2023年10月份第1周
数学
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、若与在区间上都是减函数，则实数a的取值范围是( ).
A. B. C. D.
2、如图，在直角梯形OABC中，，，，直线截该梯形所得的位于l左边的图形面积为S，则函数的图象大致为( ).
A. B. C. D.
3、若函数的定义域是，则其值域是( ).
A. B. C. D.
4、若一系列函数的解析式、值域分别相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”.解析式为、值域为的“同族函数”共有( ).
A.7个 B.8个 C.9个 D.10个
5、已知，.设，，，则( )
A. B. C. D.
6、把长为的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )
A. B. C. D.
7、当椭圆的离心率最小时，它的焦距为( )
A.2 B. C.4 D.
8、已知点A，B分别是椭圆的右、上顶点，过椭圆C上一点P向x轴作垂线，垂足恰好为左焦点，且，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
9、设（m，n为正实数），，则A与B的大小关系是( )
A. B. C. D.
10、已知集合，，则( )
A. B. C. D.
11、若，则关于x的不等式的解集是( )
A. B.或
C.或 D.
二、多项选择题
12、等差数列是递增数列，满足，前n项和为，下列选项正确的是( ).
A. B.
C.当时最小 D.时n的最小值为8
13、为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出后用水补满，摚拌均匀.第二次倒出后用水补满，若第二次稀释后桶中纯药液含量不超过容积的，则V的可能取值为( )
A.5 B.20 C.35 D.50
14、在正三棱柱中，，点P满足，其中，，则( )
A.当时，的周长为定值.
B.当时，三棱锥的体积为定值
C.当时，有且仅有一个点P，使得
D.当时，有且仅有一个点P，使得平面
15、若，那么下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
三、填空题
16、已知函数，，若有最小值-2，则的最大值为_________.
17、在正方体中，点M和N分别是正方形ABCD和的中心，若点P满足，其中，且，则点P可以是正方体表面上的点__________.
18、某市教育局人事部门打算将甲 乙 丙 丁 戊这5名应届大学毕业生安排到该市4所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，每名学生只去一所学校，则不同的安排方法种数是__________.
19、如图，在棱长为1的正方体中，直线AC到平面的距离等于____________.
20、已知集合，，，则实数a的取值范围是___________.
21、某班举行数学、物理、化学三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中同时只参加数学、物理两科竞赛的有10人，同时只参加物理、化学两科竞赛的有7人，同时只参加数学、化学两科竞赛的有11人，而参加数学、物理、化学三科竞赛的有4人，则全班共有___________人.
22、已知是公比为的等比数列，若，则___________.
23、如图，在直四棱柱中，底面ABCD是正方形，.记异面直线与BD所成的角为，则的值为________.
24、随着社会的发展，食品安全问题渐渐成为社会关注的热点，为了提高学生的食品安全意识，某学校组织全校学生参加食品安全知识竞赛，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为，若该校的学生总人数为3000，则成绩不超过60分的学生人数大约为_________.
四、解答题
25、销售费用预算是以销售收入预算为基础，通过分析销售收入、销售利润和销售费用的关系，力求实现销售费用的最有效使用.根据往年的相关数据显示，某高新技术企业的年销售费用占年销售收入的为合理区间，当年销售费用超出年销售收入的，说明企业的销售环节出现一定的问题，需要加强销售管理.下表为该企业的年销售费用x(单位：千万元)和年销售收入y(单位：千万元)的相关数据：
2017 2018 2019 2020 2021 2022
x 3 5 6 8 9 11
y 31 50 54 86 85 114
(1)求年销售费用x的方差.
(2)通过数据分析，该企业的年销售用x与年销售收入y之间符合线性相关关系，求出线性回归方程.
(3)若该企业2023年预算年销售费用为12千万元，试预测2023年的年销售收入，并判断2023年的年销售费用预测值是否在合理区间内.(精确到0.01千万元)
参考数据：374.
参考公式：，，，.
26、著名数学家欧拉提出了如下定理：二角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理.现已知的三个顶点坐标分别为，，，圆E的圆心E在的欧拉线上，且满足，直线被圆E截得的弦长为.
(1)求的欧拉线的方程；
(2)求圆E的标准方程.
27、如图，在平面多边形ABFCDE中，四边形ABFE是边长为2的正方形，四边形DCFE为等腰梯形，G为CD的中点，且，.现将梯形DCFE沿EF折叠，使平面平面ABFE.
(1)求证：平面BDF；
(2)求直线BD与平面CBF所成角的大小.
28、已知点列，，…，，…依次为直线上的点，点列，，…，，…依次为x轴上的点，其中.对任意的，点，，构成以为顶点的等腰三角形.
(1)求证：数列是等差数列.
(2)求证：对任意的，是常数，并求数列的通项公式.
(3)在等腰中，是否有直角三角形 若有，求出实数a的值；若没有，说明理由.
29、已知函数，，曲线在点处的切线也是曲线的切线.
（1）若，求a；
（2）求a的取值范围.
30、某观测站C在目标A南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得公路上与C相距31千米的B处有一人正沿此公路向A走去，走20千米到达D，此时测得CD距离为21千米，求此人所在D处距A还有多少千米
参考答案
1、答案：D
解析：对称轴，由反比例型函数图象知，综上，.
2、答案：C
解析：
3、答案：A
解析：当时，；当时，.
4、答案：C
解析：定义域分别为，，，，，，，，，共9个.
5、答案：A
解析：由，
而，，
即；，，，，
，，，，
综上，.
故选：A.
6、答案：D
解析：设两段长分别为，，其中，则这两个正三角形的边长分别为，，故其面积之和.由二次函数的性质可知，当时，取得最小值，最小值为.故选D.
7、答案：C
解析：因为曲线表示椭圆，所以.因为，所以，因此椭圆标准方程中的，.因为离心率，所以离心率最小时，的值最大.因为，当且仅当时取等号，所以此时椭圆的焦距.故选C.
8、答案：C
解析：如图，由题意，得，，，所以，.由得，所以，即.由得，所以.故选C.
9、答案：B
解析：因为m，n为正实数，所以，当且仅当时取等号，又，所以.
10、答案：A
解析：由，可得，即，则.由，可得或，则或，所以，故.
11、答案：D
解析：因为，所以，所以，所以.
12、答案：ABD
解析：A，B：由题意可设等差数列的公差为d，因为，可得，解得，又由等差数列是递增数列，可知，则，故A，B正确.
C：，由可知，当或4时最小，故C错误.
D：令，解得或，即时n的最小值为8，故D正确.
故选ABD.
13、答案：BC
解析：第一次操作后，剩下的纯药液为，第二次操作后，剩下的纯药液为，因为第二次稀释后桶中纯药液含量不超过容积的，所以，即，解得.又，所以V的取值范围为.结合选项知选BC.
14、答案：BD
解析：（，）.对于A，当时，点P在棱上运动，如图1所示，此时的周长为，不是定值，故A错误；
对于B，当时，点P在棱上运动，如图2所示，则，为定值，故B正确；
对于C，取BC的中点D，的中点，连接，，则当时，点P在线段上运动，假设，则，即，解得或，所以点P与点D或重合时，，故C错误；
方法一：由多选题特征，排除A，C，故选BD.
方法二：对于选项D，四边形为正方形，所以，设与交于点K，连接PK，要使平面，需，所以点P只能是棱的中点，故D正确.综上，选BD.
方法三：对于D，分别取，的中点E，F，连接EF，则当时，点P在线段EF上运动，以点为原点，以，的方向分别为y，z轴的正方向，建立如图3所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，.若平面，则，所以，解得，所以只存在一个点P，使得平面，此时点P与F重合，故D正确.综上，选BD.
15、答案：ACD
解析：因为，所以，故A正确；，故B错误；，，所以，因为，所以，所以，故C正确；，故D正确.
16、答案：1
解析：在上是增函数，所以，.
17、答案：(答案不唯一)
解析：由题意知P在点A，M，N三点确定的平面上.连接，，，，则，所以是经过A，M，N三点的正方体的截面，故点P可以是正方体表面上的点(边上的任意一点均可).
18、答案：240
解析：先将5名学生分成4组共有种，
再将4组学生安排到4所不同的学校有种，
根据分步计数原理可知：不同的安排方法共有种.
故答案为：240.
19、答案：
解析：以D为原点，DA，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，所以，，，.设平面的法向量为，则取，则，，所以为平面的一个法向量，所以点A到平面的距离为.又，所以.又平面，所以平面，所以点A到平面的距离等于直线AC到平面的距离，为.
20、答案：或
解析：易得，所以要使，需满足或，解得或.
21、答案：55
解析：设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为A、B、C，
由题意画出Venn图，如图所示：
全班共有(人).
22、答案：25
解析：.
23、答案：
解析：连接，因为在直四棱柱中，底面ABCD是正方形，
所以，
所以是异面直线与BD所成的角(或所成的角的补角)，
设，
所以，
记异面直线与BD所成的角为，
则.
24、答案：900
解析：由频率分布直方图知，成绩不超过60分的学生的频率为，
所以成绩不超过60分的学生人数大约为.
25、答案：(1)
(2)
(3)2023年的年销隺费用预测值在合理区间内
解析：(1)由已知，得，
所以.
(2)因为，
所以.
由题表中的数据，得.
又因为，所以，
所以，
所以该企业的年销售费用x与年销售收入y之间的线性回归方程为.
(3)由(2)可得2023年的年销售收入的预测值(千万元).
所以2023年的年销售费用预测值在合理区间内.
26、答案：(1)
(2)圆E的标准方程为或
解析：(1)由A，B，C的坐标，得的重心，即.
，，
边AB的高线所在直线方程为；
边AC的高线所在直线方程为，即.
由得
则的垂心.
，
则的欧拉线的方程为，即.
(2)设，圆E的半径为r，
，，
，
解得或.
当时，，
圆心E到直线的距离，
，解得.
圆E的方程为.
当时，，
圆心E到直线的距离，
，解得.
圆E的方程为.
综上所述，圆E的标准方程为或.
27、答案：(1)证明见解析
(2)直线BD与平面CBF所成的角为
解析：(1)如图1，连接GF.
易知，，，
则四边形DEFG为菱形，故.
因为平面平面ABFE，
平面平面，，
所以平面DCFE.
又平面DCFE，所以，
又，所以平面BDF.
(2)取EF的中点O，连接GO，易知平面ABFE.
过点O在平面ABFE内作EF的垂线OH，建立如图2所示的空间直角坐标系，
则，，，
所以，，.
设平面CBF的一个法向量为，
则即所以，
取，则.
设直线BD与平面CBF所成的角为，
则，
所以直线BD与平面CBF所成的角为.
28、答案：(1)证明见解析
(2)的通项公式
(3)在等腰中，有直角三角形，且a的值为或或
解析：
(1)依题意有，于是.
所以数列是等差数列.
(2)由题意得，
即①，
所以又有②.
由②-①得，所以是常数.
从而，，…，，…与，，…，，…都是等差数列，.
，，
所以，
.
故
(3)当n为奇数时，，，
所以；
当n为偶数时，，，所以.
作轴，垂足为，则，
要使等腰为直角三角形，必须且只需.
当n为奇数时，有，
即，
所以，当时，；当时，.
当时，，不合题意.
当n为偶数时，有，即.
同理可得，当时，；当时，，不合题意.
综上所述，在等腰中，有直角三角形，且a的值为或或.
29、答案：（1）
（2）
解析：（1）当时，，所以切点坐标为.
由，得，
所以切线斜率，
所以切线方程为，即.
将代入，得.
由切线与曲线相切，得，解得.
（2）由，得，所以切线斜率，
所以切线方程为，即.
将代入，得.
由切线与曲线相切，得，
整理，得.
令，则，
由，得，0，1，
，随x的变化如下表所示：
x 0 1
- 0 + 0 - 0 +
极小值 极大值 极小值
由上表知，当时，取得极小值，
当时，取得极小值，
易知当时，，当时，，
所以函数的值域为，
所以由，得，
故实数a的取值范围为.
30、答案：此人所在D处距A还有15千米
解析：由图知，，
，
所以.
在中，.
由余弦定理，得，
即.
整理，得，解得或(舍).
故(千米).
所以此人所在D处距A还有15千米.
