专题09确定圆的条件（2个知识点8种题型1种中考考法）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1：确定圆的条件
知识点2：三角形的外接圆与外心
【方法二】 实例探索法
题型1：确定圆的条件
题型2：根据点判断圆的个数
题型3：判断三角形外接圆的圆心
题型4：根据三角形外接圆的性质求角度
题型5：根据三角形外接圆的性质求线段长或半径
题型6：尺规作图
题型7：有关三角形外接圆的动点问题
题型8：有关三角形外接圆的最值问题
【方法三】 仿真实战法
考法：三角形的外接圆与外心
【方法四】 成果评定法
【学习目标】
1.了解三角形的外接圆与外心相关概念，
2.探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1：确定圆的条件
不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．
知识点2：三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
【方法二】实例探索法
题型1：确定圆的条件
（2022秋 盐都区期中）
1．下列说法正确的是（ ）
A．等弧所对的圆心角相等 B．在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等
C．过三点可以画一个圆 D．平分弦的直径，平分这条弦所对的弧
（2022秋 江宁区校级月考）
2．下列说法：①长度相等的弧是等弧；②相等的圆心角所对的弧相等；③直径是圆中最长的弦；④经过不在同一直线上的三个点A、B、C只能作一个圆．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2021秋 东光县期中）
3．经过两点可以作 个圆，不在同一直线的 个点可以确定一个圆．
（2021秋 建邺区期中）
4．当点A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆，则n需要满足的条件为 ．
5．平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，-3）、C（2，-3） 确定一个圆（填“能”或“不能”）．
6．在平面直角坐标系中有，，三点，，，．现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为 ．
（2022春 射阳县校级期中）
7．如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 ．
题型2：根据点判断圆的个数
8．经过不在同一直线上的三个点可以作圆的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．无数
（2021秋·江苏·九年级专题练习）
9．在同一平面内，过已知A，B，C三个点可以作的圆的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．0或1
（2022秋·江苏淮安·九年级校考阶段练习）
10．已知AB=7cm，则过点A，B，且半径为3cm的圆有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
（2022秋·江苏·九年级专题练习）
11．已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出( )．
A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆
（2021秋·江苏·九年级专题练习）
12．如图所示，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作 个．
（2021秋·江苏·九年级专题练习）
13．平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为 ．
题型3：判断三角形外接圆的圆心
（2023 无锡二模）
14．在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A、B、C上，他们在玩抢凳子的游戏，要在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放的最恰当的位置是△ABC的（ ）
A．三条高的交点 B．重心 C．内心 D．外心
（2022秋 梁溪区校级期中）
15．三角形的外心具有的性质是（ ）
A．外心在三角形外 B．外心在三角形内
C．外心到三角形三边距离相等 D．外心到三角形三个顶点距离相等
（2022秋 广陵区校级期末）
16．如图，点，C在平面直角坐标系中，则的外心在（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．原点O处 D．y轴上
题型4：根据三角形外接圆的性质求角度
（2022秋 鼓楼区期中）
17．如图，正方形、等边三角形内接于同一个圆，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
（2023 姑苏区校级二模）
18．如图，E为正方形的边上一点（不与重合），将沿直线翻折到，延长交于点G，点O是过B、E、G三点的圆劣弧上一点，则 ．
题型5：根据三角形外接圆的性质求线段长或半径
（2022秋 太仓市校级月考）
19．如图，内接于，，为的直径，则 的值为（ ）．
A．6 B． C．3 D．
（2023 秦淮区模拟）
20．如图，是的内接三角形，，，把绕点按逆时针方向旋转得到，则对应点、之间的距离为 ．
21．如图，△ABC内接于⊙O，∠A = 30°，过圆心O作OD⊥BC，垂足为D．若⊙O的半径为6，求OD的长．
22．如图，是的外接圆，于点D，圆心O在上，，，求的半径．
（2022秋 海州区校级月考）
23．阅读下列材料：已知实数，满足，求．
解：设，则原方程变为，整理得，，所以，因为，所以．这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题．
(1)已知实数、，满足，求的值；
(2)已知的三边为a、b、c（c为斜边），其中a、b满足，求外接圆的半径．
（2022秋 宿城区期中）
24．如图，，是的高，，相交于点，是的中点，是的外接圆．
(1)点B，C，D，E是否在以点M为圆心的同一个圆上 请说明理由．
(2)若，，求外接圆的半径长．
（2022秋 溧阳市期中）
25．阅读下列材料：
已知实数m，n满足（2m2＋n2＋1）（2m2＋n2－1）＝80，试求2m2＋n2的值．
解：设2m2＋n2＝t，则原方程变为（t＋1）（t－1）＝80，整理得t2－1＝80，t2＝81，
所以t＝±9，因为2m2＋n2≥0，所以2m2＋n2＝9．
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
（1）已知实数x、y，满足（2x2＋2y2＋3）（2x2＋2y2－3）＝27，求x2＋y2的值；
（2）已知Rt△ACB的三边为a、b、c（c为斜边），其中a、b满足（a2＋b2）（a2＋b2－4）＝5，求Rt△ACB外接圆的半径．
（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）
26．如图，，是的高，，相交于点，是的中点，是的外接圆．
(1)点B，C，D，E是否在以点M为圆心的同一个圆上 请说明理由．
(2)若，，求外接圆的半径长．
（2022秋·江苏常州·九年级统考期中）
27．阅读下列材料：
已知实数m，n满足 ，试求的值．
解：设，则原方程变为，整理得，，所以，因为，所以,上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
(1)已知实数x、y满足 ，求值；
(2)已知的三边为a、b、c（c为斜边），且a、b满足，外接圆的半径．
题型6：尺规作图
（2022秋 江阴市校级月考）
28．（1）如图1，请只用无刻度直尺找出的外心点；并直接写出其外接圆半径 ；
（2）如图2，请用直尺和圆规将图中的弧补成圆；并标记圆心．
（2022秋·江苏无锡·九年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）
29．请用无刻度的直尺和圆规作图，不写做法，保留作图痕迹，标上相应字母．
(1)已知，作，使圆心P到、边的距离相等，且经过A、B两点．
(2)如图，四边形是直角梯形，作，使与边都相切．
（2023·江苏宿迁·统考一模）
30．已知，点D是的边上一点．
(1)如图甲，，垂足为E，平分交边于点F，交边于点O，求证：；
(2)如图乙，交边于点E，平分交边于点O，，垂足为点F，求；
(3)如图丙，在线段上找一点O作，使经过点D且与相切．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出作法过程，不证明）
（2023秋·江苏连云港·九年级统考期中）
31．如图，在平面直角坐标系中，、、．
(1)在图中画出经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的位置；
(2)坐标原点与有何位置关系？并说明理由．
（2023·江苏宿迁·统考三模）
32．尺规作图蕴含丰富的推理，还体现逆向思维，请尝试用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．
(1)【圆的作图】点P是中边上的一点，在图1中作，使它与的两边相切，点P是其中一个切点；
(2)点P是中边上的一点，在图2中作，使它满足以下条件：
①圆心O在上；②经过点P；③与边相切；
(3)【不可及点的作图】如图3，从墙边上引两条不平行的射线（交点在墙的另一侧，画不到），作这两条射线所形成角的平分线．
题型7：有关三角形外接圆的动点问题
33．如图，在中，，，，点M从C点开始以的速度沿向B点运动，点N从A点开始以的速度沿向C点运动，点M、N同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．
（1）2秒时，的面积是____________；
（2）求经过几秒，的面积是；
（3）试说明外接圆的半径能否是．
题型8：有关三角形外接圆的最值问题
34．如图，点A、点B是直线l上两点，AB＝10，点M在直线l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若点P为直线l上一动点，连接MP，则线段MP的最小值是 ．
（2022 苏州二模）
35．如图，在中，，，，是内一动点，为的外接圆，交直线于点，交边于点，若，则的最小值为 ．
【方法三】 仿真实战法
考法：三角形的外接圆与外心
（2018 扬州）
36．如图，已知的半径为2，内接于，，则 ．
（2017 泰州）
37．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2）．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为 ．
（2019 连云港）
38．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB．将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结论：①△CMP是直角三角形；②点C、E、G不在同一条直线上；③PC＝MP；④BP＝AB；⑤点F是△CMP外接圆的圆心．其中正确的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【方法四】 成果评定法
一．选择题
39．经过不在同一直线上的三个点可以作圆的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．无数
（2022秋 鼓楼区校级月考）
40．下列说法正确的个数有（ ）
①平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；
②在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等；
③等弧所对的圆心角相等；
④过三点可以画一个圆；
⑤圆是轴对称图形，任何一条过圆心的直线都是它的对称轴；
⑥三角形的外心到三角形的三边距离相等．
A．1 B．2 C．3 D．4
（2022 沈河区校级模拟）
41．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝45°，AB＝6，则⊙O的半径长为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
（2022秋 工业园区校级月考）
42．如图，等边三角形内接于，点D是弧上的一个动点（不与点A、B重合），连接，过点A作，垂足为E，连接，若的半径为，则长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
43．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标为（1，3）、（5，3）、（1，－1），则△ABC外接圆的圆心坐标是（ ）
A．（1，3） B．（3，1） C．（2，3） D．（3，2）
（2022秋 泰州月考）
44．如图，是的内接三角形，若，则（ ）
A． B． C． D．
（2022秋 姑苏区校级期中）
45．过三点，，的圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
（2022 邯山区模拟）
46．如图，在平面直角坐标系中，△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，AB⊥x轴，M为Rt△ABC的外心．若点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（﹣1，1），则点B的坐标为（ ）
A．（3，﹣1） B．（3，﹣2） C．（3，﹣3） D．（3，﹣4）
（2022 江岸区模拟）
47．如图，已知平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为（ ）
A．（6，8） B．（4，5） C．（4，） D．（4，）
（2022秋 鼓楼区校级月考）
48．如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在的外部，判断下列叙述不正确的是（ ）
A．O是的外心 B．O是的外心 C．O是的外心 D．O是的外心
二．填空题
（2022秋 洪泽区期中）
49．如图，为的外接圆，，，则半径长为 ．
（2022秋 鼓楼区校级月考）
50．已知是的外心，若，则 ．
51．在平面直角坐标系中有，，三点，，，．现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为 ．
（2022秋 灌云县月考）
52．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点O，B，C，D均在小正方形的顶点上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过B，C，D三点的圆的半径为 ．
（2022秋 南京期末）
53．平面内有一点P和线段，连接，若，则点P到的最大距离为 ．
（2022秋 邗江区期中）
54．我们知道，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，由此，我们可以引入如下新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．如图，在中，的准外心P在的直角边上，则的长为 ．
55．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝ 45°，AD⊥BC于点D，延长AD交⊙O于点E，若BD＝4，CD＝1，则AD的长是
（2023 高邮市模拟）
56．如图，已知D、E分别在等边的边、上，连结，的平分线恰好经过的外心O，交于点F，连结，若的周长为18，则的周长为 ．
三．解答题
（2021春 射阳县校级期末）
57．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BC=4，∠A=30°，求⊙O的直径．
（2021秋 海州区校级期中）
58．如图，在平面直角坐标系中，A(0，4)、B(4，4)、C(6，2)．
（1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 ；
（2）这个圆的半径为 ；
（3）直接判断点D(5，﹣2)与⊙M的位置关系，点D(5，﹣2)在⊙M （填内、外、上）．
59．如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．
（1）求证：；
（2）若，⊙O的半径为5，求△ABC的面积．
（2022秋 大丰区校级月考）
60．已知等腰三角形ABC，如图．
（1）用直尺和圆规作△ABC的外接圆；
（2）设△ABC的外接圆的圆心为O，若∠BOC=128°，求∠BAC的度数．
61．阅读下列材料：
已知实数m，n满足（2m2＋n2＋1）（2m2＋n2－1）＝80，试求2m2＋n2的值．
解：设2m2＋n2＝t，则原方程变为（t＋1）（t－1）＝80，整理得t2－1＝80，t2＝81，
所以t＝±9，因为2m2＋n2≥0，所以2m2＋n2＝9．
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
（1）已知实数x、y，满足（2x2＋2y2＋3）（2x2＋2y2－3）＝27，求x2＋y2的值；
（2）已知Rt△ACB的三边为a、b、c（c为斜边），其中a、b满足（a2＋b2）（a2＋b2－4）＝5，求Rt△ACB外接圆的半径．
62．我们知道，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．由此，我们可以引入如下新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．
（1）如图1，点P在线段BC上，∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°，BP＝CD．求证：点P是△APD的准外心；
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，△ABC的准外心P在△ABC的直角边上，试求AP的长．
63．如图所示，已知A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，10），P是△AOB外接圆⊙C上的一点，OP交AB于点 D．
（1）当OP⊥AB时，求OP；
（2）当∠AOP＝30°时，求AP．
（2022秋 新北区校级月考）
64．如图，已知，是的平分线，是射线OM上一点，．动点P从点A出发，以的速度沿水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以的速度沿ON竖直向上作匀速运动．连接PQ，交OT于点B．经过三点作圆，交OT于点C，连接．设运动时间为，其中．
(1)求的值
(2)求四边形的面积．
试卷第2页，共19页
试卷第1页，共19页
参考答案：
1．A
【分析】根据确定圆的条件，弧，圆心角，弦之间的关系，垂径定理的判定进行一一判断即可．
【详解】解：A、等弧所对的圆心角相等，说法正确，本选项符合题意；
B、在等圆中，如果弦相等，但它们所对的弧不一定相等，本选项不符合题意；
C、过不在同一直线上的三点可以画一个圆，说法不正确，本选项不符合题意；
D、平分弦（非直径）的直径，平分这条弦所对的弧，说法不正确，本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查确定圆的条件，弧，圆心角，弦之间的关系，垂径定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2．B
【分析】根据圆的相关知识求解即可．
【详解】解：同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故①错误；
同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故②错误；
直径是圆中最长的弦，故③正确；
经过不在同一直线上的三个点A、B、C只能作一个圆，故④正确，
综上所述，正确的有2个，
故选：B．
【点睛】此题考查了圆心角，圆弧，弦等圆的相关知识，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握圆的相关知识．
3． 无数 三
【分析】根据确定圆的条件解答即可．
【详解】解：经过两点可以做无数个圆，
不在同一直线的三个点可以确定一个圆，
故答案为：无数，三．
【点睛】本题考查了确定圆的条件，属于基础题，熟练掌握相关知识是解题的关键．
4．n≠﹣8
【分析】能确定一个圆就是不在同一直线上，首先确定直线AB的解析式，然后点C不满足求得的直线即可．
【详解】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵A（1，2），B（3，﹣3），
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为，
∵点A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆时，
∴点C不在直线AB上，
∴当点C在直线AB上时，，
∴当点A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆，则n需要满足的条件为n≠﹣8，
故答案为：n≠﹣8．
【点睛】本题考查了确定圆的条件及坐标与图形的性质，能够了解确定一个圆时三点不共线是解答本题的关键．
5．能
【详解】∵B（0，-3）、C（2，-3），
∴BC∥x轴，
而点A（1，0）在x轴上，
∴点A、B、C不共线，
∴三个点A（1，0）、B（0，-3）、C（2，-3）能确定一个圆．
故答案为能．
6．(2，0)
【分析】根据不在同一条直线上的三点能确定一个圆，该圆圆心在三点中任意两点连线的垂直平分线上，然后根据垂直平分线的性质和勾股定理即可求解．
【详解】∵，，
∴AB的垂直平分线为
设圆心为
∵点O也在BC的垂直平分线上，
∴
根据勾股定理得
解得
∴圆心坐标为
故答案为：(2，0)．
【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质和勾股定理，掌握垂直平分线的性质和勾股定理是解题的关键．
7．（2，1）
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，1）．
故答案为（2，1）．
【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．
8．A
【分析】根据题意，过一个点或两个点可以做无数个圆，过不在同一直线的三个点只能做一个圆．
【详解】经过不在同一直线的三个点可以确定一个三角形，一个三角形只能有一个外接圆，所以经过不在同一直线上的三个点可以做一个且只能做一个圆．
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是圆的基本性质．
9．D
【详解】分析：分两种情况讨论：①A、B、C三个点共线，不能做圆；②A、B、C三个点不在同一条直线上，有且只有一个圆．
解答：解：当A、B、C三个点共线，过A、B、C三个点不能作圆；
当A、B、C不在同一条直线上，过A、B、C三个点的圆有且只有一个，即三角形的外接圆；
故选D．
10．A
【详解】∵直径R=6cm，R
故选A.
11．C
【分析】根据过不共线三点可作一个圆，找出不共线三点的组数即可．
【详解】解：过其中的三点作圆，最多能作出10个，即分别过点ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE的圆．
故选C．
【点睛】本题考查三点共圆问题，掌握查确定圆的个数方法是解题关键．
12．3
【分析】根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”确定圆的个数即可．
【详解】过A、B、M；A、C、M；B、C、M共能确定3个圆，
故答案为3．
【点睛】本题考查了确定圆的条件，注：过三点作圆，分两种情况：①三点共线；②三点不共线．
13．1个或3个或4个
【分析】不在同一条直线上的三个点确定一个圆．由于点的位置不同，导致确定的圆的个数不同，所以本题分三种不同情况考虑．
【详解】解：（1）当四个点中有三个点在同一直线上，另外一个点不在这条直线上时，确定3个圆；
（2）当四个点中任意三个点都不在同一条直线上，并且四点不共圆时，则任意三点都能确定一个圆，一共确定4个圆；
（3）当四个点共圆时，只能确定一个圆．
故答案为：1个或3个或4个．
【点睛】本题考查的是圆的确定，由于点的位置不确定，因此用分类讨论的思想方法进行解答．
14．D
【分析】根据题意凳子的位置要到三个点的距离相等，那应该是三条垂直平分线的交点，也就是外心．
【详解】∵三角形的三条垂直平分线的交点到中间的凳子的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当，也就是放在外心处．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．
15．D
【分析】直接根据三角形的外心的定义判断即可
【详解】解：A．外心不一定在三角形外，错误；
B．外心不一定在三角形内，错误；
C．外心到三角形三角距离相等，错误；
D．外心到三角形三个顶点距离相等，正确；
故选D．
【点睛】本题考查了三角形的外心，熟练掌握定义是解答本题的关键．三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的外心是三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等．
16．B
【分析】根据直角坐标系的特点作AB、BC的垂直平分线即可求解．
【详解】如图，作AB、BC的垂直平分线，交点在第三象限，
故选B．
【点睛】此题主要考查三角形的外心的定义，解题的关键是根据题意作出垂直平分线求解．
17．D
【分析】由，，已知图形是以正方形的对角线所在直线为对称轴的轴对称图形，求得，则所对的圆心角为，所以的度数为．
【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形，
∴，，
∵已知图形是以正方形的对角线所在直线为对称轴的轴对称图形，
∴，
∵是所对的圆周角，
∴所对的圆心角等于，
∴的度数为，
故选D．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，正方形及等边三角形的性质、圆周角定理和弧的度数，根据圆周角定理求出所对的圆心角的度数是解决本题的关键．
18．135
【分析】连接，由折叠的性质得出，，，由正方形的性质得出，，证明，证出，求出，则可得出答案．
【详解】解：连接，
∵将沿直线翻折到，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为圆内接四边形，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
19．D
【分析】先根据“等边对等角”得出的度数，再根据“同弧所对的圆周角相等”得出的度数，从而得出直径的长度，最后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得：．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了“等边对等角”， “同弧所对的圆周角相等”，“直径所对的圆周角为直角”，“在直角三角形中，30°角所对的边为斜边的一半”，勾股定理，熟练掌握相关内容是解题的关键．
20．2
【分析】连接、、，根据圆周角定理求出，得到是等边三角形，求出，根据旋转的性质得到，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：连接、、，
由圆周角定理得，，
是等边三角形，
，
由旋转的性质可知，，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心的概念和性质，掌握圆周角定理、勾股定理、等边三角形的判定定理是解题的关键．
21．
【分析】连接OB、OC，由圆周角定理及圆的性质得△OBC是等边三角形，由OD⊥BC可得CD=BD，由勾股定理可求得OD的长．
【详解】连接OB、OC，如图
则OB=OC=6
∵圆周角∠A与圆心角∠BOC对着同一段弧
∴∠BOC=2∠A=60゜
∴△OBC是等边三角形
∴BC=OB=6
∵OD⊥BC
∴
在Rt△ODC中，由勾股定理得：
【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，连接两个半径运用圆周角定理是本题的关键．
22．
【分析】连接，垂径定理，得到，勾股定理求出的长，设圆的半径是R，在中，根据勾股定理可以得到：，进行求解即可．
【详解】解：如图，连接．
∵是的高．
∴，
在中，．
设圆的半径是R．
则．
在中，根据勾股定理可以得到：，
解得：．
∴的半径为．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理．熟练掌握垂径定理，是解题的关键．
23．(1)3
(2)1
【分析】（1）设，则原方程变为，再根据材料所给的步骤计算即可；
（2）设，则原等式可变为，解得：．再根据，即确定．由勾股定理可求出，最后根据直角三角形外接圆的半径为其斜边的一半即可解答．
【详解】（1）解：设，则原方程变为，
整理，得：，即，
解得：．
∵，
∴，
∴；
（2）解：设，则等式可变为，
整理，得：，
解得：．
∵，
∴．
∵的三边为a、b、c（c为斜边），
∴，
∴外接圆的半径为．
【点睛】本题考查解一元二次方程，勾股定理，直角三角形外接圆的性质．读懂阅读材料，理解“换元法”是解题关键．
24．(1)点B，C，D，E在以点M为圆心的同一个圆上，见解析
(2)5
【分析】（1）连接，，根据垂直定义可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，，从而可得，即可解答；
（2）连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，，根据三角形的高是交于一点的可得，再根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，，然后利用平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，从而可得，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【详解】（1）点，，，在以点为圆心的同一个圆上，
理由：连接，，
，，
，
是的中点，
，，
，
点，，，在以点为圆心的同一个圆上；
（2）连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，，
，是的高，，相交于点，
，
是的直径，
，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
在中，，
，
外接圆的半径长为5．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，直角三角形斜边上的中线，点与圆的位置关系，确定圆的条件，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25．（1）3；（2）
【分析】（1）设2x2＋2y2＝t，则原方程变为（t＋3）（t 3）＝27，解出一元二次方程即可；
（2）设a2＋b2＝t，则原方程变为t（t 4）＝5，整理得t2﹣4t﹣5＝0，，可求a2＋b2＝5，再由直角三角形的性质可得c＝，即可求解．
【详解】解：（1）设2x2＋2y2＝t，则原方程可变为（t＋3）（t﹣3）＝27，
解得：t＝±6，
∵2x2＋2y2≥0，∴2x2＋2y2＝6，
∴x2＋y2＝3；
（2）（a2＋b2）（a2＋b2﹣4）＝5，
设a2＋b2＝t，则原方程可变为t（t﹣4）＝5，
即t2﹣4t﹣5＝0，
解得t1＝5，t2＝﹣1，
∵a2＋b2≥0，
∴a2＋b2＝5，
∴c2＝5，
∴c＝，
∴外接圆的半径为．
【点睛】本题考查因式分解的应用，一元二次方程的解法，直角三角形的性质；能够将换元法灵活应用，结合直角三角形外接圆的特点解题是关键．
26．(1)点B，C，D，E在以点M为圆心的同一个圆上，见解析
(2)5
【分析】（1）连接，，根据垂直定义可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，，从而可得，即可解答；
（2）连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，，根据三角形的高是交于一点的可得，再根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，，然后利用平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，从而可得，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【详解】（1）点，，，在以点为圆心的同一个圆上，
理由：连接，，
，，
，
是的中点，
，，
，
点，，，在以点为圆心的同一个圆上；
（2）连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，，
，是的高，，相交于点，
，
是的直径，
，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
在中，，
，
外接圆的半径长为5．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，直角三角形斜边上的中线，点与圆的位置关系，确定圆的条件，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
27．(1)
(2)
【分析】（1）设，解一元二次方程得到 ，根据，得到，即可得到答案；
（2）设，解一元二次方程得到，根据勾股定理求出c，即可得到答案．
【详解】（1）解：设，
则原方程变形为，
整理得：，
解得，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：设，
则原方程变形为 ，
整理得，
解得：或，
∵，
∴，
∴，
∴外接圆的半径 ．
【点睛】本题考查的是三角形的外心、一元二次方程的解法，掌握换元法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
28．（1）；（2）见解析．
【分析】（1）根据三角形的外心是三边垂直平分线的交点作出点；
（2）在弧上任取三点，，，连接，，分别作弦，的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为圆心，于是得到结论．
【详解】解：（1）如图（1）所示，点即为所求；外接圆半径；
故答案为：；
（2）如图（2）所示：即为所求．
【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，勾股定理，正确地作出图形是解题的关键．
29．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作线段的垂直平分线，再作的角平分线交于P，再以P为圆心，以为半径作圆即可；
（2）分别作的角平分线，二者交于P，过点P作于E，以P为圆心，以为半径画圆即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
【点睛】本题主要考查了尺规作图—作角平分线，作线段垂直平分线，作圆，熟知相关作图方法是解题的关键．
30．(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析．
【分析】（1）由，易证，由“两直线平行，内错角相等”得到，结合角平分线得到，最后依据“等角对等边”可证明；
（2）由题意易得，由平分线得到，易证得；
（3）过点D作交边于点E，点E作平分交边于点O，点O作，垂足为点F，以点O为圆心，为半径作圆，为所求．
【详解】（1）证明：如图甲，
，，
，
，
平分，
，
，
；
（2）证明：如图乙，
，，
，
平分，
，
在与中，
，
；
（3）如图，过点D作交边于点E，点E作平分交边于点O，点O作，垂足为点F，以点O为圆心，为半径作圆，
与相切，
由（2）可知，
，
经过点D，
即为所求．
【点睛】本题考查了垂直的定义、角平分线的性质、平行线的判定和性质、等角对等边、全等三角形的证明和性质、尺规作图；解题的关键是熟练掌握相关性质及尺规作图方法．
31．(1)见解析
(2)点在内部，理由见解析
【分析】（1）根据圆心必在圆内任意一条弦的垂直平分线上，只需要作出的垂直平分线，二者的交点即为点M；
（2）利用勾股定理求出的长即可得到答案；
【详解】（1）解：如图所示，点M即为所求；
（2）解：点在内部，理由如下：
由（1）得点M的坐标为，
∴，
∵，
∴点在内部；
【点睛】本题主要考查了确定圆的圆心位置，勾股定理，点与圆的位置关系，正确求出圆心的位置是解题的关键．
32．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据尺规作图角平分线、垂直平分线作出结果；
（2）根据尺规作图角平分线、垂直平分线、已知线段作出结果，有多种不同做法．
（3）根据尺规作图作角平分线、作垂直平分线、作已知线段、作垂线作出结果，有多种不同做法．
【详解】（1）解：
①过点作，垂足为点；
②作的平分线 交于点；
③以点为圆心，长为半径作圆；
则⊙为所求的图形．
（2）
法1：①过点作的垂线交于点，
②在上截取，
③作交于点
（或作的平分线交于点）；
④以点为圆心，长为半径作圆；
则⊙为所求的图形．
法2：①过点作，垂足为点；
②作的平分线交于点；
③作的垂直平分线交于点；
（或过点作交于点；或作交于点）；
④以点为圆心，长为半径作圆；
则⊙为所求的图形．
法3：①反向延长射线，过点作，垂足为点；
②作的平分线；
③过点作，交于点；
④作的垂直平分线交于点；
（或过点作交于点）；
⑤以点为圆心，长为半径作圆；
则⊙为所求的图形．
法4：①在上任取一点（除外），作，垂足为点；
②以点为圆心，长为半径作⊙，交于点；
③过点作，交于点；
④过点作，交于点；
⑤以点为圆心，长为半径作圆；
则⊙为所求的图形．
法5：①在上任取一点（除外），作，垂足为点；
②以点为圆心，长为半径作⊙交于点；
③连接，并延长交于点；
④过点作交于点；
⑤以点为圆心，长为半径作圆；
则⊙为所求的图形．
（3）法1：①在上任取一点（除外），在上任取一点（除外），连接；
②作的平分线，作的平分线，两平分线交于点；
③同样方法，得点；
④作直线；则直线为所求的图形．
法2：①在上任取一点（除外），在上任取一点（除外），连接；
②作的平分线，作的平分线，两平分线交于点；
③作的平分线，作的平分线，两平分线交于点；
④作直线；则直线为所求的图形．
法3：①在上任取一点（除外），在上任取一点（除外），连接；
②作的平分线，作的平分线，两平分线交于点；
③过点作，垂足为点；
④过点作，垂足为点；
⑤作的平分线；
则直线为所求的图形．
法4：①在上任取一点（除外），过点作；
②作的平分线，交于点；
③作线段的垂直平分线；则直线为所求的图形．
法5：①在上任取一点（除外），在上任取一点（除外）；
②过点作，垂足为点；过点作，垂足为点；与交于点；
③作的平分线交于点，射线反向延长线交于点；
④作线段平分线；则直线为所求的图形．
法6: ①在上任取一点（除外），过点作，垂足为点；
②过点作，垂足为点；
③作的平分线交于点；
④作线段的垂直平分线；
则直线为所求的图形．
法7: ①在上任取两点、（除外），以点为圆心，长为半径作⊙；
②过点作，交⊙于点；
③连接并延长交于点；
④作线段的垂直平分线；
则直线为所求的图形．
【点睛】本题考查了尺规作图作角平分线、作垂直平分线、作已知线段、作垂线，其中熟练运用作图方法并保留作图痕迹是解题关键．
33．（1）4cm2（2）1秒或3秒（3）不能，理由见解析
【分析】（1）先利用勾股定理计算出AC＝8，然后根据三角形面积公式计算；
（2）设经过x秒，利用三角形面积公式得到（8 2x） x＝3，然后解方程即可；
（3）利用圆周角定理得到MN为△MCN外接圆的直径，假设△MCN外接圆的半径为cm，则MN＝2cm，利用勾股定理得到（8 2t）2＋t2＝（2）2，整理得5t2 32t＋52＝0，然后根据判别式的意义判断方程没有实数解，从而判断△MCN外接圆的半径不能是cm．
【详解】解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，
∴AC＝＝8，
根据题意得，AN＝4，CM＝2，
∴CN＝4，
∴S△CMN＝×4×2＝4（cm2）；
故答案为：4cm2；
（2）设经过x秒，
根据题意得，（8 2x） x＝3，
解得x1＝1，x2＝3；
即经过1秒或3秒，△MCN的面积是3cm2；
（3）不能，理由如下：
∵△MNC为直角三角形，∠C＝90°，
∴MN为△MCN外接圆的直径，
假设△MCN外接圆的半径为cm，则MN＝2cm，
设M点运动的时间为t秒，则NC＝8 2t，CM＝t，
根据题意得，（8 2t）2＋t2＝（2）2，
整理得5t2 32t＋52＝0，
∵△＝（ 32）2 4×5×52＝ 16＜0，
∴原方程没有实数解，
∴△MCN外接圆的半径不能是cm．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点．也考查了圆周角定理和一元二次方程的应用．
34．4.8
【分析】根据垂线段最短可知：当MP⊥AB时，MP有最小值，利用三角形的面积可列式计算求解MP的最小值．
【详解】解：当MP⊥AB时，MP有最小值，
∵AB＝10，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，
∴AB MP＝AM BM，
即10MP＝6×8，
解得MP＝4.8．
故答案为：4.8．
【点睛】本题主要考查垂线段最短，三角形的面积，找到MP最小时的P点位置是解题的关键．
35．
【分析】根据得，再由可得到，于是点在以为弦，的圆弧上运动，再由可证明，从而算出，当、、三点共线时，最小，求出此时的长即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
点在以为弦，的圆弧上运动，
如图，设点运动的圆弧圆心为，取优弧上一点，连接，，，，，，
，
则，
，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
当、、三点共线时，最小，
此时，，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握圆周角定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理，添加适当的辅助线是解题的关键．
36．
【分析】根据圆内接四边形对边互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长．
【详解】连接AD、AE、OA、OB，
∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，
∴∠ADB=45°，
∴∠AOB=90°，
∵OA=OB=2，
∴AB=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查圆周角定理、三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
37．（7，4）或（6，5）或（1，4）．
【分析】由勾股定理求出PA=PB==，由点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，得出PC=PA=PB=，即可得出点C的坐标．
【详解】∵点A、B、P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2），
∴PA=PB==，
∵点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，
∴PC=PA=PB==，
则点C的坐标为 （7，4）或（6，5）或（1，4）；
故答案为（7，4）或（6，5）或（1，4）．
38．B
【分析】根据折叠的性质得到∠DMC＝∠EMC，∠AMP＝∠EMP，于是得到∠PME+∠CME＝×180°＝90°，求得△CMP是直角三角形；故①正确；根据平角的定义得到点C、E、G在同一条直线上，故②错误；设AB＝x，则AD＝2x，得到DM＝AD＝x，根据勾股定理得到CM＝＝x，根据射影定理得到CP=x，得到，故③错误；由得，求得，故④正确；根据三角形中位线性质，得到CF＝PF，根据直角三角形性质得CF＝PF＝MF，，求得点F是△CMP外接圆的圆心，故⑤正确．
【详解】解：∵沿着CM折叠，点D的对应点为E，
∴∠DMC＝∠EMC，
∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，
∴∠AMP＝∠EMP，
∵∠AMD＝180°，
∴∠PME+∠CME＝180°＝90°，
∴△CMP是直角三角形；故①正确；
∵沿着CM折叠，点D的对应点为E，
∴∠D＝∠MEC＝90°，
∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，
∴∠MEG＝∠A＝90°，
∴∠GEC＝180°，
∴点C、E、G在同一条直线上，故②错误；
∵AD＝2AB，
∴设AB＝x，则AD＝2x，
∵将矩形ABCD对折，得到折痕MN；
∵∠PMC＝90°，MN⊥PC，
∴CM2＝CN CP，
，
,故③错误；
,故④正确，
∵CD＝CE，EG＝AB，AB＝CD，
∴CE＝EG，
∵∠CEM＝∠G＝90°，
∴FE∥PG，
∴CF＝PF，
∵∠PMC＝90°，
∴CF＝PF＝MF，
∴点F是△CMP外接圆的圆心，故⑤正确；
故选B．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，折叠的性质，直角三角形的性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
39．A
【分析】根据题意，过一个点或两个点可以做无数个圆，过不在同一直线的三个点只能做一个圆．
【详解】经过不在同一直线的三个点可以确定一个三角形，一个三角形只能有一个外接圆，所以经过不在同一直线上的三个点可以做一个且只能做一个圆．
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是圆的基本性质．
40．C
【分析】由垂径定理的推论可判断①，由圆心角，弧，弦之间的关系可判断②③，由不在同一直线上的三点确定一个圆可判断④，由圆的对称轴是直线可判断⑤，由三角形的外心的性质可判断⑥，从而可得答案．
【详解】解：①当被平分的这条弦是直径时，平分弦的直径，不平分这条弦所对的弧，所以平分弦的直径，平分这条弦所对的弧说法错误，故不符合题意；
②在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等，说法正确，故符合题意；
③等弧所对的圆心角相等，说法正确，故符合题意；
④由于过不在同一条直线上的三点可以画一个圆，所以过三点可以画一个圆说法错误，故不符合题意；
⑤圆是轴对称图形，任何一条过圆心的直线都是它的对称轴，说法正确，故符合题意；
⑥由于三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，所以三角形的外心到三角形的三边距离相等说法错误，故不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是圆的基本性质，垂径定理的推论，圆心角，弧，弦之间的关系，圆的确定，三角形的外心的性质，掌握以上基础知识是解题的关键．
41．C
【分析】连接OA，OB，根据圆周角定理可得，在中根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，连接OA，OB，
∵∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
在Rt△OAB中，OA2+OB2＝AB2，AB＝6，
∴2OA2＝36，
∴OA＝3，
⊙O的半径是3，
故选：C．
【点睛】此题考查三角形外接圆与外心，关键是根据圆周角与圆心角的关系得出∠AOB＝90°．
42．B
【分析】由，推出，推出点E在以为直径的圆上运动，可得的最小值为．
【详解】解：∵，
∴，
∴点E在以为直径的圆上运动，
设的中点为，
∴当C、E、共线时的最小，最小值为，
∵是等边三角形，
∴经过点O，，，
∴，
∴，
∴CE的最小值=．
故选B．
【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等边三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确判定点E的运动轨迹．
43．B
【分析】根据三角形的外心的概念作出外心，根据坐标与图形性质解答即可．
【详解】解：连接AB、AC，分别作AB、AC的垂直平分线，两条垂直平分线交于点P，
则点P为△ABC外接圆的圆心，
由题意得：点P的坐标为（3，1），即△ABC外接圆的圆心坐标是（3，1），
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心、坐标与图形性质，掌握三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点是解题的关键．
44．C
【分析】根据是的内接三角形，可得OA=OC，从而得到∠ACO=∠OAC=20°，进而得到∠AOC=140°，再由圆周角定理，即可求解．
【详解】解：∵是的内接三角形，
∴OA=OC，
∴∠ACO=∠OAC=20°，
∴∠AOC=180°-∠OAC-∠ACO=140°，
∴．
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆和外心，圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半是解题的关键．
45．B
【分析】根据直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点的确定方法解答．
【详解】解：如图，
∵，，，
∴是直角三角形，
∴的中点O的坐标为，
∴过三点，，的圆的圆心坐标为，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质，垂径定理，解决本题的关键是掌握直角三角形的外心．
46．B
【分析】根据M为直角三角形的外心．∠ABC＝90°，得出点M为AC中点，利用中点坐标公式求出点C（-5，-2），根据AB⊥x轴，得出点A，B的横坐标相同都是3，根据BC∥x轴，得出点B、C的纵坐标相同都是-2即可．
【详解】解：∵M为Rt△ABC的外心．∠ABC＝90°，
∴点M为AC中点，
∵点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（﹣1，1），
设点C横坐标为（x,y）,
∴，
解得x=-5，y=-2，
∴点C（-5，-2），
∵AB⊥x轴，
∴点A，B的横坐标相同都是3，
∵∠ABC＝90°，
∴BC∥x轴，
∴点B、C的纵坐标相同都是-2，
∴点B（3，-2）．
故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形的外心，中点坐标公式，平行x轴或y轴的点坐标特征，掌握直角三角形的外心的性质，中点坐标公式，平行x轴或y轴的点坐标特征是解题关键．
47．C
【分析】先由题意可知，点P在线段AB的垂直平分线上，可确定P的横坐标为4；设点P的坐标为（4，y），如图作PE⊥OB于E，PF⊥OC于F，运用勾股定理求得y即可．
【详解】解：∵⊙P经过点A、B、C，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
∴点P的横坐标为4，
设点P的坐标为（4，y），
作PE⊥OB于E，PF⊥OC于F，
由题意得：，
解得，y，
故选：C．
【点睛】本题考查的是确定圆的条件，解题的关键是理解经过不在同一直线上的三点作圆，圆心是过任意两点的线段的垂直平分线的交点．
48．D
【分析】根据三角形的外心得出，根据正方形的性质得出，求出，再逐个判断即可．
【详解】解：连接，
∵O为锐角三角形的外心，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，即O是的外心，故A不符合题意；
，即O是的外心，故B不符合题意；
，即O是的外心，故C不符合题意；
，即O不是的外心，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质和三角形的外心与外接圆，能熟记知识点的内容是解此题的关键，注意：三角形的外心到三个顶点的距离相等，正方形的四边都相等．
49．2
【分析】连接、，根据圆周角定理得出，证明为等边三角形，进而求出直径．
【详解】解：连接、，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴半径长为2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了圆周角的性质和等边三角形的性质与判定，解题关键是连接半径，证明三角形是等边三角形．
50．60°或120°
【分析】分△ABC是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三种情况，利用圆周角定理及圆内接四边形性质即可求出结果．
【详解】①如图，当△ABC是锐角三角形时，
∵O是△ABC的外心，
∴∠COB与∠A是所对的圆心角和圆周角，
∴∠A=∠BOC=，
②如图，当△ABC是直角三角形时，点O为AC中点，
∴∠COB与∠A是所对的圆心角和圆周角，
∴∠A=∠BOC=，
③如图，当△ABC是钝角三角形时，
在优弧上选一点D，连接BD、CD，
∴∠COB与∠D是所对的圆心角和圆周角，
∴∠D=∠BOC=，
∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，
∴∠A=180°-∠D=120°．
故答案为：60°或120°
【点睛】本题考查三角形的外心，圆周角定理及圆内接四边形的性质，利用同弧确定角之间关系，掌握圆内接四边形对角互补是解决问题的关键．
51．(2，0)
【分析】根据不在同一条直线上的三点能确定一个圆，该圆圆心在三点中任意两点连线的垂直平分线上，然后根据垂直平分线的性质和勾股定理即可求解．
【详解】∵，，
∴AB的垂直平分线为
设圆心为
∵点O也在BC的垂直平分线上，
∴
根据勾股定理得
解得
∴圆心坐标为
故答案为：(2，0)．
【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质和勾股定理，掌握垂直平分线的性质和勾股定理是解题的关键．
52．
【分析】根据直角坐标系找到BC、CD的垂直平分线，交点即为圆心A点，再根据勾股定理即可求出半径的长．
【详解】如图，作BC、CD的垂直平分线交于A点
故A点是B，C，D三点的圆的圆心
故半径为
故答案为：．
【点睛】此题主要考查直角坐标系与圆的应用，解题的关键是根据直角坐标系找到圆心的位置．
53．##
【分析】根据题意，作的外接圆O，过点P作于点M，连接，，根据圆周角定理及得出，确定当经过圆心O时，的值最大，即点P到的距离最大，最大距离为此时线段的长，利用等边三角形的判定及勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示，作的外接圆O，过点P作于点M，连接，，
∵，
∴P点在优弧（不含端点）上运动，，
当经过圆心O时，的值最大，即点P到的距离最大，最大距离为此时线段的长，
此时，，，
∴是等边三角形，
∴，
中，由勾股定理，得
，
∴，
点P到的最大距离为，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查三角形与圆的综合问题，包括圆周角定理，垂径定理，勾股定理解三角形及等边三角形的判定和性质，理解题意，作出相应图形，综合运用这些知识点是解题关键．
54．或2或
【分析】先利用勾股定理计算，再进行讨论：当P点在上，和当P点在上，，易得对应的值；当P点在上，，如图2，设，则，利用勾股定理得到，然后解方程得到此时的长．
【详解】解：，
，
当P点在上，，则；
当P点在上，，则，
当P点在上，，如图2，
设，则，
在中，，
解得，
即此时，
综上所述，的长为或2或，
故答案为：或2或．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了新定义的运用能力和勾股定理．
55．
【分析】连接，过点作于，作于，根据圆周角定理可得，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得，，可求．
【详解】解：连接，过点作于，作于，
是的外接圆，，
，
，，
，
，
，，
，
，，
在中，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，解题的关键是添加适当辅助线，构造直角三角形利用勾股定理求解．
56．54
【分析】作于点G，于点H，于点M，连接，，，，根据平分， 得到，根据推出，得到，易得O为的内心，得到，推出．根据推出，得到，根据，得到为等边三角形，得到，根据O为正的外心，得到，根据推出，得到，推出，根据的周长为18，得到的周长为54．
【详解】解：过点O作于点G，于点H，于点M，连接，，，，如图，
∵是的平分线，，，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵是等边三角形，O是的外心，
∴O为的内心，
∴平分，
∵，，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵是等边三角形，
∴，
∴为等边三角形，
∴．
∵O为的外心，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴的周长
．
∴的周长的周长，
∵的周长为18，
∴的周长为．
故答案为：54．
【点睛】本题主要考查了等边三角形，角平分线，全等三角形，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形的判定和性质，角平分线性质，三角形外心与内心的性质，直角三角形全等的判定和性质．
57．8
【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC=60°，根据等边三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：连接OB，OC，
∵∠A=30°，
∴∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OC=BC=4，
∴⊙O的直径=8．
【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心，等边三角形的判定和性质，解题关键是正确的作出辅助线．
58．（1）（2，0）；（2）；（3）内
【分析】（1）利用网格特点，作和的垂直平分线，它们的交点为点，从而得到点的坐标；
（2）利用两点间的距离公式计算出即可；
（3）先计算出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点与的位置关系．
【详解】解：（1）如图，圆心的坐标为；
（2），，
，
即的半径为；
（3），，
，
，
点在内．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理和点与圆的位置关系．
59．（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据垂径定理可得AD垂直平分BC，即可证明结论；
（2）连接OB，根据勾股定理可得，得出，利用三角形面积公式求解即可．
【详解】证明：（1）在⊙O中，
∵ OD⊥BC于D，
∴ BD=CD，
∴ AD垂直平分BC，
∴ AB=AC；
（2）连接OB，如图所示：
∵BC=8，由（1）得BD=CD，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ △ABC的面积：，
∴ △ABC的面积为32．
【点睛】题目主要考查垂径定理的应用，垂直平分线的性质，勾股定理等，理解题意，综合运用各个定理性质是解题关键．
60．（1）作图见解析；（2）116°．
【详解】（1）先分别作线段AB、AC的垂直平分线EF、GH，EF与GH相交于点O，再连接OB，以点O为圆心，以OB的长为半径作圆，圆O即为的外接圆．
（2）在优弧BC上任取一点D，连接BD，CD，
∵∠BOC=128°，
∴∠BDC=∠BOC=64°，
∴∠BAC=180°-∠BDC=116°．
61．（1）3；（2）
【分析】（1）设2x2＋2y2＝t，则原方程变为（t＋3）（t 3）＝27，解出一元二次方程即可；
（2）设a2＋b2＝t，则原方程变为t（t 4）＝5，整理得t2﹣4t﹣5＝0，，可求a2＋b2＝5，再由直角三角形的性质可得c＝，即可求解．
【详解】解：（1）设2x2＋2y2＝t，则原方程可变为（t＋3）（t﹣3）＝27，
解得：t＝±6，
∵2x2＋2y2≥0，∴2x2＋2y2＝6，
∴x2＋y2＝3；
（2）（a2＋b2）（a2＋b2﹣4）＝5，
设a2＋b2＝t，则原方程可变为t（t﹣4）＝5，
即t2﹣4t﹣5＝0，
解得t1＝5，t2＝﹣1，
∵a2＋b2≥0，
∴a2＋b2＝5，
∴c2＝5，
∴c＝，
∴外接圆的半径为．
【点睛】本题考查因式分解的应用，一元二次方程的解法，直角三角形的性质；能够将换元法灵活应用，结合直角三角形外接圆的特点解题是关键．
62．（1）见解析；（2）AP的长为或2或
【分析】（1）利用AAS证明△ABP≌△PCD，得到AP＝PD，由定义可知点P是△APD的准外心；
（2）先利用勾股定理计算AC=4，再进行讨论：当P点在AB上，PA＝PB，当P点在AC上，PA＝PC，易得对应AP的值；当 P点在AC上，PB＝PC，设AP＝t，则PC＝PB＝4﹣x，利用勾股定理得到32+t2＝(4﹣t)2，然后解方程得到此时AP的长．
【详解】（1）证明：∵∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°，
∴∠APB+∠PAB＝90°，∠APB+∠DPC＝90°，
∴∠PAB＝∠DPC，
在△ABP和△PCD中，
，
∴△ABP≌△PCD（AAS），
∴AP＝PD，
∴点P是△APD的准外心；
（2）解：∵∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，
∴AC4，
当P点在AB上，PA＝PB，则APAB；
当P点在AC上，PA＝PC，则APAC＝2，
当P点在AC上，PB＝PC，如图2，
设AP＝t，则PC＝PB＝4﹣x，
在Rt△ABP中，32+t2＝(4﹣t)2，解得t，
即此时AP，
综上所述，AP的长为或2或．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理及新定义的运用能力．理解题中给的定义是解题的关键．
63．（1）OP＝；（2）AP＝2．
【分析】（1）当OP⊥AB时，由垂径定理可知OD=DP，根据等面积可求出斜边上的高OD的长，进而可求出PO的长；
（2）连接CP，由圆周角定理可知∠ACP=60°，进而可证明△ACP为等边三角形，则AP=AC，即求出圆的半径即可．
【详解】（1）∵A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，10），
∴AO＝2，OB＝10，
∵AO⊥BO，
∴AB＝＝4，
∵OP⊥AB，
∴＝，CD＝DP，
∴CD＝，
∴OP＝2CD＝；
（2）连接CP，如图所示：
∵∠AOP＝30°，
∴∠ACP＝60°，
∵CP＝CA，
∴△ACP为等边三角形，
∴AP＝AC＝AB＝2．
【点睛】考查了三角形的外接圆与外心的性质、圆周角定理的运用、勾股定理的运用以及等边三角形的判定和性质，解题关键是熟记和圆有关的各种性质定理．
64．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意分别表示出用含的式子表示出来相加即可求解；
（2）根据圆周角定理可得，△PCQ是等腰直角三角形．进而根据三角形的面积公式进行计算即可求解．
【详解】（1）由题意可得，，
∴．
（2）∵，
∴是圆的直径．
∴．
∵，
∴是等腰直角三角形．
∴．
在中， ．
∴四边形OPCQ的面积
．
∴四边形的面积为．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质熟练掌握的圆周角所对的弦是直径是解题的关键．
答案第50页，共51页
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