贺兰县2023-2024学年高二上学期10月月考模拟（六）
数学试题
一、单选题
1．与向量共线的单位向量可以为（ ）
A． B． C． D．
2．设，，，则线段的中点到点的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，且，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．如图4，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．如图5，正方体的棱长为2，点在上，点在上，且，面，则的长为（ ）．
A． B． C．2 D．
第4题图 第5题图 第7题图
6．在下列条件中，使与，，一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图7，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．在棱长为2的正四面体ABCD中，点M满足=x+y-(x+y-1)，点N满足=λ+(1-λ)，当AM、BN最短时，·=（ ）
A．- B． C．- D．
二、多选题
9．若向量与的夹角为锐角，则实数x的值可能为（ ）.
A．4 B．5 C．6 D．7
10．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．的最小值为2 D．的最大值为4
11．下列命题是真命题的有（ ）
A．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直
B．直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C．平面，的法向量分别为，，则
D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则
12．如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ）
A．两条异面直线和所成的角为
B．直线与平面所成的角等于
C．点D到面的距离为
D．三棱柱外接球半径为
三、填空题
13．已知点，若点的坐标为，且点四点共面，则实数m的值为 .
14．在正方体中，点是棱的中点，点是棱上的动点，当 时，平面．
15．甲罐中有2个红球、3个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，再从乙罐中随机取出1个球，则从乙罐中取出的球是红球的概率为 .
16．如图，两个正方形，的边长都是3，且二面角为，为对角线靠近点的三等分点，为对角线的中点，则线段 .
四、解答题
17．如图，长方体中，，E为的中点.
(1)求证：直线平面；
(2)求二面角的余弦值.
18．已知在四棱锥中，底面是矩形，是等边三角形，平面平面，是线段的中点.
(1)求证：直线平面；
(2)求与平面所成角的正弦值.
19．为激活国内消费市场，挽回疫情造成的损失，国家出台一系列的促进国内消费的优惠政策.某机构从某一电商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力，现从电商平台消费人群中随机选出人，并将这人按年龄分组，记第组，第组，第组，第组，第组，得到如下频率分布直方图：
(1)求出频率分布直方图中的值和这人的年龄的中位数及平均数；
(2)从第组中用分层抽样的方法抽取人，并再从这人中随机抽取人进行电话回访，求这两人恰好属于同一组别的概率.
20．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2，M是PD的中点．
(1)求直线AD与平面ACM所成角的余弦值；
(2)求平面ACD和平面ACM的夹角的余弦值；
(3)求点P到平面ACM的距离．
21．计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响.
（1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？
（2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.
22．如图，在四棱锥中，，，是的中点，平面，，，.
(1)求点到平面的距离；
(2)在线段上是否存在一点，使二面角的余弦值为？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由.
参考答案：
1．D
【分析】计算出，从而得到与向量共线的单位向量.
【详解】因为，所以与向量共线的单位向量可以是或.
2．A
【解析】根据空间中中点的公式与点到点的距离公式求解即可.
【详解】由,可知的中点.
故到点的距离为.
【点睛】本题主要考查了空间中中点的公式与点到点的距离公式,属于基础题.
3．B
【答案】B
【分析】求出和的坐标，根据空间向量共线的充要条件即可得，的值.
【详解】因为，，所以，，
因为，所以，解得：，，
4．A
【分析】根据空间向量的线性运算即可.
【详解】G是CD的中点,所以
5．A
【分析】根据几何体为正方体，先以为坐标原点建立空间直角坐标系，再根据平面，得与平面的法向量垂直，利用垂直关系的坐标表示，求出点的坐标，进而求得的长.
【详解】因为该几何体为正方体，所以以为坐标原点，
为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.
因为正方体的棱长为2，所以，，
平面的一个法向量为.
因为点在上，且，所以点.
因为点在上，所以设，则，
因为平面，所以，有，，故，
.
6．C
【分析】根据四点共面的条件对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】与，，一定共面的充要条件是，
对A选项，由于，所以不能得出共面.
对B选项，由于，所以不能得出共面.
对C选项，由于，则为共面向量，所以共面.
对D选项，由得，而，所以不能得出共面.
【点睛】本小题主要考查四点共面的条件，属于基础题.
7．C
【分析】以D为坐标原点， ，分别为x轴，y输、z轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解.
【详解】如图，以D为坐标原点， ，分别为x轴，y输、z轴正方向建立空间直角坐标系，则．从而.
设平面的法向量为，则，即，得，
令，则，所以点E到平面的距离为．
8．A
【分析】首先由向量的关系式得M∈平面BCD，N∈直线AC，由条件判断点，线，面的位置关系，结合向量数量积的运算，即可求解.
【详解】由共面向量定理和共线向量定理可知，M∈平面BCD，N∈直线AC，当AM、BN最短时，AM⊥平面BCD，BN⊥AC，所以M为△BCD的中心，N为AC的中点，
此时，2||==，∴||=，∵AM⊥平面BCD，MC 平面BCD，
∴AM⊥MC，∴||===.
又=(+)，∴·=(·+·)=-||2=-.
9．CD
【分析】依题意可得且与不同向，根据数量积的坐标表示得到不等式，求解即可.
【详解】因为与的夹角为锐角，所以，解得，
当与共线时，，解得，所以实数x的取值范围是，经检验，选项C、D符合题意.
10．ABC
【分析】根据空间向量共线定理即可判断A；根据空间向量垂直的坐标表示即可判断B；根据向量的模的坐标表示结合二次函数的性质即可判断CD.
【详解】对于A，若，且，，
则存在唯一实数使得，即，则，解得，A正确；
对于B，若，则，即，解得，故B正确；，
故当时，取得最小值，无最大值，故C正确，D错误.
11．AD
【分析】根据直线的方向向量、平面法向量的性质，结合空间向量数量积的运算性质逐一判断即可.
【详解】A：∵，，∴，则，
∴直线与垂直，故A正确；
B：，，则，则，∴或，故B错误；
C：∵，，∴与不共线，∴不成立，故C错误；
D：∵点，，，∴，.
∵向量是平面的法向量，∴，即，解得，故D正确.
12．BCD
【分析】对于A：根据异面直线的求法易得：异面直线和所成的角为∠；对于B：可证平面，则直线与平面所成的角为；对于C：根据等体积转换，求点D到面的距离；对于D：三棱柱的外接球即为正方体的外接球，直接求正方体外接球的半径即可．
【详解】连接、∵∥且，则四边形为平行四边形，
∴异面直线和所成的角为∠∵，则△为正三角形，即∠
A不正确；
连接在正方形中，
∵平面，平面∴，则平面
∴直线与平面所成的角为B正确；
根据等体积转换可知：即，则C正确；
三棱柱的外接球即为正方体的外接球
则外接球的半径即为正方体体对角线的一半，即
D正确；
13．1
【分析】利用空间共面向量定理求解即可.
【详解】∵,,∴,，，
∵四点共面，故根据空间向量基本定理
可知存在实数，使得， 则有 ，解得，
14．/
【分析】如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，，由平面，则，由空间向量数量积的定义代入解方程即可得出答案.
【详解】如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，，
则，
，
若平面，则，
即，解得，所以．
15．
【分析】根据题意，分为甲罐中随机取出1个球为红球和甲罐中随机取出1个球为白球，两种情况，结合概率的乘法公式，即可求解.
【详解】根据题意，甲罐中有2个红球、3个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，
当甲罐中随机取出1个球为红球时，此时乙罐中有5个红球，1个白球，其概率为；
当甲罐中随机取出1个球为白球时，此时乙罐中有4个红球，2个白球，其概率为，
所以从乙罐中取出的球是红球的概率为.
16．
【分析】由已知可得.进而表示出，即可根据数量积的运算性质求出，进而即可求出答案.
【详解】由已知可得，，，所以即为二面角的平面角，即.
因为，为对角线的中点，所以.
因为为对角线靠近点的三等分点，所以，
所以.
所以，
所以.所以，所以线段.
17. 【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）为的中点，通过证明得证//平面；
（2）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值.
【详解】（1）证明：设和交于点，则为的中点，连接
又∵E为的中点，∴.又∵ 平面，平面，
∴直线//平面.
（2）如图，以A为坐标原点，AD，AB，所在的直线分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则点，，，，
则.
设平面的法向量，则有
令，得平面的一个法向量为；
易知平面的的一个法向量为；
由图形可以看出二面角为钝角，设钝二面角的大小为，
则.∴二面角的余弦值为－.
18. 【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量公式计算即可.
【详解】（1）取中点，连，因为分别为的中点
所以，且，又因为，且，
所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，故平面.
（2）取中点，连，过作交于点，
因为为正三角形，为中点，故，
又平面平面，平面平面，故平面，
又，如图建立空间直角坐标系
不妨设，则，
，设平面的一个法向量为，
则，所以，令得平面的一个法向量为，
设与平面所成角为，所以，
故与平面所成角的正弦值为.
19. 【答案】(1)，中位数为，平均数为(2)
【分析】（1）根据频率和为的性质可构造方程求得；根据频率分布直方图估计中位数和平均数的方法，直接估算即可；
（2）根据分层抽样可确定人中分别来自第的人数，利用列举法可得所有基本事件和满足题意基本事件个数，由古典概型概率公式可求得结果.
【详解】（1）由频率分布直方图性质知：，解得：；
，，
中位数位于，设中位数为，
则，解得：，即中位数为；
平均数为.
（2）第组的频率之比为，
抽取的人中，第组应抽取人，记为；第组应抽取人，记为，
则从人中随机抽取人，有，，，，，，，，，，共个基本事件；其中满足两人恰好属于同一组别的有，，，，共个基本事件；
两人恰好属于同一组别的概率.
20. 【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法计算出直线与平面的夹角的正弦值，再转化为余弦值.
（2）利用向量法计算出平面和平面的夹角的余弦值.
（3）利用向量法计算出到平面的距离.
【详解】（1）因为PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD是矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．，
设平面的法向量为，则，故可设，
设直线与平面的夹角为，则，.
（2）平面的法向量为，
设平面和平面的夹角为，则.
（3）设点P到平面ACM的距离为d，到平面的距离为
所以点P到平面ACM的距离为.
21. 【答案】（1）丙；（2）
【解析】（1）分别计算三者获得合格证书的概率，比较大小即可（2）根据互斥事件的和,列出三人考试后恰有两人获得合格证书事件，由概率公式计算即可求解.
【详解】（1）设“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则，，.
因为，所以丙获得合格证书的可能性最大.
（2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则.
22. 【答案】(1)(2)E为中点，详见解析；
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理得到平面PCD，然后以D为原点，以AD，DC为x，y轴建立空间直角坐标系，求得平面PAC的一个法向量 ，由；
（2）设，求得平面AEC的一个法向量，由求解.
【详解】（1）解：因为平面，平面，
所以，又因为，且，平面PCD，
所以平面PCD，
则以D为原点，以AD，DC为x，y轴建立空间直角坐标系：
则，
所以 ，
设平面PAC的一个法向量为： ，
则 ，即 ，
令 ，得 ，所以点到平面的距离为 ；
（2）设，则，设平面AEC的一个法向量为，
则，即，令，则，
则，，，所以，
即，解得或（舍去）所以存在点E，是OP的中点.
