第七章 万有引力与航天—讲和练
一、开普勒行星三定律
1．轨道定律
所有行星绕太阳运动的轨道都是______，太阳处在______的一个焦点上。
2．面积定律
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。
3．周期定律
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即
式中为椭圆轨道的半长轴，为行星绕行的周期，k是一个与行星无关的常量。
二、万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成______，与它们之间距离r的二次方成______。
2．表达式
式中为万有引力常量，由______利用扭秤实验测得；为质点或匀质球体之间的距离。
3．适用条件
① 公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
② 质量分布均匀的球体可视为质点。
三、万有引力和重力的关系（为为地球半径）
1．不考虑地球自转的情况下，万有引力和重力相等，既
2．考虑地球自转的情况下，物体所受万有引力由重力和向心力矢量合成，如图所示
在赤道表面时，向心力和重力重合，即
在两极时，向心力为0，万有引力和重力相等，既
四、计算天体的质量和密度
类型 方法 已知量 利用公式 表达式 备注
质 量 的 计 算 利用运行天体 r、T 只能得到中心天体的质量
r、v
v、T
利用天体表面重力加速度 g、R
密 度 的 计 算 利用运 行天体 r、T、R 当r＝R时， 利用近地卫星只需测出其运行周期
利用天体表面重力加速度 g、R
五、卫星运行的相关参数
在公式中，为轨道半径，为地球半径，为地球表面附近的重力加速度
1．线速度
2．角速度
3．周期
4．加速度
六、宇宙速度
1．第一宇宙速度
① 定义：物体在地球附近绕地球做______运动的速度
② 地球的第一宇宙速度的计算
当卫星的轨道半径等于地球半径时，卫星环绕速度为第一宇宙速度，即
③ 对第一宇宙速度的理解
“最小______”：向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星困难，因为发射卫星要克服地球对它的引力。近地轨道是人造卫星的最低运行轨道，而近地轨道的发射速度就是第一宇宙速度，所以第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度。
“最大______ ”：在所有环绕地球做匀速圆周运动的卫星中，近地卫星的轨道半径最小，由可知轨道半径越小，线速度越大，所以在这些卫星中，第一宇宙速度是所有环绕地球做匀速圆周运动的卫星的最大环绕速度。
2．第二宇宙速度
在地面附近发射飞行器，如果速度大于7.9km/s，又小于______，它绕地球运行的轨迹就不是圆，而是椭圆。当飞行器的速度等于或大于______时，它就会克服地球的引力，永远离开地球。我们把11.2km/s叫作第二宇宙速度。
3．第三宇宙速度
在地面附近发射飞行器，如果要使其挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外，必须使它的速度等于或大于______，这个速度叫作第三宇宙速度。
七、卫星变轨
1．制动变轨（由Ⅲ轨道降低到Ⅰ轨道）
卫星的速率变小时，使得万有引力大于所需向心力，即，卫星做近心运动，轨道半径将变小。
2．加速变轨（由Ⅰ轨道降低到Ⅲ轨道）
卫星的速率变大时，使得万有引力小于所需向心力，即，卫星做离心运动，轨道半径将变大。
八、相对论时空观与牛顿力学的局限性
1．爱因斯坦的假设
① 在不同的惯性参考系中，物理规律的形式都是相同的。
② 真空中的光速在不同的惯性参考系中大小都是相同的。
2．时间延缓效应
如果相对于地面以v运动的惯性参考系上的人观察到与其一起运动的物体完成某个动作的时间间隔为Δτ，地面上的人观察到该物体在同一地点完成这个动作的时间间隔为Δt，那么两者之间的关系是
由于，所以总有，此种情况称为时间延缓效应。
3．长度收缩效应
如果与杆相对静止的人测得杆长是l0，沿着杆的方向，以v相对杆运动的人测得杆长是l，那么两者之间的关系是
由于，所以总有，此种情况称为长度收缩效应。
4．牛顿力学的成就
从地面上物体的运动到天体的运动，从拦河筑坝、修建桥梁到设计各种机械，从自行车到汽车、火车、飞机等现代交通工具的运动，从投出篮球到发射导弹、人造地球卫星、宇宙飞船……所有这些都服从牛顿力学的规律。
5．牛顿力学的适用范围：只适用于低速运动，不适用于高速运动；只适用于宏观世界，不适用于微观世界。
开普勒行星定律揭示了行星绕太阳运行的重要规律。椭圆定律说明了行星绕太阳运行的轨道为椭圆，太阳在椭圆的某个焦点上；面积定律定律说明了行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，也说明了行星在近地点速度大于远地点速度；周期定律说明了所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，若行星轨道近似为圆轨道，半长轴即为圆周轨迹的半径。
【例题】
1．关于行星运动定律和万有引力定律的建立过程，下列说法正确的是（ ）
A．开普勒通过天文仪器观察到行星绕太阳运动的轨道是椭圆
B．卡文迪许通过对几个铅球之间万有引力的测量，得出了引力常量的数值
C．第谷通过严密的数学运算，得出了行星的运动规律
D．牛顿通过比较月球和近地卫星的向心加速度，对万有引力定律进行了“月—地检验”
2．北京冬奥会开幕式24节气倒计时惊艳全球，如图是地球沿椭圆轨道绕太阳运行所处不同位置对应的节气，下列说法正确的是（ ）
A．夏至时地球与太阳的连线在单位时间内扫过的面积最大
B．从冬至到春分的运行时间等于从春分到夏至的运行时间
C．太阳既在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上
D．若用a代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，，则地球和火星对应的k值不同
【练习题】
3．关于开普勒行星运动的公式，以下理解正确的是（ ）
A．k是一个与中心天体有关的量
B．若地球绕太阳运转轨道的半长轴为R，周期为T，月球绕地球运转轨道的半长轴为，期为，则
C．T表示行星运动的公转周期
D．R表示行星的半径
4．开普勒行星运动定律是我们学习、研究天体运动的基础。下列对开普勒行星运动定律理解错误的是（ ）
A．由开普勒第一定律知，行星绕太阳运动的轨道不是标准的圆形
B．由开普勒第一定律知，太阳处在绕它运动的行星轨道的焦点上
C．由开普勒第二定律知，火星和木星围绕太阳运行在相等的时间内它们扫过的面积相等
D．由开普勒第三定律知，地球与火星轨道的半长轴的三次方跟它们各自公转周期的二次方的比值相等
5．某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球绕地球运动半径的，则此卫星的运动周期为（ ）
A．1~4天 B．4~8天
C．8~16天 D．大于16天
万有引力定律的推导主要应用了开普勒第三定律、牛顿第三定律、向心力方程，并且通过月—地检验证明了万有引力定律的正确性。
【例题】
6．2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空。若神舟十三号在地面时，地球对它的万有引力大小为F，地球可视为球体，则当神舟十三号上升到离地面距离等于地球半径时，地球对它的万有引力大小为（ ）
A． B． C． D．
7．有一质量为、半径为、密度均匀的球体，在距离球心O为的地方有一质量为的质点，现在从球体中挖去一半径为的小球体（如图所示），然后在挖空部分填满另外一种密度为原来2倍的物质，则填充后的实心球体对质点的万有引力是多少（万有引力常量为）？
8．开普勒用二十年的时间研究第谷的行星观测数据，分别于1609年和1619年发表了下列定律：
开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。
开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴a的三次方跟它的公转周期T的二次方的比都相等，即，k是一个对所有行里都相同的常量。
（1）在研究行星绕太阳运动的规律时，将行星轨道简化为一半径为r的圆轨道。
a．如图所示，设行星与太阳的连线在一段非常非常小的时间内，扫过的扇形面积为。求行星绕太阳运动的线速度的大小v，并结合开普勒第二定律证明行星做匀速圆周运动；（提示：扇形面积=×半径×弧长）
b．请结合开普勒第三定律、牛顿运动定律，证明太阳对行星的引力F与行星轨道半径r的平方成反比。
（2）牛顿建立万有引力定律之后，人们可以从动力学的视角，理解和解释开普勒定律。已知太阳质量为MS、行星质量为MP、太阳和行星间距离为L、引力常量为G，不考虑其它天体的影响。
a．通常认为，太阳保持静止不动，行星绕太阳做匀速圆周运动。请推导开普勒第三定律中常量k的表达式；
b．实际上太阳并非保持静止不动，如图所示，太阳和行星绕二者连线上的O点做周期均为T0的匀速圆周运动。依照此模型，开普勒第三定律形式上仍可表达为。请推导k′的表达式（用MS、MP、L、G和其它常数表示），并说明k′≈k需满足的条件。
【练习题】
9．2021年5月15日，我国首次火星探测任务天问一号探测器在火星乌托邦平原南部预选着陆区成功软着陆。用h表示着陆器与火星表面的距离，用F表示它所受的火星引力大小，则在着陆器从火星上空向火星表面软着陆的过程中，能够描述F随h变化关系的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图所示，空间有一半径为R质量分布均匀的球体，球的右侧有一质量为m的可视为质点的物体，物体距离球体球心O之间的距离为2R，O与物体的连线在同一水平线上，球对物体的引力大小为。现从球中挖走两个半径为的小球，小球的球心、与O点的连线在同一竖直线上。则剩余部分对物体的引力大小为。则为（ ）
A． B．
C． D．
【易错题】
11．如图所示，两球间的距离为r，两球的质量分布均匀，质量大小分别为m1、m2，半径大小分别为r1、r2，则两球间的万有引力大小为（ ）
A． B．
C． D．
12．如图所示，两个实心球的半径分别为、，其质量分别为、且两实心球的质量分布不均匀（两球内侧密度大）。两球间的距离，取引力常量，则两球间万有引力的大小（ ）
A．等于6.67×10-11N B．大于6.67×10-11N
C．小于6.67×10-11N D．不能确定
1．假设地球半径为考虑地球自转的情况下，万有引力等于重力mg与向心力F向的矢量和；
2．在赤道上，重力mg与向心力F向共线，即；
3．在两极上，向心力F向为0，即；
4．在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动，常认为万有引力等于重力，即；
5．在地球表面附近的高处的重力加速度为，即。
【例题】
13．已知质量分布均匀的球壳对内部任一质点的万有引力为零。若将地球视为质量分布均匀的球体，半径为R，且不计地球自转。设地球表面上方高0.5R处的重力加速度，地球表面下方深0.5R处的重力加速度，则为（ ）
A． B． C． D．
14．某星球的质量约为地球质量的4倍，半径与地球近似相等。
（1）若从地球表面高为h处平抛一物体，水平射程为，则在该星球上，从同样高度，以同样的初速度平抛同一物体，水平射程应为多少？
（2）如图所示，在该星球表面发射一枚火箭，其上有精密的探测器，竖直向上做加速直线运动，已知该星球半径为，表面重力加速度为，升到某一高度时，加速度为，测试仪器对平台的压力刚好是起飞前压力的，求此时火箭所处位置距星球表面的高度？
【练习题】
15．某行星为质量分布均匀的球体，半径为R，质量为M。科研人员研究同一物体在该行星上的重力时，发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处重力的1.2倍。已知引力常量为G，则该行星自转的角速度为（ ）
A． B． C． D．
16．在地球上不同的地方，重力加速度大小是不同的。若把地球看成一个质量分布均匀的球体，测量出地球两极处的重力加速度与赤道处的重力加速度之差为，已知地球半径为R，则地球自转的周期T为（ ）
A． B． C． D．
17．假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常数为G，则地球由于自转，地球赤道上某点转动的线速度为（ ）
A． B． C． D．
计算中心天体的主要思路有两个：
1．根据行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动的的信息求解中心天体的质量，例如已知行星或卫星绕中心天体运行的周期是，根据可知；
2．忽略中心天体自转或在中心天体表面附近做匀速圆周运动，根据可知，需要注意的是g为天体表面重力加速度，未知星球表面重力加速度通常利用实验测出，例如让小球做自由落体、平抛、上抛等运动。
计算中心天体的密度，需要知道中心天体的半径，根据体积和密度求解中心天体的密度。
【例题】
18．1789年英国物理学家卡文迪许测出引力常量G，因此卡文迪许被人们称为“能称出地球质量的人”。若已知引力常量为G，地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，地球上一个昼夜的时间为T1（地球自转周期），一年的时间为T2（地球公转周期），地球中心到月球中心的距离为L1，地球中心到太阳中心的距离为L2。下列说法正确的是（ ）
A．地球的质量
B．太阳的质量
C．月球的质量
D．由题中数据可求月球的密度
19．月球，地球唯一的一颗天然卫星，是太阳系中第五大的卫星。航天员登月后，观测羽毛的自由落体运动，得到羽毛的速度随时间变化的图像如图所示。已知月球半径为，引力常量为，则（ ）
A．月球表面的重力加速度大小为
B．月球表面的重力加速度大小为
C．月球的平均密度为
D．月球的平均密度为
【练习题】
20．2021年5月15日，天问一号着陆巡视器成功着陆于火星的乌托邦平原，中国首次火星探测任务着陆火星取得圆满成功。如果着陆前着陆器近火星绕行的周期为102min。已知地球平均密度为，中国空间站距地球表面约400km，周期约为90min，地球半径约为6400km。下列数值最接近火星的平均密度的是（ ）
A． B．
C． D．
21．2021年5月15日7时18分，由祝融号火星车及进入舱组成的天问一号着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区，由此又掀起了一股研究太空热。某天文爱好者做出如下假设：未来人类宇航员登陆火星，在火星表面将小球竖直上抛，取抛出位置O点处的位移，从小球抛出开始计时，以竖直向上为正方向，小球运动的图像如图所示（其中a、b均为已知量）。忽略火星的自转，且将其视为半径为R的匀质球体，引力常量为G。则下列分析正确的是（ ）
A．小球竖直上抛的初速度为
B．小球从O点上升的最大高度为
C．火星的质量为
D．火星的密度为
22．热爱天文科学的某同学从网上得到一些关于月球和地球的信息，如下表所示。根据表格中数据，可以计算出地球和月球的密度之比为（ ）
月球半径 R0
月球表面处的重力加速度 g0
地球和月球的半径之比
地球表面和月球表面的重力加速度之比
A．3∶2 B．2∶3
C．4∶1 D．6∶1
【易错题】
23．一小物块挂在竖直弹簧下端并处于静止状态，在地球两极弹簧的形变量为赤道上形变量的k倍，设地球为一均匀球体，已知地球自转周期为T，引力常量为G，则地球的密度为（ ）
A． B．
C． D．
24．科学家计划在2025年将首批宇航员送往火星进行考察。一质量为m的物体，假设在火星两极宇航员用弹簧测力计测得的读数为，在火星赤道上宇航员用同一个弹簧测力计测得的读数为，通过天文观测测得火星的自转角速度为，引力常量为G，将火星看成是质量分布均匀的球体，则火星的密度和半径分别为（ ）
A． B．
C． D．
1．如图所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，其他星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将围绕其连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，通常，我们把这样的两个星球称为“双星”。
2．双星系统的特点
① 两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动，两星的运行周期、角速度相同；
② 两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供；
③ 两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即，轨道半径与两星质量成反比。
3．双星系统相关的数量关系
① 各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即
② 两行星质量之比；
③ 两行星总质量；
④ 双星系统的周期。
4．多星系统的特点
三星模型 四星模型
【例题】
25．在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统。如图所示为某双星系统中A、B两星绕其连线上的O点做匀速圆周运动的示意图。若A星的轨道半径是B星轨道半径的4倍，它们之间的距离保持不变，双星系统中的A、B两星都可视为质点。则下列说法中正确的是（ ）
A．A星与B星所受的引力大小相等
B．A星与B星的线速度大小之比为4 ：1
C．A星与B星的质量之比为4 ：1
D．A星与B星的动能之比为4 ：1
26．某科学报告中指出，在距离我们大约1600光年的范围内，存在一个四星系统。假设四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用。四星系统的形式如图所示，三颗星位于边长为L的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行（图中未画出），而第四颗星刚好位于等边三角形的中心不动。设每颗星的质量均为m，引力常量为G，则（ ）
A．在三角形顶点的三颗星做圆周运动的向心加速度与其质量无关
B．在三角形顶点的三颗星的总动能为
C．若四颗星的质量m均不变，距离L均变为2L，则在三角形顶点的三颗星周期变为原来的2倍
D．若距离L不变，四颗星的质量m均变为2m，则在三角形顶点的三颗星角速度变为原来的2倍
【练习题】
27．100多年前爱因斯坦预言了引力波的存在，几年前科学家探测到黑洞合并引起的引力波。双星的运动是产生引力波的来源之一，在宇宙中有一双星系统由P、Q两颗星体组成，这两颗星绕它们连线的某一点只在二者间的万有引力作用下做匀速圆周运动，测得P星的周期为T，P、Q两颗星的距离为l，P、Q两颗星的轨道半径之差为（P星的轨道半径大于Q星的轨道半径），引力常量为G，则下列结论错误的是（ ）
A．两颗星的质量之差为
B．两颗星的线速度大小之差的绝对值为
C．QP两颗星的质量之比为
D．QP两颗星的运动半径之比为
28．2021年5月，基于俗称“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（FAST）的观测，国家天文台李菂、朱炜玮研究团组姚菊枚博士等首次研究发现脉冲星三维速度与自转轴共线的证据。之前的2020年3月，我国天文学家通过FAST，在武仙座球状星团（M13）中发现个脉冲双星系统。如图所示，假设在太空中有恒星A、B双星系统绕点O做顺时针匀速圆周运动，运动周期为，它们的轨道半径分别为RA、RB，RA < RB，C为B的卫星，绕B做逆时针匀速圆周运动，周期为T2，忽略A与C之间的引力，万引力常量为G，则以下说法正确的是（ ）
A．若知道C的轨道半径，则可求出C的质量
B．恒星A、B的质量和为
C．若A也有一颗运动周期为T2的卫星，则其轨道半径小于C的轨道半径
D．设A、B、C三星由图示位置到再次共线的时间为t，则
29．近年科学研究发现，在宇宙中，三恒星系统约占所有恒星系统的十分之一，可见此系统是一个比较常见且稳定的系统。在三恒星系统中存在这样一种运动形式：忽略其他星体对它们的作用，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在平面内以相同角速度做匀速圆周运动。如图所示为A、B、C三颗星体质量mA、mB、mC大小不同时，星体运动轨迹的一般情况。设三颗星体在任意时刻受到的万有引力的合力大小分别为F1、F2、F3，加速度大小分别为a1、a2、a3，星体轨迹半径分别为RA、RB、RC，下列说法正确的是（ ）
A．若三颗星体质量关系有mA＝mB＝mC，则三颗星体运动轨迹圆为同一个
B．若三颗星体运动轨迹半径关系有RA＜RB＜RC，则三颗星体质量大小关系为mA＜mB＜mC
C．F1、F2、F3的矢量和一定为0，与星体质量无关
D．a1、a2、a3的矢量和一定为0，与星体质量无关
【易错题】
30．宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，如图所示，设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为L的正方形的四个顶点上、已知引力常量为G，关于四星系统，下列说法正确的是（ ）
A．四颗星的向心加速度的大小均为
B．四颗星运行的线速度大小均为
C．四颗星运行的角速度大小均为
D．四颗星运行的周期均为
人造卫星绕中心天体做匀速圆周运动，卫星运行的线速度、角速度、周期、加速度均和卫星的轨道半径有关，结合变化各项参数的形式。
【例题】
31．中国日报2022年9月9日电（记者张宇浩）当地时间7日，美国国家航空航天局的“苔丝”（TESS）任务宣布发现两颗系外行星，距离地球约100光年，其中一颗或适合生命存活。这两颗系外行星被归类为“超级地球”，即质量比地球大，但比冰巨星小。它们绕着一颗“活跃度较低”的红矮星运行。第一颗行星，LP890-9b，其半径是地球的倍，每天绕恒星一周。另一颗行星LP890-9c的半径是地球的倍，大约天绕恒星一周，绕行期间处于恒星宜居带内。研究人员表示，LP890-9c距离恒星很近，接收到的辐射热量却很低，若有充足的大气层，行星表面或存在液态水。若将两颗行星和地球均视为球体，假设LP890-9c与地球密度相等，地球绕太阳和两颗行星绕红矮星的运动均看做匀速圆周运动。下列说法正确的是（ ）
A．LP890-9c表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比为
B．LP890-9c的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为
C．LP890-9b与LP890-9c绕恒星公转的轨道半径之比为
D．LP890-9b与LP890-9c绕恒星公转的线速度之比为
32．如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上点沿水平方向以一定初速度抛出一个小球，测得小球经时间落到斜坡上距离点为的另一点，斜面的倾角为，已知该星球半径为，引力常量为，则（ ）
A．该星球的第一宇宙速度为
B．该星球表面的重力加速度大小为
C．小球的初速度大小为
D．人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的最小周期为
【练习题】
33．如图所示是一张人造地球卫星轨道示意图，其中圆轨道a、c、d的圆心均与地心重合，a与赤道平面重合，b与某一纬线圈共面，c与某一经线圈共面。下列说法正确的是（ ）
A．a、b、c、d都有可能是卫星的轨道
B．轨道a上卫星的线速度大于
C．轨道c上卫星的运行周期可能与地球自转周期相同
D．仅根据轨道d上卫星的轨道半径、角速度和引力常量，也不能求出地球质量
34．量子卫星成功运行后，我国将在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信，构建天地一体化的量子保密通信与科学实验体系。假设量子卫星轨道在赤道平面，如图所示。已知量子卫星的轨道半径是地球半径的m倍，静止卫星的轨道半径是地球半径的n倍，图中P点是地球赤道上一点，下列说法正确的是（ ）
A．静止卫星与量子卫星的运行周期之比为 B．静止卫星与P点的速度之比为n：1
C．静止卫星与量子卫星的速度之比为 D．量子卫星与P点的速度之比为
35．两颗相距足够远的行星a、b，半径均为，两行星各自卫星的公转速度的平方与公转半径的倒数个的关系图像如图所示．则关于两颗行星及它们的卫星的描述，正确的是（ ）
A．行星a的质量较大
B．行星a的第一宇宙速度较大
C．取相同公转半径，行星a的卫星向心加速度较小
D．取相同公转速度，行星a的卫星周期较小
相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星，叫作地球同步卫星。所有同步卫星的周期（24h）、角度、距离地面高度（约3.6×104 km）相同，线速度大小（约3.1×103 m/s）、向心加速度大小，都是相同一定的。同步卫星、近地卫星和赤道上物体的比较如下：
1．同步卫星与赤道上的物体具有相同的角速度；
2．向心力的对比
① 同步卫星、近地卫星均由万有引力提供向心力；
② 赤道上的物体随地球自转做圆周运动的向心力（很小）是万有引力的一个分力。
【例题】
36．如图所示，有a、b、c、d四颗卫星，a未发射在地球赤道上随地球一起转动，b为近地轨道卫星，c为地球同步卫星，d为高空探测卫星，所有卫星的运动均视为匀速圆周运动，重力加速度为，则下列关于四卫星的说法正确的是（ ）
A．a卫星的向心加速度等于重力加速度g
B．b卫星与地心连线在单位时间扫过的面积等于c卫星与地心连线在单位时间扫过的面积
C．c、d卫星轨道半径的三次方与周期的平方之比相等
D．b卫星的运行周期大于a卫星的运行周期
【练习题】
37．国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”。1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440km，远地点高度约为2060km；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35786km的地球同步轨道上。设东方红一号在近地点的加速度为，线速度为；东方红二号的加速度为，线速度为；固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为，线速度为；则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
38．如图，P是纬度为的地球表面上一点，人造地球卫星Q、R均做匀速圆周运动，卫星R为地球赤道同步卫星。若某时刻P、Q、R与地心O在同一平面内，其中O、P、Q在一条直线上，且，下列说法正确的是（ ）
A．12小时后O、P、Q、R再一次共面
B．P点向心加速度大于卫星Q的向心加速度
C．P、Q、R均绕地心做匀速圆周运动
D．R的线速度小于Q的线速度
39．有a、b、c、d四颗地球卫星，卫星a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，卫星b处于地面附近近地轨道上正常运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．a的向心加速度小于重力加速度g
B．b在相同时间内转过的弧长最长
C．c在4 h内转过的圆心角是
D．d的运动周期有可能是23 h
如图所示。若卫星要从轨道Ⅰ变换到轨道Ⅲ，则需要在A处、B处各点火加速一次；若卫星要从轨道Ⅲ变换到轨道Ⅰ，则需要在B处、A处各制动减速一次。
物理量比较如图
速度关系 vⅢ＞vⅡB，vⅡA＞vⅠ＞vⅢ
（向心）加速度关系 aⅢ＝aⅡB，aⅡA＝aⅠ
周期关系 TⅠ＜TⅡ＜TⅢ
能量关系 EⅠ＜EⅡ＜EⅢ
【例题】
40．“天问一号”火星探测器需要通过霍曼转移轨道从地球发射到火星，地球轨道和火星轨道近似看成圆形轨道，霍曼转移轨道是一个在近日点M和远日点P分别与地球轨道、火星轨道相切的椭圆轨道（如图所示）。“天问一号”在近日点短暂点火后进入霍曼转移轨道，接着沿着这个轨道运行直至抵达远日点，然后再次点火进入火星轨道。已知引力常量为G，太阳质量为m，地球轨道和火星轨道半径分别为r和R，地球、火星、“天问一号”运行方向都为逆时针方向。若只考虑太阳对“天问一号”的作用力，下列说法正确的是。（ ）
A．两次点火喷射方向都与速度方向相反
B．“天问一号”在霍曼转移轨道上P点的加速度比在火星轨道上P点的加速度小
C．两次点火之间的时间间隔为
D．“天问一号”在地球轨道上的角速度小于在火星轨道上的角速度
【练习题】
41．一着陆器经过多次变轨后登陆火星的轨迹变化如图所示，着陆器先在轨道Ⅰ上运动，经过P点启动变轨发动机然后切换到圆轨道Ⅱ上运动，经过一段时间后，再次经过P点时启动变轨发动机切换到椭圆轨道Ⅲ上运动。轨道上的P、Q、S三点与火星中心位于同一直线上，P、Q两点分别是椭圆轨道的远火星点和近火星点，且。除了变轨瞬间，着陆器在轨道上运行时均处于无动力航行状态。着陆器在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上经过P点的速度分别为、、，下列说法正确的是（ ）
A．
B．着陆器在轨道Ⅲ上运动时，经过P点的加速度为
C．着陆器在轨道Ⅲ上从P点运动到Q点的过程中速率变小
D．着陆器在轨道Ⅱ上由P点运动到S点，与着陆器在轨道Ⅲ上由P点运动到Q点的时间之比为
42．嫦娥五号是中国首个实施月面无人取样返回的月球探测器，为中国探月工程的收官之战。2020年11月29日，嫦娥五号探测器从椭圆环月轨道1上的P点实施变轨进入近月圆形圆轨道2，开始进行动力下降后成功落月，如图所示。下列说法正确的是（ ）
A．嫦娥五号的发射速度大于11.2km/s
B．沿轨道1运动至P时，需减速才能进入轨道2
C．沿轨道1运行的周期小于沿轨道2运行的周期
D．探测器在轨道2上经过P点的加速度小于在轨道1上经过P点的加速度
【易错题】
43．北京时间2022年5月10日01时56分，搭载天舟四号货运飞船的长征七号遥五运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，2时23分，飞船太阳能帆板顺利展开工作，发射取得圆满成功。后续，天舟四号货运飞船将与在轨运行的空间站组合体进行交会对接，若对接前两者在同一轨道上运动，下列说法正确的是（ ）
A．对接前“天舟四号”的运行速率大于“空间站组合体”的运行速率
B．对接前“天舟四号”的向心加速度小于“空间站组合体”的向心加速度
C．“天舟四号”通过加速可实现与“空间站组合体”在原轨道上对接
D．“天舟四号”先减速后加速可实现与“空间站组合体”在原轨道上对接
以天体的追及相遇问题为例。
1．地球和行星绕行太阳做匀速圆周运动，当地球和行星处于地球同侧且共线时，地球和行星相距最近，即地球和行星“相遇”。
地球运行速度大于行星运行的速度，地球和行星之后经过时间再次同侧共线，地球比行星多绕行一圈，即转动角度相差，即
结合变形得
解得相遇时间为
2．地球和行星绕行太阳做匀速圆周运动，当地球和行星处于地球异侧且共线时，地球和行星相距最最远。
地球运行速度大于行星运行的速度，地球和行星之后经过时间再次异侧共线，地球比行星多绕行半圈，即转动角度相差，即
结合变形得
解得
【例题】
44．太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”；当某行星恰好运行到地球和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星凌日”。已知太阳系八大行星绕太阳运动的轨道半径如表所示，某颗小行星轨道半径为（为天文单位）。下列说法正确的是（ ）
行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径 0.39 0.72 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
A．金星会发生冲日现象
B．木星会发生凌日现象
C．火星相邻两次冲日的时间间隔最短
D．小行星相邻两次冲日时间间隔约为1.1年
45．2020年12月17日1时59分，随着我国“嫦娥五号”返回器携带月球样品于内蒙古中部四子王旗成功着陆，我国实现了月球探测“绕、落、回”三步走规划的完美收官，标志着我国具备了地月往返的能力，是我国航天事业发展中里程碑式的新跨越。此次任务中需要完成上升器与轨道返回组合体的交会对接，将上升器中存放的月球样品通过轨道器转移到返回器中。假设此次交会对接的过程如图所示，上升器先在半径为r的环月轨道飞行，轨道返回组合体在半径为R的环月轨道飞行，当轨道返回组合体运动到图示B点时，上升器立即加速进入远月点与月球距离为R的椭圆轨道并恰与轨道返回组合体在远月点C相遇对接。则B、C两点对应的圆心角度是（ ）
A． B．π
C． D．π
【练习题】
46．某宇宙飞船绕地球做圆周运动的周期为T，由于地球遮挡，宇航员发现有时间会经历“日全食”过程，如图所示，已知地球的半径为R，引力常量为G，地球自转周期为，太阳光可看作平行光，下列说法正确的是（ ）
A．宇宙飞船离地球表面的高度为2R
B．地球的平均密度为
C．一天内飞船经历“日全食”的次数为
D．宇宙飞船的运行速度为
47．2020年7月23日，我国自主研制的第一颗火星探测器“天问一号”在海南文昌航天发射场发射升空，之所以选择这天，是因为地球与火星必须处于特定位置（如图所示）才能发射。此时间被称为“发射窗口期”。设定火星与地球绕太阳运动的轨道在同一平面内，且均可视为匀速圆周运动，已知火星绕太阳运动的轨道半径为地球绕太阳运动的轨道半径的1.52倍，则相邻两次“发射窗口期”的时间间隔约为（）（ ）
A．360天 B．540天 C．680天 D．780天
48．中国科学院紫金山天文台于2022年7月发现两颗小行星20220S1和20220N1。小行星20220S1预估直径约为230m，小行星20220N1预估直径约为45m。若两小行星在同一平面内绕太阳的运动可视为匀速圆周运动（仅考虑两小行星与太阳之间的引力），测得两小行星之间的距离随时间变化的关系如图所示，已知小行星20220S1绕太阳的速率小于小行星20220N1绕太阳的速率。则小行星20220S1和20220N1的轨道半径分别为（ ）
A．6r，3r B．3r，6r C．3r，1.5r D．1.5r， 3r
在爱因斯坦两个假设的基础上，经过严格的数学推导，可以得到两个结果，一是时间延缓效应，二是长度收缩效应。
【例题】
49．某星际飞船正在遥远的外太空飞行，假如它的速度可以达到0.7c，在地球上观测到其经过8.76×104 h的时间到达某星球，则在飞船上的人看来，其到达此星球需要的时间是（ ）
A．8.76×104 h B．6.26×104 h
C．12.27×104 h D．16.52×104 h
50．若一列火车以接近光速的速度在高速行驶，车上的人用望远镜来观察地面上的一只排球，其观察的结果是（ ）
A．像一只乒乓球（体积变小） B．像一只篮球（体积变大）
C．像一只橄榄球（竖直放置） D．像一只橄榄球（水平放置）
【练习题】
51．如图所示，地面上A、B两处的中点处有一点光源S，甲观察者站在光源旁，乙观察者乘坐速度为v（接近光速）的火箭沿方向飞行，两观察者身边各有一个事先在地面校准了的相同的时钟，下列对相关现象的描述中，正确的是（ ）
A．甲测得的光速为c，乙测得的光速为
B．甲认为飞船中的钟变慢了，乙认为甲身边的钟变快了
C．甲测得的间的距离小于乙测得的间的距离
D．当光源S发生一次闪光后，甲认为A、B两处同时接收到闪光，乙则认为B先接收到闪光
52．如图所示，两艘飞船A、B沿同一直线同向飞行，相对地面的速度均为v（v接近光速c）。地面上测得它们相距为L，则A测得两飞船间的距离_______（选填“大于”、“等于”或“小于”）L。当B向A发出一光信号，A测得该信号的速度为_______。
经典力学适用于低速运动，不适用于高速运动；只适用于宏观世界，不适用于微观世界。
【例题】
53．关于经典力学理论，下述说法中正确的是（ ）
A．经典力学是过时和错误的
B．经典力学适用于宏观、低速、弱引力场
C．经典力学认为时空是相对的
D．经典力学可以预言各种尺度下的运动
【练习题】
54．美国科学家2016年2月11日宣布，他们探测到引力波的存在，引力波是实验验证爱因斯坦相对论的最后一块缺失的“拼图”，相对论在一定范围内弥补了牛顿力学的局限性。关于牛顿力学，下列说法正确的是（ ）
A．牛顿发现了万有引力定律并测得了引力常量
B．牛顿力学取得了巨大成就，适用于一切领域
C．两物体间的万有引力总是大小相等方向相反
D．由于相对论、量子论的提出，牛顿力学已经失去了它的应用价值
试卷第8页，共33页
试卷第7页，共33页
参考答案：
1．B
【详解】AC．第谷经过多年的天文观测留下了大量的观测数据，开普勒通过分析这些数据，最终得出了行星的运动规律，故AC错误；
B．牛顿发现了万有引力定律之后，第一次通过实验比较准确地测出万有引力常量的科学家是卡文迪许，卡文迪许通过对几个铅球之间万有引力的测量，得出了引力常量的数值，故B正确；
D．牛顿通过比较月球公转的向心加速度和地球表面的重力加速度，对万有引力定律进行了“月—地检验”，故D错误。
故选B。
2．C
【详解】A．由开普勒第二定律可知地球与太阳的连线在单位时间内扫过的面积都相等，故A错误；
B．地球经历春夏秋冬由图可知是逆时针方向运行，冬至为近日点，运行速度最大，夏至为远日点，运行速度最小；所以从冬至到春分的运行时间小于从春分到夏至的运行时间，故B错误；
C．根据开普勒第一定律可知，太阳既在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上，故C正确；
D．若用a代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，，则地球和火星对应的k值是相同的，故D错误。
故选C。
3．AC
【详解】A．关于开普勒行星运动的公式
k是一个与行星无关的常量，与中心天体的质量有关，故A正确；
B．关于开普勒行星运动的公式
公式中的k是与中心天体质量有关的，中心天体不一样，k值不一样，地球公转的中心天体是太阳，月球公转的中心天体是地球，k值是不一样的，故B错误；
C．关于开普勒行星运动的公式
中的T代表行星运动的公转周期，故C正确；
D．关于开普勒行星运动的公式
中的R表示行星的轨道半径，故D错误。
故选AC。
4．C
【详解】A．开普勒第一定律指出所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，故A正确，不符合题意；
B．由开普勒第一定律知，太阳处在绕它运动的行星轨道的焦点上，故B正确，不符合题意；
C．由开普勒第二定律可知，行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，是针对同一个行星而言的，故C错误，符合题意；
D．由开普勒第三定律知，地球与火星轨道的半长轴的三次方跟它们各自公转周期的二次方的比值相等，故D正确，不符合题意。
故选C。
5．B
【详解】由可知
=
因为月球绕地球运动的周期约为27天，所以
T星≈5天
故选B。
6．C
【详解】由题意，根据万有引力定律有
当神舟十三号上升到离地面距离等于地球半径时，地球对它的万有引力大小为
故选C。
7．
【详解】设原来球体的密度为，则
在球体内部挖去半径为的小球体，挖去小球体的质量为
挖去小球体前，球与质点的万有引力
被挖部分对质点的万有引力为
填充物密度为原来物质的2倍，则填充物对质点的万有引力为挖去部分的2倍，填充后的实心球体对质点的万有引力为
8．（1）a．，证明过程见解析；b．证明过程见解析；（2）a．；b．，行星质量远小于太阳质量
【详解】（1）a．根据扇形面积公式可得时间内行星扫过的扇形面积满足
解得
根据开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，即为常量，则行星绕太阳运动的线速度的大小v也为常量，所以行星做匀速圆周运动；
b．设行星质量为m，根据题意可知行星的圆周运动由太阳对行星的引力F提供向心力，则根据牛顿第二定律有
根据开普勒第三定律可得
即
联立以上两式可得
其中为常量，则太阳对行星的引力F与行星轨道半径r的平方成反比；
（2）a．行星绕太阳做匀速圆周运动由万有引力提供向心力，所以根据牛顿第二定律有
解得
b．设行星做匀速圆周运动的轨道半径为r，太阳做匀速圆周运动的轨道半径为R，则有
行星做匀速圆周运动由万有引力提供向心力，所以根据牛顿第二定律有
太阳做匀速圆周运动由万有引力提供向心力，所以根据牛顿第二定律有
将以上两式相加可得
解得
则若要使k′≈k，即
需要行星的质量远小于太阳的质量。
9．C
【详解】由万有引力定律可得
着陆器从火星上空向火星表面软着陆的过程中，随着h减小，F非线性增大，对比图线可知，C选项的图像符合题意。
故选C。
10．D
【详解】假设大球的质量为M，则该球对物体的引力大小为
挖走的小球质量为
挖走的球与物体之间的距离为
挖走的一个小球与物体之间的引力大小为
整理得
设与物体的连线与水平方向的夹角为，则挖走的两个小球与物体之间的引力为
解得
得
故选D。
11．D
【详解】两球质量分布均匀，可认为质量集中于球心，由万有引力定律可知两球间的万有引力应为
故选D。
12．B
【详解】根据万有引力公式
和题意可知两实心球的重心间距
当代入
计算解得
重心间距小，万有引力更大，B项正确，ACD错误。
故选B。
13．D
【详解】设地球的质量为M，密度为，由于质量分布均匀球壳对其内部任一质点的万有引力为零，可知地球表面下方深0.5R处的重力加速度相当于半径为的球体产生的重力加速度，根据
在地球表面上方高0.5R处，根据万有引力等于重力得
又
联立，可得
故ABC错误；D正确。
故选D。
14．（1）10m；（2）
【详解】（1）设星球质量为M1地球质量为M，半径为R1和R2
在星球体表面作平抛运动，则
，
设在星球和地球平抛水平位移分别为和，得
故
代入值解得
=10m
（2）起飞前
高h处时根据牛顿第二定律得
带入得
根据万有引力提供重力
可得
，
15．A
【详解】设赤道处的重力加速度为g，物体在两极时万有引力等于重力，有
在赤道时万有引力可分解为重力和自转所需的向心力，则有
联立解得该行星自转的角速度为
故选A。
16．C
【详解】设地球的质量为，物体的质量为，地球两极处的重力加速度为，赤道处的重力加速度为，在地球两极处有
在赤道处有
又有
联立解得
故ABD错误，C正确。
故选C。
17．D
【详解】在地球两极
在赤道上
解得
地球赤道上某点转动的线速度为
故选D。
18．B
【详解】A．若不考虑地球自转，根据地球表面万有引力等于重力，有
则
故A错误；
B．根据太阳对地球的万有引力提供向心力，有
则
故B正确；
CD．由题中数据无法求出月球的质量，也无法求出月球的密度，故CD错误。
故选B。
19．D
【详解】AB．由图像斜率表示加速度，得月球表面的重力加速度大小为
故AB错误；
CD．根据月球表面上的物体受到的万有引力等于重力，即
月球密度
联立以上各式得月球的平均密度为
故C错误，D正确。
故选D。
20．B
【详解】对近地卫星，万有引力提供向心力，有
其中
解得
常数
则
故选B。
21．D
【详解】AB．设小球竖直上抛的初速度为，火星表面重力加速度为，则有
可得
可知图像的纵轴截距等于初速度，则有
图像的斜率绝对值为
可知星表面重力加速度为
小球从O点上升的最大高度为
AB错误；
C．根据物体在火星表面受到的重力等于万有引力，则有
解得
火星的质量为
C错误；
D．根据
可得火星的密度为
D正确。
故选D。
22．A
【详解】在星球表面附近，万有引力等于重力，即
解得星球质量
则地球和月球的质量之比
由密度公式
体积公式
联立解得地球和月球的密度之比
A正确，BCD错误。
故选A。
23．D
【详解】地球自转的角速度
设地球质量为，半径为，根据题意可得
又
联立解得
故D正确，ABC错误。
故选D。
24．AC
【详解】在火星两极
在火星赤道上
密度公式为
联立得
，
故选AC。
25．ABD
【详解】A．星与B星所受的引力就是二者之间的万有引力，故、B两星所受的引力大小相等，A正确；
B．在双星系统中，星与B星转动的角速度相等，根据
可知星与B星的线速度大小之比为，B正确；
C．、B两星做匀速圆周运动的向心力由二者之间的万有引力提供，可得
则星与B星的质量之比为
C错误；
D．星与B星的动能之比为
D正确；
故选ABD。
26．B
【详解】A．每颗星轨道半径为，每颗星受到的万有引力的合力
由万有引力提供向心力得
解得
向心加速度与质量有关，A错误；
B．由
得在三角形顶点的一颗星的动能
则总动能
B正确；
CD．由
解得
若距离L变为原来的2倍，则周期变为原来的倍；若每颗星的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的倍，即角速度变为原来的倍，CD错误。
故选B。
27．C
【详解】D．双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等，则周期相等，所以Q星的周期为T；根据题意可知
rP+rQ=l，
解得：
，
则Q、P两颗星的运动半径之比，故D正确，不符合题意；
A．双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等，向心力大小相等，则有：
解得
，
则Q、P两颗星的质量差为
故A正确，不符合题意；
B．Q、P两颗星的线速度大小之差的绝对值为
故B正确，不符合题意；
C．Q、P两颗星的质量之比为
故C错误，符合题意。
故选C。
28．BD
【详解】A．C绕B做匀速圆周运动，满足
故无法求出C的质量，A错误；
B．AB构成双星系统，满足
解得
同理可得
故恒星A、B的质量和为，B正确；
C．AB构成双星系统，满足
因为 < ，所以，若A也有一颗运动周期为的卫星D，根据
可知
而卫星C半径满足
D轨道半径大于C的轨道半径，C错误；
D．如图所示
A、B、C三星由图示位置到再次共线时，A、B转过的圆心角θ1与C转过的圆心角θ2互补，则有
解得
D正确。
故选BD。
29．AC
【详解】A．若三个星体质量相等，则根据对称性可知，三个星体所受的万有引力大小均相同，在角速度都相等的情况下，轨迹半径也相等，故三颗星体运动轨迹圆为同一个，故A正确；
B．若三颗星体运动轨迹半径关系有
RA＜RB＜RC
而因为三颗星体的角速度相等，则万有引力的大小关系为
FA＜FB＜FC
根据对称性可知
mA＞mB＞mC
故B错误；
CD．根据万有引力定律可知
F1＝FBA+FCA
同理可得
F2＝FAB+FCB；F3＝FAC+FBC
（此处的“+”号表示的是矢量的运算）则
F1+F2+F3＝FBA+FCA+FAB+FCB+FAC+FBC＝0
而
当三颗星体的质量相等时，加速度的矢量和才等于0，故C正确，D错误；
故选AC。
30．B
【详解】一个星体受其他三个星体的万有引力作用，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，四颗星的轨道半径，根据万有引力提供向心力，有
解得
故B正确，A、C、D错误。
故选B。
31．B
【详解】A．由
得
又知
与地球密度相等，所以
故LP890-9c表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比为，选项A错误；
B．根据万有引力定律有
解得
可得
由A选项可知，所以
LP890-9c的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为1.4:1，选项B正确；
C．由开普勒第三定律可知
与LP890-9c绕恒星公转的轨道半径之比为；选项C错误；
D．由
可得
与LP890-9c绕恒星公转的线速度之比为；选项D错误。
故选B。
32．A
【详解】AB．小球在竖直方向上做匀加速直线运动有
得
在星球表面有
得该星球的第一宇宙速度
A正确，B错误；
C．小球在水平方向上做匀速直线运动
得
C错误；
D．人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的最小周期
D 错误。
故选A。
33．C
【详解】A．卫星绕地球做匀速圆周运动，地球对卫星的引力提供向心力，可知地心为卫星的圆轨道圆心，故b不可能是卫星的轨道，A错误；
B．第一宇宙速度是卫星在地球表面绕地球做匀速圆周运动时的线速度，是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大线速度，故轨道a上卫星的线速度小于，B错误；
C．如果轨道c的半径等于地球同步卫星的轨道半径，则轨道c上卫星的运行周期等于地球同步卫星的周期，即轨道c上卫星的运行周期等于地球自转周期，C正确；
D．根据万有引力提供向心力可得
可得
根据轨道d上卫星的轨道半径、角速度和引力常量，可以求出地球质量，D错误。
故选C。
34．AB
【详解】A．根据
可知
故静止卫星与量子卫星的运行周期之比为，故A正确；
B．赤道上P点周期与静止卫星周期相同，根据
可知静止卫星与P点的速度之比为n：1，故B正确；
C．根据
可知
故静止卫星与量子卫星的速度之比为，故C错误；
D．综上所述，则
则
则，量子卫星与P点的速度之比为，故D错误。
故选AB。
35．AB
【详解】A．根据万有引力提供向心力可知
得
可知图线的斜率表示GM，a的斜率大，则行星a的质量较大，故A正确；
B．根据
得第一宇宙速度
因为行星a的质量较大，则行星a的第一宇宙速度较大，故B正确；
C．根据
得
取相同的公转半径，由于行星a的质量较大，则行星a的卫星向心加速度较大，故C错误；
D．根据
得
取相同的公转速度，由于行星a的质量较大，可知行星a的卫星轨道半径较大，根据知，行星a的卫星周期较大，故D错误。
故选AB。
36．C
【详解】A．设地球质量为，地球半径为，对于a卫星有
所以
A错误；
B．根据牛顿第二定律得
卫星与地心连线单位时间扫过的面积为
联立解得
两卫星半径不同，所以扫过的面积不同，B错误；
C．根据开普勒第三定律，c、d卫星轨道半径的三次方与周期平方之比相等，C正确；
D．根据万有引力提供向心力可得
解得
可知b卫星的运行周期小于c卫星的运行周期，又因为c为地球同步卫星，所以a卫星的运行周期与c卫星周期相同，故b卫星的运行周期小于a卫星的运行周期，D错误。
故选C。
37．AD
【详解】AB．东方红一号与东方红二号卫星都只受万有引力，根据牛顿第二定律可得
可得
则有
在地球赤道上随地球自转的物体的角速度与东方红二号卫星角速度相同，根据
可知
故有
故A正确，B错误。
CD．卫星绕地球做匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力可得
可得
可知东方红二号卫星的线速度小于以东方红一号卫星近地点为半径绕地球做匀速圆周运动时的线速度，而东方红一号卫星近地点速度大于，则有
在地球赤道上随地球自转的物体的角速度与东方红二号卫星角速度相同，根据
可得
故有
故C错误，D正确。
故选AD。
38．D
【详解】A．由公式
得
QR的周期之比为
故12小时候后，Q转过得角度大于O、P、R转过的角度，则不会在一次共面，故A错误；
B．P是纬度为的地球表面上一点，绕地轴做圆周运动，向心加速度基本可以忽略，重力约等于万有引力，而人造地球卫星Q绕地心做圆周运动，万有引力提供向心力，则Q的向心加速度大，故B错误；
C．P绕地轴做匀速圆周运动，Q、R绕地心做匀速圆周运动，故C错误；
D．由公式
可知
R距离地心远，则R的线速度小于Q的线速度，故D正确。
故选D。
39．ABC
【详解】A．a受万有引力和支持力作用，即两个力的合力提供向心力，即
向心加速度小于重力加速度g，故A正确；
B．根据
得
由于
rb＜rc＜rd
则
vb>vc>vd
a、c的角速度相等，根据
v=ωr
知，c的线速度大于a的线速度，可知b的线速度最大，则相同时间内转过的弧长最长，故B正确；
C．c为同步卫星，周期为24 h，4 h内转过的圆心角
故C正确；
D．根据
得
d的轨道半径大于c的轨道半径，则d的周期大于c的周期，可知d的周期一定大于24 h，故D错误。
故选ABC。
40．AC
【详解】A．两次点火都是从低轨道向高轨道转移，需要加速，所以喷气方向与运动方向相反，故A正确；
B．在P点受到的万有引力相等，根据牛顿第二定律可知加速度大小相等。故B错误；
C．探测器在地球轨道上由万有引力提供向心力有
由开普勒第三定律得
两次点火之间的时间为
联立，可得
故C正确；
D．由万有引力提供向心力有
解得
因为“天问一号”在地球轨道上的半径小于在火星轨道上的半径，所以“天问一号”在地球轨道上的角速度大于在火星轨道上的角速度。故D错误。
故选AC。
41．B
【详解】A．着陆器从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ需要在P减速做近心运动，同理从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ也需要减速，因此
故A错误；
B．在轨道II的P点时，根据牛顿第二定律得
解得
在同一点，万有引力相同，则加速度相同，则着陆器在轨道Ⅲ上运动时，经过P点的加速度也为，故B正确；
C．根据开普勒第二定律，着陆器在轨道III上从P点运动到Q点的过程中，速率变大，故C错误；
D．设着陆器在轨道Ⅱ上周期为T1，在轨道Ⅲ上周期为T2，根据开普勒第三定律得
解得
着陆器在轨道Ⅱ上由P点运动到S点所需时间为，着陆器在轨道Ⅲ上由P点运动到Q点的时间为，则两者之比也为，故D错误。
故选B。
42．B
【详解】A．发射速度大于11.2km/s卫星将脱离地球束缚，绕太阳运动，嫦娥五号的发射速度应大于7.9 km/s小于11.2km/s，A错误；
B．沿轨道1运动至P时，需减速才能进入轨道2，B正确；
C．由开普勒第三定律可知沿轨道1运行的周期大于沿轨道2运行的周期，C错误；
D．探测器在轨道2上经过P点在在轨道1上经过P点的加速度都有万有引力产生，即探测器在轨道2上经过P点的加速度等于在轨道1上经过P点的加速度，D错误；
故选B。
43．D
【详解】AB．对接前两者在同一轨道上运动，由万有引力提供向心力
解得
，
同一轨道，运行速率，向心加速度相等，AB错误；
C．飞船与天宫一号在同一轨道上，此时飞船受到的万有引力等于向心力，若让飞船加速，所需要的向心力变大，万有引力不变，所以飞船做离心运动，不能实现对接，C错误；
D．飞船与天宫一号在同一轨道上，“神舟八号”先减速飞船做近心运动，进入较低的轨道，后加速做离心运动，轨道半径变大，可以实现对接，D正确。
故选D。
44．D
【详解】AB．行星处在太阳与地球之间，三者排列成一条直线时会发生凌日现象，由此可知：只有位于地球和太阳之间的行星水星和金星才能发生凌日现象；地球在绕日运行过程中处在太阳与行星之间，三者排列成一条直线时会发生冲日现象，所只有位于地球公转轨道之外的行星才会发生冲日现象，所以金星会发生凌日现象，木星会发生冲日现象，故AB错误；
C．地球公转周期为年，地外行星的公转周期为，如果两次行星冲日时间间隔为年，则地球多转动一周，有
解得
故地外行星中，火星距地球最近，其公转周期最小，所以火星相邻两次冲日的时间间隔最长，故C错误；
D．若地球的公转轨道半径为，则小行星的公转轨道半径为，公转周期为，根据开普勒第三定律可得
解得
年
由此可得：两次冲日现象的时间间隔
年年
故D正确。
故选D。
45．A
【详解】由开普勒第三定律可知，上升器在椭圆轨道上运行周期等于绕月半径为圆轨道运行周期，由
G
解得椭圆轨道上的运动周期为
T上=2π=2π=π
上升器沿椭圆轨道从A点运动到C点的时间为运动周期的一半，即
t=
而组合体沿圆轨道运动的周期为
T组=2π
可得
解得
θ=2π
故选A。
46．CD
【详解】A．由几何关系，飞船每次“日全食”过程的时间内飞船转过角，所需的时间为
由于宇航员发现有时间会经历“日全食”过程，则
所以
设宇宙飞船离地球表面的高度h，由几何关系可得
可得
选项A错误；
C．飞船绕地球一圈时间为T，飞船绕一圈会有一次日全食，所以每过时间T就有一次日全食，而地球自转一圈时间为T0，得一天内飞船经历“日全食”的次数为
选项C正确；
B．根据万有引力提供向心力，有
解得
又
所以地球的平均密度
选项B错误；
D．宇宙飞船的运行速度
故D正确。
故选CD。
47．D
【详解】设行星质量为，太阳质量为，行星与太阳的距离为，火星的周期为，地球的周期为。行星绕太阳做近似匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则有
可得
已知火星绕太阳运动的轨道半径为地球绕太阳运动的轨道半径1.52倍，地球的周期为 年，则火星的周期为
设经时间 地球与火星又一次运动到“发射窗口期”，则有
解得
故选D。
48．C
【详解】根据万有引力提供向心力，则有
解得
由题知，小行星20220S1绕太阳的速率小于小行星20220N1绕太阳的速率，故小行星20220S1离太阳更远，轨道半径更大，当两小行相距最近时有
当两小行相距最远时有
联立解得
，
故选C。
49．B
【详解】到达此星球需要的时间是
≈6.26×104 h
故选B。
50．C
【详解】根据狭义相对论，以观察者为参照系，则排球以接近光速的速度反向运动，由长度收缩效应可知，观察者测得排球水平宽度变短，竖直长度不变，因此观察的结果是像一只竖直放置的橄榄球。
故选C。
51．D
【详解】A．根据爱因斯坦的光速不变原理，可知甲乙在两种不同的参考系里测出的光速都为c，故D错误；
B．根据钟慢效应：运动的钟比静止的钟走得慢，而且，运动速度越快，钟走的越慢，接近光速时，钟就几乎停止了；甲认为飞船中的钟变慢了，乙认为甲身边的钟变慢了，故B错误；
C．根据尺缩效应：在尺子长度方向上运动的尺子比静止的尺子短，可知甲测得的AB间的距离大于乙测得的AB间的距离，故C错误；
D．当光源S发生一次闪光后，甲认为A、B两处同时接收到闪光，对乙而言，则乙认为B先接收到闪光，故D正确。
故选D。
52． 大于 c
【详解】[1]根据可知，L0为在相对静止参考系中的长度，L为在相对运动参考系中的长度，地面上测得它们相距为L，是以高速飞船为参考系，而A测得的长度为以静止参考系的长度大于L；
[2]根据光速不变原理，则A测得该信号的速度为c。
53．B
【详解】ABD．经典力学并不是过时和错误的，只是它具有相应的适用范围，即适用于宏观、低速、弱引力场，不适用于微观、高速、强引力场，所以经典力学并不能预言各种尺度下的运动，故AD错误，B正确；
C．经典力学认为时空是绝对的，故C错误。
故选B。
54．C
【详解】A．卡文迪许测得了引力常量，故 A错误；
B．牛顿力学取得了巨大的成就，但它具有一定的局限性，并不是普遍适用的，故B错误；
C．根据牛顿第三定律，两物体间的万有引力总是大小相等方向相反，故C正确；
D．在微观高速领域，要用量子力学和相对论理论来解释，但是并不会因为相对论和量子力学的出现，就否定了牛顿力学，牛顿力学作为某些条件下的特殊情形，被包括在新的科学成就之中，不会过时，不会失去价值，故D错误。
故选C。
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