2023-2024学年福建省莆田市荔城区砺青中学九年级（上）第一次月考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.抛物线顶点坐标是( )
A. B. C. D.
2.用配方法解方程时，配方所得的方程为( )
A. B. C. D.
3.将抛物线向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度后，得到的抛物线的解析式为( )
A. B. C. D.
4.某厂一月份生产空调机台，三月份生产空调机台，若二、三月份每月平均增长的百分率是，则所列方程是( )
A. B.
C. D.
5.若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. 且 D. 且
6.若关于的方程有一个根为，则为( )
A. B. C. D.
7.是方程的根，则式子的值为( )
A. B. C. D.
8.函数和在同一直角坐标系内的图象大致是( )
A. B.
C. D.
9.已知二次函数其中是自变量的图象上有两点，，满足，当时，的最小值为，则的值为( )
A. B. C. D.
10.已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：
；；；；的实数．
其中正确的结论有( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11.若函数是关于的二次函数，则满足条件的的值为______ ．
12.二次函数的最小值为，则的值为______ ．
13.若二次函数的图象经过，，三点，则，，大小关系为______ ．
14.一元二次方程的两个根为，，则 ______ ．
15.抛物线与轴的两个交点分别是，当时，的取值范围是 ．
16.已知而成函数与轴有两个交点，当取最小整数时的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，则新图象与直线有三个不同公共点时的值是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
解方程：
；
．
18.本小题分
二次函数图象的顶点是，且经过点，求此函数的解析式．
19.本小题分
已知的三边，，，且满足，，求证：是直角三角形．
20.本小题分
如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
求顶点的坐标；
求的面积．
21.本小题分
已知关于的一元二次方程有实数根．
求的取值范围；
若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值．
22.本小题分
某商场购进一批单价为元的商品，若按每件元的价格销售，每月能卖出件；若按每件元的价格销售，每月能卖出件；假定每月销售量件与售价元件之间满足一次函数关系．
求与之间的函数关系式；
当售价定为多少元时，才能使每月获得的利润最大？最大利润是多少？
23.本小题分
如图，二次函数的图象与轴交于点，点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数的图象经过二次函数图象上的点及点．
求二次函数的解析式．
根据图象，写出满足的取值范围．
24.本小题分
已知二次函数．
若该二次函数的最小值为，求这个二次函数的解析式；
当且时，函数值的取值范围是，求的值；
在的条件下，将此抛物线平移，且使其顶点始终在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最小值．
25.本小题分
顶点为的抛物线交轴于、，交轴于点，直线经过点，交轴于．
求出抛物线的解析式；
如图，点为线段上不与、重合的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，设点的横坐标为，四边形的面积为，求与之间的函数关系式，并求的最大值；
点为轴的正半轴上一个动点，过作轴的垂线，交直线于，交抛物线于，连接，将沿翻折，若点的对应点恰好落在轴上时，请直接写出点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：抛物线解析式为，
抛物线的顶点坐标为．
故选：．
根据二次函数的解析式结合二次函数的性质，即可找出抛物线的顶点坐标，此题得解．
本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式找出抛物线的顶点坐标是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：，
，
，
故选：．
根据配方法即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
3.【答案】
【解析】解：将抛物线向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度后所得抛物线解析式为，即；
故选：．
直接根据平移规律作答即可．
此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
4.【答案】
【解析】解：依题意得：
．
故选B．
由于一月份生产空调台，三月份生产空调台，若二、三月份每月平均增长的百分率为，那么二、三月份分别生产台、，由此即可列出方程．
此题主要考查了一元二次方程的应用，是增长率的问题，解题的关键利用了增长率的公式．
5.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得，
若关于的一元二次方程，
，
且．
故选：．
先根据一元二次方程的定义及根的判别式列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是根的判别式及一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的根与的关系式解答此题的关键．
6.【答案】
【解析】解：关于的方程有一个根为．
，
解得：，
故选：．
将代入方程，得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解．
本题考查了一元二次方程的解的定义，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．一元二次方程的解根的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．
7.【答案】
【解析】解：是方程的根，
，
，
故选：．
根据一元二次方程的解的定义，可得，代入代数式，即可求解．
本题考查了一元二次方程的解的定义，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．一元二次方程的解根的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．
8.【答案】
【解析】【分析】
根据、的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除．
本题考查一次函数的图象，二次函数的图象，应该识记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
【解答】
解：当时，二次函数的图象开口向上，
一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限，
故A不正确；
当时，二次函数的图象开口向下，
一次函数的图象经过二、四或一、二、四或二、三、四象限，
故D不正确；
由、中二次函数的图象可知，开口向上，，对称轴，则，
但中，一次函数，，排除．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：二次函数的对称轴是直线，
由，，满足知，
当时，的最小值为，
二次函数图象过，
，
，
故选：．
二次函数的对称轴是直线，根据题意可得二次函数图象过，即可得到答案．
本题考查二次函数的性质，解题的关键是理解二次函数图象过．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数的图象，当，开口向上，函数有最小值，，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线，与同号，对称轴在轴的左侧，与异号，对称轴在轴的右侧；当，抛物线与轴的交点在轴的上方；当，抛物线与轴有两个交点．
【解答】
解：开口向下，；
对称轴在轴的右侧，、异号，则；
抛物线与轴的交点在轴的上方，则，
则，所以不正确；
当时图象在轴上，则，即，所以不正确；
对称轴为直线，则时图象在轴上方，
则，所以正确；
，则，
当时，图象在轴上，即，
所以，整理后，所以错误；
开口向下，当时，有最大值；
当时，，
则，即，所以正确．
故正确的选项为，共个，
故选：．
11.【答案】
【解析】解：根据题意得到：且，
解得：且，
故答案为：．
根据题意得知：自变量不能为，并且的指数是，列出式子求解．
本题考查了二次函数的定义，关键题中函数的自变量不能为．
12.【答案】
【解析】解：二次函数，，开口向上，
最小时为，
依题意，，
解得：，
故答案为：．
根据顶点式求得最小值为，结合题意，可得，解方程即可求解．
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：二次函数对称轴为直线，
，，，
，
二次函数图象开口向上，
，
．
故答案为：．
先求出二次函数的对称轴，再求出点、、到对称轴的距离，然后根据二次函数增减性判断即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性以及增减性，确定出各点到对称轴的距离的大小是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，是一元二次方程的两个根，
，，
．
故答案为：．
由，是一元二次方程的两个根，得出，，再把变形为，即可求出答案．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
15.【答案】或
【解析】【分析】
结合二次函数图象，写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
【解答】
解：抛物线与轴的两个交点分别是，，
抛物线的开口向上，
当时，的取值范围是或．
故答案为或．
16.【答案】或
【解析】解：函数与轴有两个交点，
，
解得，
当取最小整数时，，
抛物线为，
将该二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，所以新图象的解析式为或．
因为的，所以它的图象从左到右是上升的，当它与新图象有个交点时它一定过把代入得所以，
与相切时，图象有三个交点，
，
，
解得．
故答案为：或．
根据题意求得，得到解析式，将二次函数的解析式化为顶点式，可求出其顶点坐标；令抛物线的解析式中，，可求出它函数图象与轴的交点坐标．画出此函数图象后，可发现，若直线与新函数有个交点，可以有两种情况：
过交点，根据待定系数法，可得的值；不过点，直线与相切，根据判别式，可得答案．
本题考查了二次函数图象与几何变换，分类讨论是解题关键，利用了待定系数法求函数解析式，直线与抛物线相切时判别式等于零是解题关键．
17.【答案】解：解：，
，
或，
解得：，；
整理得：，
，
或，
解得：，．
【解析】先把方程的左边分解因式，再得到两个一次方程，再解一次方程即可；
先把方程化为，再把左边分解因式，再解方程即可．
本题考查了利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“因式分解法和解方程的基本步骤”是解本题的关键．
18.【答案】解：设抛物线的解析式为，
将代入得，，
，
函数解析式为，
所以该抛物线的函数解析式为．
【解析】本题考查了待定系数法求函数解析式，知道二次函数的顶点式是解题的关键．
本题考查了待定系数法求函数解析式，知道二次函数的顶点式是解题的关键．
19.【答案】证明：，
，
，，
，
，
是直角三角形．
【解析】先将转化为，进而求出，，最后用勾股定理的逆定理判断即可得出结论．
此题主要考查了配方法，勾股定理的逆定理，求出，的值是解本题的关键．
20.【答案】解：，
顶点的坐标为；
令，即，
解得，，，
，，
，
令，则，
，
，
．
【解析】把函数解析式化为顶点式即可；
令求出、点坐标，令求出点坐标，即可求出和的长度，再利用三角形面积公式即可．
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握函数解析式化为顶点式的方法以及三角形的面积计算方法．
21.【答案】解：根据题意得：，
解得：．
故的取值范围是：．
根据题意得：，，
，
，即，
解得：，由得，故舍去．
故的值为．
【解析】本题考查了根与系数的关系：当，是一元二次方程的两根时，，．
根据判别式的意义得到，然后解关于的不等式即可；
根据根与系数的关系得到，，利用整体代入的方法得到，然后解关于的方程即可．
注意：由得，故舍去．
22.【答案】解：由题意，可设，
把，代入得，
解得，
所以与之间的关系式为：；
设利润为，则
所以当时，取得最大值，最大值为元．
答：当销售价格定为元时，每月的利润最大，每月的最大利润为元．
【解析】设出解析式，把，代入求出系数即可；
根据题意列出二次函数解析式，根据二次函数的性质求出最值即可．
本题考查的是待定系数法求一次函数解析式和二次函数的应用，正确运用待定系数法、掌握二次函数的性质是解题的关键．
23.【答案】解：抛物线经过点，
，
，
抛物线解析式为；
把代入得，
点坐标，
对称轴，、关于对称轴对称，
点坐标，
由图象可知，写出满足的的取值范围为或．
【解析】先利用待定系数法先求出，即可求得二次函数的解析式；
求出点坐标，根据图象即可写出自变量的取值范围．
本题考查二次函数与不等式、待定系数法等知识，解题的关键是熟练运用待定系数法求解析式，学会利用图象根据条件确定自变量取值范围．
24.【答案】解：有最小值为，
，
解得：，
此时该二次函数的解析式是；
，
抛物线开口向上，的对称轴为，
当时，随的增大而减小．
又时，函数值的取值范围是，
，
解得，或舍去，
故的值为；
，
设平移后的二次函数为，其顶点坐标为，与轴交点的纵坐标为，
将代入得：
，
，
时，取最小值，最大值为，
平移后的抛物线与轴交点的纵坐标最小值是．
【解析】利用配方法即可解决问题；
转化为方程组即可解决问题；
设平移后的抛物线为，将顶点坐标代入，配方即可得的最小值．
本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象与几何变换等知识点，解题的关键是掌握待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．
25.【答案】解：将点代入直线解析式中，
，
解得，
解析式为，
，
，
则有
解得
抛物线的解析式为：．
，
，
设直线的解析式为，代入点、，
解得
直线的解析式为，
则点的坐标为，
，
当时，有最大值，最大值为．
存在
如图所示，
设点的坐标为，
则点，，
，
沿翻折，的对应点为点，落在轴上，
而轴，
，，，
，
，
，
，
，
，
当时，
解得舍，，
此时点．
当时，
解得舍，，
此时点．
综上，点的坐标为或．
【解析】将点代入直线解析式中，可求出点的坐标，将点、代入抛物线解析式中，可求出抛物线解析式．
将抛物线解析式配成顶点式，可求出点的坐标，设直线的解析式，代入点、，可求出直线的解析式，则可表示，则可表示．
设点的坐标，则点的坐标可表示，点的坐标可表示，长度可表示，利用翻折推出，列等式求解即可．
此题考查了待定系数法求函数解析式，点坐标转换为线段长度，几何图形与二次函数结合的问题，最后一问推出为解题关键．
第1页，共1页
