第二十二章《二次函数》单元检测题
题号 一 二 三 总分
19 20 21 22 23 24
分数
一、选择题(每题3分，共30分)
1.下列函数中,是二次函数的是 ( )
A.y=x(x-1) B.y=(x+4)2-x2 C.y=- D.y=x3+2x-3
2.在平面直角坐标系中,若点M在抛物线y=(x-3)2-4的对称轴上,则点M的坐标可能是 ( )
A.(1,0) B.(3,5) C.(-3,-4) D.(0,-4)
3.函数y=-x2+3与y=-x2-2的图象的不同之处是 ( )
A.顶点 B.开口方向 C.对称轴 D.形状
4．将抛物线y＝x2－4x－4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（ ）
A．y＝(x＋1)2－13 B．y＝(x－5)2－3
C．y＝(x－5)2－13 D．y＝(x＋1)2－3
5．将抛物线y＝x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣1）2+4 B．y＝（x﹣4）2+4
C．y＝（x+2）2+6 D．y＝（x﹣4）2+6
6．已知二次函数y=kx2﹣6x﹣9的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（ ）
A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0
C．k≥﹣1 D．k≥﹣1且k≠0
7．在同一坐标系中，一次函数y＝ax+1与二次函数y＝x2+a的图象可能是（ ）
A．B． C．D．
8.一枚炮弹向上发射x s时的高度为y m,且时间与高度的关系为y=ax2+bx(a≠0).若此炮弹在发射7 s与14 s时的高度相等,则在下列哪个时刻中,炮弹的高度最高 ( )
A.8 s B.10 s C.12 s D.15 s
9.函数y=ax2-2x+1和直线y=ax-a(a是常数,且a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ( )
10.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,已知抛物线的对称轴是x=1,且抛物线与x轴的一个交点坐标为(4,0).下列结论:①abc>0;②2a+b=0;③方程ax2+bx+c=3有两个不相等的实数根;④抛物线与x轴的另一个交点坐标是(2,0);⑤若点A(m,n)在该抛物线上,则am2+bm+c≤a+b+c,其中正确的有 ( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
二、填空题(每题3分，共24分)
11．二次函数y＝-3x2-2的最大值为 _____．
12．已知抛物线与轴最多有一个交点，其顶点为，有下列结论：①；②；③关于的方程有实数根；④的最大值为，其中正确结论的的选项为_________（请写出序号）
13．函数y1＝（x+1）（x﹣2a）（a为常数）图象与x轴相交于点（x1，0）（x2，0），函数y2＝x﹣a的图象与x轴相交于点（x3，0），若x1＜x3＜x2，则a的取值范围为______ ．
14．抛物线y=x2﹣k的顶点为P，与x轴交于A、B两点，如果△ABP是正三角形，那么k= ．
15．把y＝2x2﹣6x+4配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式是 ．
16．如图，这是二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象，根据图象可知，函数值小于0时x的取值范围为 ．
17．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的的部分图像如图，图像经过（﹣1，0），对称轴为x＝2．下列4个结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③一元二次方程cx2+bx+a＝0两根为﹣1和；④不等式a（x+1）（x﹣5）＜﹣3的解集满足x＜﹣1或x＞5．其中正确的结论序号是____．
18．已知二次函数的部分图象如图所示，则使得函数值y大于2的自变量x的取值范围是_________．
三.解答题(共46分,19题6分，20 ---24题8分)
19. 已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图像与x轴的两个交点的横坐标分别为x1、x2，一元二次方程x2＋b2x＋20＝0的两实根为x3、x4，且x2－x3＝x1－x4＝3，求二次函数的解析式，并写出顶点坐标。
20. 抛物线 经过点．
(1)确定的值;
(2)求出该抛物线与坐标轴的交点坐标．
21.在平面直角坐标系中，有抛物线y=x2+1，已知点A（0，2），P（m，n）是抛物线上一动点，过O、P的直线交抛物线于点D，若AP=2AD，求直线OP的解析式．
22. 如图是抛物线y＝－x2＋bx＋c的部分图象，其中A(1，0)，B(0，3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)结合图象，写出当y＜3时x的取值范围．
23.如图,直线y=x+m与二次函数y=ax2+2x+c的图象交于点A(0,3),已知该二次函数图象的对称轴为直线x=1.
(1)求m的值及二次函数的解析式;
(2)若直线y=x+m与二次函数y=ax2+2x+c的图象的另一个交点为B,连接OB,求△OAB的面积;
(3)当x为何值时,该一次函数的值大于二次函数的值 请根据函数图象回答.
24.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点D,抛物线的顶点为E,且C,D两点关于抛物线的对称轴对称,直线y=kx+b经过A,C两点.
(1)求直线AC的解析式;
(2)设点P是直线AC上方抛物线上的一动点,当△PAC的面积取得最大值时,求出此时点P的坐标;
(3)若点M在此抛物线上,点N在抛物线的对称轴上,则以A,C,M,N为顶点的四边形能否构成以AC为边的平行四边形 若能,请直接写出所有满足要求的点M的坐标;若不能,请说明理由.
答案解析
一、选择题:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A D B C C B B C
二、填空题
11．-2
12．①②③④
13．a＞0或a＜-1
14．
【分析】根据抛物线y=x2﹣k的顶点为P，可直接求出P点的坐标，进而得出OP的长度，又因为△ABP是正三角形，得出∠OPB=30°，利用锐角三角函数即可求出OB的长度，得出B点的坐标，代入二次函数解析式即可求出k的值．
【解答】解：∵抛物线y=x2﹣k的顶点为P，
∴P点的坐标为：（0，﹣k），∴PO=K，
∵抛物线y=x2﹣k与x轴交于A、B两点，且△ABP是正三角形，
∴OA=OB，∠OPB=30°，
∴tan30°==，
∴OB=k，
∴点B的坐标为：（k，0），点B在抛物线y=x2﹣k上，
∴将B点代入y=x2﹣k，得：
0=（k）2﹣k，
整理得：﹣k=0，
解方程得：k1=0（不合题意舍去），k2=3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了二次函数顶点坐标的求法，以及正三角形的性质和锐角三角函数求值问题等知识，求出A或B点的坐标进而代入二次函数解析式是解决问题的关键．
15．解：y＝2x2﹣6x+4＝2（x2﹣3x+）﹣2×+4＝2（x﹣）2﹣．
即y＝2（x﹣）2﹣．
故答案为y＝2（x﹣）2﹣．
16．如图，这是二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象，根据图象可知，函数值小于0时x的取值范围为 ﹣1＜x＜3 ．
【分析】根据函数图象和二次函数的性质可以直接写出函数值小于0时x的取值范围．
【解答】解：由图象可知，
抛物线与x轴的两个交点时（﹣1，0），（3，0），抛物线开口向上，
∴函数值小于0时x的取值范围为﹣1＜x＜3，
故答案为：﹣1＜x＜3．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
17．①④
18．
三.解答题
21. 【答案】 y=x2+3x+2 (-3/2,- 1/4)
22. 【答案】
21.【答案】解：∵P（m，n）是抛物线y=x2+1上一动点，∴m2+1=n，∴m2=4n-4，∵点A（0，2），∴AP===n，∴点P到点A的距离等于点P的纵坐标，过点D作DE⊥x轴于E，过点P作PF⊥x轴于F，∵AP=2AD，∴PF=2DE，∴OF=2OE，设OE=a，则OF=2a，∴×（2a）2+1=2（a2+1），解得a=，∴a2+1=×2+1=，∴点D的坐标为（，），设OP的解析式为y=kx，则k=，解得k=，∴直线OP的解析式为y=x．
【解析】根据点P在抛物线上用n表示出m2，再利用勾股定理列式求出AP，从而得到点P到点A的距离等于点P的纵坐标，过点D作DE⊥x轴于E，过点P作PF⊥x轴于F，根据AP=2AD判断出PF=2DE，得到OF=2OE，设OE=a，表示出OF=2a，然后代入抛物线解析式并列出方程求出a的值，再求出点D的坐标，最后利用待定系数法求一次函数解析式解答．
22. 解：(1)∵函数的图象过A(1，0)，B(0，3)，
∴
解得
故抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.
(2)抛物线的对称轴为直线x＝－1，且当x＝0时，y＝3，∴当x＝－2时，y＝3，故当y＜3时，x的取值范围是x＜－2或x＞0.
23.【参考答案】(1)∵直线y=x+m经过点A(0,3),
∴m=3,
∴直线为y=x+3.
∵二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点A(0,3),且对称轴为直线x=1.
∴解得
∴二次函数的解析式为y=-x2+2x+3. (4分)
(2)令解得或
∴B(1,4),
∴S△OAB=×3×1=. (7分)
(3)由图象可知,当x<0或x>1时,该一次函数的值大于二次函数的值. (9分)
24.【参考答案】(1)对于y=-x2+2x+3,令x=0,则y=3,
令-x2+2x+3=0,解得x=-1或3,
故点A,B,D的坐标分别为(-1,0),(3,0),(0,3),抛物线的对称轴为直线x=1. (2分)
∵C,D两点关于抛物线的对称轴对称,D(0,3).
∴C(2,3).
将点A,C的坐标分别代入y=kx+b,得解得
故直线AC的解析式为y=x+1. (4分)
(2)如图,过点P作y轴的平行线交AC于点H,连接PA,PC. (5分)
设P(t,-t2+2t+3),则H(t,t+1),
△PAC的面积=S△PHA+S△PHC=PH·(xC-xA)=(-t2+2t+3-t-1)×3=-t2+t+3.
∵-<0,
∴当t=-=时,△PAC的面积取得最大值,
此时点P的纵坐标为-()2+2×+3=,
故点P的坐标为(,). (8分)
(3)点M的坐标为(-2,-5)或(4,-5).
(11分)
