扬州市名校2023-2024学年高三上学期10月月考
数学试卷
一、单选题
1．（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，则“”是“在区间上单调递增”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（ ）
A． B． C．1s D．
6．已知为锐角，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，函数的图象可以由函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数及其导函数的定义域均为，且满足，，，若，则（ ）
A． B． C．88 D．90
二、多选题
9．下列求解结果正确的是（ ）
A． B．
C．不等式的解集为 D．若，则
10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则是锐角三角形
C．若，，，则符合条件的有两个
D．对任意，都有
11．同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中，是非零常数，无理数），对于函数以下结论正确的是（ ）
A．是函数为偶函数的充分不必要条件； B．是函数为奇函数的充要条件；
C．如果，那么为单调函数； D．如果，那么函数存在极值点.
12．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．有最大值 D．
三、填空题
13．若函数f(x)＝lg（x2﹣mx+1）的值域为R，则实数m的取值范围是 ____ ．
14．定义在上的奇函数，当时，，当时， ____ ．
15．已知，，则的值为 ____ .
16．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则周长的取值范围为 _______ .
四、解答题
17．已知，，且．
(1)求的最大值； (2)求的最小值．
18．已知函数为奇函数.
(1)求的值； (2)若存在实数，使得成立，求的取值范围.
19．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．
问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且________．
(1)求角C； (2)若，求的取值范围．
20．已知函数，（，）
(1)若，，证明：函数在区间上有且仅有个零点；
(2)若对于任意的，恒成立，求的最大值和最小值.
21．铰链又称合页，是用来连接两个固体并允许两者之间做相对转动的机械装置.铰链由可移动的组件构成，或者由可折叠的材料构成，合页主要安装与门窗上，而铰链更多安装与橱柜上，如图所示，就是一个合页的抽象图，可以在上变化，其中，正常把合页安装在家具门上时，的变化范围是，根据合页的安装和使用经验可知，要使得安装的家具门开关并不受影响，在以为边长的正三角形区域内不能有障碍物.
(1)若使，求的长；
(2)当为多少时，面积取得最大值？最大值是多少？
22．已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若都有，求的取值范围．
参考答案：
1．B
【分析】利用诱导公式化简，即可计算得结果.
【详解】.
故选：B
【点睛】本题考查诱导公式的化简求值，属于基础题.
2．B
【分析】先将集合和集合化简，再利用集合的交集运算可得答案.
【详解】，即，
由指数函数的单调性可得，，
，
由，解得，
，
.
故选：B.
3．D
【分析】根据已知条件，结合导数的求导法则，即可求解．
【详解】，
则．
故选：D
4．B
【分析】利用导数求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】当时，，，∴在上单调递增，故充分性成立，
当在单调递增，∴，即，∴，故必要性不成立，
所以“”是“在区间上单调递增”的充分不必要条件.
故选：B
5．C
【分析】先根据周期求出，再解不等式，得到的范围即得解.
【详解】因为，，，所以，又，所以，
则，由可得，
所以，，
所以，，故，
所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为1s.
故选：C.
6．D
【分析】根据为锐角，，得到，再利用二倍角公式得到，，然后再由求解.
【详解】为锐角，，
，
，且．
故，
，
，
故选：D．
7．A
【分析】由函数，根据三角函数的图象变换得到，令，结合函数零点存在的条件建立不等式求解即可.
【详解】函数，向右平移个单位长度，得，
再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到，
令，
得，
所以，
若函数在上没有零点，
则需，
所以，
所以，
若函数在上有零点，
则，
当k=0时，得，解得，
当k=1时，得，解得，
综上：函数在上有零点时，或，
所以函数在上没有零点，.
所以的取值范围是.
故选：A
【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换及函数零点问题，还考查了转化求解问题的能力，属于难题.
8．B
【分析】根据复合函数导数运算求得正确答案.
【详解】由得，
①，则关于直线对称.
另外②，则关于点对称.
所以
，
所以，所以是周期为的周期函数.
，，
则，
由②，令，得.
所以，
由②，令，得；
所以，
由①，令，得；令，得.
由②，令，得；
令，得，
则，；
，
，以此类推，
是周期为的周期函数.
所以.
故选：B
【点睛】函数的对称性有多种呈现方式，如，则关于直线对称；如，则关于直线对称；如，
则关于点对称；如，则关于点对称.
9．AD
【分析】对于A选项：把根式化为分数指数幂，利用幂的运算法则求值可判断A选项；对于B选项：利用对数的运算法则化简求值可判断B选项；对于C选项：根据根式的定义域和值域，求不等式的解集可判断C选项；对于D选项：分子和分母同时乘,再利用同角三角函数关系化简可判断D选项.
【详解】对于A选项：
，所以A选项正确；
对于B选项：
，所以B选项错误；
对于C选项：因为且，当时取等号，
则，即或，解得：或，
所以不等式的解集为，所以C选项错误；
对于D选项：若，则且，
即，
所以，所以D选项正确.
故选：AD.
10．ABD
【分析】由正弦定理边角转化可判断A；根据两角和的正切公式结合三角形内角和定理可判断B；由正弦定理及三角形性质可判断C；由三角形内角性质及余弦函数单调性可判断D.
【详解】对于A选项，由，根据正弦定理得，（为外接圆半径），即，则，
故A正确；
对于B，，
所以，
所以，
所以三个数有个或个为负数，又因最多一个钝角，
所以，即都是锐角，
所以一定为锐角三角形，故B正确；
对于C，由正弦定理得，则，
又，则，知满足条件的三角形只有一个，故C错误；
对于D，因为，所以，又函数在上单调递减，
所以，所以，故D正确；
故选：ABD
11．BCD
【分析】根据奇偶函数的定义、充分条件和必要条件的定义即可判断AB；利用导数，分类讨论函数的单调性，结合极值点的概念即可判断CD.
【详解】对于A，当时，函数定义域为R关于原点对称，
，故函数为偶函数；
当函数为偶函数时，，故，
即，又，故，
所以是函数为偶函数的充要条件，故A错误；
对于B，当时，函数定义域为R关于原点对称，
，故函数为奇函数，
当函数为奇函数时，，
因为，，故.
所以是函数为奇函数的充要条件，故B正确；
对于C，，因为，
若，则恒成立，则为单调递增函数，
若则恒成立，则为单调递减函数，
故，函数为单调函数，故C正确；
对于D，，
令得，又，
若，
当，，函数为单调递减.
当，，函数为单调递增.函数存在唯一的极小值.
若，
当，，函数为单调递增.
当，，函数为单调递减.故函数存在唯一的极大值.
所以函数存在极值点，故D正确.
故答案为：BCD.
12．BCD
【分析】由条件及正弦定理得，，再由正、余弦定理，三角形的面积公式，三角函数的最值等知识逐一判断选项即可．
【详解】由及正弦定理得：，
对于A选项：，故A错误；
对于B选项：，故B正确；
对于C选项：
，其中，
有最大值，故C正确；
对于D选项：因为，,当且仅当时取等号.
所以，
两边平方得：，又，
化简得：，且，,
解得，
所以，即成立，故D正确.
故选：BCD．
13．.
【详解】，解得.
14．
【分析】先根据奇函数性质求a，然后设，利用奇函数定义和已知条件求解可得.
【详解】因为函数为奇函数，所以，解得.
设，则，所以，
又为奇函数，所以，
即当时，.
故答案为：
15．或
【分析】对已知等式左右同时取对数，结合对数运算法则化简可得，由此可求得结果.
【详解】由得：，
由得：，
，
，
或，或.
故答案为：或.
16．
【分析】由正弦定理及已知可得，结合锐角三角形得、，再由正弦边角关系、三角恒等变换得，即可求范围.
【详解】由，则，故，
所以，又为锐角三角形，则，且，则，
而，则，，
所以，
又，且，
所以，则.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用正弦定理以及三角恒等变换得，再求出角的范围，利用正切函数的值域即可得到答案.
17．(1)
(2)8
【分析】（1）由基本不等式得到，从而求出；
（2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】（1）因为，，
由基本不等式得，即，解得，
当且仅当时，等号成立，故的最大值为；
（2）因为，，，
故，
当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为8.
18．(1)1
(2)
【分析】（1）根据奇函数的性质求解即可.
（2）首先利用根据题意得到，利用单调性定义得到是上的减函数，再利用单调性求解即可.
【详解】（1）因为定义域为，
又因为为奇函数，所以，即，得
当时，， 所以，所以
（2）可化为，
因为是奇函数，所以
又由（1）知，
设，且，则，
因为，所以，，，
所以，即故是上的减函数，
所以（*）可化为.因为存在实数，使得成立，
所以，解得.所以的取值范围为
19．(1)
(2)
【分析】（1）选①利用三角形内角和定理与两角和的正弦公式求出，选②利用正弦定理和余弦定理求出，选③利用面积公式和余弦定理求出．
（2）利用正弦定理得，再利用两角差的正弦公式以及角的范围计算求得结果．
【详解】（1）若选①：，
则，
∴
∴
∵，，
∴，∵，∴.
若选②：，
由正弦定理得，
∴，
∴，
∵，∴．
若选③：，
则，
由正弦定理得，
∴∴，
∴，
∵，∴．
（2）由正弦定理得，
，
则，
，
∵，，，
∴.
20．(1)证明见解析
(2)最小值为，最大值为
【分析】（1）代入的值，化简，即可求得，根据单调性即可求解；
（2）令，问题转化为时，，要求的最值，则需要和的系数相等进行求解.
【详解】（1）证明：当，时，
，
则，
，，且是一个不间断的函数，
在上存在零点，
，，∴在上单调递增，
在上有且仅有1个零点.
（2）由（1）知，令，则，
∴，
∵对于任意的，恒成立，∴恒成立.
令，则时，恒成立.
即，
令，解得或.
当时，解得，
取，成立，则恒成立，，
当时，解得，
取，成立，则恒成立.
，
综上，的最小值为，的最大值为.
【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题，从以下几个角度分析：
（1）赋值法和换元法的应用；
（2）三角函数图像和性质的应用；
（3）转化化归思想的应用.
21．(1)
(2)，cm3
【分析】（1）根据题意利用三角比可得，在中，由余弦定理知即可得解；
（2）设，，，利用正余弦定理换算可得，，代入整理可得，利用的范围即可得解.
【详解】（1）如图所示，
因为，，易知，，，
在中，由余弦定理易知，
且，
，
在中，由余弦定理可得：
所以，
解得；
（2）设，，，
在中，由余弦定理易知，，
即，①，
，即②，
由正弦定理易知③，
将①②③代入下列式子中：
，
则当时，取最大值，最大值为.
【点睛】思路点睛：第二问中由余弦定理得，，由正弦定理得，三式代入面积公式，考查了学生的思维能力及运算能力.
22．(1)函数是R上的增函数；
(2).
【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再判断导数值正负作答.
（2）求出函数的导数，再分析导函数值的情况，分类探讨即可作答.
【详解】（1）当时，函数的定义域为R，
，
所以函数是R上的增函数.
（2）函数，，
求导得，
当时，，即函数在上单调递增，，，因此；
当时，令，求导得，
函数在上单调递减，，
则存在，使得，当时，，在上单调递增，
当时，，即，
因此当时，，即，不符合题意；
当时，，不符合题意，
综上得，
所以的取值范围是.
【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以借助分段讨论函数的导函数，结合函数零点探讨函数值正负，以确定单调性推理作答.
