北师大版九年级上册数学第一次月考试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。
1．正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直
2．平行四边形ABCD是正方形需增加的条件是（ ）
A．邻边相等 B．邻角相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相垂直且相等
3．依次连接菱形的各边中点，得到的四边形是（ ）
A．矩形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形
4．在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，能够找到一个点，使该点到各顶点距离相等的图形是（ ）
A．平行四边形和菱形 B．菱形和矩形 C．矩形和正方形 D．菱形和正方形
5．菱形的边长是2cm，一条对角线的长是2cm，则另一条对角线的长是（ ）
A．4 cm B．cm C．2 cm D．2cm
6．矩形的对角线长10cm，顺次连结矩形四边中点所得四边形的周长为（ ）
A．40cm B．10cm C．5cm D．20cm
7．如图，正方形的对角线是菱形的一边，则等于（ ）
A．135° B．45° C．22.5° D．30°
8．方程的根为（ ）
A． B． C． D．
9．一元二次方程x2﹣x+2=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
10．已知、是方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．若方程有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．无法确定
二、填空题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
13．如果x1，x2是方程2x2﹣3x﹣6=0的两个根，那么x1+x2=________；x1 x2=______
14．如图，矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边上E处，如果∠BAE=50°，则∠DAF=_______.
15．如图所示，把两个大小完全一样的矩形拼成“L”形图案，则∠FAC＝_____度，∠FCA＝_____度．
16．若菱形的对角线长分别是6cm、8cm，则其周长是________ ，面积是____________
17．若关于x 的一元二次方程mx2+4x+3=0有实数根，则m的取值范围是________
18．已知x=－1是关于x的方程的一个根，则a=_____．
19．把方程x2－4x =-5整理成一般形式后，得其中常数项是_______．
20．方程是一元二次方程，则m=_____．
21．若式子4x2-nx+1是一个完全平方式，则n的值为____________.
22．已知x2＋4x－2=0，那么3x2＋12x＋2002的值为 _________．
三、解答题：本大题共6小题，共54分。
23．用适当的方法解方程：
24．已知菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF；求证：⑴△ABE≌△ADF；⑵∠AEF=∠AFE
25．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，
求证：四边形OCED是菱形．
26．已知：如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．
求证：四边形CEDF是正方形．
27．阅读第（1）题的解题过程，再解答第（2）题：
（1）例：解方程x2﹣|x|﹣2＝0．
解：当x≥0时，原方程可化为x2﹣x﹣2＝0．
解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意．舍去）
当x＜0时，原方程可化为x2+x﹣2＝0．
解得：x1＝﹣2，x2＝1（不合题意．舍去）
∴原方程的解是x1＝2，x1＝﹣2．
（2）请参照上例例题的解法，解方程x2﹣x|x﹣1|﹣1＝0．
28．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．
参考答案
1．B
【解析】
根据正方形和菱形的性质逐项分析可得解.
【详解】
根据正方形对角线的性质：平分、相等、垂直；菱形对角线的性质：平分、垂直，
故选B．
【点睛】
考点：1.菱形的性质；2.正方形的性质．
2．D
【解析】
如图所示：
添加的条件是AC=BD且AC⊥BD，平行四边形ABCD为正方形；
理由如下：
添加的条件时AC=BD且AC⊥BD时；
∵四边形ABCD是平行四边形．又AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD是正方形；
故选D．
3．A
【解析】
【分析】
如图，连接EF、FG、GH、HE，根据菱形的性质得到AC⊥BD，根据三角形中位线定理得到EF⊥FG，FG⊥HG，GH⊥EH，HE⊥EF，根据矩形的判定定理解答即可．
【详解】
解：如图，连接EF、FG、GH、HE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵E，F，G，H是中点，
∴EF∥BD，FG∥AC，
∴EF⊥FG，
同理：FG⊥HG，GH⊥EH，HE⊥EF，
∴四边形EFGH是矩形．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是菱形的性质、矩形的判定定理以及三角形的中位线定理，掌握三个角是直角的四边形是矩形是解题的关键．
4．C
【详解】
由平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质易得，矩形对角线相等，所以选C.
5．C
【解析】
如图所示,已知AB=2cm,因为菱形对角线互相平分,所以BO=OD=cm,
在Rt△ABO中,,AB=2cm,BO=cm,所以AO=1cm,
故菱形的另一条对角线AC长为2AO=2cm,故选C.
点睛:本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质,勾股定理在直角三角形中的运用,本题根据勾股定理求AO的长是解题的关键.
6．D
【解析】
因为矩形的对角线相等，所以AC=BD=10cm，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD、的中点，
∴EH=GF=BD=×10=5cm，EF=GH=AC=×10=5cm，
故顺次连接矩形四边中点所得的四边形周长为EH+GF+EF+GH=5+5+5+5=20cm，
故选D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，解题的关键是要熟知矩形的对角线相等，三角形的中位线等于底边的一半．
7．C
【分析】
根据正方形、菱形的性质解答即可.
【详解】
∵AC是正方形的对角线，
∴∠BAC=×90°=45°，
∵AF是菱形AEFC的对角线，
∴∠FAB=∠BAC=×45°=22.5°．
故选C.
【点睛】
本题考查了正方形、菱形的性质，熟知正方形、菱形的一条对角线平分一组对角的性质是解决问题的关键.
8．C
【分析】
因式分解法解方程．
【详解】
解：，
，
故选C．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法是关键．
9．C
【分析】
判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了．
【详解】
解：∵△=b2-4ac=1-8=-7＜0，
∴方程无实数根．
故选C．
【点睛】
本题考查的知识点是一元二次方程根的判别式的应用，解题关键是熟记一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0方程没有实数根．
10．D
【分析】
先把方程化为一般式，再根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1x2=-1，然后把通分得到，再利用整体代入的方法计算．
【详解】
方程化为一般式x2 2x 1=0，
根据题意得x1+x2=2，x1x2= 1，
所以=== 2，
故选D.
【点睛】
此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握这个关系对所求代数式进行变形是解此题的关键.
11．C
【分析】
根据用配方法解一元二次方程的方法解答即可．
【详解】
解：移项，得，
方程两边同时加上4，得，即．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题目，掌握配方的方法是解题的关键．
12．B
【分析】
利用直接开平方法解方程，然后根据二次根式被开方数的非负性列出关于a的不等式，然后可求得a的取值范围．
【详解】
解：∵方程有实数解，
∴x 4＝±，
∴a≥0；
故选：B．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程 直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x＋a）2＝b（b≥0）；a（x＋b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．解答该题时，还利用了二次根式有意义的条件这一知识点．
13．
【分析】
直接根据根与系数的关系求解．
【详解】
解：根据题意得x1＋x2＝；x1 x2＝，
故答案为：，．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝，x1·x2＝．
14．20°
【分析】
首先根据矩形的性质求得∠EAD的度数，然后由翻折的性质得到∠EAF＝∠DAF即可得解．
【详解】
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠BAE＝50°，
∴∠EAD＝40°，
由翻折的性质可知：∠EAF＝∠DAF．
∴∠DAF＝20°，
故答案为：20°．
【点睛】
本题主要考查的是翻折变换、矩形的性质，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．
15．90° 45°
【详解】
解：由已知△AFG≌△CAB，
∴∠AFG=∠CAB，AF=AC
∵∠AFG+∠FAG=90°，
∴∠CAB+∠FAG=90°，
∴∠FAC=90°．
又∵AF=AC，
∴∠FCA=（180°-90°）×=45°．
故答案为90；45．
16．20cm 24cm2
【解析】
根据菱形的对角线互相垂直平分，求出对角线的一半，然后利用勾股定理求出菱形的边长，最后根据周长公式计算即可求解；
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可求解．
解：∵菱形的两条对角线的长分别是6cm和8cm，
∴两条对角线的长的一半分别是3cm和4cm，
∴菱形的边长为==5cm，
∴菱形的周长=5×4=20cm；
面积=×8×6=24cm2．
故答案为20，24．
17．且m≠0
【分析】
根据一元二次方程的定义和根的判别式，建立关于m的不等式组，求解即可．
【详解】
解：∵关于x 的一元二次方程mx2+4x+3=0有实数根，
∴m≠0，△＝16 12m≥0，
解得：且m≠0，
故答案为：且m≠0.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式．熟知一元二次方程的根和判别式之间的关系是解题关键.
18．﹣2或1
【详解】
试题分析：方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，把x=﹣1代入方程，即可得到一个关于a的方程：
，解得a=﹣2或1．
19．5
【分析】
移项可得一元二次方程的一般形式，然后根据常数项的定义直接得出答案.
【详解】
解：方程x2 4x＝ 5整理成一般形式为：x2 4x＋5＝0，其中常数项是5，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
20．-2
【详解】
试题分析：根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，未知数的次数为2，可得，可求得m=-2.
故答案为-2
点睛：本题考查了一元二次方程的定义，属于基础题，注意掌握一元二次方程的定义是解答本题的关键．
21．±4
【分析】
利用完全平方公式的结构特征即可确定出n的值．
【详解】
解：∵4x2-nx+1＝(2x)2-nx+12是完全平方式，
∴n＝±4，
故答案为：±4.
【点睛】
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键．
22．2008
【分析】
先求出x2＋4x＝2，然后把代数式3x2＋12x＋2002变形为含x2＋4x的形式，再整体代入求值即可．
【详解】
解：∵x2＋4x 2＝0，
∴x2＋4x＝2，
∴原式＝3（x2＋4x）＋2002＝6＋2002＝2008．
故答案为：2008．
【点睛】
本题考查了代数式求值，代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式x2＋4x的值，然后把x2＋4x看作一个整体，整体代入计算．
23．，；（2），；，；，．
【分析】
用因式分解法解方程即可.
用公式法解方程即可.
用因式分解法解方程即可.
用因式分解法解方程即可.
【详解】
,
，
∴，
∴或，
解得，，；
,
∵，，，
∴，
∴，
∴，；
,
,
∴或，
解得，，；
,
,
,
,
∴，，
解得，，．
【点睛】
考查一元二次方程的解法，根据题目选取合适的方法是解题的关键.
24．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由四边形ABCD是菱形，即可求得AB＝AD，∠B＝∠D，又由BE＝DF，根据SAS即可证得△ABE≌△ADF；
（2）由全等得AE＝AF，利用等边对等角得出结论．
【详解】
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，
在△ABE和△ADF中，，
∴△ABE≌△ADF（SAS）；
（2）∵△ABE≌△ADF，
∴AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE．
【点睛】
此题考查了菱形的性质与全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，注意菱形的四条边都相等，对角相等．
25．见解析
【分析】
首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质可得OC=OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论．
【详解】
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OD=AC=BD
∴四边形OCED是菱形．
26．证明见解析
【详解】
试题分析：证明有三个角是直角是矩形，再证明一组邻边相等.
试题解析：
∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠DFC＝90°，∠DEC＝90°
又∵∠ACB＝90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴矩形DECF是正方形.
点睛：证明正方形
(1)对角线相等的菱形是正方形.
(2)对角线互相垂直的矩形是正方形,正方形是一种特殊的矩形.
(3)四边相等,有三个角是直角的四边形是正方形.
(4)一组邻边相等的矩形是正方形.
(5)一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
(6)四边均相等,对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形.
27．x1＝﹣0.5，x2＝1
【分析】
解方程x2﹣|x﹣1|﹣1＝0．方程中|x﹣1|的值有两个，所以就要分情况讨论，然后去掉绝对值．一种是当x﹣1≥0时，求解；另一种情况是当x﹣1＜0时，求解．
【详解】
解：当x﹣1≥0，即x≥1时，
原方程可化为x2﹣x（x﹣1）﹣1＝0
即x﹣1＝0，
解得x＝1
当x﹣1＜0，即x＜1时，
原方程可化为x2﹣x（1﹣x）﹣1＝0
即2x2﹣x﹣1＝0，
解得x1＝﹣0.5，x2＝1（不合题意．舍去）
∴原方程的解为x1＝﹣0.5，x2＝1
【点睛】
本题考查了解一元二次方程的应用，易出错的地方是要分情况而解，所以学生容易出现漏解的现象．
28．m＝5，x1=x2=2．
【分析】
首先根据原方程根的情况，利用根的判别式求出m的值，即可确定原一元二次方程，进而可求出方程的根．
【详解】
由题意可知△＝0，即（﹣4）2﹣4（m﹣1）＝0，解得：m＝5．
当m＝5时，原方程化为x2﹣4x+4＝0．解得：x1＝x2＝2．
所以原方程的根为x1＝x2＝2．
【点睛】
总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0 方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0 方程没有实数根．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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