绝密★启用前
商洛市部分学校2023-2024学年高三上学期10月阶段性测试(一)
文科数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名 考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（ ）
A. B. C. D.
2.设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知函数，若，则（ ）
A.-12 B.-11 C.-10 D.10
4.若实数满足约束条件，则的最大值为（ ）
A.3 B.7 C.11 D.15
5.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A.20 B.32 C. D.
6.设的内角的对边分别为，若，则（ ）
A. B. C. D.
7.对于任意实数，用表示不大于的最大整数，例如：-3，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
8.已知函数，若将的图象向左平移个单位长度后所得的图象关于坐标原点对称，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
9.执行如图的程序框图，输出的值是（ ）
A. B. C.1 D.-1
10.如图所示，在棱长为2的正方体中，点在棱上，且，则点到平面的距离之和为（ ）
A. B. C. D.
11.已知函数的极小值点为，极大值点为，若0，则曲线在坐标原点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
12.已知双曲线的右焦点为，以坐标原点为圆心，线段为半径作圆，与的右支的一个交点为，若，则的离心率为（ ）
A. B.2 C. D.
二 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点，且，则__________.
14.某品牌新能源汽车2019-2022年这四年的销量逐年增长，2019年销量为5万辆，2022年销量为22万辆，且这四年销量的中位数与平均数相等，则这四年的总销量为__________万辆.
15.在中，是线段上的动点，设，则__________.
16.若为锐角，且，则的最小值为__________.
三 解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
某校组织全校800名学生进行校园安全相关知识的测试，从中随机抽取了100名学生的测试成绩（单位：分），按照分组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求的值，并估计全校学生测试成绩在内的人数；
（2）学校想了解部分学生测试成绩较低的原因，从样本中测试成绩在内的学生中随机抽取2名学生座谈，已知这些待选的学生中包含和，求和至少有一人被抽到的概率.
18.（12分）
记递增的等差数列的前项和为，已知，且.
（1）求和；
（2）设，求数列的前项和.
19.（12分）
如图，在直三棱柱中，，D，E，F分别是棱，BC，AC的中点，.
（1）证明：平面平面；
（2）求点到平面的距离.
20.（12分）
已知椭圆C：过点，且C的右焦点为.
（1）求C的离心率；
（2）过点F且斜率为1的直线与C交于M，N两点，P直线上的动点，记直线PM，PN，PF的斜率分别为，，，证明：.
21.（12分）
已知函数.
（1）讨论在区间上的单调性；
（2）若存在使不等式成立，求的取值范围.参考数据：.
（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于两点，与轴交于点，求的值.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.
文科数学答案
一 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.
1.B 2.A 3.A 4.C 5.D 6.C
7.A 8.B 9.D 10.B 11.A 12.D
二 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.4 14.54 15.2 16.
四 解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.解析（1）由频率分布直方图知，
解得.
则测试成绩在内的频率为，
所以估计全校学生测试成绩在内的人数为.
（2）样本中测试成绩在内的学生人数为，
记学生和之外的4人分别为，
则所有可能的结果有AB，Ac，Ad，Ae，Af，Bc，Bd，Be，Bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共15种，
其中学生和至少有一人被抽到的结果有，共9种.
所以学生和至少有一人被抽到的概率.
18.解析（1）设的公差为.
因为，所以，
由得，解得，
所以，
.
（2）由（1）得，，
所以
19.（1）在中，因为E，F分别是BC，AC的中点，所以.
因为，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为，，
所以平面.
（2）如图所示，连接.
利用勾股定理计算得，
所以的面积为.
设点到平面的距离为，则三棱锥的体积为.
又易知平面，
所以三棱锥的体积为.
所以，解得，
即点到平面的距离为.
20.（1）由得C的半焦距为，
所以，
又C过点，
所以，解得，
所以，.
故C的离心率为.
（2）由（1）可知C的方程为.设，，.
由题意可得直线MN的方程为，
联立，消去y可得，
则，，
则
，
又，
因此.
21.解析（1）由已知得.
若，则当时，恒成立，所以，故单调递增.
由可得，
若，则当时，恒成立，
所以，故单调递增.
若，令，可得，其中，
当或时，单调递增，
当时，单调递减.
综上：若，则在上单调递增；
若，则在和上单调递增，在上单调递减.
（2）由不等式，得，
则.
设函数，
因为存在，使，所以.
求导得，
令，解得舍去，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
因为，
且，
所以，
所以，即实数的取值范围是.
22.解析（1）由曲线的参数方程消去参数，得普通方程为.
因为，所以，
将代入得.
（2）由于直线与轴的交点坐标为，倾斜角为，
所以直线的参数方程为（为参数），
代入，得，
设对应的参数分别为，则，
所以.
23.解析（1）由，可得，
当时，原不等式可化为，化简得，不成立；
当时，原不等式可化为，解得，故；
当时，原不等式可化为，化简得，恒成立，故.
综上可知的取值范围为.
（2）因为，
由题可知关于的不等式的解集为，所以，
解得.
故实数的取值范围是.
