2024年“极光杯”线上测试（一）
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在
答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1． cos( 60 )
A 1． B 3 C
1
．
2 ． 2 D
3
．
2 2
2．设集合 A {2,3,4,5,6}， B {1,a 2,2a 1}，若 A B {x N | x 7}，则 A B
A．{2,3} B．{3,4} C．{4,5} D．{5,6}
3．若 5个正数之和为 2，且依次成等差数列，则公差 d 的取值范围是
A (0, 1． ) B ( 1 1． , ) C． (0, 1) D ( 1 1． , )
10 10 10 5 5 5
4．设平面向量 a， b满足 | a | 2， | b | 3， | a b | 4，则 cos a,b
A 1 1． B． C 1． D 1．
3 4 3 4
5．对于各数位均不为 0的三位数 abc，若两位数 ab和bc均为完全平方数，则称 abc具
有“S性质”，则具有“S性质”的三位数的个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
6．设 a log2 0.7，b log3 0.6， c log0.3 0.2，则
A． a b c B．b a c C． c a b D． c b a
7．在二面角 l 中，点 A ， B ，C，D l， AB l，且 AB与半平面 ，
所成的角相等，则“ AC BD”是“ ACD BDC”的
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
数学试题 第 1页（共 4页）
a8．已知凸四边形 ABCD内接于圆O， ABD 2 CBD AD 2 6 BD， ，则 的最大
CD 3 AC
值为
A 6 B 2 3 C 4 2 D 3 3． ． ． ．
2 3 5 5
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9．设双曲线C : x2 3y2 1，则
A．C的实轴长为 2 B．C的焦距为 4
C．C的离心率为 2 D．C的渐近线方程为 x 3y 0
10．设函数 f (x) x 2 3ln x，记 f (x)的极小值点为 x1，极大值点为 x2，则x
A． x1 x2 3 B． x1 x2
C． f (x1) f (x2 ) 3ln 2 D． f (x1) f (x2 )
11．已知随机变量 X 服从正态分布 N ( , 2 )，P(2 X 3) P(3 X 4)．记 X 的密度
函数为 f (x)， h 0，则
A． P(X 3) 1 B． P(X 2 9) 1
2 2
C P(3 X 3 h) f (3) D P(3 h X 3)． ． f (3)
h h
12．已知实数 x， y满足 | x y | | x | | y | 2，则
A． 1≤ x y≤1 B． 2≤ x y≤2 C．1≤ x2 y2≤2 D． 1≤ x3 y3≤1
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
13．设 z (2 i)2 (1 2i)2，则 | z 8i | 三生三世．
14．若某圆锥的侧面积为底面积的 5倍，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值
为三生三世．
2 2
15 x y．设O为坐标原点，椭圆 2 2 1(a b 0)的左、右顶点分别为 A ， A ，点 P为a b 1 2
1
椭圆上一点，直线 PA1的斜率为 ， PO的斜率为 2，则 PA2的斜率为三生三世．3
16．在 (1 ax)8的展开式中，若 x3的系数为 56，则 a 三生三世；若展开式中有且仅
有 x4项的系数最大，则 a的取值范围是三生三世．
数学试题 第 2页（共 4页）
四、解答题：本题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
x x 2 已知直线 和 是函数 f (x) sin( x )( 0,0 )图像两条相邻的
6 3
对称轴．
（1）求 f (x)的解析式和单调区间；
（2）保持 f (x) 1图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 (a 0)倍，得到函
a
数 y g(x)的图像．若 g(x)在区间 (0, )恰有两个极值点，求 a的取值范围．
18．（12分）
为考查一种新的治疗方案是否优于标准治疗方案，现从一批患者中随机抽取 100名
患者，均分为两组，分别采用新治疗方案与标准治疗方案治疗，记其中采用新治疗方案
与标准治疗方案治疗受益的患者数分别为 X 和Y ．在治疗过程中，用指标 I衡量患者是
否受益：若 ≤ I≤ ，则认为指标 I正常；若 I ，则认为指标 I偏高；
若 I ，则认为指标 I偏低．若治疗后患者的指标 I正常，则认为患者受益于治疗
方案，否则认为患者未受益于治疗方案．根据历史数据，受益于标准治疗方案的患者比
例为0.6．
（1）求 E(Y )和D(Y )；
（2）统计量是关于样本的函数，选取合适的统计量可以有效地反映样本信息．设
采用新治疗方案治疗第 i位的患者治疗后指标 I的值为 xi，i 1，2，…，50，定义函数：
1, xi
f (x i ) 0, ≤ xi ≤ ．
1, xi
（i）简述以下统计量所反映的样本信息，并说明理由．
① A | f (x1) | | f (x2 ) | | f (x50 ) |；
B f (x1)[ f (x1) 1] f (x2 )[ f (x2 ) 1] f (x )[ f (x② 50 50 ) 1]；
2
（ii）为确定新的治疗方案是否优于标准治疗方案，请在（i）中的统计量中选择一
个合适的统计量，并根据统计量的取值作出统计决策．
数学试题 第 3页（共 4页）
19．（12分）
如图，五面体 AB CDEF 的底面CDEF 是矩形， AB∥底面CDEF ， AB到底面
CDEF的距离为 1， AC CF FA AB BD DE EB 2．
（1）证明：平面 ABCD 平面 ABEF ；
（2）设平面 ACF 平面 BDE l．
（i）证明： l∥底面CDEF；
（ii）求 l到底面CDEF的距离．
20．（12分）
已知等比数列{an}的公比 q 1， a1， a2， a3 1成公差为 d 的等差数列．
（1）求 q d 的最小值；
（2）当 a 11取最小值时，求集合 A {an | an N }中所有元素之和．
21．（12分）
设O为坐标原点， A为抛物线 y2 4x上异于O的一点， B( 1,4)，C( 4,0)．
（1）求 | AB |的最小值；
（2）求 tan ACB的取值范围；
（3）证明： ACB≥ ACO．
22．（12分）
设函数 f (x) x ， g(x) esin x ecos xx ．e
（1）求曲线 y f (x)平行于直线 y x 2的切线；
（2）讨论 g(x)的单调性．
数学试题 第 4页（共 4页）2024年“极光杯”线上测试（一）
数学参考答案
一、选择题
1．A 2．C 3．D 4．B
5．C 6．A 7．A 8．D
二、选择题
9．AD 10．ACD 11．BD 12．ABD
三、填空题
13．10 14．2
15 1 10 10． 16． 1； ( , ) (4 , 5)
2 2 5 5 4
四、解答题
17．解：
（1 f (x) T 2 2(2 ）由题设条件知 的最小正周期 ) ，所以 2．
3 6
又因为 f ( ) sin( ) 1， 0 ，所以 ， f (x) sin(2x )．
6 3 6 6
2k 2x 令 2k ，得 f (x)的单调递增区间为[k ,k ](k Z)，
2 6 2 3 6
3 2
令 2k 2x 2k ，得 f (x)的单调递减区间为[k ,k ](k Z)．
2 6 2 6 3
2 （ ）由题可知 g(x) sin(2ax )，所以当 x (0, )时， 2ax ( ,2a )．
6 6 6 6
g(x) 若 在区间 (0, )恰有两个极值点，则 y sin x在区间 ( ,2a )恰有两个极值
6 6
点，因此
3
2a 5 ，
2 6 2
a (2 , 7解得 的取值范围是 ]．
3 6
2024年测试（一）参考答案 第 1页（共 4页）
18．解：
（1）由题设知Y 服从二项分布 B(50,0.6)，所以
E(Y ) 50 0.6 30，D(Y ) 50 0.6 0.4 12．
（2）
（i）统计量 A反映了未受益于新治疗方案的患者数，理由如下：
若患者 i受益于新治疗方案，则其指标 I的值 xi满足 f (xi ) 0，否则 | f (xi ) | 1，会
被统计量 A计入，且每位未受益于新治疗方案的患者恰使得统计量 A的数值加 1．
统计量 B反映了未受益于新治疗方案且指标 I偏高的患者数量，理由如下：
若患者 i接受新治疗方案后指标 I偏低或正常，则其指标 I的值 xi满足
f (xi )[ f (xi ) 1] 0，
I f (x )[ f (x f (xi )[ f (xi ) 1]若指标 偏高，则 i i ) 1] 2， 1，会被统计量 B计入，且2
每位未受益于新治疗方案且指标 I偏高的患者恰使得统计量 B的数值加 1．
（ii）由题设知新治疗方案优于标准治疗方案等价于一次试验中 X 的观测值大于Y
的观测值．由（i）知Y 的观测值 y 50 A，因此，
当50 A 30，即 A 20时，认为新治疗方案优于标准治疗方案；
当50 A 30，即 A 20时，认为新治疗方案与标准治疗方案相当；
当50 A 30，即 A 20时，认为新治疗方案劣于标准治疗方案．
19．解：
（1）取CF 中点M ，DE中点 N，连结 AM ， BN，MN ．
因为底面CDEF是矩形， AB //底面CDEF，平面 ABCD 底面CDEF CD，所以
AB //CD // EF，而MN //CD，所以 A， B，M ， N共面．
由题设知△ACF ，△BDE都是正三角形，所以CF AM ，DE BN．
因为底面CDEF是矩形，所以CF //DE，则CF BN，CF 平面 ABMN ．
记 A在MN ，CD，EF 上的射影分别为 A1，A2，A3，则CF AA3，且MN AA3，
所以 AA1 1．而 A1A2 A1A3 MC MF 1，所以△AA2A3是以 A为顶点的等腰直角三
角形， AA2 AA3．
又因为 AA2 EF，所以 AA2 CD，从而 AA2 平面 ABCD．
而 AA2 平面 ABEF ，所以平面 ABCD 平面 ABEF ．
2024年测试（一）参考答案 第 2页（共 4页）
（2）（i）因为CF //DE，所以CF //平面 BDE．
由线面平行的性质可知，CF // l，其中 l 平面 ACF 平面 BDE．
而 l 底面CDEF，所以 l //底面CDEF．
（ii）由（1）知 A， B，M ， N 共面，所以 AM 和 BN有交点，记为G．
所以G l， l到底面CDEF的距离等于G到底面CDEF的距离．
因为 AM BN 3，所以四边形 ABNM 是等腰梯形， AMN BNM ，
2d AA
因此 1 ，其中 d 为G到底面CDEF的距离．
MN MA1
由几何关系可知MA1 MA
2 AA21 2，MN AB 2MA1 2 2 2，
代入计算得 d 2 1 ．
2
20．解：
（1 1）由题设知 a1 a3 1 2a2，即 a1(q 1)
2 1； d a2 a1 a1(q 1) ．q 1
因此当 q 1 1 1时， q d q 1 1 3，当 q 1 ，即 q 2时等号成立．
q 1 q 1
所以 q d 的最小值为 3．
10 5
（2） a a q10 q q11 1 2 ，令 f (q) ， q 1．(q 1) q 1
q4f (q) (4q 5) 2 ，令 f (q)
5
0得 q0 ， f (q)在 (1,
5) 5单调递减，在 ( , )单调
(q 1) 4 4 4
5
递增，因此 f (q)的最小值点是 ， a 211 f (q)
5
取最小值时， q ．
4 4
此时 a1 16， a2 20， a3 25． a3不是偶数，所以 a4 A， an A (n 5)．
所以当 a11取最小值时， A中所有元素之和为16 20 25 61．
21．解：
（1）设 A(4t 2 ,4t)， t 0，则 | AB |2 (4t 2 1)2 (4t 4)2 16t 4 24t 2 32t 17．
设 f (t) 16t 4 24t 2 32t 17， f (t) 16(4t3 3t 2) 16(2t 1)(2t 2 t 2)．
2t 2 t 2 2(t 1 15 1 1因为 )2 0，所以令 f (t) 0得 t0 ， f (t)在 ( , )单调4 8 2 2
(1递减，在 , ) 1 单调递增，故 f (t)的最小值为 f ( ) 8， | AB |的最小值为 2 2．
2 2
2024年测试（一）参考答案 第 3页（共 4页）
2 tan OCB 4 tan ACO | t | (0, 1（ ）由题可知 ，
3 t 2
]．
1 2
当 t 0时， ACB OCB ACO，所以 tan ACB 4 3tan ACO ．
3 4 tan ACO
1 4
该式是关于 tan ACO的减函数，所以 tan ACB ；
2 3
t 0 4 3tan ACO当 时， ACB OCB ACO，所以 tan ACB ．
3 4 tan ACO
该式是关于 tan ACO 4 11的增函数，所以 tan ACB ；
3 2
综上， tan ACB 1 4的取值范围是[ , ) (4 ,11]．
2 3 3 2
3 1（ ）由（2）知， tan ACO tan ACB，且 0 ACO 90 ，
2
所以 ACO ACB．
22．解：
（1） f (x) 1 x 1 t x ，则曲线 y f (x)在点 (t, f (t))处切线 l的斜率为 t ．e e
l 1 t若 平行于直线 y x 2，则 t 1，即 e
t t 1．
e
设 (t) et t， (t) et 1 0，所以 (t)在 ( , )单调递增．
而 (0) 1，所以方程 (t) 1有唯一解 t 0．
故曲线 y f (x)平行于直线 y x 2的切线只有一条，即在 (0,0)处的切线 y x．
（2）因为 g(x) g(x 2 )，所以 g(x)的一个周期是 2 ．
g (x) esin x cos x ecos x sin x (cos x sin x )esin x cos x esin x cos xcos x sin x [ f (cos x) f (sin x)]，e e
而 esin x cos x 0，因此 g (x)的正负与 f (cos x) f (sin x)的正负一致．
由（1）知当 x 1时， f (x) 0，则 f (x)单调递增，
所以 f (cos x) f (sin x)等价于 cos x sin x， f (cos x) f (sin x)等价于 cos x sin x．
由 y 3 sin x和 y cos x的图像知，当 x (2k ,2k )(k Z)时， cos x sin x；
4 4
5
当 x (2k ,2k )(k Z)时， cos x sin x．
4 4
故 g(x)在区间 (2k 3 5 ,2k )(k Z)单调递增，在 (2k ,2k )(k Z)单
4 4 4 4
调递减．
2024年测试（一）参考答案 第 4页（共 4页）
