专题05 将军饮马-最短路径问题（四大类型）
【题型1：两定一动-作图】
（2023 海淀区一模）
1．在一条沿直线铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，现要求在上选取一点P，向两个小区铺设电缆．下面四种铺设方案中，使用电缆材料最少的是（ ）
A． B． C． D．
（2023春 赵县月考）
2．在公路l上建一个煤炭加工厂P，向甲、乙两个村庄供应煤炭．下列四种设计中，煤炭加工厂到两个村庄路径最短的是（ ）
A． B． C． D．
（2022秋 凤山县期末）
3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）△ABC的面积为 ；
（2）在图中作出△ABC关于直线MN的对称图形△A′B′C′.
（3）利用网格纸，在MN上找一点P，使得PB+PC的距离最短.( 保留痕迹)
（2022秋 思明区校级期中）
4．如图，在直角坐标系中，先描出点．
(1)点B与点E关于x轴的对称点，写出E的坐标______；
(2)在x轴上找一点P，使周长最小．
【题型2：两定一动-求周长/线段和最小值/角度】
（2023春 盐田区期末）
5．如图，是等边三角形，D，E分别是边的中点，连接，点P是上一动点，若，则的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
（2023春 阜新期中）
6．如图，直线是中边的垂直平分线，点是直线上的一动点．若，，，则周长的最小值是（ ）
A．9 B．10 C．10.5 D．11
（2023春 酒泉期末）
7．如图，在中，，，，垂直平分，点P为直线上任意一点，则的最小值是 ．
（2022秋 淮滨县期末）
8．如图，MN是等边三角形ABC的一条对称轴，D为AC的中点，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD的度数是（ ）
A．30° B．15° C．20° D．35°
（2023春 天桥区期末）
9．如图，在中，，，面积是10；的垂直平分线分别交，边于E、D两点，若点F为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．7 B．9 C．10 D．14
（2022秋 和平区校级期末）
10．如图，在中，，、是的两条中线，，P是上一个动点，则的最小值是（ ）
A．7 B．3.5 C．5 D．2.5
（2022秋 平城区校级月考）
11．如图，等腰的面积为，底边的长为3，腰的垂直平分线分别交边于点，点D为边的中点，点M为直线上一动点，则的最小值为（ ）
A． B．9 C．6 D．3
（2022秋 越秀区校级期末）
12．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是18，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点.若点D为边的中点，点G为线段上一动点，则周长的最小值为 ．
【题型3：一定两动-求线段和/周长/角度最小】
（2022秋 大名县期末）
13．如图，等边的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，当取得最小值时，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
（2022秋 岳麓区校级期末）
14．如图，在四边形中，，平分，，，P，Q分别是，上的动点，当取得最小值时，的长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
（2022秋 大连期末）
15．如图，，点Ｄ是它内部一点，．点E，F分别是，上的两个动点，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（2022秋 晋安区期末）
16．如图，在中，平分交于点D，点E，F分别是线段上的动点，则的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
（2022秋 江门期末）
17．如图，中，，，平分，如果、分别为、上的动点，那么的最小值是（ ）
A．2.4 B．3 C．4 D．
（2022秋 广州期中）
18．如图，在中，，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（ ）
A．8 B．6 C．2.4 D．4.8
（2023 阿克苏市一模）
19．已知在中，，，．点为边上的动点，点F为边上的动点，则线段的最小值是 ．
（2023 广西模拟）
20．如图，，点M，N分别是射线上的动点，点P为内一点，且，则的周长的最小值为 ．
（2022秋 滑县校级期末）
21．如图，，点M，N分别是射线上的动点，点P为内一点，且，则的周长的最小值为 ．
【题型4：一定两动-求角度】
（2022秋 宛城区校级期末）
22．如图，等边三角形的边长为6，是边上的中线，F是边上的动点，E是边上的一点，若，当取最小值时，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
（2022秋 和平区校级期末）
23．如图，在四边形中，，，分别是，边上的动点，，当的周长最小时，的度数是（ ）
A．122° B．64° C．62° D．58°
（2023春 虹口区校级期末）
24．如图，等腰，，，于点D，点P、Q分别为、上的动点，联结、，当最小时， °．
（2023春 郫都区期末）
25．如图，在四边形中，，，点、分别在、上，当的周长最小时，用的代数式表示，则 ．
（2023春 遂平县期末）
26．如图，四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为
（2023春 金牛区期末）
27．如图，锐角内有一定点A，连接，点B、C分别为、边上的动点，连接、、，设（），当取得最小值时，则________．（用含的代数式表示）
参考答案：
1．A
【分析】根据两点之间线段最短即可得出答案．
【详解】解：甲、乙位于直线的两侧，
根据两点之间线段最短，连接甲、乙两点，与直线交于点，点即为所求；
故选：A．
【点睛】本题考查两点之间线段最短的公理，解题的关键是分析题中两点的位置是在直线的同侧还是异侧，在异侧连接两点即可，在同侧需做其中一点的对称点再连接．
2．B
【分析】根据两点之间线段最短、垂线段最短即可得．
【详解】解：由两点之间线段最短、垂线段最短可知，煤炭加工厂到两个村庄路径最短的是：
．
故选：B．
【点睛】本题考查了两点之间线段最短、垂线段最短，熟练掌握两点之间线段最短、垂线段最短是解题关键．
3．(1)4;(2)见解析；（3）见解析.
【详解】试题分析：（1）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可；
（2）分别作出各点关于直线MN的对称点，再顺次连接即可；
（3）连接BC′交直线MN于点P，则点P即为所求点．
试题解析：
（1）S△ABC=3×4- ×2×2-×1×4-×2×3=12-2-3-3=4．
故答案为4；
（2）如图，△A′B′C′即为所求；
（3）如图，点P即为所求．
【点睛】最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
4．(1)
(2)点P点的坐标为时，使周长最小
【分析】（1）根据图象即可得到E点的坐标；
（2）连接AE交x轴于P，连接BP，此时P点能使周长最小，设直线AE的解析式为，运用待定系数法求出解析式，进而即可得到P点坐标．
【详解】（1）如图所示，点E的坐标为，
故答案为：．
（2）根据（1）可得点E关于x轴的对称点为B，
连接AE交x轴于P，连接BP，此时P点能使周长最小，
设直线AE的解析式为，
∴ ，
解得，
∴直线AE的解析式为，
当时，，
∴P点的坐标为，
则当点P点的坐标为时，使周长最小
【点睛】本题考查了轴对称、最短路线问题，解决本题的关键是运用待定系数法求解一次函数解析式．
5．C
【分析】连接，由对称性知，，则，当P、B、E三点共线时，最小，从而求得最小值．
【详解】解：连接，如图，
由对称性知，，
∴，
当P、B、E三点共线时，最小，最小值为线段的长．
∵是等边三角形，D，E分别是边的中点，
∴，
即的最小值为8；
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，两点间线段最短，对称的性质等知识，掌握这些知识是关键．
6．A
【分析】根据垂直平分线的性质，所以周长.
【详解】∵直线m是中边的垂直平分线,
∴
∴周长
∵两点之间线段最短
∴
∴的周长
∵，
∴周长最小为
故选：A
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理，以及两点之间线段最短.做本题的关键是能得出，做此类题的关键在于能根据题设中的已知条件，联系相关定理得出结论，再根据结论进行推论．
7．4
【分析】由线段垂直平分线的性质可得，可得当点A，P，C在一条直线上时，有最小值，最小值为的长．
【详解】解：连接．
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴当点A，P，C在一条直线上时，有最小值，最小值为．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，明确线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
8．A
【分析】由于点C关于直线MN的对称点是B，所以当三点在同一直线上时，的值最小．
【详解】由题意知，当B. P、D三点位于同一直线时，PC+PD取最小值，
连接BD交MN于P，
∵△ABC是等边三角形，D为AC的中点，
∴BD⊥AC，
∴PA=PC，
∴
【点睛】考查轴对称-最短路线问题，找出点C关于直线MN的对称点是B，根据两点之间，线段最短求解即可.
9．A
【分析】连接，根据线段垂直平分线性质得，周长，再根据等腰三角形的性质和三角形的面积求出，，即可得出答案．
【详解】解：如图所示．连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴周长．
连接，
∵，点F是的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，，
∴周长的最小值是．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据轴对称求线段和最小值等，判断周长的最小值是解题的关键．
10．C
【分析】根据等腰三角形三线合一得到关于对称，根据，即可得解．
【详解】解：∵，是的中线，
∴，
∴关于对称，
∴，
∴的最小值是；
故选C．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及利用轴对称解决线段和最小问题．熟练掌握等腰三角形三线合一以及将军饮马问题的解题方法，是解题的关键．
11．A
【分析】连接，，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：连接，，
∵是等腰三角形，点D是边的中点，
∴，
∴，解得，
∵是线段的垂直平分线，
∴点C关于直线的对称点为点A，
∴，
∴，
∵，
∴的长为的最小值，
∴的最小值为．
故选：A．
【点睛】本题考查的是轴对称 最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
12．11
【分析】连接AD，AG，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，GA=GC，推出GC+DG=GA+DG≥AD，故AD的长为BG+GD的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：连接AD，AG．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=BC AD=×4×AD=18，解得AD=9，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点A关于直线EF的对称点为点C，GA=GC，
∴GC+DG=GA+DG≥AD，
∴AD的长为CG+GD的最小值，
∴△CDM的周长最短=（CG+GD）+CD=AD+BC=9+×4=9+2=11．
故答案为：11．
【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
13．C
【分析】作点E关于AD对称的点M，连接CM，与AD交于点F，推出EF+CF最小时即为CM，再根据等边三角形的性质可得结果．
【详解】解：作点E关于AD对称的点M，连接CM，与AD交于点F，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴M在AB上，
∴MF=EF，
∴EF+CF=MF+CF=CM，
即此时EF+CF最小，且为CM，
∵AE=2，
∴AM=2，即点M为AB中点，
∴∠ECF=30°，
故选C．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点的应用，找到CM是解题的关键．
14．C
【分析】作点Q关于BD的对称点H，则，．推出，则当C、H、P三点在同一直线上，且时，为最短．得出，根据含角直角三角形的特征，求出，即可求出．
【详解】解：如图，作点Q关于BD的对称点H，则，．
∴，
∴当C、H、P三点在同一直线上，且时，为最短．
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，垂线段最短，含角直角三角形的特征，解题的关键是掌握轴对称的性质；垂线段最短；含角直角三角形，角所对的边是斜边的一半；以及正确画出辅助线，确定当时，为最短．
15．B
【分析】作D点关于的对称点G，作D点关于的对称点H，连接交于点E，交于点F，连接，，此时的周长最小，最小值为，证明是等边三角形，即可求解．
【详解】作D点关于的对称点G，作D点关于的对称点H，连接交于点E，交于点F，连接，，，如图所示：
由对称性可知，，，，
∴，
此时的周长最小，最小值为，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴周长的最小值为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了利用轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，轴对称的性质，等边三角形的性质是解题的关键．
16．B
【分析】从已知条件结合图形，利用对称性和三角形的三边关系确定线段和的最小值．
【详解】解：作C点关于的对称点H，过H作交于点E，交于点F，
∴，
∴的最小值是的长，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
在中，，
∴的最小值为4，
故选：B．
【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线的问题，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，解题关键是学会添加常用的辅助线，利用含30度角的直角三角形的性质解决问题．
17．D
【分析】过点作于，交于点，过点作于点，根据角平分线的性质定理得到，进而得到，利用面积法求出，由此得到的最小值．
【详解】解：过点作于，交于点，过点作于点，
∵平分，
∴，
∴，
∵中，，，，
∵，
∴，
∴，即的最小值是
故选D．
【点睛】此题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，还考查了最短路线问题，解题的关键是找到使最小时的动点和．
18．D
【分析】由题意可以把Q反射到的O点，如此的最小值问题即变为C与线段上某一点O的最短距离问题，最后根据“垂线段最短”的原理得解．
【详解】解：如图，作Q关于的对称点O，连接，过点C作于点M，则，所以O、P、C三点共线时，，此时有可能取得最小值，
∵当垂直于即移到位置时，的长度最小，
∴的最小值即为的长度，
∵，
∴，即的最小值为，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称最短路径问题，垂线段最短，通过轴反射把线段和最小的问题转化为线段外一点到线段某点连线段最短问题是解题关键．
19．
【分析】作F点关于AC的对称点，连接A并延长交BC延长线于点，将的最小值转化为求B点到A 的最短距离，根据垂线段的性质即可解答；
【详解】解：如图作F点关于AC的对称点，连接A 并延长交BC延长线于点B′，作BD⊥AB′于点D，
由对称性可得EF=E ，
由垂线段的性质可得B到AB′的最短距离为BD，
∴EF+EB=E+EB=B≥BD，
Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠ABC=15°，
∴∠BAD=2∠BAC=30°，
Rt△ABD中，AB=5，∠BDA=90°，∠BAD=30°，∴BD=，
∴线段的最小值是，
故答案为：；
【点睛】本题考查了对称的性质，垂线段的性质，30°直角三角形的性质；掌握相关性质是解题关键．
20．5
【分析】设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，根据当点M、N在上时，的周长最小，再结合等边三角形的判定和性质即可解答．
【详解】解：分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接．
∵点P关于的对称点为C，
∴．
∵点P关于的对称点为D，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，
∴．
∴的周长的最小值．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，等边三角形的判定和性质．将三角形的周长利用轴对称转化为线段的长，构造等边三角形是解题的关键．
21．5
【分析】设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，根据当点M、N在上时，的周长最小，再结合等边三角形的判定和性质即可解答．
【详解】解：分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接．
∵点P关于的对称点为C，
∴．
∵点P关于的对称点为D，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，
∴．
∴的周长的最小值．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，等边三角形的判定和性质．将三角形的周长利用轴对称转化为线段的长，构造等边三角形是解题的关键．
22．B
【分析】根据对称性和等边三角形的性质，作于点，交于点，此时，最小，进而求解．
【详解】解：如图：过点作于点，交于点，连接，
是等边三角形，边长为6，
∴，
，
，
，
是等边的边上的中线，
，，
．，
，
即当时，取最小值，
∴当取最小值时，则的度数为．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称——最短路线问题、等边三角形的性质，解决本题的关键是准确找到点和的位置．
23．B
【分析】延长到E使，延长到F，使，连接交于N，交于M，此时，的周长最小，根据等腰三角形的性质得到，，设，根据三角形的内角和列方程即可得到结论．
【详解】解：延长到E使，延长到F，使，连接交于N，交于M，
此时，的周长最小，
∵，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
24．20
【分析】过点C作，垂足为Q，根据等腰三角形的性质可得垂直平分，因此，故当最小时，即最小，此时C、P、Q共线，且，根据三角形的内角和与等腰三角形的两底角相等可求得，，从而．
【详解】解：如图，过点C作，垂足为Q，
∵等腰，，于点D，
∴垂直平分，
∴，
当最小时，即最小，
∴此时C、P、Q共线，且，
∵，
∴，，
∴．
故答案为：20
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，垂线段最短，三角形的内角和定理，理解等腰三角形的性质和垂线段最短是解题的关键．
25．##
【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连结交于点，交于点，当、、、共线时，的周长最小，可得出，进而得出，即可得出答案．
【详解】解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，作延长线，
则，．
的周长，
当，，，四点共线时，的周长取得最小值，
，，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是轴对称 最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键．
26．80°
【分析】根据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝58°，进而得出∠AEF+∠AFE＝2（∠AA′E+∠A″），即可得出答案．
【详解】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠C＝50°，∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠DAB＝360°-∠ABC-∠ADC -∠C=130°，
∴∠HAA′＝180°-∠DAB=50°，
∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝50°，
由轴对称的性质可得：∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF＝50°，
∵∠AFE=∠FAD+∠A″，∠AEF=∠EA′A+∠EAA′，
∴∠AEF+∠AFE ＝2（∠AA′E+∠A″）=100°
∴∠EAF＝180°-∠AEF-∠AFE=80°，
故答案为：80°．
【点睛】本题考查平面内最短路线问题求法、三角形的外角的性质和轴对称的性质，三角形内角和定理，根据已知得出E，F的位置是解题关键．
27．
【分析】当取得最小值时，即三点共线，作图，把真正的点B、C作图出来即图中的点和的位置，连接，，解答即可．
【详解】解：作A关于和的对称点，分别记作和，连接分别交和于点和，连接，，如图所示：
∵作A关于和的对称点，分别记作和，
∴，，
∵，
∴，
∵作A关于和的对称点，分别记作和，
∴，
∴是等腰三角形，
即，
∵作A关于和的对称点，分别记作和，
∴，，
∵当取得最小值时，即三点共线，
此时，
即当取得最小值时，则，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是线段最短以及垂直平分线的性质内容，正确理解题意并正确作图是解题的关键．
