2.1等式性质与不等式性质同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设，，则M，N的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．大小关系不确定
2．如果，那么下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
5．若，，，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列说法中正确的是（ ）
A．如果，则 B．如果，则
C．如果，则 D．如果，，则
7．已知，，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
8．对于任意实数，以下四个命题中的真命题是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，则
二、多选题
9．已知a，b，c，d，e，f均为实数，下列命题正确的是（ ）
A．若正数a，b满足，则
B．“”是“”的充分不必要条件
C．若，，，则
D．已知，则存在负数c使成立
10．已知非零实数，满足，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知实数，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
12．某工艺厂用A、B两种型号不锈钢薄板制作矩形、菱形、圆3种图形模板，每个图形模板需要A、B不锈钢薄板及该厂2种薄板张数见下表
矩形 菱形 圆 总数
A 5 3 10 55
B 12 6 13 125
该厂签购制作矩形、菱形、圆3种模板分别为x，y，z（）块.上述问题中不等关系表示正确为（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知为实数，则 (填 “”、“”、“”或“”).
14．若实数x、y满足，，则的取值范围是 ．
15．已知、为不相等的实数，记，，则与的大小关系为 ．
16．为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为的新型生鲜销售市场．市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间．每间蔬菜水果类店面的建造面积为，月租费为万元；每间肉食水产店面的建造面积为，月租费为0.8万元．全部店面的建造面积不低于总面积的80%，又不能超过总面积的85%．①两类店面间数的建造方案为 种．②市场建成后所有店面全部租出，为保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%，则的最大值为 万元．
四、解答题
17．比较下列式子大小
(1)与
(2)与
(3)若，与
18．（1）求关于x的方程的实数根中有且只有一个负实数根的充要条件；
（2）已知a，b，c为正数，且满足．证明：．
19．完成下列题目：
(1)已知，求证：；
(2)已知都是正实数，，用作差法求证：．
20．有A、B两种型号台灯，若购买2台A型台灯和6台B型台灯共需610元，若购买6台A型台灯和2台B型台灯共需470元．
（1）求A、B两种型号台灯每台分别多少元？
（2）采购员小红想采购A、B两种型号台灯共30台，且总费用不超过2200元，则最多能采购B型台灯多少台？
21．甲、乙两位消费者同时两次购买同一种物品，分别采用两种不同的策略，甲的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；乙的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.
（1）若两次购买这种物品的价格分别为元，元，求甲两次购买这种物品平均价格和乙两次购买这种物品平均价格分别为多少；
（2）设两次购买这种物品的价格分别为元，元，问甲、乙谁的购物比较经济合算.
22．在“产业兴市，工业强市”的政策指引下，枣庄经济蓬勃发展，经济开发区张范乡光明路附近新开业一个加油站，为了吸引顾客，举行优惠大酬宾活动，推出两个方案，方案一，现金加油，每升汽油优惠1.5元；方案二，充值1280元免费送一箱油．由于该加油站价格便宜，张先生决定长期在该加油站加油．
（1）经调查，家用轿车油箱的容量为35升到110升之间，已知92号汽油开业当日价格为6.15元/升，假定在此价格不变的情况下，请从经济利益角度出发，给出合理的选择方案．（精确到整数）；
（2）实际上，我国成品油定价受国家管控，采取“十个工作日一调”原则逐月与国际市场价格联动，即国内成品油的价格根据国际油价价格的走势，每十个工作日调整一次，在十个工作日内，国际油价累计是上涨的，国内油价就上涨调整一次，在十个工作日内，国际油价累计是下跌的，国内油价就下跌调整一次，长期来看，为了更经济，张先生想到两个加油策略，在不考虑汽油价格升降的情况下，第一个策略是每次加油数量一定，第二个策略是每次加油所花钱数一定，请问哪种加油方式比较经济？并说明理由．
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参考答案：
1．A
【分析】运用作差比较法、结合配方法进行判断即可.
【详解】
∴
故选：A
2．D
【分析】根据特殊值排除选项A、B、C；根据不等式的基本性质判断选项D.
【详解】当时，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，所以，即，则，故D正确.
故选：D.
3．C
【分析】利用不等式的性质一一判定即可.
【详解】对于A项，举反例即可，若，则，故A错误；
对于B项，举反例即可，若，则，故B错误；
对于C项，∵，∴，则，故C正确；
对于D项，举反例即可，若，则不成立，故D错误.
故选：C
4．D
【分析】举反例排除ABC；利用作差法即可判断D.
【详解】A选项，当时，，故A错误；
B选项，当，，，时，，，故B错误；
C选项，当，，，时，，故C错误；
D选项，若，，则，即，故D正确．
故选：D.
5．B
【分析】利用不等式的性质，判断选项的结论是否成立.
【详解】若，，，满足，但，，不成立，A选项错误；
，，则有，即，B选项正确；
，当时，不成立，C选项错误；
当时，，则D选项错误.
故选：B
6．C
【分析】ABD可举出反例，C选项，可利用不等式的性质进行证明.
【详解】AB选项，若，满足，但此时，，AB错误；
C选项，如果，则，故，不等式两边同时除以，则，C正确；
D选项，若，满足，，但，，D错误.
故选：C
7．C
【分析】首先用和表示，再根据条件的范围，求解的范围.
【详解】设，
得，解得：，
所以，
因为，，所以，，
所有的范围是.
故选：C
8．D
【分析】根据不等式的基本性质，结合特值法，对每个选项进行逐一分析，即可容易求得结果.
【详解】解：对于A，若，当时，，A选项错误；
对于B，取，则，B选项错误；
对于C，取，则，C选项错误；
对于D，若，显然，故可得，又，所以，D选项正确，
故选：D.
9．CD
【分析】利用不等式的性质即可得出结论.
【详解】由题意，
A：∵，∴，
故且时，原不等式也成立，故A错误.
B：当时，a，b的大小不确定，即“”不能推出“”，充分性不成立，故B错误；
C：，
∵，，，则，
∴，，，即，故C正确；
D：，
，若c为负数，则，当时，，此时成立，故D正确；
故选：CD.
10．BCD
【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可判断.
【详解】对于A，，而，故A错误；
对于B，，，即，
，又函数在上单调递增，
，故B正确；
对于C，又B中分析得，，
，，
，
，故C正确；
对于D，由，
，即，
，故D正确.
故选：BCD.
11．BC
【分析】根绝不等式的基本性质逐一进行判断，要注意不等式性质成立的条件.
【详解】对于选项A，当时，若，则，错误；
对于选项B，若，故，则，正确；
对于选项C，若则，
所以，正确；
对于选项D,，
当时，，但是的符号与的符号不确定，
所以与大小关系不确定，错误.
故选：BC.
12．BC
【分析】根据题意直接列不等式即可求解.
【详解】因为每个矩形模板需要5张A薄板，每个菱形模板需要3张A薄板，每个圆模板需要10张A薄板，且共有55张A薄板，
所以，
因为每个矩形模板需要12张B薄板，每个菱形模板需要6张B薄板，每个圆模板需要13张B薄板，且共有125张B薄板，
所以.
故选：BC.
13．
【分析】作差法解决即可.
【详解】由题知，
，
当且仅当时，取等号.
故答案为：.
14．
【分析】，通过题目给的式子整体代入即得到范围.
【详解】设,则解得所以,由得所以,即.
故的取值范围是.
故答案为：.
15．/
【分析】利用作差法可得出与的大小关系.
【详解】因为，则，
所以，，故.
故答案为：.
16． 16 1
【解析】（1）设蔬菜水果类和肉食水产类店分别为，根据条件建立不等关系和相等关系，求解，确定解的个数；
（2）平均每间店的收入不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%建立不等式，根据不等式恒成立求的最大值即可.
【详解】设蔬菜水果类和肉食水产类店分别为,
（1）由题意知，，
化简得：，
又，
所以，
解得：，
共种；
（2）由题意知，
，
，
，
，
即的最大值为1万元，
故答案为：16；1
【点睛】本题主要考查了不等式在实际问题中的应用，不等式的性质，属于难题.
17．(1)
(2)
(3)
【分析】采用作差法，然后根据差的结果判断正负，由此可判断（1）（2）（3）中两式的大小关系.
【详解】（1）∵，∴.
（2）∵，
∴.
（3）∵，，∴.
18．（1）;（2）证明见详解
【分析】（1）首先分类讨论方式是一次方程和一元二次方程两种情况，当方程为一元二次方程时再讨论方程有一个根的情况和两个根的情况，两根情况用韦达定理解出.
（2）活用化简，用作差法比较代数式大小.
【详解】（1）当时，方程为，解得，符合题意；
当时，方程，若，即时，此时方程的根为，符合题意；
若，方程实数根中有且只有一个负实数根，需满足条件，即
解得
故是方程的实数根中有且只有一个负实数根的充要条件.
（2）,
故
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】由题意利用作差法，可得答案；
（1）
，
由，则，，，即，
故.
（2）
，
由都是正实数，，则，即.
故.
20．（1）50、85元；（2）20台．
【分析】(1)根据题意列出方程组，求解即可.
(2) 设能采购B型台灯a台,分别利用A,B的单价乘以台数之和小于等于2200，列出不等式，求解即可.
【详解】（1）解：设A、B两种型号台灯每台分别x、y元，依题意可得：，
解得：，答： A、B两种型号台灯每台分别50、85元．
（2）解：设能采购B型台灯a台，依题意可得：，解得：．
答：最多能采购B型台灯20台．
【点睛】本题主要考查了不等式的应用，考查不等式在实际生活中的应用，关键是找到不等关系，属于基础题.
21．（1）5， ；（2）乙的购物比较经济合算 .
【分析】（1）首先设甲每次购买这种物品的数量为，乙每次购买这种物品所花的钱数为，再分别计算甲、乙的平均价格即可.
（2）首先分别算出甲、乙的平均价格，再作差比较即可.
【详解】（1）设甲每次购买这种物品的数量为，乙每次购买这种物品所花的钱数为，
所以甲两次购买这种物品平均价格为，，
乙两次购买这种物品平均价格为，.
（2）设甲每次购买这种物品的数量为，乙每次购买这种物品所花的钱数为，
所以甲两次购买这种物品平均价格为，，
乙两次购买这种物品平均价格为，
，
所以乙的购物比较经济合算.
22．（1）答案见解析；（2）按照第二种策略加油比较经济；理由见解析．
【分析】（1）首先设油箱可装油升，则，根据题意得到方案一中，可加油升．方案二中1280元可加升油.再比较和的关系即可得到答案.
（2）首先若按照第一种策略，设第一次加油价格为元/升，加油数量为升，第二次加油价格为元/升，加油数量为升．按照第二种策略，设第一次加油所花钱数为元，能购买汽油数量为升，第二次加油所花钱数为元，能购买汽油数量为升，分别求出两种策略的加油价格的平均值，再作差比较即可得到答案.
【详解】（1）设油箱可装油升，则，
方案一中，升．
方案二中，升
又充值1280元可免费加油一次，则方案二中1280元可加升油.
若即则方案一合适.
若即则方案一、二均合适.
若即则方案二合适.
（2）若按照第一种策略，设第一次加油价格为元/升，加油数量为升，
第二次加油价格为元/升，加油数量为升．
则两次加油平均价格为元/升.
若按照第二种策略，设第一次加油所花钱数为元，能购买汽油数量为升．
第二次加油所花钱数为元，能购买汽油数量为升，
则两次加油的平均价格为元/升
比较两次的平均价格，可得
因此，按照第二种策略加油比较经济．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
