高一数学月考试题 2023.10.4
一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.每小题只有一个选项符
合题意)
U 1,0,1,2,3 A 0,1,2 B 1,0,1 A1. U B 已知全集 ，集合 ， ，则
A. 1 B. 0,1
C. 1,2,3 D. 1,0,1,3
2. 命题：“对任意的 x R ， x3 x2 1 0”的否定是（ ）
A. 不存在 x R ， x3 x2 1 0 B. 存在 x R ， x3 x2 1 0
C. 存在 x R ， x3 x2 1 0 D. 对任意的 x R ， x3 x2 1 0
3. 已知集合 A 1,a2 4a,a 2 ， 3 A，则 a （ ）
A. 1 B. 3 C. 3或 1 D. 3
4. x2 y2是 x y的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
1 2
5．设m,n 0, ，且m 2n 1，则 的最小值为（ ）
m n
A．10 B．9 C．8 D．7
6. “ x 2,1 ， x2 2a 0 ”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. a 0 B. a 1 C. a 2 D. a 3
7．集合 A x 1 x 2 ，集合 B x x a ， A B ，则实数 a的取值范围是（ ）
A． a a 2 B． a a 1 C． a a 1 D． a 1 a 2
8. 已知关于 x的方程 x2 (2k 1)x k 2 1 0有两个实数根 x1, x2 .若 x1, x2 满足
x21 x
2
2 16 x1x2，则实数 k的取值为（ ）
5
A. 2或 6 B. 6 C. 2 D.
4
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项
{#{QQABZQAEogiAQAAAAQgCAwFACgAQkAGCCIoOABAEsAAAQQFABAA=}#}
中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得
0分.
9．下列命题中，是真命题的有（ ）
A．命题“ x 1”是“ x2 3x 2 0 ”的充分不必要条件
B．命题 p : x R, x2 x 1 0，则 p : x R, x2 x 1 0
C．命题“ x 1”是“ x2 1 0 ”的充分不必要条件
D．“ x 2 ”是“ x2 3x 2 0 ”的充分不必要条件
10．已知关于 x的不等式 ax2 bx c 0的解集为 x | x 2或 x 3 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．a 0 B．不等式bx c 0的解集是 x x 6
1
C． a b c 0 1D ．不等式 cx2 bx a 0的解集是 x | x 或 x 3 2
11．下列函数的最小值为 4的有（ ）
y x2 4 9
1 1
A． 2 B．y x 2 C．y x D．y x 1 x 1 x x x x 1
12．设所有被 4除余数为 k(k 0，1， 2，3)的整数组成的集合为 Ak ，即
Ak x x 4n k ,n Z ，则下列结论中正确的是（ ）
A． 2022 A2 B．若 a b A3，则 a A1，b A2
C． 1 A3 D．若 a Ak ，b Ak，则 a b A0
三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请把正确答案填在题中横线
上)
13．满足{1,2} M {1,2,3,4,5}的集合 M有 个．
14．若集合 A x | 3x2 14x 16 0 ， B x | 3x 7 0 ，则 A B ．
x
15．已知 A,B U ，则“ A B A ”是“ UB U A ”的 条件（从“充分不必要”、“必要
不充分”、“充要”、“不充分不必要”中选择一个作答）．
2
16 a 0 b 0 a 2b 1 b a 1．已知 ， ， ，则 的最小值为 .
2ab
四．解答题：本小题共 6小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.
17．（10分）已知集合 A x 1 x 3 ， B x x m 1或 x m 1 .
（1）当m 0时，求 A B；
{#{QQABZQAEogiAQAAAAQgCAwFACgAQkAGCCIoOABAEsAAAQQFABAA=}#}
（2）若 x A是 x B的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
18．（12分）已知集合 A {x x 0或 x 2},B x a x 3 2a .
（1）若 A B R ，求实数 a的取值范围；
（2）若 B RA，求实数 a的取值范围.
19．（12分）已知命题 p : x R,x2 2mx 3m 0成立；命题 q : x R,x2 4mx 1 0成立．
（1）若命题 p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题 p真q假，求实数m的取值范围．
20. （12分）设实数 x, y满足 2x y 1.
（1）若 x 0, y 0
1 2
，求证： 8；
x y
（2）若 2 x 2y 1 3 0，求 x的取值范围.
{#{QQABZQAEogiAQAAAAQgCAwFACgAQkAGCCIoOABAEsAAAQQFABAA=}#}
21. （12分）已知关于 x的不等式 ax2 (a 2)x 2 0 .
（1）若 a<0，求不等式的解集；
（2）若a 0，不等式的解集中恰有 3个整数，求实数 a的取值范围.
22. （12 2分）已知关于 x的方程 1 m x m 2 x 4 0，m R
（1）若方程有两个正根，求：m的取值范围；
（2）若方程有两个正根，且一个比 2大，一个比 2小，求 m的取值范围.
{#{QQABZQAEogiAQAAAAQgCAwFACgAQkAGCCIoOABAEsAAAQQFABAA=}#}高一数学月考试题参考答案 2023.10.4
1-4 ACBD 5-8 BDCC 9.ABD 10.ACD 11.AD 12.ACD
13.7 14. 7 8 15.充要 16. 10 3
x x
3 3
17.【答案】（1） x 1 x 3 ；（2） 4, 2
【解析】（1）m 0时， B x x 1或 x 1 ，
故 A B x 1 x 3 x x 1或 x 1 = x 1 x 3
（2） x A是 x B的充分不必要条件，故A是 B的真子集，
因为m 1 m 1，故要满足A是 B的真子集，
则m 1 3或m 1 1，解得：m 4或m 2
故实数m的取值范围是 4, 2 .
1
18.【答案】（1） , 0 ；（2） a
2
【解析】（1）因为 A {x x 0或 x 2},B x a x 3 2a , A B R,
3 2a a
所以 a 0 ，解得 a 0，所以实数 a的取值范围是 , 0 .
3 2a 2
（2） A {x x 0或 x 2}, RA x 0 x 2 ，
由 B RA得当 B 时，3 2a a，解得 a 1；
当 B 时，3 2a a，即 a 1，
a 0 1
要使 B A，则 ，得 ≤a≤1.
3 2a 2 2
1
综上， a .
2
1
19.【答案】（1） 3,0 ；（2） ,0
2
【解析】（1）因为命题 p : x R,x2 2mx 3m 0为真命题.
2
所以 x2 2mx 3m 0在R 上恒成立，则判别式Δ 2m 4 3m 0，
m2即 3m 0 m m 3 0解得 3 m 0 .所以实数m的取值范围为 3,0 .
（2）由（1）知命题 p为真命题时，m的取值范围为 3,0 .
当命题 q : x R,x2 4mx 1 0为真命题时，不等式 x2 4mx 1 0有解.
{#{QQABZQAEogiAQAAAAQgCAwFACgAQkAGCCIoOABAEsAAAQQFABAA=}#}
Δ 4m 2则判别式 4 1 0即4m2 1 0 2m 1 2m+1 0 1解得m 或m 12 .2
1 1 1
则命题q为假命题时， m 即m ,
1
.2 2 2 2
1 1 1
故命题 p真q假时，m满足 3,0 , , 0 .
2 2 2
1
所以实数m的取值范围为 ,0 . 2
20.【答案】（1）证明见解析 （2）(-1,2)
1 2 1 2
【解析】（1）根据 2x y 结合基本不等式即可得证；x y x y
（2）由 2x y 1，得 y 1 2x，再分类讨论去绝对值符号，即可得解.
（1）因为 x 0, y 0,2x y 1，
1 2 1 2 y 4 x y 4 x
所以 2x y 4 4 2 8 ，x y x y x y x y
y 4x 1 1 2
（当且仅当 ，即 2x y 时取等号，）所以 8；
x y 2 x y
（2）由2x y 1，得 y 1 2x，
所以不等式 2 x 2y 1 3 0，即 2 x 1 4x 3 0，
x 1 x 0
0
1
x
则有 4 或 4
2x 4x 1 3 0 2x 1 4x
或 ，
3 0
2x 1 4x 3 0
1
解得 x 2或 1 x 0或0 1 x ，所以 x的取值范围为(-1,2).4 4
, 2 1, 1 2 21.【答案】（1） （2）a , 2 3
【解析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可；（2）先根据一元二次不等式的解法解含
参不等式，再结合不等式的解集中恰有 3个整数，即可得解.
2 2
（1）当 a<0时，令 ax2 (a 2)x 2 0，解得 x1 1, x2 ，此时1 ，a a
{#{QQABZQAEogiAQAAAAQgCAwFACgAQkAGCCIoOABAEsAAAQQFABAA=}#}
2 (x 1) x 2则由 ax (a 2)x 2 0，得 0
2
，故不等式解集为 , 1, ； a a
2
（2）当a 0时，令 ax2 (a 2)x 2 0，解得 x1 1, x2 ，a
2
若1 2 ，即0 a 2时，不等式解集为 1, ，此时要使解集中恰有 3个整数，这 3个整a a
0 a 2
1 a 2数只能是 1，2，3，所以 2 ，解得 ；
3 4 2 3 a
若1 2 ，即 a 2时，不等式解集为 1 ，此时不符合题意；
a
1 2
2
若 ，即 a 2时，不等式解集为
a
,1 ，
a
0 2
2
而 1 ，此时不等式解集 ,1 只有一个整数解1，故不符合题意，a a
1 2
综上所述，实数 a的取值范围为 ,
2 3
.
22.【答案】（1） 1,2 [10, )；（2） 1,2
（1）方法一，一元二次方程有两个正根，两根之积、之和均取正值，用韦达定理表示，再
加判别式大于等于 0即可；方法二，构造函数，转化为二次函数的根的分布问题，要结合二
次函数图象来解。由 f (0) 4 0结合二次函数图象且方程有两个正根，可知函数图象开
1 m 0
m 2
口向下，故只需满足 0 ，解不等式组即可；（2）构造函数
2(1 m)
(m 2)
2 4(1 m) ( 4) 0
f (x) 1 m x2 m 2 x 4，由 f (0) 4 0结合二次函数图象且方程有两个正根，
可知函数图象开口向下，由方程有两个正根，且一个比 2 大，一个比 2 小，可得
1 m 0
，解不等式组即可。
f (2) 4(1 m) 2(m 2) 4 0
{#{QQABZQAEogiAQAAAAQgCAwFACgAQkAGCCIoOABAEsAAAQQFABAA=}#}
=(m 2)2 4(1 m) ( 4) 0
m 2
【详解】方法一，因为方程有两个正根，所以 0 ，解得
1 m
4
0 1 m
1 m 2或m 10。所以，m的取值范围为 1,2 [10, )。
2
方法二，令 f (x) 1 m x m 2 x 4，因为 f (0) 4 0，方程有两个正根，所
以函数 f (x) 1 m x2 m 2 x 4的图象一定开口向下，所以
1 m 0
m 2
0 ，解得1 m 2或m 10。所以，m的取值范
2(1 m)
(m 2)
2 4(1 m) ( 4) 0
围为 1,2 [10, )。
（2）令 f (x) 1 m x2 m 2 x 4，因为 f (0) 4 0，方程有两个正根，所以
函数 f (x) 1 m x2 m 2 x 4的图象一定开口向下，所以
1 m 0
，解得1 m 2，所以，m的取值范围为 1,2 。
f (2) 4(1 m) 2(m 2) 4 0
【点睛】本题考查二次函数的根的分布问题，解决此类问题，应从四个方面考虑：二次函数
图象开口方向、判别式、对称轴与区间的端点的比较、区间端点函数值的正负。要注意结合
二次函数图象来考虑。
{#{QQABZQAEogiAQAAAAQgCAwFACgAQkAGCCIoOABAEsAAAQQFABAA=}#}
