：
∵∠BEC＝∠CFA＝∠α，∠α＝∠BCA，∠BCA+∠BCE+∠ACF＝180°，∠CFA+∠CAF+∠ACF＝180°，
∴∠BCE＝∠CAF，
又∵BC＝CA，
∴△BCE≌△CAF（AAS）．
∴BE＝CF，EC＝FA，
∴EF＝EC+CF＝BE+AF．
20．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，
∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）DE＝BD+CE．
如图2，
证明如下：
∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠DBA＝∠CAE，
在△ADB和△CEA中．
．
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE
（3）如图3，
过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N．
∴∠EMI＝GNI＝90°
由（1）和（2）的结论可知EM＝AH＝GN
∴EM＝GN
在△EMI和△GNI中，
，
∴△EMI≌△GNI（AAS），
∴EI＝GI，
∴I是EG的中点．
21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB；
（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴CF＝EB；
（2）AF+BE＝AE．
∵Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴DC＝DE，
∴Rt△DCA≌Rt△DEA（HL），
∴AC＝AE，
∴AF+FC＝AE，
即AF+BE＝AE．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝ 25 °，∠AED＝ 65 °；
（2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝40°，
∵∠ADE＝40°，∠BDA＝115°，
∵∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝25°，
∴∠AED＝∠EDC+∠C＝25°+40°＝65°，
故答案为：25；65；
（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，
理由：∵AB＝2，DC＝2，
∴AB＝DC，
∵∠C＝40°，
∴∠DEC+∠EDC＝140°，
∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB+∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，
①当DA＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝70°，
∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝70°+40°＝110°；
②当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝40°，
∴∠DAE＝100°，
此时，点D与点B重合，不合题意；
③当EA＝ED时，∠EAD＝∠ADE＝40°，
∴∠BDA＝∠EAD+∠C＝40°+40°＝80°；
综上所述，当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形．
23．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC．
（1）求∠APO+∠DCO的度数；
（2）求证：AC＝AO+AP．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）连接BO，如图1所示：
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠ODB＝∠ODC，
在△OBD和△OCD中，
，
∴△OBD≌△OCD（SAS），
∴OB＝OC，
又∵OP＝OC，
∴OB＝OC＝OP，
∴∠APO＝∠ABO，∠DBO＝∠DCO，
又∵∠BAC＝120°，
∠ABC＝∠ACB＝30°，
又∵∠ABD＝∠ABO+∠DBO＝30°，
∴∠APO+∠DCO＝30°；
（2）过点O作OH⊥BP于点H，如图2所示：
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠HAO＝∠CAD＝60°，
又∵OH⊥BP，
∴∠OHA＝90°，
∴∠HOA＝30°，
∴AO＝2AH，
又∵BO＝PO，OH⊥BP，
∴BH＝PH，
又∵HP＝AP+AH，
∴BH＝AP+AH，
又∵AB＝BH+AH，
∴AB＝AP+2AH，
又∵AB＝AC，AO＝2AH，
∴AC＝AP+AO．
24．问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 EF＝BE+DF ；
探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以70海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以90海里/小时的速度，前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：问题背景：由题意：△ABE≌△ADG，△AEF≌△AGF，
∴BE＝DG，EF＝GF，
∴EF＝FG＝DF+DG＝BE+FD．
故答案为：EF＝BE+FD．
探索延伸：EF＝BE+FD仍然成立．
理由：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADG，
又∵AB＝AD，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
又∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠FAG＝∠FAD+∠DAG＝∠FAD+∠BAE＝∠BAD﹣∠EAF，
＝∠BAD﹣∠BAD＝∠BAD，
∴∠EAF＝∠GAF．
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
又∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+FD．
实际应用：如图3，连接EF，延长AE，BF相交于点C，
在四边形AOBC中，
∵∠AOB＝30°+90°+20°＝140°，∠FOE＝70°＝∠AOB，
又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝60°+120°＝180°，符合探索延伸中的条件，
∴结论EF＝AE+FB成立．
即，EF＝AE+FB＝2×（70+90）＝320（海里）
答：此时两舰艇之间的距离为320海里．
25．如图1，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝45°，过点B作BC⊥AE于点C，在BC上截取CD＝CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P；
（1）求证：AD＝BE；
（2）试说明AD平分∠BAE；
（3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵BC⊥AE，∠BAE＝45°，
∴∠CBA＝∠CAB，
∴BC＝CA，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD＝BE．
（2）∵△BCE≌△ACD，
∴∠EBC＝∠DAC，
∵∠BDP＝∠ADC，
∴∠BPD＝∠DCA＝90°，
∵AB＝AE，
∴AD平分∠BAE．
（3）AD⊥BE不发生变化．
如图2，
∵△BCE≌△ACD，
∴∠EBC＝∠DAC，
∵∠BFP＝∠AFC，
∴∠BPF＝∠ACF＝90°，
∴AD⊥BE．
26．已知：如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．
（1）求证：AM平分∠BAD；
（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？
（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：作ME⊥AD于E，
∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，
∴ME＝MC，
∵M为BC中点，
∴MB＝MC，
又∵ME＝MC，
∴ME＝MB，
又∵ME⊥AD，MB⊥AB，
∴AM平分∠DAB．
（2）解：DM⊥AM，
理由是：∵DM平分∠CDA，AM平分∠DAB，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵DC∥AB，
∴∠CDA+∠BAD＝180°，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠DMA＝180°﹣（∠1+∠3）＝90°，
即DM⊥AM．
（3）解：CD+AB＝AD，
理由是：∵ME⊥AD，MC⊥CD，
∴∠C＝∠DEM＝90°，
在Rt△DCM和Rt△DEM中
∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），
∴CD＝DE，
同理AE＝AB，
∵AE+DE＝AD，
∴CD+AB＝AD．
27．如图，AB＝AC＝16cm，BC＝10cm，点D为AB的中点，点P在边BC上以每秒2cm的速度由点B向点C运动，同时，点M在边CA上由点C向点A匀速运动．
（1）当点M的运动速度与点P的运动速度相同，经过1秒后，△BPD与△CMP是否全等？请说明理由；
（2）若点M的运动速度与点P的运动速度不相等，当点M的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CMP全等？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）结论：，△BPD与△CMP全等
理由：t＝1s时，PB＝2，CM＝2，BD＝AB＝8，PC＝10﹣2＝8，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BDP和△CPM中，
，
∴△BDP≌CPM．
（2）由题意△BPD与△CMP全等，
∵CM≠PB，
∴CM＝BD＝8，PC＝PB＝5，
∴t＝，
∴点M的运动速度＝8÷＝cm/s．
28．在△ABC中，AB＝AC，点D是BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，若∠BAC＝90°，
①求证：△ABD≌△ACE；
②求∠BCE的度数．
（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．如图2，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
②∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE．
∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB，
∴∠BCE＝∠B+∠ACB，
又∵∠BAC＝90°
∴∠BCE＝90°；
（2）α+β＝180°，
理由：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠EAC+∠DAC．
即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE．
∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB．
∴∠B+∠ACB＝β，
∵α+∠B+∠ACB＝180°，
∴α+β＝180°
29．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 B ．
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范围是 C ．
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故选B；
（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，
∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，
∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，
∴1＜AD＜7，
故选C．
（3）证明
延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，
∵AD是△ABC中线，
∴BD＝DC，
∵在△ADC和△MDB中
，
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，
∴BF＝BM＝AC，
即AC＝BF．
30．如图1，点A和点B分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且OA＝OB，点C和点D分别在第四象限和第一象限，且OC⊥OD，OC＝OD，点D的坐标为（m，n），且满足（m﹣2n）2+|n﹣2|＝0．
（1）求点D的坐标；
（2）求∠AKO的度数；
（3）如图2，点P，Q分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且OP＝OQ，直线ON⊥BP交AB于点N，MN⊥AQ交BP的延长线于点M，判断ON，MN，BM的数量关系并证明．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵（m﹣2n）2+|n﹣2|＝0，
又∵（m﹣2n）2≥0，|n﹣2|≥0，
∴n＝2，m＝4，
∴点D坐标为（4，2）．
（2）如图1中，作OE⊥BD于E，OF⊥AC于F．
∵OA＝OB，OD＝OC，∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠BOD＝∠AOC，
∴△BOD≌△AOC，
∴EO＝OF（全等三角形对应边上的高相等），
∴OK平分∠BKC，
∴∠OBD＝∠OAC，易证∠AKB＝∠BOA＝90°，
∴∠OKE＝45°，
∴∠AKO＝135°．
（3）结论：BM＝MN+ON．
理由：如图2中，过点B作BH∥y轴交MN的延长线于H．
∵OQ＝OP，OA＝OB，∠AOQ＝∠BOP＝90°，
∴△AOQ≌△BOP，
∴∠OBP＝∠OAQ，
∵∠OBA＝∠OAB＝45°，
∴∠ABP＝∠BAQ，
∵NM⊥AQ，BM⊥ON，
∴∠ANM+∠BAQ＝90°，∠BNO+∠ABP＝90°，
∴∠ANM＝∠BNO＝∠HNB，
∵∠HBN＝∠OBN＝45°，BN＝BN，
∴△BNH≌△BNO，
∴HN＝NO，∠H＝∠BON，
∵∠HBM+∠MBO＝90°，∠BON+∠MBO＝90°，
∴∠HBM＝∠BON＝∠H，
∴MH＝MB，
∴BM＝MN+NH＝MN+ON．
31．阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB＝FC，从而把AB，AD，DC转化到△ADF中即可判断．
（1）AB、AD、DC之间的等量关系为 AD＝AB+DC ；
（2）完成（1）的证明．
问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图①，延长AE交DC的延长线于点F，
∵AB∥DC，
∴∠BAF＝∠F，
∵E是BC的中点，
∴CE＝BE，
在△AEB和△FEC中，
∵，
∴△AEB≌△FEC，
∴AB＝FC，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠F，
∴DF＝AD，
∴AD＝DC+CF＝DC+AB，
故答案为：AD＝AB+DC；
（2）AB＝AF+CF，
如图②，延长AE交DF的延长线于点G，
∵E是BC的中点，
∴CE＝BE，
∵AB∥DC，
∴∠BAE＝∠G，
在△AEB和△GEC中，
，
∴△AEB≌△GEC，
∴AB＝GC，
∵AE是∠BAF的平分线，
∴∠BAG＝∠FAG，
∵AB∥CD，
∴∠BAG＝∠G，
∴∠FAG＝∠G，
∴FA＝FG，
∴AB＝CG＝AF+CF．
32．如图，直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，b），且a、b满足|a+b|+（a﹣5）2＝0
（1）点A的坐标为 （5，0） ，点B的坐标为 （0，﹣5） ；
（2）如图，若点C的坐标为（﹣3，﹣2），且BE⊥AC于点E，OD⊥OC交BE延长线于D，试求点D的坐标；
（3）如图，M、N分别为OA、OB边上的点，OM＝ON，OP⊥AN交AB于点P，过点P作PG⊥BM交AN的延长线于点G，请写出线段AG、OP与PG之间的数量关系并证明你的结论．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵|a+b|+（a﹣5）2＝0，
∴a＝5，b＝﹣5，
∴点A的坐标为（5，0），点B的坐标为
（0，﹣5），
故答案为：（5，0）；（0，﹣5）；
（2）过C作CK⊥x轴，过D作DF⊥y轴，
∵∠AED＝∠BOK＝90°，
∴∠DBO＝∠OAC，
∵∠AOB+∠BOC＝∠BOK+∠BOC＝90°+∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD，
在△AOC与△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（ASA），
∴OC＝OD，
在△OCK与△ODF中，
，
∴△OCK≌△ODF（AAS），
∴DF＝CK，OK＝OF，
∴D（﹣2，3）；
（3）延长GP到L，使PL＝OP，连接AL，
在△AON与△BOM中，
，
∴△AON≌△BOM，
∴∠OAN＝∠OBM，
∴∠MBA＝∠NAB，
∵PG⊥BM，OP⊥AN，
∴∠NAB+∠OPA＝∠MBA+∠GPB＝90°，
∴∠OPA＝∠GPB＝∠APL，
在△OAP与△PAL中，
，
∴△OAP≌△PAL，
∴∠POA＝∠L，∠OAP＝∠PAL＝45°，
∴∠OAL＝90°，
∴∠POA＝90°﹣∠POB，∠GAL＝90°﹣∠OAN，
∵∠POB+∠AOP＝90°，∠AOP+∠OAN＝90°，
∴∠POB＝∠OAN，
∴∠POA＝∠GAL，
∴∠POA＝∠GAL＝∠L，
∴AG＝GL，
∴AG＝GL＝GP+PL＝GP+OP．
33．如图：AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，
（1）图中EC、BF有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论．
（2）连接AM，求证：MA平分∠EMF．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：结论：EC＝BF，EC⊥BF．
理由：∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠EAB＝∠CAF＝90°，
∴∠EAB+∠BAC＝∠CAF+∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAF．
在△EAC和△BAF中，
，
∴△EAC≌△BAF（SAS），
∴EC＝BF．∠AEC＝∠ABF
∵∠AEG+∠AGE＝90°，∠AGE＝∠BGM，
∴∠ABF+∠BGM＝90°，
∴∠EMB＝90°，
∴EC⊥BF．
∴EC＝BF，EC⊥BF．
（2）证明：作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．
∵△EAC≌△BAF，
∴AP＝AQ（全等三角形对应边上的高相等）．
∵AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，
∴AM平分∠EMF．
34．如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，
（1）求C点的坐标；
（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；
（3）如图3，已知点F坐标为（﹣2，﹣2），当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△FGH，始终保持∠GFH＝90°，FG与y轴负半轴交于点G（0，m），FH与x轴正半轴交于点H（n，0），当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：①m﹣n为定值；②m+n为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）过C作CM⊥x轴于M点，如图1，
∵CM⊥OA，AC⊥AB，
∴∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°
则∠MAC＝∠OBA
在△MAC和△OBA中，
则△MAC≌△OBA（AAS）
则CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，则点C的坐标为（﹣6，﹣2）；
（2）过D作DQ⊥OP于Q点，如图2，则OP﹣DE＝PQ，∠APO+∠QPD＝90°
∠APO+∠OAP＝90°，则∠QPD＝∠OAP，
在△AOP和△PDQ中，
则△AOP≌△PDQ（AAS）
∴OP﹣DE＝PQ＝OA＝2；
（3）结论②是正确的，m+n＝﹣4，
如图3，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT⊥y轴于T点，
则FS＝FT＝2，∠FHS＝∠HFT＝∠FGT，
在△FSH和△FTG中，
则△FSH≌△FTG（AAS）
则GT＝HS，
又∵G（0，m），H（n，0），点F坐标为（﹣2，﹣2），
∴OT＝OS＝2，OG＝|m|＝﹣m，OH＝n，
∴GT＝OG﹣OT＝﹣m﹣2，HS＝OH+OS＝n+2，
则﹣2﹣m＝n+2，
则m+n＝﹣4．
35．如图，已知B（﹣1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC＝∠BAC．
（1）求证：∠ABD＝∠ACD；
（2）求证：DA平分∠CDE；
（3）若在D点运动的过程中，始终有DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数？
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）∵∠BDC＝∠BAC，∠DFB＝∠AFC，
又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB＝∠BAC+∠ACD+∠AFC＝180°，
∴∠ABD＝∠ACD；
（2）过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．
则∠AMC＝∠ANB＝90°．
∵OB＝OC，OA⊥BC，
∴AB＝AC，
∵∠ABD＝∠ACD，
∴△ACM≌△ABN （AAS）
∴AM＝AN．
∴DA平分∠CDE．（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；
（3）∠BAC的度数不变化．
在CD上截取CP＝BD，连接AP．
∵CD＝AD+BD，
∴AD＝PD．
∵AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，BD＝CP，
∴△ABD≌△ACP．
∴AD＝AP；∠BAD＝∠CAP．
∴AD＝AP＝PD，即△ADP是等边三角形，
∴∠DAP＝60°．
∴∠BAC＝∠BAP+∠CAP＝∠BAP+∠BAD＝60°．
36．如图所示，直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，b），且a、b满足．
（1）如图1，若C的坐标为（﹣1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，试求点P的坐标；
（2）如图2，连接OH，求证：∠OHP＝45°；
（3）如图3，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过D作DN⊥DM交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子S△BDM﹣S△ADN的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，
∵，
∴a+b＝0，a﹣4＝0，
∴a＝4，b＝﹣4，
则OA＝OB＝4．
∵AH⊥BC即∠AHC＝90°，∠COB＝90°
∴∠HAC+∠ACH＝∠OBC+∠OCB＝90°，
∴∠HAC＝∠OBC．
在△OAP与△OBC中，
，
∴△OAP≌△OBC（ASA），
∴OP＝OC＝1，
则P（0，﹣1）；
（2）过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，如图2．
在四边形OMHN中，∠MON＝360°﹣3×90°＝90°，
∴∠COM＝∠PON＝90°﹣∠MOP．
在△COM与△PON中，
，
∴△COM≌△PON（AAS），
∴OM＝ON．
∵OM⊥CB，ON⊥HA，
∴HO平分∠CHA，
∴∠OHP＝∠CHA＝45°；
（3）S△BDM﹣S△ADN的值不发生改变，等于4．
理由如下：
连接OD，如图3．
∵∠AOB＝90°，OA＝OB，D为AB的中点，
∴OD⊥AB，∠BOD＝∠AOD＝45°，OD＝DA＝BD
∴∠OAD＝45°，∠MOD＝90°+45°＝135°，
∴∠DAN＝135°＝∠MOD．
∵MD⊥ND即∠MDN＝90°，
∴∠MDO＝∠NDA＝90°﹣∠MDA．
在△ODM与△ADN中，
，
∴△ODM≌△ADN（ASA），
∴S△ODM＝S△ADN
∴S△BDM﹣S△ADN
＝S△BDM﹣S△ODM
＝S△BOD
＝S△AOB
＝×AO BO
＝××4×4
＝4．
全等三角形压轴精选36题
一．选择题（共10小题）
1．根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，AC＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．∠C＝90°，AB＝6
2．如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（ ）
A．50 B．62 C．65 D．68
3．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（ ）
A．a2 B．a2 C．a2 D．a2
4．在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE、BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG＝CE； ②BG⊥CE； ③AM是△AEG的中线； ④∠EAM＝∠ABC，其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（ ）
A．11 B．5.5 C．7 D．3.5
6．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：
①△ABE≌△DBC；②∠DMA＝60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC，
其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（ ）
A．54° B．50° C．48° D．46°
8．如图，在△ABC，AB＝AC，D为BC上的一点，∠BAD＝28°，在AD的右侧作△ADE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE、DE，DE交AC于点O，若CE∥AB，则∠DOC的度数为（ ）
A．124° B．102° C．92° D．88°
9．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D．已知AB＝16，CD＝5，则△ABD的面积为（ ）
A．80 B．40 C．20 D．10
二．填空题（共7小题）
11．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC＝4，DE＝2，则△BCD的面积是 ．
12．如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若∠B＝50°，则∠BDF＝ 度．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，点E为BC上一点，连接AE，∠BAE＝∠CAD，连接DE．下列结论中正确的是 ．（填序号）
①AC⊥DE；
②∠ADE＝∠ACB；
③若CD∥AB，则AE⊥AD；
④DE＝CE+2BE．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两锐角的角平分线交于点P，点E、F分别在边BC、AC上，且都不与点C重合，若∠EPF＝45°，连接EF，当AC＝6，BC＝8，AB＝10时，则△CEF的周长为 ．
15．如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°，CE⊥AD于点E，AD＝12cm，AB＝7cm，那么DE的长度为 cm．
16．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．CD与BM相交于点E，若点E是CD的中点，下列结论：①∠AMD＝45°；②NE﹣EM＝MC；③EM：MC：NE＝1：2：3；④S△ACD＝2S△DNE．其中正确的结论有 ．（填写序号即可）
17．如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B分别为x轴和y轴上一点，且OA＝OB，过点B作BE⊥AC于点E，延长BE至点D，使得BD＝AC，连接OC、OD，若点C在第一象限，点C的坐标为（2，1.5），连接CD，AC与OD交于点F，则点D的坐标为 ．
三．解答题（共19小题）
18．（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状．
19．CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE CF；EF |BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“＝”）；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．
如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．
20．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．
21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB；
（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝ °，∠AED＝ °；
（2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
23．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC．
（1）求∠APO+∠DCO的度数；
（2）求证：AC＝AO+AP．
24．问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；
探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以70海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以90海里/小时的速度，前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
25．如图1，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝45°，过点B作BC⊥AE于点C，在BC上截取CD＝CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P；
（1）求证：AD＝BE；
（2）试说明AD平分∠BAE；
（3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由．
26．已知：如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．
（1）求证：AM平分∠BAD；
（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？
（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．
27．如图，AB＝AC＝16cm，BC＝10cm，点D为AB的中点，点P在边BC上以每秒2cm的速度由点B向点C运动，同时，点M在边CA上由点C向点A匀速运动．
（1）当点M的运动速度与点P的运动速度相同，经过1秒后，△BPD与△CMP是否全等？请说明理由；
（2）若点M的运动速度与点P的运动速度不相等，当点M的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CMP全等？
28．在△ABC中，AB＝AC，点D是BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，若∠BAC＝90°，
①求证：△ABD≌△ACE；
②求∠BCE的度数．
（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．如图2，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
29．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 ．
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范围是 ．
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
30．如图1，点A和点B分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且OA＝OB，点C和点D分别在第四象限和第一象限，且OC⊥OD，OC＝OD，点D的坐标为（m，n），且满足（m﹣2n）2+|n﹣2|＝0．
（1）求点D的坐标；
（2）求∠AKO的度数；
（3）如图2，点P，Q分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且OP＝OQ，直线ON⊥BP交AB于点N，MN⊥AQ交BP的延长线于点M，判断ON，MN，BM的数量关系并证明．
31．阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB＝FC，从而把AB，AD，DC转化到△ADF中即可判断．
（1）AB、AD、DC之间的等量关系为 ；
（2）完成（1）的证明．
问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．
32．如图，直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，b），且a、b满足|a+b|+（a﹣5）2＝0
（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
（2）如图，若点C的坐标为（﹣3，﹣2），且BE⊥AC于点E，OD⊥OC交BE延长线于D，试求点D的坐标；
（3）如图，M、N分别为OA、OB边上的点，OM＝ON，OP⊥AN交AB于点P，过点P作PG⊥BM交AN的延长线于点G，请写出线段AG、OP与PG之间的数量关系并证明你的结论．
33．如图：AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，
（1）图中EC、BF有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论．
（2）连接AM，求证：MA平分∠EMF．
34．如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，
（1）求C点的坐标；
（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；
（3）如图3，已知点F坐标为（﹣2，﹣2），当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△FGH，始终保持∠GFH＝90°，FG与y轴负半轴交于点G（0，m），FH与x轴正半轴交于点H（n，0），当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：①m﹣n为定值；②m+n为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．
35．如图，已知B（﹣1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC＝∠BAC．
（1）求证：∠ABD＝∠ACD；
（2）求证：DA平分∠CDE；
（3）若在D点运动的过程中，始终有DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数？
36．如图所示，直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，b），且a、b满足．
（1）如图1，若C的坐标为（﹣1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，试求点P的坐标；
（2）如图2，连接OH，求证：∠OHP＝45°；
（3）如图3，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过D作DN⊥DM交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子S△BDM﹣S△ADN的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
