第二十一章 一元二次方程 章末测试卷（二）
一．选择题（共10小题）
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x+3x﹣6＝12 B．2x+y＝8 C．x2+3x＝2 D．
2．用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝7 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝7
3．方程x2＝4x的根是（ ）
A．x＝4 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝0，x2＝﹣4
4．方程3x（x﹣1）＝5（x+2）的一般式为ax2﹣8x﹣10＝0时，a的值为（ ）
A．﹣3 B．1 C．3 D．5
5．关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
6．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场（单循环比赛）．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，则比赛组织者应邀请（ ）个队参赛．
A．6 B．7 C．8 D．9
7．一元二次方程2x2﹣kx+40＝0的一个根是x＝5，这个方程的两个根分别是菱形的两条对角线，则该菱形的面积是（ ）
A．22 B．20 C．16 D．10
8．某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5，6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）
A．2500（1+x）2＝9100
B．2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100
C．2500（1+x%）2＝9100
D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100
9．已知m，n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+mn+2m的值为（ ）
A．3 B．﹣10 C．0 D．10
10．关于代数式x2﹣4x+5的判断，下列正确的是（ ）
A．有最小值2 B．有最大值1 C．有最小值1 D．有最大值2
二．填空题（共6小题）
11．已知xm﹣2+6＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为 ．
12．已知关于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣k＝0的一个根为1，则另一个根为 ．
13．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣5＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
14．如果x1，x2是方程x2﹣6x+5＝0的两根，则x1+x2＝ ．
15．已知a2﹣2a+b2+4b+5＝0，（a+b）2023的值为 ．
16．已知（x2+y2﹣1）（x2+y2+2）＝0，则x2+y2的值为 ．
三．解答题（共9小题）
17．用指定的方法解方程：
（1）用配方法）；
（2）x2＝8x+20（用公式法）；
（3）（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0（用因式分解法）；
（4）（x+2）（3x﹣1）＝10（用适当的方法）．
18．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的一个根为x＝3，求k的值及方程的另一根．
19．关于x的一元二次方程mx2+（2m+1）x﹣2＝0的两根为x1、x2．
（1）是否存在m值，使两根互为相反数；
（2）若两根的倒数和为2，求的m值．
20．（1）解一元二次方程x2﹣6x+8＝0．
（2）若（1）中方程的两个根分别是等腰三角形的底边长和腰长，求该等腰三角形的周长．
21．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2018年我国某快递公司快递业务收入为400亿元，2020年增长至576亿元．假设该快递公司快递业务收入每年增长率都相同．
（1）求该快递公司2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率；
（2）请你预测2022年该快递公司快递业务的收入．
22．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12米的住房墙，另外三边用25米长的建筑材料围成的，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一扇1米宽的门．当所围矩形与墙垂直的一边长为多少时，猪舍面积为80平方米？
（1）如图，设猪舍与墙垂直的一边AD长为x米，则AB＝ （用含x的式子表示）；
（2）当x为多少时，猪舍面积为80平方米？
23．某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件．
（1）若商场要求该服装部每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）该商场每天盈利能否达到1600元？若能，每件衬衫应降价多少元；若不能，请说明理由．
24．某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠．现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）当每千克菠萝蜜降价4元时，超市获利多少元？
（3）若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？
25．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝9cm，BC＝12cm，若点P从点A沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，两点同时出发．
（1）问几秒后，△PBQ的面积为18cm2．
（2）出发几秒后，线段PQ的长为cm？
（3）△PBQ的面积能否为22cm2？若能，求出时间；若不能，请说明理由．
第二十一章 一元二次方程 章末测试卷（二）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x+3x﹣6＝12 B．2x+y＝8 C．x2+3x＝2 D．
【解答】解：A．x+3x﹣6＝12是一元一次方程，选项A不符合题意；
B．2x+y＝8是二元一次方程，选项B不符合题意；
C．x2+3x＝2是一元二次方程，选项C符合题意；
D．是分式方程，选项D不符合题意．
故选：C．
2．用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝7 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝7
【解答】解：x2﹣4x﹣3＝0，
移项得：x2﹣4x＝3，
配方得：x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7．
故选：D．
3．方程x2＝4x的根是（ ）
A．x＝4 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝0，x2＝﹣4
【解答】解：方程整理得：x（x﹣4）＝0，
可得x＝0或x﹣4＝0，
解得：x1＝0，x2＝4，
故选：C．
4．方程3x（x﹣1）＝5（x+2）的一般式为ax2﹣8x﹣10＝0时，a的值为（ ）
A．﹣3 B．1 C．3 D．5
【解答】解：3x（x﹣1）＝5（x+2），
3x2﹣3x＝5x+10，
3x2﹣3x﹣5x﹣10＝0，
3x2﹣8x﹣10＝0，
∵方程3x（x﹣1）＝5（x+2）的一般式为ax2﹣8x﹣10＝0，
∴a＝3．
故选：C．
5．关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【解答】解：∵Δ＝m2﹣4×1×（﹣8）＝m2+32＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
6．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场（单循环比赛）．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，则比赛组织者应邀请（ ）个队参赛．
A．6 B．7 C．8 D．9
【解答】解：设比赛组织者应邀请x个队参赛，
根据题意得x（x﹣1）＝4×7，
解得x1＝8，x2＝﹣7（不符合题意，舍去），
∴比赛组织者应邀请8个队参赛，
故选：C．
7．一元二次方程2x2﹣kx+40＝0的一个根是x＝5，这个方程的两个根分别是菱形的两条对角线，则该菱形的面积是（ ）
A．22 B．20 C．16 D．10
【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣kx+40＝0的一个根是x＝5，且两根之积为20，
∴方程的另一个根是4．
∴菱形的面积＝对角线乘积的一半＝4×5÷2＝10．
故选：D．
8．某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5，6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）
A．2500（1+x）2＝9100
B．2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100
C．2500（1+x%）2＝9100
D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100
【解答】解：设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x，
依题意，得：2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100．
故选：D．
9．已知m，n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+mn+2m的值为（ ）
A．3 B．﹣10 C．0 D．10
【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，
∴mn＝﹣5，
∵m是x2+2x﹣5＝0的一个根，
∴m2+2m﹣5＝0，
∴m2+2m＝5，
∴m2+mn+2m＝m2+2m+mn＝5﹣5＝0．
故选：C．
10．关于代数式x2﹣4x+5的判断，下列正确的是（ ）
A．有最小值2 B．有最大值1 C．有最小值1 D．有最大值2
【解答】解：x2﹣4x+5
＝x2﹣4x+4+1
＝（x+2）2+1，
∵（x+2）2≥0，
∴（x+2）2+1≥0，
∴代数式x2﹣4x+5有最小值1，
故选：C．
二．填空题（共6小题）
11．已知xm﹣2+6＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为 4 ．
【解答】解：∵xm﹣2+6＝0是关于x的一元二次方程，
∴m﹣2＝2，
解得：m＝4．
故答案为：4．
12．已知关于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣k＝0的一个根为1，则另一个根为 ．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣k＝0的一个根为1，设方程的另一根为t，
∴1+t＝，
∴t＝，
即另一个根为．
故答案为：．
13．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣5＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＞﹣且k≠0 ．
【解答】解：∵一元二次方程kx2+2x﹣5＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0且k≠0，即22﹣4k×（﹣5）＞0，
解得k＞﹣且k≠0．
故答案为：k＞﹣且k≠0．
14．如果x1，x2是方程x2﹣6x+5＝0的两根，则x1+x2＝ 6 ．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣6x+5＝0的两根，
∴x1+x2＝6，
故答案为：6．
15．已知a2﹣2a+b2+4b+5＝0，（a+b）2023的值为 ﹣1 ．
【解答】解：∵a2﹣2a+b2+4b+5＝0，
∴a2﹣2a+1+b2+4b+4＝0，
∴（a﹣1）2+（b+2）2＝0，
∴a﹣1＝0，b+2＝0，
解得：a＝1，b＝﹣2，（a+b）2023＝（1﹣2）2023＝﹣1．
故答案为：﹣1．
16．已知（x2+y2﹣1）（x2+y2+2）＝0，则x2+y2的值为 1 ．
【解答】解：设t＝x2+y2（t≥0），
由原方程得，（t﹣1）（t+2）＝0，
解得t＝1或t＝﹣2（舍去），
所以，x2+y2＝1．
故答案为：1．
三．解答题（共9小题）
17．用指定的方法解方程：
（1）用配方法）；
（2）x2＝8x+20（用公式法）；
（3）（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0（用因式分解法）；
（4）（x+2）（3x﹣1）＝10（用适当的方法）．
【解答】解：（1）x2﹣4x＝10，
x2﹣4x+4＝14，
（x﹣2）2＝14，
x﹣2＝±，
所以x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）x2＝8x+20，
x2﹣8x﹣20＝0，
a＝1，b＝﹣8，c＝﹣20，
Δ＝（﹣8）2﹣4×1×（﹣20）＝16×9＞0，
x＝＝＝4±6，
所以x1＝10，x2＝﹣2；
（3）（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣3+4x）＝0，
x﹣3＝0或x﹣3+4x＝0，
所以x1＝3，x2＝；
（4）（x+2）（3x﹣1）＝10，
方程化为一般式为3x2+5x﹣12＝0，
（3x﹣4）（x+3）＝0，
3x﹣4＝0或x+3＝0，
所以x1＝，x2＝﹣3．
18．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的一个根为x＝3，求k的值及方程的另一根．
【解答】（1）证明：由于x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0是一元二次方程，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×（2k﹣1）＝k2﹣4k+8＝（k﹣2）2+4，
无论k取何实数，总有（k﹣2）2≥0，（k﹣2）2+4＞0，
所以方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：把x＝3代入方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0，有32﹣3（k+2）+2k﹣1＝0，
整理，得 2﹣k＝0．
解得 k＝2，
此时方程可化为 x2﹣4x+3＝0．
解此方程，得 x1＝1，x2＝3．
所以方程的另一根为x＝1．
19．关于x的一元二次方程mx2+（2m+1）x﹣2＝0的两根为x1、x2．
（1）是否存在m值，使两根互为相反数；
（2）若两根的倒数和为2，求的m值．
【解答】解：（1）∵方程mx2+（2m+1）x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，
∴m≠0，
∵Δ＝（2m+1）2﹣4m×（﹣2）＝4m2+12m+1＝（2m+3）2﹣8≥0，
∴m≤﹣﹣或m≥﹣，
∵此方程的两根为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣，
假设存在m值，使两根互为相反数，则﹣＝0，
∴2m+1＝0，
解得m＝﹣，不合题意，
∴不存在m值，使两根互为相反数；
（2）∵关于x的一元二次方程mx2+（2m+1）x﹣2＝0的两根为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣，x1 x2＝﹣，
∵两根的倒数和为2，
∴+＝2，
∵+
＝
＝
＝
＝，
∴＝2，
解得m＝．
20．（1）解一元二次方程x2﹣6x+8＝0．
（2）若（1）中方程的两个根分别是等腰三角形的底边长和腰长，求该等腰三角形的周长．
【解答】解：（1）x2﹣6x+8＝0，
（x﹣4）（x﹣2）＝0，
∴x﹣4＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝4，x2＝2；
（2）当等腰三角形的三边是2，2，4时，
∵2+2＝4，
∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；
②当等腰三角形的三边是2，4，4时，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+4+4＝10．
综上所述，等腰三角形的周长是10．
21．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2018年我国某快递公司快递业务收入为400亿元，2020年增长至576亿元．假设该快递公司快递业务收入每年增长率都相同．
（1）求该快递公司2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率；
（2）请你预测2022年该快递公司快递业务的收入．
【解答】解：（1）设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x，
由题意得：400（1+x）2＝576，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意舍去），
答：我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为20%；
（2）根据题意，得576×（1+20）2＝829.44（亿元）．
答：2022年该快递公司快递业务的收入为829.44亿元．
22．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12米的住房墙，另外三边用25米长的建筑材料围成的，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一扇1米宽的门．当所围矩形与墙垂直的一边长为多少时，猪舍面积为80平方米？
（1）如图，设猪舍与墙垂直的一边AD长为x米，则AB＝ （26﹣2x） （用含x的式子表示）；
（2）当x为多少时，猪舍面积为80平方米？
【解答】解：（1）∵建筑材料的总长为25米，BC边留一扇1米宽的门，且边AD的长为x米，
∴边AB的长为25+1﹣2x＝（26﹣2x）米．
故答案为：（26﹣2x）；
（2）根据题意得：x（26﹣2x）＝80，
整理得：x2﹣13x+40＝0，
解得：x1＝5，x2＝8，
当x＝5时，26﹣2x＝26﹣2×5＝16＞12，不符合题意，舍去；
当x＝8时，26﹣2x＝26﹣2×8＝10＜12，符合题意．
答：当x为8米时，猪舍面积为80平方米．
23．某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件．
（1）若商场要求该服装部每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）该商场每天盈利能否达到1600元？若能，每件衬衫应降价多少元；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）设每件衬衫降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天可卖出（30+2x）件，
根据题意得：（40﹣x）（30+2x）＝1200，
整理得：x2﹣25x＝0，
解得：x1＝0（不符合题意，舍去），x2＝25．
答：每件衬衫应降价25元；
（2）该商场每天盈利不能达到1600元，理由如下：
假设该商场每天盈利能达到1600元，设每件衬衫降价y元，则每件盈利（40﹣y）元，平均每天可卖出（30+2y）件，
根据题意得：（40﹣y）（30+2y）＝1600，
整理得：y2﹣25y+200＝0，
∵Δ＝（﹣25）2﹣4×1×200＝﹣175＜0，
∴该方程没有实数根，
∴假设不成立，即该商场每天盈利不能达到1600元．
24．某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠．现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）当每千克菠萝蜜降价4元时，超市获利多少元？
（3）若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（2，100），（5，160）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝20x+60（0＜x＜20）．
故答案为：y＝20x+60（0＜x＜20）．
（2）（60﹣4﹣40）×（20×4+60）
＝16×140
＝2240（元）．
答：当每千克干果降价4元时，超市获利2240元．
（3）根据题意得：（60﹣x﹣40）（20x+60）＝2400，
整理得：x2﹣17x+60＝0，
解得：x1＝5，x2＝12，
又∵要让顾客获得更大实惠，
∴x＝12．
答：这种干果每千克应降价12元．
25．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝9cm，BC＝12cm，若点P从点A沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，两点同时出发．
（1）问几秒后，△PBQ的面积为18cm2．
（2）出发几秒后，线段PQ的长为cm？
（3）△PBQ的面积能否为22cm2？若能，求出时间；若不能，请说明理由．
【解答】解：设运动时间为t秒时，则PB＝（9﹣t）cm，BQ＝2tcm．
（1）根据题意，得：×（9﹣t）×2t＝18，
整理，得：t2﹣9t+18＝0，
解得：t1＝3，t2＝6．
答：出发3秒或6秒后，△PBQ的面积为18cm2；
（2）根据题意得：（9﹣t）2+（2t）2＝（）2，
整理，得：5t2﹣18t+16＝0，
解得：t1＝，t2＝2．
答：出发秒或2秒后，线段PQ的长为cm；
（3）假设能，根据题意得：×（9﹣t）×2t＝22，
整理，得：t2﹣9t+22＝0，
∵△＝（﹣9）2﹣4×1×22＝﹣7＜0，
∴该方程无解，
∴假设不成立，即△PBQ的面积不能为22cm2．
