2023-2024学年陕西省榆林市府谷重点中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知命题：，，则为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.设集合，，则的子集的个数为( )
A. B. C. D.
3.已知幂函数在上单调递增，则( )
A. B.
C. 或 D. 或
4.函数的部分图象大致为( )
A. B. C. D.
5.已知函数，则的最大值为( )
A. B. C. D.
6.设，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
7.已知，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也必要条件
8.已知函数的值域为，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.定义在上的偶函数满足：对任意的，，都有，且，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
11.若直线与曲线相切，直线与曲线相切则的值为( )
A. B. C. D.
12.已知函数，若存在实数，，且，使得，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知函数，则 ______ ．
14. ______ ．
15.定义在上的奇函数满足，，且当时，，则 ______ ．
16.已知正实数，满足，则的最大值为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知函数的定义域为集合，集合．
若，求；
若求的取值范围．
18.本小题分
已知：函数在区间上单调递增；：函数在区间上存在极值点．
若为真，求的取值范围；
若为真，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数是偶函数．
求的值；
设，，若对任意的，存在，使得，求的取值范围．
20.本小题分
已知函数．
若，求不等式的解集；
若，，求的最小值．
21.本小题分
已知函数．
若，求曲线在点处的切线方程；
讨论的单调性．
22.本小题分
已知函数．
若在上恒成立，求的取值范围；
设，，为函数的两个零点，证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：命题：，，
则为，．
故选：．
任意改存在，将结论取反，即可求解．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由题意知，，
所以，所以的子集的个数为．
故选：．
解分式不等式确定集合，然后由交集定义计算，再由子集的性质得结论．
本题主要考查分散不等式的解法，集合交集的运算，子集个数的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为幂函数，
所以，解得或，
当时，在上单调递减，不符合题意；
当时，在上单调递增，符合题意．综上，．
故选：．
根据幂函数定义，由系数为求得值，再根据幂函数的单调性判断．
本题主要考查幂函数的性质，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由可知，的定义域为，，故排除选项；
又，所以是偶函数，
当时，，所以，
令，所以，
当时，，故在上单调递增，即在上单调递增，
当时，，故在上单调递减，即在上单调递减，
又，，，
所以存在，，使得，，
所以当时，，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故A符合．
故选：．
分析函数的奇偶性，单调性，的正负，利用排除法可得出合适的选项．
本题主要考查利用导数确定函数的增减性，由函数性质确定函数图象，属中档题．
5.【答案】
【解析】解：当时，，所以在上单调递增．
当时，，
所以，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
综上，在上单调递增，在上单调递减，
所以．
故选：．
去绝对值，当时，利用导数讨论其单调性，由单调性即可得最大值．
本题考查了利用函数的单调性求最值、导数的综合运用，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：，在上单调递增，
，，，
故．
综上，．
故选：．
根据幂函数的单调性判断．
本题主要考查幂函数的单调性，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：当时，化简得，
记函数，可知在上单调递增，
由，得到，结合，可知，不一定有成立，
反之，若，即，可以推出，即成立．
因此，“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
根据题意，化简条件“”得到、满足的关系式，再由充要条件的定义得出答案．
本题主要考查充分必要条件的判断及其应用、函数的单调性、不等式的性质等知识，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：当时，，而函数在上单调递增，又是增函数，
因此函数在上单调递增，，即函数在上的值域为，
当时，函数的值域为，而函数的值域为，因此，
而当时，，必有，解得，
所以的取值范围是．
故选：．
求出函数的函数值集合，再由分段函数值域的意义求出的范围作答．
本题主要考查了函数值域的应用，分段函数的性质，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：因为函数满足对任意的，，都有，
所以在上单调递减，
又是定义在上的偶函数，所以在上单调递增，
又，所以，
当时，，，则；
当时，，，则；
当时，，，则；
当时，，，则；
当或或时，．
综上，不等式的解集为．
故选：．
根据奇偶性和单调性作出函数草图，借助图形分段讨论可得．
本题主要考查了函数单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，体现了分类讨论及数形结合思想的应用，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：由题意知在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，，
则，
令，解得：，令，解得：，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，故，
即的取值范围是．
故选：．
求出函数的导数，问题转化为在区间上恒成立，令，，根据函数的单调性求出的最小值，从而求出的范围．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：的导数为，的导数为，
设与曲线相切的切点为，
直线与曲线相切的切点为，
所以，，即，，
，即，
又，即，可得，
考虑为方程的根，为方程的根，
分别画出，和，的图像，
可得和的交点与和的交点关于直线对称，
则，即．
故选：．
分别求得，的导数，设出切点可得切线的斜率，由已知切线方程可得两个切点的坐标用，表示，结合函数的图像的对称性，可得所求值．
本题考查导数的几何意义：求切线的方程，以及函数的图像的对称性，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：作出的函数图象如图所示：
若存在实数，，，且，使得，
因为的图象关于直线对称，
所以，
所以，
由图可知，，所以．
设，，所以，
易知在上单调递增，
又，所以当时，，
所以在上单调递增，
所以．
故选：．
利用二次函数对称性化简目标式，然后构造函数，利用导数求最值可得．
本题考查函数的性质，解题的关键在于利用二次函数对称性，将三元化为一元，数形结合即可确定变量范围，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，函数，
则．
故答案为：
根据题意，利用周期性将转化为，然后利用解析式求解可得．
本题考查分段函数的求值，涉及函数的周期性，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
根据指数和对数的运算性质求解即可．
本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：是定义在上的奇函数，
，又，
，即，
，
是周期为的周期函数．
又，当时，，
，，，，
，
．
故答案为：．
由题意可得奇函数是周期为的周期函数，且，从而可得答案．
本题考查函数奇偶性与周期性的性质与应用，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：由得，所以，则，
因为，，，所以，
令，则，
所以在上单调递增，
所以由，即，得，
所以，所以；
令，所以，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以．
故答案为：．
先变形同构，令，利用导数讨论单调性，由单调性可得，然后可得，令，利用导数求最值即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，本题难点主要有二：一是根据已知进行同构函数，二是利用单调性得到，进而可得，利用导数即可求解，是中档题．
17.【答案】解：得，，，
时，，
；
，
，
时，，解得；
时，，解得，
的取值范围为：．
【解析】求出集合，时，得出集合，然后进行并集的运算即可；
根据条件得出，然后讨论是否为空集：时，得出；时，得出，解出的范围，最后即可求出的取值范围．
本题考查了函数定义域的定义及求法，并集的定义及运算，空集的定义，子集的定义，交集的定义及运算，分类讨论的思想，考查了计算能力，属于基础题．
18.【答案】解：函数在区间上单调递增，
函数在区间上单调递增，
，
解得，即的取值范围是；
由题意知，
当时，令，
若为真，则，解得．
这时，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，是函数的极值，
若为真，则为真，为真，
，
即的取值范围是．
【解析】根据复合函数单调性的性质，结合指数函数和二次函数的单调性进行求解即可；
根据且命题的真假性质，结合极值的定义进行求解即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：是偶函数，
，即，
即，解得．
对任意的，存在，使得，
在上的最小值不小于在上的最小值．
在上单调递增，，
在上单调递减，在上单调递增，
，
，解得，即的取值范围是．
【解析】由偶函数的性质可求解的值；
由题意可得在上的最小值不小于在上的最小值，分别求出的最小值和的最小值即可得解．
本题主要考查函数恒成立求参数范围问题，偶函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：若，则
所以，即，
所以，
所以或，解得或，
即不等式的解集为；
若，即，解得．
所以，
令，，
所以．
当，即时，在上单调递增，
所以，即．
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，即．
综上，．
【解析】结合指数函数的性质解不等式；
用换元法，然后结合二次函数性质求得最小值．
本题考查了指数基本运算、指数函数的性质、二次函数的性质及分类讨论思想，属于中档题．
21.【答案】解：若，则，
所以，
所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
，
当时，令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增
当时，令，解得或，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，由在上恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，解得或，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
【解析】根据导数的几何意义求切线方程：求出导函数，计算并计算出，由点斜式得切线方程并化简；
求出导函数，然后分类讨论确定和的解得单调区间．
本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性以及导数的应用，考查分类讨论思想，是中档题．
22.【答案】解：若在上恒成立，
此时，
不妨设，函数定义域为，
觉得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
此时，
则，
所以的取值范围为；
证明：令，
此时，
不妨设，函数定义域为，
可得，
不妨设，函数定义域为，
可得，
所以函数在上单调递增，
又，
当时，，，
当时，，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
不妨设，
此时，，
因为，
所以．
不妨设，函数定义域为，
可得在上恒成立，
所以函数在上单调递增，
此时，
所以，
即，
又函数在上单调递减，
所以，
故．
【解析】由题意，先参变分离，将问题转化为函数最值问题，利用导数进行求解即可；
将方程化为，构造函数，利用导数讨论其单调性，可知，构造差函数可证．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
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