专题04轴对称的性质(4个知识点2种题型2个中考考点)
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.线段的垂直平分线
知识点2.轴对称的性质(重点)
知识点3.画已知图形的轴对称图形(重点)
知识点4.画对称轴(重点)
【方法二】 实例探索法
题型1.利用轴对称的性质求角的度数
题型2.利用轴对称的性质作图
【方法三】 仿真实战法
考法1. 轴对称的性质
考法2. 画一个图形关于某条直线对称的图形
【方法四】 成果评定法
【学习目标】
1.了解线段的垂直平分线的概念,知道成轴对称的两个图形全等,成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分.
2.能画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形)关于给定对称轴的对称图形.
3.经历探索轴对称性质的活动,进一步发展空间观念.
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.线段的垂直平分线
定义:经过某一条线段的中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线(中垂线)垂直平分线,简称“中垂线”.
知识点2.轴对称的性质(重点)
(1)如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
由轴对称的性质得到一下结论:
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称;
②如果两个图形成轴对称,我们只要找到一对对应点,作出连接它们的线段的垂直平分线,就可以得到这两个图形的对称轴.
(2)轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
【例1】(2022秋 阜宁县期末)
1.如图,在中,,,,垂足为D,与关于直线对称,点B的对称点是点,则的度数为( )
A. B. C. D.
【变式】(2022秋 如东县期末)
2.如图,四边形中,,.若将四边形沿折叠后,顶点A恰好落在边BC上的点E处(E与C不重合),则的度数为 .
知识点3.画已知图形的轴对称图形(重点)
画一个图形的轴对称图形时,也是先从确定一些特殊的对称点开始的,一般的方法是:
①由已知点出发向所给直线作垂线,并确定垂足;
②直线的另一侧,以垂足为一端点,作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长,得到线段的另一端点,即为对称点;
③连接这些对称点,就得到原图形的轴对称图形.
【例2】(2022秋 鼓楼区期中)
3.如图,点A、B、C都在方格纸的格点上.
(1)利用方格纸,画△ABC关于直线l对称的;
(2)根据轴对称的性质,用符号语言写出2条不同类型的正确结论.
【变式1】
4.如图,已知A(0,4),B(-2,2),C(3,0).
(1)作△ABC关于x轴对称的△A1B1C1;
(2)写出A1,B1,C1的坐标.
【变式2】
5.如图,在正方形网格上有一个.
(1)作关于直线的轴对称图形;
(2)作的边上的高;
(3)若网格上的最小正方形边长为1,求的面积.
【变式3】
6.如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是,每个小正方形的顶点叫做格点.网格中有一个格点(即三角形的顶点都在格点上).
(1)在图中作出关于直线的对称图形(要求点与,与,与相对应).
(2)在直线上找一点,使得的周长最小.
【变式4】
7.如图,在由边长为1的小正方形组成的10×10的网格中(我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点),四边形ABCD在直线l的左侧,其四个顶点A,B,C,D分别在网格的格点上.
(1)请你在所给的网格中画出四边形A1B1C1D1,使四边形A1B1C1D1和四边形ABCD关于直线l对称;
(2)在(1)的条件下,结合你所画的图形,直接写出四边形A1B1C1D1的面积.
【变式5】
8.如图,在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中,点、、在小正方形的顶点上.
(1)在图中画出与关于直线成轴对称的;
(2)线段被直线__________;
(3)的面积为__________;
(4)在直线上找一点,使的长最短.
知识点4.画对称轴(重点)
1.画轴对称图形的对称轴
【例3】
9.作出下列各图形的一条对称轴
【变式】(2023秋·八年级课时练习)
10.请仅用无刻度的直尺完成下列作图,不写画法,保留作图痕迹.
(1)如图①,四边形中,,,,画出四边形的对称轴;
(2)如图②,四边形中,,,画出边的垂直平分线.
2.画成轴对称的两个图形的对称轴
【例4】(2022·辽宁葫芦岛·八年级校考期中)
11.如图,网格中的与为轴对称图形.
(1)利用网格线作出与的对称轴l;
(2)如果每一个小正方形的边长为1,请直接写出的面积为______.
(3)顶点在格点,找出为一边且与全等(不与重合)的三角形,这样的三角形在网格内共能画出______个.
(4)在对称轴l上找到一点P,使最短.
【变式1】
12.图中两个五边形成轴对称吗?如果是,请你标出A,B,C三点的对称点,并想办法画出对称轴.
【变式2】(2022秋·江西赣州·八年级统考期中)
13.(1)如图1,四边形与四边形关于直线l对称.连接、.设它们相交于点P.请作出点P关于直线l对称的对称点Q.
(2)如图2,已知五边形和关于直线m对称,请用无刻度的直尺画出直线m.
【方法二】实例探索法
题型1.利用轴对称的性质求角的度数
(2023秋·江苏·八年级专题练习)
14.如图,与关于直线l对称,且,,则的度数是( )
A. B. C. D.
(2023秋·江苏·八年级专题练习)
15.将一张长方形纸片按图2所示折叠后,再展开.如果,那么的度数为( )
A. B. C. D.无法确定
(2023秋·江苏·八年级专题练习)
16.如图,在四边形中,,.点M,N分别在,上,将四边形沿对折,得到,若,则( )
A.35° B.70° C.95° D.125°
(2023秋·江苏·八年级专题练习)
17.如图,中,D点在上,将D点分别以为对称轴,画出对称点E、F,并连接,根据图中标示的角度,的度数为( )
A. B. C. D.
(2023秋·江苏·八年级专题练习)
18.如图所示的正五边形的一条对称轴与其边所夹锐角的度数为( )
A. B. C. D.
(2023秋·江苏·八年级专题练习)
19.如图,,E为上一点,点A和E关于对称,点B和C关于对称,则的度数为( )
A. B. C. D.
20.如图,在锐角中,;点P是边上的一个定点,点M、N分别是和边上的动点,当的周长最小时,的度数是( )
A. B.100° C.110° D.80°
(2021秋·江苏宿迁·八年级统考期中)
21.如图,把一个长方形纸片沿折叠后,点D,C分别落在,的位置.若,则等于( )
A. B. C. D.
(2021秋·江苏盐城·八年级校联考阶段练习)
22.如图,中,,,将其折叠,使点A落在边上处,折痕为,则的度数为 .
(2023秋·江苏淮安·八年级统考期末)
23.如图,在中,,在上,将沿折叠,点落在边上的点处,若,则的度数为 .
(2023春·江苏·八年级专题练习)
24.如图,把一张长方形的纸条按图那样折叠后,B、C两点落在、点处,若得,则余角的度数为 .
(2023春·江苏扬州·八年级校联考期中)
25.如图,把一个长方形纸片沿折叠后,点D,C分别落在D′,C′的位置,若,则等于 .
(2020秋·江苏南京·八年级南京外国语学校校考期中)
26.如图,内有一点P,点P关于的轴对称点是G,点P关于的轴对称点是H,分别交、于A、B点,若,则= .
(2022秋·江苏泰州·八年级校考期中)
27.如图,,点M、N分别在射线上,,的面积为12,点P是直线上的动点,点P关于对称的点为,点P关于对称的点为,当点P在直线上运动时, ,的面积最小值为 .
(2023秋·江苏·八年级专题练习)
28.如图,将一张白纸一角折过去,使角的顶点A落在处,为折痕,再将另一角斜折过去,使边落在内部,折痕为,点D的对应点为,设,,则的大小为 °.
(2023秋·江苏·八年级专题练习)
29.如图,和关于直线m对称.
(1)结合图形指出对称点.
(2)和有什么关系?若,,求的度数.
(3)分别连接,直线m与线段有什么关系?线段之间有什么关系?
(4)延长线段AC与,它们的交点与直线m有怎样的关系?其他对应线段(或其延长线)的交点呢?你发现了什么规律,请叙述出来与同伴交流.
(2022秋·江苏宿迁·八年级沭阳县怀文中学校考阶段练习)
30.如图,P在内,点M,N分别是点P关于的对称点,分别交于E,F.
(1)若的周长是,求的长;
(2)若,试求的度数.
(2022秋·江苏·八年级专题练习)
31.如图,在中,,将沿着直线折叠,点落在点的位置,求的度数.
(2022秋·江苏·八年级开学考试)
32.已知,点A在射线CE上,把沿AB翻折得,.
(1)若,则的度数为______°;
(2)设,,
①如图1,当点D在直线CE左侧时,求y与x的数量关系,并写出x的取值范围;
②如图2,当点D在直线CE右侧时出y与x的数量关系是_______;
(3)过点D作//交CE于点F,当时,求的度数.
(2022秋·八年级课时练习)
33.(1)如图1,已知△ABC为直角三角形,∠C=90°,若沿图中虚线剪去∠C,则∠1+∠2等于___________
A.90° B.135° C.270° D.315°
(2)如图2,已知△ABC中,∠A=40°,剪去∠A后成四边形,则∠1+∠2=_______
(3)如图2,根据(1)与(2)的求解过程,请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是________________
(4)如图3,若没有剪掉,而是把它折成如图3形状,试探究∠1+∠2与∠A的关系并说明理由.
题型2.利用轴对称的性质作图
(2023秋·江苏·八年级专题练习)
34.如图,长方形台球桌上有两个球P,Q.
(1)请画出一条路径,使得球P撞击台球桌边反弹后,正好撞到球Q;
(2)请画出一条路径,使得球P撞击台球桌边,经过两次反弹后,正好撞到球Q.
(2023秋·江苏·八年级专题练习)
35.已知:如图,是一个长方形的台球面,有、两球分别位于图中所在位置,试问怎样撞击球,才能使先碰到台边反弹后再击中球?在图中画出球的运动线路.
(2020秋·江苏盐城·八年级统考阶段练习)
36.如图是8×8的正方形网格,每个小方格都是边长为1的正方形,在网格中建立平面直角坐标系xOy,使点A坐标为,点B坐标为.
(1)试在图中画出这个直角坐标系;
(2)标出点,连接AC、BC,画出关于y轴对称的.
(2020春·江苏南京·八年级校联考期中)
37.如图,已知△ABC.
(1)画△ABC关于点C对称的△A′B′C;
(2)连接AB′、A′B,四边形ABA'B'是 形.(填平行四边形、矩形、菱形或正方形)
(2021秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习)
38.如图,在公路的同侧,有两个居民小区、,现需要在公路边建一个液化气站,要使液化气站到、两小区的距离和最短,这个液化气站应建在哪一处?请在图中作出来.(不写作法)
【方法三】 仿真实战法
考法1. 轴对称的性质
(2021 陕西)
39.下列各选项中,两个三角形成轴对称的是( )
A. B.
C. D.
(2020 哈尔滨)
40.如图,在中,,,,垂足为D,与关于直线对称,点B的对称点是点,则的度数为( )
A. B. C. D.
(2019 台湾)
41.如图,中,点在上,将点分别以、为对称轴,画出对称点、,并连接、.根据图中标示的角度,求的度数为何?( )
A. B. C. D.
考法2. 画一个图形关于某条直线对称的图形
(2021 深圳)
42.如图所示,在正方形网格中,每个小正方形的边长为1个单位.
(1)过直线m作四边形的对称图形;
(2)求四边形的面积.
(2020 吉林)
43.图①、图②、图③都是3×3的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点.A,B,C均为格点.在给定的网格中,按下列要求画图:
(1)在图①中,画一条不与重合的线段,使与关于某条直线对称,且M,N为格点.
(2)在图②中,画一条不与重合的线段,使与关于某条直线对称,且P,Q为格点.
(3)在图③中,画一个,使与关于某条直线对称,且D,E,F为格点.
(2022 桂林)
44.如图,在平面直角坐标系中,形如英文字母“V”的图形三个端点的坐标分别是A(2,3),B(1,0),C(0,3).
(1)画出“V”字图形向左平移2个单位后的图形;
(2)画出原“V”字图形关于x轴对称的图形;
(3)所得图形与原图形结合起来,你能从中看出什么英文字母?(任意答一个即可)
【方法四】 成果评定法
一.选择题(共10小题)
(2022秋 江宁区校级月考)
45.下列图形中,点与点关于直线对称的是( )
A. B.
C. D.
(2022 宿豫区校级开学)
46.已知,两个图形成轴对称,则这两个图形( )
A.全等 B.不一定全等 C.面积不一样大 D.周长不一样
(2022秋 工业园区校级月考)
47.如图,一个长方形的纸条按如图所示方法折叠压平,则的度数等于( )
A.74° B.53° C.37° D.54°
(2022秋 连云区校级月考)
48.下列图形中对称轴条数最多的是( )
A.等边三角形 B.正方形 C.等腰三角形 D.等腰梯形
(2022秋 兴化市月考)
49.如图,直线a,b相交于点O,P为这两直线外一点,且OP=1.7,若点关于直线a,b的对称点分别是点P1,P2,则P1,P2之间的距离可能是( )
A.0 B.3 C.4 D.5
(2022秋 沭阳县月考)
50.如图,点P是内部一点,点,分别是点P关于,的对称点,且,则的周长为( )
A. B. C. D.
(2022秋 钟楼区校级月考)
51.如图,在中,,点D在边上,若将沿直线折叠,使顶点A落在边上的点E处,则的周长为( )
A.9 B.11 C.13 D.14
(2022秋 江都区校级月考)
52.如图,在的正方形网格中,格线的交点称为格点,以格点为顶点的三角形称为格点三角形,图中的为格点三角形,在图中与成轴对称的格点三角形可以画出( )
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
(2022秋 东台市月考)
53.如图,P在内,点C、D分别是点P关于的对称点.如果的周长为12,则的长为( )
A.6 B.12 C.15 D.18
(2023春 社旗县期末)
54.将一张长方形纸对折,然后用笔尖在纸上扎出“B”,再把纸铺平,可以看到的是( )
A. B. C. D.
二.填空题(共8小题)
(2012秋 东海县校级月考)
55.如图,四边形ABCD沿直线l对折后互相重合,如果AD∥BC,有下列结论∶①AB∥CD ②AB=CD ③AB⊥BC ④AO=OC其中正确的结论是 . (把你认为正确的结论的序号都填上)
(2022秋 大丰区月考)
56.如图,与关于直线对称,若,,则 .
(2022春 赣榆区校级月考)
57.如图,把长方形ABCD沿EF对折,若∠1=50°,则∠AEF的度数等于 .
(2021秋 洪泽区校级月考)
58.如图所示,点P为内一点,分别作出P点关于的对称点,连接交于M,交于N,,则的周长为 .
(2021秋 大丰区校级月考)
59.如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,∠BAC=60°,点D是BC边上的一点,连接AD,将△ACD沿AD折叠,使点C落在点E处,当△BDE是直角三角形时,∠CAD的度数为 .
(2022秋 兴化市月考)
60.如下图,三角形纸片ABC,点D是BC边上一点,连接AD,把沿着AD翻折,得到,DE与AC交于点F.若点F是DE的中点,,的面积为9,则点B、E之间的距离为 .
(2022秋 工业园区校级月考)
61.如图,把一张长方形纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个正方形,剪刀与折痕所成的角为 度.
(2020秋 江都区月考)
62.如图,△ABE、△BDC 和△ABC 分别是关于 AB,BC 边所在直线对称的轴对称图形,若∠1:∠2:∠3=9:2:1,则∠4 的度数为 .
三.解答题(共8小题)
(2022秋 东台市月考)
63.如图,与关于直线对称,其中,.
(1)线段与的关系是什么?
(2)求的度数;
(3)求的周长和的面积.
(2021秋 兴化市校级月考)
64.如图,平面直角坐标系中,已知的三个顶点的坐标分别为,,.
(1)画出关于x轴的对称图形;
(2)画出向左平移4个单位长度后得到的;
(3)如果上有一点经过上述两次变换,那么对应上的点的坐标是______.
(2022秋 兴化市月考)
65.如图所示,三个顶点的坐标分别为、、.
(1)作关于轴的对称图形,并给出、、三个顶点的坐标;
(2)求的面积.
(2022秋 灌南县校级月考)
66.如图,在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格纸中,点A、B、C在小正方形的顶点上.
(1)求△ABC的面积;
(2)在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的;
(3)在如图所示网格纸中,以AB为一边作与△ABC全等的三角形,可以作出___________个三角形与△ABC全等.
(2021秋 镇安县期末)
67.如图,在平面直角坐标系xOy中,A(-1,5),B(﹣1,0),C(﹣4,3).
(1)在图中画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1;(其中A1、B1、C1分别是A、B、C的对应点,不写画法.)
(2)写出点A1、B1、C1的坐标;
(3)求出△A1B1C1的面积.
(2022秋 吴江区校级月考)
68.如图所示.点P在的内部,点M、N分别是点P关于直线的对称点,线段交于点E、F.
(1)若cm,求的周长.
(2)若,求的度数.
(3)若连接,请说明平分.
(2022秋 如皋市校级月考)
69.如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3,5),B(-2,1),C(-1,3).
(1)画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1;
(2)画出△A1B1C1沿x轴向右平移4个单位长度后得到的△A2B2C2;
(3)如果AC上有一点M(a,b)经过上述两次变换,那么对应A2C2上的点M2的坐标是______.
(2022秋 宝应县校级月考)
70.将沿某条直线折叠,使斜边的两个端点A与B重合,折痕为.
(1)如果,,试求的周长;
(2)如果,求的度数.
试卷第24页,共24页
试卷第1页,共24页
参考答案:
1.A
【分析】根据,得到,结合轴对称即可得到,再根据三角形内外角关系直接求解即可得到答案;
【详解】解:∵,,
∴,
∵与关于直线对称,点B的对称点是点,
∴,
∴,
故选:A;
【点睛】本题考查三角形内角和关系与三角形内外角关系及轴对称的性质,解题的关键是熟练掌握内外角关系.
2.##60度
【分析】根据对称的性质得到垂直平分,则有,,证明,得到,再利用三角形外角的性质可得结果.
【详解】解:∵A和E关于对称,
∴垂直平分,
∴,,
在和中,
,
∴,
∴,
∴,
故答案为:.
【点睛】本题考查了翻折变换,全等三角形的判定和性质,垂直平分线的性质,外角的性质,掌握折叠的性质是本题的关键.
3.(1)见解析
(2)见解析
【分析】(1)分别作出A、B、C点关于直线l的对称点即可;
(2)根据轴对称的性质写出结论即可.
【详解】(1)解:如图,为所作;
;
(2)解:轴对称的性质有:
①对称轴两边的图形全等(互相重合);
②对成轴是对称点连接起来的线段的垂直平分线;
③对应线段(或延长线)的交点在对称轴上.
【点睛】本题考查了作图—轴对称变换:几何图形都可看作是由点组成,我们在画一个图形的轴对称图形时,也是先从确定一些特殊的对称点开始的.
4.(1)见解析;(2)A1(0,-4),B1(-2,-2),C1(3,0).
【分析】(1)直接利用关于轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案;
(2)根据图形得出坐标即可.
【详解】解:(1)如图所示,即为所求;
(2),,的坐标分别为:A1(0,-4),B1(-2,-2),C1(3,0).
【点睛】此题主要考查了画轴对称图形,正确得出对应点位置是解题关键.
5.(1)见解析;(2)见解析;(3)3
【分析】(1)分别作出各点关于直线EF的对称点,再顺次连接即可;
(2)过点A向CB的延长线作垂线,垂足为点H,则AH即为所求;
(3)直接根据三角形的面积公式即可得出结论.
【详解】解:(1)如图,△A1B1C1即为所作;
(2)如图,AH即为所作;
(3)S△ABC==3.
【点睛】本题考查的是作图-轴对称变换,三角形的高,熟知轴对称的性质是解答此题的关键.
6.见解析
【分析】(1)直接利用关于直线对称点的性质得出对应点位置进而得出答案;
(2)利用轴对称求最短路线的方法得出答案.
【详解】(1)如图所示: 即为所求;
(2)如图所示:点P即为所求的点.
【点睛】此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法,正确得出对应点位置是解题关键.
7.(1)见解析;(2)
【分析】(1)直接根据轴对称的性质分别找到A1B1C1D1,然后顺次连接即可得出答案;
(2)用四边形A1B1C1D1所在的矩形的面积减去四个小三角形的面积即可得出答案.
【详解】(1)如图,
(2)四边形A1B1C1D1的面积=.
【点睛】本题主要考查轴对称,会作轴对称图形是解题的关键.
8.(1)图见解析;(2)垂直平分;(3)3;(4)P点见解析.
【分析】(1)分别作出A,B,C的对应点A′,B′,C′即可;
(2)根据轴对称的性质判断即可;
(3)利用分割法求三角形面积即可;
(4)连接CB′交直线l于点P,连接PB,点P即为所求.
【详解】解:(1)△A′B′C′如图所示.
(2)线段CC′被直线l垂直平分.
故答案为:垂直平分.
(3)△ABC的面积=
=3.
故答案为:3.
(4)点P如图所示.
【点睛】本题考查作图-轴对称变换,三角形的面积等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
9.见解析
【分析】依据轴对称图形的概念,即在平面内,如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,这条直线就是其对称轴,据此即可解答.
【详解】解:根据分析画各图的对称轴如下:
.
【点睛】本题考查了画对称轴,根据轴对称图形的特征,作一个图形的对称轴时,可连结两个对称点,对称轴就是对称点连线的垂直平分线.
10.(1)见解析
(2)见解析
【分析】(1)根据轴对称的性质,对称线交点在对称轴上,结合,,,找到交点即可得到答案;
(2)根据轴对称的性质,对称线交点在对称轴上,结合,,,找到交点即可得到答案;
【详解】(1)解:由轴对称的性质可得,
∵,,,
∴与,与,关于对称轴对称,
连接即可得到对称轴,如图所示,
(2)解:由轴对称的性质可得,
∵,,
∴与关于对称轴对称,
连接交于一点,相交于一点,连接两点得到直线即为对称轴,如图所示;
【点睛】本题考查作对称轴及轴对称的性质,解题的关键是熟练掌握:对称线交点在对称轴上.
11.(1)见解析
(2)3
(3)1
(4)见解析
【分析】(1)利用网格特点作的垂直平分线即可;
(2)用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积;
(3)利用全等三角形的判定方法作图;
(4)连接,与直线l的交点即为所求.
【详解】(1)解:如图,直线l为所作;
;
(2)解:的面积;
故答案为:3;
(3)解:如图,以为一边且与全等(不与重合)的三角形,这样的三角形在网格内能画1个.
故答案为:1.
(4)解:如图所示,点P即为所求.
【点睛】本题考查了作图-轴对称变换:作对称点的连线段的垂直平分线得到对称轴.也考查了全等三角形的判定.
12.详见解析
【分析】观察图形找出对应关系即可得到点A、B、C的对应点、、,连接,作的垂直平分线即为对称轴.
【详解】解:这两个五边形成轴对称,如图,的垂直平分线l即为对称轴.
【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图,熟练掌握轴对称的性质是解题的关键.
13.(1)见解析;(2)见解析.
【分析】(1)根据轴对称的性质,连接、,交点即为点Q;
(2)根据轴对称的性质,连接和,和,两交点所在直线即为对称轴直线m.
【详解】解:(1)如图1所示,点Q即为所求;
(2)如图2所示,直线m即为所求.
【点睛】本题考查了轴对称的性质,成轴对称的两个图形全等;如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
14.A
【分析】根据成轴对称的个图形对应角相等的性质,即可进行解答.
【详解】解:∵与关于直线l对称,,
∴,
故选:A.
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的性质,解题的关键是掌握成轴对称的两个图形对应角相等.
15.B
【分析】根据长方形两直线平行得到的同旁内角,再根据折叠的性质得到和相等的角,然后计算即可.
【详解】解:由折叠的性质可知,
,
,
,
长方形的两条长边平行,
,
.
故选:B.
【点睛】本题考查折叠的性质和长方形中的平行线,根据平行线得到同旁内角,利用两直线平行,同旁内角互补进行计算是关键.
16.C
【分析】由平行的性质,推知,,由折叠导出,,根据三角形内角和定理求得,由多边形内角定理求得.
【详解】解:∵,,∠A=100°,,
∴,,
∵将沿翻折,得,
∴,,
∴,
∴.
故选:C.
【点睛】本题考查轴对称折叠的性质,平行线的性质,三角形内角和定理,多边形内角和定理;掌握轴对称的性质是解题的关键.
17.D
【分析】如图所示,连接,根据轴对称的性质可得,然后根据角的和差求解即可.
【详解】解:如图所示,连接,
由题意可得,,
则
故选:D.
【点睛】本题考查了轴对称的性质和三角形的内角和定理,熟练掌握轴对称的性质是解题的关键.
18.B
【分析】根据正五边形的性质与轴对称的性质,列式求解即可.
【详解】解:∵正五边形的内角为,
∴,
故选:B.
【点睛】本题考查了轴对称的性质,根据正五边形的性质得到正五边形的内角度数是解题的关键.
19.B
【分析】根据对称的性质得到,然后利用三角形内角和定理求解即可.
【详解】解:∵点A和E关于对称,
∴,
∵点B和C关于对称,
∴,
∴,
在中,,
∵,
∴,
∴.
故选:B.
【点睛】此题考查了轴对称的性质,三角形内角和定理,解题的关键是根据对称的性质得到.
20.B
【分析】过点P作于点E,且,于点F,且,连接交、于点M、N,连接、,得到,此时周长最短,由此解答.
【详解】解:过点P作于点E,且,于点F,且,连接交、于点M、N,连接、,
此时的周长最短.
∵,,
∴,
∴,
∵,则,
∵,
∴,
∵,且,,且,
∴,关于直线对称,,关于直线对称,
∴,,
∴,
∴,
故选:B.
【点睛】此题考查最短路径问题,根据题意首先作出对称点,连接对称点得到符合题意的三角形,再根据轴对称的性质解答,正确掌握最短路径问题的解答思路是解题的关键.
21.B
【分析】根据,得到,根据折叠,即可得到.
【详解】解:∵四边形为长方形,
∴,
∴,
∵折叠,
∴.
故选B.
【点睛】本题考查了折叠的性质,平行线的性质.熟练掌握折叠的性质,是解题的关键.
22.##10度
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出,根据翻折变换的性质可得,然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.
【详解】∵,,
∴,
∵折叠后点A落在边上处,
∴,
由三角形的外角性质得,.
故答案为:.
【点睛】本题考查了折叠的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
23.
【分析】根据题意,可得是直角三角形,的度数,根据折叠可知,,再根据是的外角,由外角的性质即可求解.
【详解】解:在中,,,
∴是直角三角形,且,
根据折叠,,
∵是的外角,即,
∴,
故答案为:.
【点睛】本题主要考查直角三角形,三角形的外角知识的综合,掌握直角三角形的性质,折叠的性质,三角形外角的性质的知识是解题的关键.
24.##22度
【分析】根据折叠,得到,进而求出,即可得解.
【详解】解:∵把一张长方形的纸条按图那样折叠后,
∴,
∴,
∴余角的度数为,
故答案为:.
【点睛】本题考查折叠的性质,余角的计算.熟练掌握折痕是角平分线是解题的关键.
25.
【分析】根据平行线的性质得出,由折叠可得,利用邻补角求出即可.
【详解】解:∵,
∴,
由折叠可知,,
,
故答案为:.
【点睛】本题考查了平行线的性质,解题关键是根据平行线的性质得出角相等,利用折叠求出角度.
26.##70度
【分析】连接,先根据轴对称的性质可得,从而可得.
【详解】如图,连接,
由轴对称的性质得:,
,
故答案为:
【点睛】本题考查了轴对称的性质,熟练掌握轴对称的性质是解题关键.
27. 90 8
【分析】分点在线段上,点的左侧和点的右侧,三种情况进行讨论,连接,过点作交的延长线于,先利用三角形的面积公式求出,再根据轴对称的性质可得,,,从而可得,然后利用三角形的面积公式可得的面积为,根据垂线段最短可得当点与点重合时,取得最小值,的面积最小,由此即可得.
【详解】解:当点在线段上,如图,连接,过点作交的延长线于,
∵,且,
∴,
∵点关于对称的点为,点关于对称的点为,
∴,,,
∵,
∴,
∴的面积为,
由垂线段最短可知,当点与点重合时,取得最小值,最小值为,
∴的面积的最小值为,
当点在点的左侧时,如图:连接,过点作交的延长线于,
同法可得:,
∵点关于对称的点为,点关于对称的点为,
∴,,,
∵,
∴,
∴的面积为,
由垂线段最短可知,当点与点重合时,取得最小值,最小值为,
∴的面积的最小值为,
当点在点的右侧时,如图:连接,过点作交的延长线于,
同法可得:,
的面积的最小值为,
综上:,的面积的最小值为;
故答案为:90,8.
【点睛】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点,熟练掌握轴对称的性质是解题关键.
28.20
【分析】易得,则,根据折叠的性质可得,,则,即可求解.
【详解】解:∵,,
∴,
∴,
∵沿折叠得到,沿折叠得到
∵,,
∴,
即,
∴,
故答案为:20.
【点睛】本题主要考查了折叠的性质,解题的关键是掌握折叠前后对应角相等.
29.(1)A和,B和,C和
(2)
(3)直线m垂直平分线段,
(4)见解析
【分析】(1)根据成轴对称的性质求解即可;
(2)首先根据成轴对称的性质得到,然后利用全等三角形的性质得到,然后利用三角形内角和定理求解即可;
(3)根据成轴对称的性质求解即可;
(4)根据成轴对称的性质求解即可.
【详解】(1)∵和关于直线m对称
∴对称点有A和,B和,C和.
(2)∵和关于直线m对称
∴
在中,,
∴.
(3)∵和关于直线m对称
∴直线m垂直平分线段,.
(4)∵和关于直线m对称
∴它们的交点在直线m上,其他对应线段(或其延长线)的交点也在直线m上.
规律:若两条线段关于直线m对称,且不平行,则它们的交点或它们的延长线的交点在对称轴m上.
【点睛】本题考查成轴对称的性质,全等三角形的性质等知识,解题的关键是掌握成轴对称的性质,把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质: ①关于某条直线对称的两个图形形状相同,大小相等,是全等形; ②如果两个图形关于某条直线对称,则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线; ③两个图形关于某条直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么它们的交点在对称轴上
30.(1)
(2)
【分析】(1)由轴对称的性质可得,由三角形周长公式得到,则,即;
(2)根据轴对称的性质得到,进一步推出.
【详解】(1)解:∵点M,N分别是点P关于的对称点,
∴,
∵的周长是,
∴,
∴,即;
(2)解:如图所示,连接,
∵点M,N分别是点P关于的对称点,
∴,
∴ .
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的性质,正确得到,是解题的关键.
31.
【分析】由折叠的性质得到∠D=∠C,再利用外角性质即可求出所求角的度数.
【详解】解:如图,
由折叠的性质得:∠D=∠C=46°,
根据外角性质得:∠1=∠3+∠C,∠3=∠2+∠D,
则∠1=∠2+∠C+∠D=∠2+2∠C=∠2+92°,
则∠1-∠2=92°.
故答案为:92°.
【点睛】本题考查了翻折变换(折叠问题),以及外角性质,熟练掌握折叠的性质是解本题的关键.
32.(1)125°
(2)①y=2x-110,;②()
(3)79°或115°
【分析】(1)根据翻折后所得图形与原图形角度相等,所以∠D=∠C=90°,则可求出∠BAC=55°,则;
(2)①先求出∠BAC的度数,利用∠DAE=180°-2∠BAC列出表达式即可得y与x的数量关系,因为点D在CE左侧,所以∠BAC<90°,利用∠BAC=180°-∠CBA-x可求出x的取值范围;
②点D在CE右侧,则90°<∠BAC<180°,将∠BAC的表达式代入即可求出x的范围;
(3)根据(2)中两种情况分别进行讨论,利用两直线平行同位角相等和内错角相等,结合条件列出等式,先求出∠DAE和∠C,从而可以求出∠BAD.
【详解】(1)∵沿AB翻折得
∴∠DBA=∠CBA
∵
∴∠CBA=
∵
∴∠BAC=90°-35°=55°
∴
(2)①根据(1)中所求,∠CBA=35°,
∴∠BAC=180°-35°-x°=145°-x°
∵∠BAD=∠BAC
∴∠DAE=180°-2∠BAC
∴y=180-2(145-x)=2x-110
∵点D在CE左侧
∴
∴
即:
解得:
所以,y=2x-110,
②当点D在CE右侧时,
∵∠BAC=145°-x°
∴
∵点D在CE右侧
∴
∴90°<145°-x°<180°
解得:
∵∠C是三角形的一个内角
∴
∴
所以, ()
(3)
①当点D在CE左侧时
∵
∴
∵∠DAE=2∠C-110°,
∴
∴
∴
②当点D在CE右侧时
∵
∴∠C=∠DFC
∵∠DAE=110°-2∠C,∠EFD=180°-∠DFC
∴180°-∠C=3(110°-2∠C)
∴∠C=30°
∴∠BAD=∠BAC=145°-30°=115°
所以,的度数为79°或115°
【点睛】本题考查了翻折的性质和平行线的性质,熟练掌握相关知识,利用各角之间的数量关系进行代换是解题的关键.
33.(1)C;(2)220°;(3)∠1+∠2=180°+∠A;(4)∠1+∠2=2∠A,证明见解析
【分析】(1)先求出∠B+∠A的度数,再根据四边形内角和等于360°,即可得出答案;
(2)先求出∠B+∠C的度数,再根据四边形内角和等于360°,即可得出答案;
(3)先用∠A表示出∠B+∠C,再根据四边形内角和等于360°,即可得到结论;
(4)由折叠的性质得∠AFE=∠PFE,∠AEF=∠PEF,结合平角的定义和三角形内角和定理,即可得到结论.
【详解】解:(1)∵△ABC为直角三角形,∠C=90°,
∴∠B+∠A=180°-90°=90°,
∴∠1+∠2=360°-(∠B+∠A)=270°.
故选:C;
(2)∵△ABC中,∠A=40°,
∴∠B+∠C=180°-40°=140°,
∴∠1+∠2=360°-(∠B+∠C)=220°.
故答案是:220°;
(3)∵△ABC中,∠B+∠C=180°-∠A,
∴∠1+∠2=360°-(∠B+∠C)=360°-(180°-∠A)=180°+∠A.
故答案是:∠1+∠2=180°+∠A;
(4)∠1+∠2=2∠A,理由如下:
如图:
∵△EFP是由△EFA折叠得到的,
∴∠AFE=∠PFE,∠AEF=∠PEF,
∴∠1=180°-2∠AFE,∠2=180°-2∠AEF,
∴∠1+∠2=360°-2(∠AFE+∠AEF),
又∵∠AFE+∠AEF=180°-∠A,
∴∠1+∠2=360°-2(180°-∠A)=2∠A.
【点睛】此题主要考查三角形内角和定理,四边形内角和等于360°以及折叠的性质,掌握以上知识点是解题的关键.
34.(1)见解析
(2)见解析
【分析】(1)作点P关于是对称点,连接′交于M,点M即为所求.
(2)作点P关于是对称点,点Q关于的对称点,连接交于E,交于F,点E,点F即为所求.
【详解】(1)解:如图,运动路径:,点M即为所求.
(2)解:如图,运动路径:,点E,点F即为所求.
【点睛】本题考查轴对称的应用,解题的关键是学会利用轴对称解决实际问题.
35.见解析
【分析】首先作出点A关于FC的对称点,再连接交FC于点P,连接AP,PB,可得A球的运动路线.
【详解】如图所示:运动路线:.
【点睛】本题主要考查生活中的轴对称现象,关键是掌握轴对称的性质.
36.(1)图见解析;(2)图见解析.
【分析】(1)依据点A坐标为(2,-3),点B坐标为(4,-1),即可得到坐标轴的位置.
(2)先描出C点,依据轴对称的性质,即可得到△ABC关于y轴对称的△A1B1C1.
【详解】解:(1)如图所示.
(2)如图所示,△A1B1C1即为所求.
【点睛】本题考查的是作图-轴对称变换,熟知轴对称变换的性质是解答此题的关键.
37.(1)见解析;(2)平行四边形.
【分析】(1)根据题意画出三角形即可;
(2)由对称的性质判断即可.
【详解】(1)如图,△A′B′C即为所求;
(2)如上图,由题意可得△ABC≌△A′B′C,
∴AC=A′C,BC=B′C,
∴四边形ABA'B'为平行四边形.
【点睛】本题考查了对称图形的性质,平行四边形的判定,掌握平行四边形的判定是解题关键.
38.见解析
【分析】作A点关于直线a的对称点A′,连接A′B交直线a于点P,此处即为液化气站的位置.
【详解】解:如图所示,点即为所求.
【点睛】此题考查了轴对称最短路径问题,解答此题的关键是熟知轴对称的性质以及两点之间线段最短这一性质.
39.A
【分析】根据轴对称图形的意义:如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴;进行解答即可.
【详解】解:各选项中,两个三角形成轴对称的是选项A.
故选:A.
【点睛】此题考查了两个图形成轴对称的定义,确定两个图形成轴对称的关键是寻找对称轴,图形两部分对折后可完全重合.
40.A
【分析】根据,得到,结合轴对称即可得到,再根据三角形内外角关系直接求解即可得到答案;
【详解】解:∵,,
∴,
∵与关于直线对称,点B的对称点是点,
∴,
∴,
故选:A;
【点睛】本题考查三角形内角和关系与三角形内外角关系及轴对称的性质,解题的关键是熟练掌握内外角关系.
41.D
【分析】连接,利用轴对称的性质解答即可.
【详解】解:连接,
点分别以、为对称轴,画出对称点、,
,,
,,
,
,
故选D.
【点睛】本题考查轴对称的性质,关键是利用轴对称的性质解答.
42.(1)见解析;(2)8
【分析】(1)先作出四边形ABCD各个顶点关于直线m的对称点,再顺次连接起来,即可;
(2)四边形对角线的乘积÷2,即可求解.
【详解】(1)如图所示:
(2).
【点睛】本题主要考查画轴对称图形以及四边形的面积,掌握轴对称图形的性质,是解题的关键.
43.(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】(1)先画出一条3×3的正方形网格的对称轴,根据对称性即可在图①中,描出点A、B的对称点M、N,它们一定在格点上,再连接即可;
(2)同(1)方法可解;
(3)同(1)方法可解.
【详解】(1)解:如图①,即为所求;(答案不唯一).
;
(2)解:如图②,即为所求;(答案不唯一).
;
(3)解:如图③,△DEF即为所求.(答案不唯一).
.
【点睛】本题考查了作图 轴对称变换,解决本题的关键是找到图形对称轴的位置.
44.(1)见解析
(2)见解析
(3)图1是W,图2是X
【分析】(1)根据要求直接平移即可;
(2)在第四象限画出关于x轴对称的图形;
(3)观察图形可得结论.
【详解】(1)解:如图所示,将点A(2,3),B(1,0),C(0,3)得,,,
(2)解:如图所示,
(3)解:图1是W,图2是X.
【点睛】本题考查了对称的性质和平移,解题关键是牢固掌握关于坐标轴对称的点的坐标的特征并能灵活运用.
45.C
【分析】点A与点B关于直线l成轴对称,根据轴对称的性质,有直线垂直平分AB.
【详解】解:点A和点B关于直线成轴对称,则直线和线段AB的位置关系是:直线垂直平分AB,
故C正确.
故选:C.
【点睛】本题主要考查了成轴对称的定义,如果一个图形沿着一条直线翻折,能够与另一个图形完全重合,这两个图形就是成轴对称.这条直线叫做对称轴.
46.A
【分析】根据轴对称图形的性质进行判断并作出正确的选择.
【详解】解:把一个图形沿着某条直线折叠,两边能够重合的图形是轴对称图形,由此可以得到:两个图形成轴对称,则这两个图形全等.
故选:A.
【点睛】此题主要考查了轴对称的性质,正确把握轴对称图的性质是解题关键.
47.B
【分析】根据折叠性质,得到,选择即可.
【详解】如图,根据题意,得
,
故选B.
【点睛】本题考查了折叠的性质,准确理解折叠的性质是解题的关键.
48.B
【分析】根据对称轴的定义分别得出各选项中对称轴的条数,比较选出正确答案.
【详解】解:A. 等边三角形,有3条对称轴;
B. 正方形,有4条对称轴;
C. 等腰三角形,有1条对称轴;
D. 等腰梯形,有1条对称轴.
故选:B.
【点睛】本题考查了求对称轴的条数,理解对称轴的定义是解题关键.
49.B
【分析】分别连接OP1,OP2,P1P2,由三角形三边的关系及对称的性质,可确定P1P2的范围,根据这范围即可确定答案.
【详解】解:分别连接OP1,OP2,P1P2,如图所示,
则,
由对称知:,
∴,
∵,
∴.
∴A、C、D三个选项中提供的数值均不在上述范围内.
故选:B.
【点睛】本题考查了对称的性质,三角形三边的不等关系:任两边之和大于第三边,掌握此关系是关键.
50.D
【分析】根据轴对称的性质可得,再根据三角形的周长计算方法即可解答.
【详解】解:∵点,分别是点P关于,的对称点,
∴,
∴的周长,
故选:D.
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质,解题的关键是掌握对称轴上的点与对应点连线相等.
51.A
【分析】由折叠可知: ECD即可得出AC=EC,AD=DE根据BE=BC-EC即可得出的周长;
【详解】解:由折叠可知: ECD
∴AC=EC=5
AD=DE
∴BE=BC-EC=8-5=3
∴BD+DE=BD+AD=AB=6
∴ BDE的周长为:BD+DE+BE=6+3=9
故选A
【点睛】本题考查了翻折的性质,掌握翻折前后的两个三角形全等是解题的关键.
52.A
【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴,然后作出轴对称三角形即可得解.
【详解】解:如图,最多能画出6个格点三角形与成轴对称.
故选:A.
【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图,熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键,本题难点在于确定出不同的对称轴.
53.B
【分析】根据轴对称的性质可知,结合的周长为12,利用等量代换可知.
【详解】解:∵点C是点P关于的对称点,
∴垂直平分,
∴.
同理.
∵,
∴,
∵的周长为12,
∴.
故选:B.
【点睛】此题考查轴对称的基本性质.注意:对称轴垂直平分对应点的连线,对应角相等,对应边相等.
54.C
【分析】轴对称图形的定义是,在一个平面内,平面图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形就是轴对称图形.根据定义即可得到正确答案
【详解】解:A、不是轴对称图形,答案错误;
B、不是轴对称图形,答案错误;
C、是轴对称图形,答案正确;
D、不是轴对称图形,答案错误.
故选:C
【点睛】本题考查轴对称图形的定义,根据定义解题是关键.
55.①②④
【分析】四边形ABCD沿直线l对折后互相重合,即△ABC与△ADC关于L对称,又有AD∥BC,则有四边形ABCD为平行四边形.根据轴对称的性质可知.
【详解】解:∵直线l是四边形ABCD的对称轴,AD∥BC;
∴△AOD≌△BOC;
∴AD=BC=CD,OC=AO,且四边形ABCD为平行四边形.故②④正确;
又∵AD四边形ABCD是平行四边形;
∴AB∥CD.故①正确.
故答案为:①②④
56.35°##35度
【分析】根据轴对称的性质与三角形的内角和等于180°可得.
【详解】∵△ABC与△DEF关于直线l对称,
∴∠A=∠D=65°,∠B=∠E=80°,
∴∠F=180°﹣∠D﹣∠E=180°﹣65°﹣80°=35°.
故答案为:35°.
【点睛】本题考查轴对称的性质与三角形的内角和,解题的关键是掌握轴对称的性质与三角形的内角和.
57.
【详解】解:∵把长方形ABCD沿EF对折,
∴AD∥BC,∠BFE=∠2,
∵∠1=50°,∠1+∠2+∠BFE=180°,
∴∠BFE==65°,
∵∠AEF+∠BFE=180°,
∴∠AEF=115°.
故答案为:115°.
58.15
【分析】根据轴对称的性质得到,据此利用三角形周长公式求解即.
【详解】解:∵P点关于的对称点,
∴.
∴的周长为.
故答案为:15.
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质,熟知轴对称的性质是解题的关键.
59.或
【分析】分两种情况:当点在上时,有直角三角形的性质可得,当时,即在外时,由折叠可得:,,,平分,即.
【详解】解:分两种情况:如图,
①当时,点在上时,
②当时,即在外时,如图,
由折叠可得:
,
,
,
平分,
,
不可能为直角.
故答案为或.
【点睛】本题考查折叠的性质,解本题要注意分类讨论.熟练掌握折叠的性质、直角三角形的性质和三角形的内角和等基本知识点.
60.9
【分析】先根据面积求B到AD的距离,再求B,E的距离.
【详解】解:∵F是DE的中点,
∴.
如图:
连接B、E交AD于H,由翻折的性质得:BE=2BH,BE⊥AD,,
∴,
∴,
∴.
故答案为:9.
【点睛】本题考查翻折的性质,充分利用翻折性质,利用面积公式求高是求解本题的关键.
61.45
【分析】根据正方形的性质,由两个角度为45°的等腰直角三角形构成,即可得解.
【详解】根据题意,由正方形的性质,得
两个等腰直角三角形构成正方形,
即角度为45°.
【点睛】此题主要考查正方形的性质运用,熟练掌握,即可解题.
62.90°
【分析】由题意易得∠EAB=∠CAB,∠ACB=∠DCB,由∠1:∠2:∠3=9:2:1及三角形内角和可得∠2=30°,∠3=15°,然后根据三角形外角的性质可求解.
【详解】解:由△ABE、△BDC 和△ABC 分别是关于 AB,BC 边所在直线对称的轴对称图形,可得:
∠EAB=∠2,∠3=∠DCB,
∠1:∠2:∠3=9:2:1,∠1+∠2+∠3=180°,
,
;
故答案为90°.
【点睛】本题主要考查轴对称图形的性质及三角形内角和及外角的性质,熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键.
63.(1)垂直平分
(2)
(3)的周长为,的面积为
【分析】(1)利用关于某条直线对称的两个图形的对称点的连线被对称轴垂直平分可以得到;
(2)利用关于某条直线对称的三角形全等可以得到对应角相等;
(3)利用关于某条直线对称的三角形全等可以得到周长和面积相等;
【详解】(1)解:(1)∵与关于直线对称,
∴垂直平分;
(2)解:∵与关于直线对称,
∴,
∴;
(3)解:∵,
∴,
∴的周长;
的面积.
【点睛】本题考查了轴对称图形的性质,解题的关键是掌握关于某条直线对称的两个图形全等.
64.(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】(1)分别作出三个顶点关于x轴的对称点,再首尾顺次连接即可;
(2)将的三个顶点分别向左平移4个单位长度,再把得到的点首尾顺次连接即可;
(3)根据“关于x轴对称点的横坐标相等、纵坐标互为相反数”及“右加左减、上加下减”求解即可.
【详解】(1)解:如图所示,即为所求,
(2)如图所示,即为所求,
(3)上有一点关于x轴的对称的点为,向左平移4个单位长度后得到的点的坐标是,
故答案为:
【点睛】本题主要考查作图—轴对称变换和平移变换,解题的关键是掌握轴对称变换和平移变换的定义与性质及平面直角坐标系中点的坐标的平移、关于坐标轴对称的特点.
65.(1)见解析,,,
(2)
【分析】(1)根据轴对称的性质得出、、的位置,然后顺次连接,然后根据所作图形写出坐标即可;
(2)利用割补法求三角形的面积即可.
【详解】(1)解:如图所示:
由图可得:,,;
(2).
【点睛】本题考查作图—轴对称变换、坐标与图形、三角形的面积计算,熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键.
66.(1)
(2)见解析
(3)
【分析】(1)用一个矩形的面积分别减去3个直角三角形的面积可计算出△ABC的面积;
(2)分别作B、C两点关于直线l的对称点,从而得到;
(3)作点C关于直线AB的对称点可得到与△ABC全等的三角形,或作点C关于AB的垂直平分线的对称点得到与△ABC全等的三角形.
【详解】(1)ABC的面积=;
(2)如图,即为所作;
(3)在AB的两侧可各作一个三角形与△ABC全等.
故答案为:2.
【点睛】本题考查了作图-轴对称:画一个图形的轴对称图形时,也是先从确定一些特殊的对称点开始的,一般的方法是:由已知点出发向所给直线作垂线,并确定垂足;直线的另一侧,以垂足为一端点,作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长,得到线段的另一端点,即为对称点;连接这些对称点,就得到原图形的轴对称图形.
67.(1)见解析;(2)A1(1,5),B1(1,0),C1(4,3);(3)
【分析】(1)根据网格结构找出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的位置,然后顺次连接即可;
(2)根据平面直角坐标系写出点的坐标即可;
(3)利用三角形的面积公式列式进行计算即可求解.
【详解】解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求作的三角形;
(2)点A1、B1、C1的坐标分别为:
A1(1,5),B1(1,0),C1(4,3);
(3)S=×5×3=.
【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图,熟悉网格结构并找出对应点的位置是解题的关键.
68.(1)的周长是20cm;
(2);
(3)见解析
【分析】(1)根据轴对称的性质得出,再由cm即可得出结论;
(2)根据轴对称的性质和等腰三角形的性质找出与的关系,利用已知可求出;
(3)连接,根据轴对称的性质得到,,据此即可求得.
【详解】(1)解:∵点M、N分别是点P关于OA、OB的对称点,
∴cm,
∴(cm),
即的周长是20cm;
(2)解:如图,
∵点M、N分别是点P关于直线的对称点,
∴垂直平分,垂直平分,
∴,,,
∴,,
∴在四边形中,
∴,
∵,
∴,
∵,即,
∴;
(3)证明:连接,
根据轴对称的性质得到,,
∴,
∴.
∴平分.
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、线段垂直平分线的性质,在计算的过程中运用了四边形的内角和和三角形的内角和定理及其推论.
69.(1)画图见解析;(2)画图见解析;(3)(a+4,-b)
【分析】(1)直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案;
(2)直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案;
(3)直接利用平移变换的性质得出点M2的坐标.
【详解】(1)如图所示:△A1B1C1,即为所求;
(2)如图所示:△A2B2C2,即为所求;
(3)由(1)(2)轴对称以及平移的性质得出对应A2C2上的点M2的坐标是:(a+4, b).
故答案为(a+4, b).
70.(1)
(2)
【分析】(1)根据轴对称的性质得出,就有的周长而求出结论;
(2)设,则,由可以求出,由直角三角形的性质就可以求出结论.
【详解】(1)解:由折叠的性质可得: ,.
∵的周长,
∴的周长.
∵,,
∴的周长;
(2)解:设,则,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴.
【点睛】本题考查了轴对称的性质的运用,三角形的周长公式的运用,直角三角形的性质的运用,解答时根据轴对称的性质求解是关键.
答案第40页,共41页
答案第41页,共41页