黑龙江省哈尔滨市重点中学2023-2024学年高三上学期数学开学考试试卷
一、选择题（前8个小题为单选题，每题只有一个选项，每题5分，满分40分；后4小题为多选题，每题不只有一个选项，每题5分，满分20分）
1．已知集合A={-1，1，2，4}，B={x||x-1|≤1}，则A∩B=（ ）
A．{-1，2} B．{1，2} C．{1，4} D．{-1，4}
2．“”是“函数的定义域为R”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知a>b，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．a2>b2 C．lna>lnb D．2a-b>1
4．方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知，，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
6．函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
7．随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟，其中电磁波在空间中自由传播时能量损耗满足传输公式：，其中D为传输距离，单位是，F为载波频率，单位是，L为传输损耗（亦称衰减）单位为．若传输距离变为原来的4倍，传输损耗增加了，则载波频率变为原来约（ ）倍（参考数据：）
A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
8．已知函数在上单调递减，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（共4个小题，每题不只有一个选项，每题5分，满分20分）
9．已知x>0，y>0，且2x+y=2，则下列说法中正确的是（ ）
A．xy的最大值为 B．4x2+y2的最大值为2
C．4x+2y的最小值为4 D．的最小值为4
10．已知函数f(x)=则下列结论正确的是（ ）
A．f(x)在R上为增函数
B．f(e)>f(2)
C．若f(x)在(a，a+1)上单调递增，则a≤-1或a≥0
D．当x∈[-1，1]时，f(x)的值域为[1，2]
11．函数的定义域为，值域为，下列结论中一定成立的结论是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知是定义在上的奇函数，且函数为偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．当时，的零点有6个
C．
D．若，则
三、填空题（共4个小题，，每题5分，满分20分）
13．已知函数，则 ．
14．若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是 。
15．已知函数，且函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是 ．
16．函数f(x)=-2cos(πx)在[-3，5]上的所有零点之和为 。
四、解答题（共6题，第17题10分，第18至第22题每题12分，共70分）
17．盒中有4个球，分别标有数字1、1、2、3，从中随机取2个球．
（1）求取到2个标有数字1的球的概率；
（2）设X为取出的2个球上的数字之和，求随机变量X的分布列及数学期望．
18．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，其中b=2．
（1）若A+C=120°，a=2c，求边长c；
（2）若A-C=15°，a=csinA，求△ABC的面积．
19．已知等比数列的各项均为正值，a3是4a1、2a2的等差中项，a5=32，记．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列的前n项和为Tn，证明：．
20．已知函数是奇函数.
（1）求实数，的值；
（2）若对任意实数，都有成立.求实数的取值范围.
21．如图，椭圆（）的离心率为，过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦与．当直线的斜率为0时，．
（1）求椭圆的方程；
（2）求使取最小值时直线的方程．
22．已知函数，曲线在点(1，)处的切线方程为．
（1）求a、b的值；
（2）求证：当m≥，x＞1时，不等式m(ex-e)>ef(x)恒成立．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：解得
故答案为：B
【分析】先解绝对值不等式，再利用交集的定义即可求解.
2．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的定义域及其求法；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：因为函数的定义域为R，所以恒成立，若a=0，则恒成立，符合题意.
若则解得综上由充要条件的定义可得”是“函数的定义域为R”的
充分不必要的条件.
故答案为：B
【分析】先根据函数的定义域为R求出a的取值范围，再利用充要条件的定义即可求解.
3．【答案】D
【知识点】利用不等式的性质比较大小；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：A若a=2，b=-1，则所以A选项错误.
B若a=2，b=-3，则所以B选项错误.
C当a，b中有一个为负数，则对数式没有意义，所以C选项错误.
D所以D选项正确.
故答案为：D
【分析】利用特殊值可以判断ABC选项，利用指数函数的单调性可以判断D选项.
4．【答案】B
【知识点】函数与方程的综合运用
【解析】【解答】解：结合函数与的图像可得两个函数图象有两个交点，即方程 |x2-2x|=a2+1
解有两个.
故答案为：B
【分析】先画出函数的图像，再结合把方程的解的个数转换成函数图象交点的个数问题即可
5．【答案】A
【知识点】复合函数的单调性；函数的奇偶性；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：由已知可得函数的定义域为R，且所以f(x)是偶函数.
当x>0时，，由复合函数的单调性可得f(x)在上单调递增.
因为所以
故答案为：A
【分析】先利用奇偶函数的定义判断出f(x)为偶函数，再利用复合函数的单调性判断出f(x)在上单调递增，结合指数、对数的性质比较出a，b，c的大小即可求解.
6．【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】函数定义域为，，
则有函数是奇函数，其图象关于原点对称，B，C不满足；
当时，，即，因此，A不满足，D符合条件.
故答案为：D
【分析】 求得f (x)的定义域，判断f (x )的奇偶性，当时，函数值的符号，由排除法可得答案.
7．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：设为变化后的传输距离，为变化后的传输损耗，为变化后的载波频率，则
由已知条件可得和变化前的传输关系作差解得所以
故答案为：B
【分析】由前后两个传输公式作差，结合对数运算即可求解.
8．【答案】B
【知识点】复合函数的单调性；二次函数的性质
【解析】【解答】解：因为函数在上单调递减 ，则函数在上单调递增且y>0恒成立.
即解得
故答案为：B
【分析】先利用复合函数的单调性判断出在上单调递增且y>0恒成立，根据二次函数的性质列出不等关系组即可求解.
9．【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A由已知可得 ，解得当且仅当2x=y即时等号成立，故A选项正确.
B 由已知可得y=2-2x>0，即0
D 当且仅当即时等号成立，故D选项正确.
故答案为：ACD
【分析】由基本不等式逐一验证即可求解.
10．【答案】B,C
【知识点】复合函数的单调性；函数的最大（小）值；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A 因为但所以 f(x)在R上不是增函数 ，故A选项错误.
B 由题意可得 f(x)在上为增函数，因为e>2，所以f(e)>f(2)正确，故B选项正确.
C 由题意可得 f(x)的增区间为，，若f(x)在(a，a+1)上单调递增 ，则或
解得 a≤-1或a≥0 ，故C选项正确.
D 当时，当时，所以 当x∈[-1，1]时，f(x)的值域为故D选项错误.
故答案为：BC
【分析】找两个特殊值就可以排除A，利用单调性可判断B，C，D
11．【答案】A,C,D
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；指数函数单调性的应用；指数函数综合题
【解析】【解答】解：令可得，因为所以解得即解得
所以 ，逐个验证可得A，C，D正确，B选项错误.
故答案为：ACD
【分析】先用换元法把函数转化成二次函数，利用值域求出t的取值范围，再利用指数函数的单调性求出M，逐一验证即可求解.
12．【答案】A,C
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；函数的零点
【解析】【解答】解：A 因为函数为偶函数，所以，即函数的图象关于直线对称，故A选项正确.
C 由A选项可得，又函数是定义在上的奇函数，所以即变形可得
故C选项正确.
B 因为函数是定义在上的奇函数所以函数的零点也是奇数，故B选项错误.
D 由C选项可知是周期为4的周期函数，因为所以，
，所以故D选项错误.
故答案为：AC
【分析】利用奇偶函数得f(x)是周期为4的周期函数，逐个验证即可.
13．【答案】-1
【知识点】函数的值
【解析】【解答】因为，所以，
所以
故答案为：-1。
【分析】利用已知条件结合分段函数的解析式，再结合x的取值范围和代入法得出函数的值。
14．【答案】[1，2]
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由已知条件f（1）=0可得， 因为偶函数在上单调递减，所以
解得
故答案为：[1，2]
【分析】利用函数的单调性和奇偶性转化成，解不等式即可求解.
15．【答案】(1，2]
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】由得，即函数的零点是直线与函数图象交点横坐标，
当时，是增函数，函数的值域为(1，2]，
当时，是减函数，当时，，，
当时，是增函数，当时，，
在坐标平面内作出函数的图象，如图，
观察图象知，当时，直线与函数图象有3个交点，即函数有3个零点，
所以实数的取值范围是：.
故答案为：(1，2].
【分析】作出函数的图象，函数的零点是直线与函数图象交点横坐标，即可求解.
16．【答案】8
【知识点】余弦函数的图象；函数与方程的综合运用
【解析】【解答】解：函数即，函数和都关于直线x=1对称，所以
两个函数的交点业关于直线x=1对称，根据余弦函数的周期性可知，两个函数在区间上共有8个交点，利用对称性可得交点的横坐标和为
故答案为：8
【分析】将函数零点问题转化为函数和的交点问题.
17．【答案】（1）解：取到2个标有数字1的球的概率；
（2）解：由题意可知，X所有可能的取值为2，3，4，5，
，
故X的分布列为：
X 2 3 4
P
故
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)利用组合数结合古典概率模型计算公式即可求解.
(2)利用组合数结合古典概率模型计算公式分别求出概率值，利用离散型概率期望公式即可求解.
18．【答案】（1）解：∵A+C=120°，且a=2c，
∴sinA=2sinC=2sin(120°-A)=cosA+sinA，
∴cosA=0，又因为0
∵b=2，
∴
（2）解：a=csinA，
则sinA=sinCsinA，
sinA>0，
∴，
∵A-C=15°，
∴C为锐角，
∴C=45°，A=60°，B=75°，
∴
∴
∴
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理
【解析】【分析】(1)利用正弦定理和和差角公式进行化简，即可求出cosA=0，进而求出角A，B，C，再利用勾股定理即可求出边c.
(2)利用正弦定理先求出，根据 A-C=15° 可判读出C为锐角，结合已知即可求出三个角，再利用三角形面积公式即可求解.
19．【答案】（1）解：解：设数列{an}的公比为q，则q>0，
由题意知，可得，解得，
所以.
（2）证明：因为
所以.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）根据已知条件和等比数列的通项公式即可求出q，再利用等比数列的通项公式即可求解.
(2先利用裂项求和法求出，再用分析法即可证明.
20．【答案】（1）解：当x>0时，，
因为f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x)，
所以，
又x>0时，
所以，
又当x<0时，同理可得，
综上.
（2）解：因为e2x>0，ex>0，
原不等式化为，
令，则t≥2，
原不等式进一步化为t2+λt-λ-3≥0在t≥2上恒成立，
记g(t)=t2+λt-λ-3，t∈[2，+∞)，
①当时，即λ≥-4时，
g(t)min=g(2)=λ+1≥0，
所以λ≥-1，符合题意；
②当时，即λ<-4时，
，显然矛盾.
综上，实数λ的取值范围为{λ|λ≥-1}.
【知识点】函数的奇偶性；二次函数与一元二次不等式的对应关系
【解析】【分析】(1)根据函数是奇函数，利用奇函数的定义即可求出m，n.
(2)利用换元法转化成二次函数在在t≥2上恒成立问题，对分类讨论①当时②当时 分别求出 即可求解.
21．【答案】（1）解：由题意知，又
a2=b2+c2，解得a=2，b=，
∴椭圆方程为.
（2）解：①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，
另一条弦所在直线的斜率不存在，
由题意知|AB|+|CD|=7，不满足条件.
②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，
设直线AB的方程为y=k(x一1)，
则直线CD的方程为，设
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线AB的方程代入祁有圆方程中并整理得
(3+4x2)x2-8k2x+4x2-12=0，
则，
∴
，
同理，，
∴
，
当且仅当，即时，上式取等号，
∴直线AB的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)利用椭圆的定义和几何性质即可求解.
(2)分两种情况讨论
①两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，不符合题意.
②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设出直线AB的方程，和椭圆方程联立，利用弦长公式求出，同理，，化简利用基本不等式即可求解.
22．【答案】（1）解：∵f(x)=x2+ax+blnx(a，b∈R)，
∴，
∴，将点(1，)
代入切线方程得，可得=0
∴解得
（2）解：证明：由(1)得，当m≥2，x>1时，要证不等式m(ex-e)≥ef(x)，
即证m(ex-1)>x2-x+Inx，
当x>1时，先证2(ex-1-1)>x2-x+lnx，
构造函数g(x)=2(ex-1-1)-x2+x-lnx，
x>1，则
构造函数h(x)=ex-1-x，x>1，则h'(x)=ex-1-1，当x>1时，h'(x)>0，
∴函数h(x)在(1，+∞)上单调递增，
∴当x>1时，h(x)>h(1)=0，则ex-1-x>0，
∴，
∴函数g(x)在(1，+∞)上单调递增，
∴g(x)>g(1)=0，即当x>1时，2(ex-1-1)>x2-x+Inx，
则当m≥2，x>1时，m(ex-1-1)>2(ex-1-1)>x2-x+Inx，
∴当m≥2，x>1时，不等式m(ex-e)>ef(x)恒成立.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)利用求导公式求导，根据导数的几何意义求出切线方程，代入即可求解.
(2)构造函数g(x)=2(ex-1-1)-x2+x-lnx，求导再构造函数h(x)=ex-1-x，求导利用单调性讨论即可求解.
