高二数学试题
1．D
【分析】由棱柱、棱锥、棱台的结构特征，判断各选项是否正确.
【详解】选项A，例如六棱柱的相对侧面也互相平行，故A错误；
选项B，其余各面的边延长后不一定交于一点，故B错误；
选项C，当棱锥的各个侧面共顶点的角的角度之和是时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；
选项D，若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确．故选：D
2．C
【分析】根据斜二测画法的规则，可得，结合面积公式，即可求解.
【详解】由正方形的边长为，可得，
根据斜二测画法的规则，平面图形中，可得，
如图所示，所以原图形的面积为.
故答案为：C.
3．A
【分析】先还原出正方体，然后利用正方体中的位置关系判断每个选项.
【详解】由题意可得正方体卡片纸盒如图所示，则易知，，A正确，B错误，
连接，则是等边三角形，于是与，的夹角均为，C，D选项错误.故选：A
4．D
【分析】ABC可举出反例，D可利用线面平行的判定定理证得.
【详解】A选项，如图1，满足，，但不平行，A错误；
B错误，如图2，满足，，，但不平行，B错误；
C选项，如图3，满足，，，但不平行，C错误；
D选项，若，由线面平行的判断定理可得，D正确.
故选：D
5．B
【分析】根据直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系有关知识进行分析，从而确定正确答案.
【详解】与：
平面，平面，，
所以与异面，A选项错误.
与：
由于分别是的中点，所以，
由于，所以与是异面直线，C选项错误.
连接，由于是等边三角形，
所以，由于平面，
所以平面，由于平面，
所以平面平面，所以B选项正确.
设是的中点，连接，
由于是的中点，所以，
所以，所以平面也即平面，
平面，所以D选项错误.
故选：B
6．C
【分析】取的中点，利用勾股定理及三垂线定理即可判定.
【详解】
如图所示，取的中点，连接，
由长方体性质及已知，易知：平面，
所以为在平面内的投影，
由题意得，
，
所以，所以，
由三垂线定理知.故选：C
7．C
【分析】根据给定条件，用表示出圆锥底面圆半径及高，再利用锥体的体积公式求解作答.
【详解】令圆锥底面圆半径为，则，解得，
从而圆锥的高，
因此圆锥的体积，解得.故选：C
8．B
【分析】由侧面为等边三角形，结合面积公式求解即可.
【详解】设底面棱长为，
因为正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60°，所以侧面为等边三角形，
则该正四棱锥的底面积与侧面积的比为.故选：B
9．ABC
【分析】根据平面的确定情况及点线面的位置关系直接判断即可得到答案.
【详解】由空间中不共线的三点可以确定唯一一个平面，可知A正确；
由平行公理可得平行于同一条直线的两条直线平行，可知B正确；
由两条相互平行的直线能确定一个平面，可知C选项正确;
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，可知D错误；
故选:ABC．
10．BCD
【分析】对于A，根据四点所在线是否是异面直线可判断四点是否共面；对于B，根据垂直的传递性判断；
对于C，根据线线平行证明线面平行；对于D，根据等体积法先对所求三棱锥进行简化.
【详解】易知与为异面直线，所以，，，不可能四点共面，故A错误；
由，而，所以，故B正确；
由，平面，平面，所以平面，故C正确；
由平面，所以，故D正确.
故选：BCD.
11．ABC
【分析】利用线线垂直可判定A项，利用线面角定义可判定B项，利用线线平行可判定C项，利用线面垂直可判定D项.
【详解】由于四边形是边长为2的正方形，故，
又面，面，∴面，故A正确；
连接PO，由A可知：与平面所成角为，由条件可得，
故B正确；
易知面，面，即面，故C正确；
由A可知点到面的距离为，而，故D错误.故选：ABC
12．CD
【分析】根据圆柱、圆锥的侧面积公式，结合圆柱、圆锥、球的体积公式逐一判断即可.
【详解】因为圆柱和圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，
则圆柱的侧面积为，A错误；
圆锥的母线长，侧面积为，B错误；
球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球面面积相等，C正确；
，，
，D正确．故选：CD．
13．①③
【分析】由正三棱锥性质对选项一一判断即可得出答案.
【详解】解：由正三棱锥性质可得：PO⊥底面ABC，①对；
侧棱棱长都相等，底面边长与棱棱长不一定相等，②错；
侧面是全等的等腰三角形，③对，故答案为：①③．
14．
【分析】根据直观图面积是原图形面积的倍即可得出结果.
【详解】由题意可知，原图形面积为，
又直观图面积是原图形面积的倍，所以直观图的面积为.
故答案为：
15．/
【分析】取中点，根据平行关系和异面直线所成角定义可知所求角为，由长度关系可得结果.
【详解】取中点，连接，
，，四边形为平行四边形，，
异面直线与所成角即为直线与所成角，即（或其补角），
，，，
为等边三角形，，
即异面直线与所成角为.故答案为：.
16．
【分析】以为棱作长方体，长方体的对角线即为外接球的直径，从而求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积.
【详解】如图，以为棱作长方体，
则长方体的对角线即为该“阳马”的外接球的直径，设直径为，
则，所以，
所以该“阳马”的外接球的表面积为.
故答案为：.
17．(1)圆柱的侧面积为，体积为
(2)
【分析】（1）根据圆柱的侧面积和体积公式即可求解；
（2）将CE和ED转化到一个平面中，利用两点间线段最短即可求得最小值.
【详解】（1）圆柱的底面半径r＝1，高h＝2，
圆柱的侧面积.
圆柱的体积.
（2）将△PAC绕着PA旋转到使其与平面PAB共面，且在AB的反向延长线上.
∵，，
，，
∴在三角形中，
由余弦定理得，
∴CE＋ED的最小值等于.
18．(1)
(2)
【分析】（1）在直角中，利用勾股定理，即可求解；
（2）连接，证得，把异面直线与所成的角转化为直线与所成的角，在中，利用余弦定理，即可求解.
【详解】（1）解：在正方体中，可得，
因为正方体的棱长为，
在直角中，可得.
（2）解：取的中点，连接，可得，
再连接，因为为棱的中点，可得，所以，
所以异面直线与所成的角即为直线与所成的角，设，
因为正方体的棱长为，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
在直角中，可得
在，
所以异面直线与所成的角的余弦值为
19．证明见解析
【分析】连接交于点，接，证明，再根据线面平行的判定定理即可得证.
【详解】连接交于点，接，
∵底面是菱形，
为中点，
又∵是的中点，
，
面，平面，
平面
20．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由三角形中位线可得∥，进而结合线面平行的判定定理分析证明；
（2）由题意可得平面，进而结合面面垂直的判定定理分析证明.
【详解】（1）设与交于点，连接，如图，
在斜三棱柱中，四边形是平行四边形，则点为的中点，
因为点为的中点，点为的中点，则∥，
且平面，平面，∥平面.
（2）因为，则四边形是菱形，则，
又因为，，可知平面，
且平面，所以平面平面．
21．(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）连接，由三角形中位线定理可得，再由直线与平面的判定定理可判定平面；（2）取中点，连接，可得，且,易得平面，再由棱锥体积公式得解.
【详解】（1）证明：连接，分别是，的中点，，
又平面，平面，
平面.
（2）取中点，连接，
是的中点，
为的中位线，则，且，
又平面，平面，
所以三棱锥的体积为.
22．(1)
(2)外接球的表面积为，内切球的体积为
【分析】（1）求出三棱柱的体积，得到三角形ABC的内切圆的半径，进而去除圆柱的体积，相减即可答案；
（2）结合第一问得到内切球半径，求出内切球体积，再根据将三棱柱补形为长方体得到外接球半径，求出外接球的表面积.
【详解】（1）因为底面三角形的边长分别为，，，
由勾股定理逆定理可知：底面三角形为直角三角形，两直角边分别为，，
又因为三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为，
所以
设圆柱底面圆的半径为，
则，
圆柱体积
所以剩下的几何体的体积
（2）由（1）可知该直三棱柱的内切球半径为，
则内切球球的体积
直三棱柱可补形为棱长分别为的长方体，
它的外接球的球半径满足，即
所以，该直三棱柱的外接球的表面积为.江西省部分学校2023-2024学年高二上学期9月月考
数学试题
姓名： 分数：
卷I（选择题）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。）
1．下列说法正确的是（ ）
A．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面
B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥
D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体
2．如图所示的正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．手工课上某同学用六个边长相等的正方形卡片拼接成一个几何图形，如图所示，其中为对角线，该几何图形恰好能折叠组装成一个正方体卡片纸盒，则在正方体卡片纸盒中，下列各选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，，则 D．若，则
5．在正四面体中，，，分别为，，的中点，则（ ）
A．与平行，平面平面
B．与异面，平面平面
C．与平行，与平面平行
D．与异面，与平面平行
6．如图，在长方体中，为的中点，M为的中点．则与的位置关系为（ ）
A．平行 B．异面
C．垂直 D．以上都不对
7．已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，且该圆锥的体积为，则（ ）
A． B． C． D．3
8．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖 三角攒尖 四角攒尖 六角攒尖等，多见于亭闷式建筑.如故宫中和殿的屋顶为四角攒尖顶，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，设正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为，则该正四棱锥的底面积与侧面积的比为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题意．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9．下列命题正确的是（ ）
A．不共线的三点确定一个平面
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．经过两条平行直线，有且只有一个平面
D．如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角一定相等
10．如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，则（ ）
A．，，，四点共面
B．
C．直线平面
D．三棱锥的体积为
11．如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，与交于点，面，且，则以下说法正确的是（ ）
A．平面 B．与平面所成角为
C．面 D．点到面的距离为2
12．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ）
A．圆柱的侧面积为
B．圆锥的侧面积为
C．圆柱的侧面积与球面面积相等
D．圆柱、圆锥、球的体积之比为3:1:2
卷II（非选择题，共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．已知正三棱锥P﹣ABC，底面ABC的中心为点O，给出下列结论：
①PO⊥底面ABC； ②棱长都相等；
③侧面是全等的等腰三角形．
其中所有正确结论的序号是 ．
14．已知一个正方形的边长为2，则它的直观图的面积为 ．
15．如图，在长方体中，，，，是的中点，则异面直线与所成的角等于
16．我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”（如图所示），其中底面，，，，则该“阳马”的外接球的表面积为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17题10分，18-22分12分。）
17．如图，AB是圆柱的底面直径，AB＝2，PA是圆柱的母线且PA＝2，点C是圆柱底面圆周上的点.
(1)求圆柱的侧面积和体积；
(2)若AC＝1，D是PB的中点，点E在线段PA上，求CE＋ED的最小值.
18．在棱长为1的正方体中，E，F，G分别是的中点
(1)求AE的长；
(2)求EF与CG所成角的余弦值.
19．如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为中点．求证：平面．
20．如图，在斜三棱柱中，，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面．
21．如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，是的中心，底面，是的中点.
(1)求证：平面；
(2)若，求三棱锥的体积.
22．如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为，底面三角形的边长分别为，，.
(1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积；
(2)求该三棱柱的外接球的表面积与内切球的体积.
