云南省昆明市昆八中2023-2024学年高二上学期数学特色部开学考试试卷
一、单选题(本大题共8小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)
1．已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C． D．与
3．下列函数中不能用二分法求零点近似值的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是（ ）
A．棱柱 B．棱台
C．棱柱与棱锥的组合体 D．不能确定
5．某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分： ①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位元(试剂的总产量为单位，)，则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（ ）
A．60单位 B．70单位 C．80单位 D．90单位
6．某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图.则下列说法：①；②若抽取100人，则平均用时13.75小时：③若从每周使用时间在，三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在内的学生中选取的人数为3.其中正确的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
7．已知事件与事件是互斥事件，则（ ）
A． B．
C． D．
8．21世纪以来，中国钢铁工业进入快速发展阶段，某工厂要加工一种如图所示的圆锥体容器，圆锥的高和母线长分别为和，该容器需要在圆锥内部挖出一个正方体槽，则可以挖出的正方体的最大棱长为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.)
9．下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C．当时， D．若，则
10．将函数的图象向右来移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变)，得到的图象，则（ ）
A．
B．在上单调递减
C．直线是图象的一条对称轴
D．在上的最小值为-2
11．已知函数是上的减函数，则实数的可能的取值有（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
12．已知，点满足且，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分。)
13．若指数函数的图象经过点，则 ；不等式的解集是 .
14．市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为，，且三家工厂的次品率分别为，则市场上该品牌产品的次品率为 .
15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.若，则面积的最大值为 ；若，则 .
16．正方体的棱长为2，点为底面正方形ABCD的中心，点在侧面正方形的边界及其内部运动，若，则点的轨迹的长度为 .
四、解答题(本大题共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。)
17．在平面直角坐标系xOy中，角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，求下列各式的值：
（1）；
（2）.
18．从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50~350(单位：)之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示：
（1）求在被调查的用户中，用电量落在区间的户数；
（2）求直方图中的值；
（3）求这组数据的平均数.
19．如图，直三棱柱中，点是BC上一点.
（1）若点D是BC的中点.求证；
（2）若平面⊥平面，求证.
20．在①；②③这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并加以解答.
问题：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ，解三角形.
21．设为实数，已知函数是奇函数.
（1）求的值；
（2）证明：在区间上单调递减：
（3）当时，求函数的取值范围.
22．A地某校准备组织学生及学生家长到B地进行社会实践，为便于管理，所有人员必须乘坐在同一列火车上.根据报名人数，若都买一等座单程火车票需17010元，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则需11220元.已知学生家长与教师的人数之比为2：1，从A到B的火车票价格（部分）如下表所示：
运行区间 公布票价 学生票
上车站 下车站 一等座 二等座 二等座
A B 81(元) 68(元) 51(元)
（1）参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人
（2）由于各种原因，二等座火车票只能买x张（x小于参加社会实践的人数)，其余的需买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买火车票的总费用（单程)y与x之间的函数关系式.
（3）请你做一个预算，按第⑵小题中的购票方案，购买单程火车票至少要花多少钱﹖最多要花多少钱
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：，， ， .
故答案为：C.
【分析】先求出点A的坐标，再根据三角函数的定义 .
2．【答案】C
【知识点】同一函数的判定；函数的定义域及其求法；函数的值域；函数的对应法则
【解析】【解答】解：A、与对应关系不同，这两个函数不是同一个函数，A错误；
B、函数 的定义域是，值域是，函数的定义域是，值域是，这两个函数值域不同，不是同一个数，B错误；
C、函数 的定义域为，函数 的定义域是，定义域对应关系相同，这两个函数是同一个函数， C正确；
D、函数 的定义域是，函数的定义域是，这两个函数定义域不同，不是同一个数， D错误.
故答案为：C.
【分析】利用同一函数的定义逐一判断选项
3．【答案】C
【知识点】二分法求方程近似解；二分法求函数零点近似值；函数的零点
【解析】【解答】解：A、函数 在上连续，有唯一零点且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点，A不符合题意；
B、函数 在上连续，有唯一零点且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点，B不符合题意；
C、函数 在上连续，有零点但函数值在零点两侧同号，不可用二分法求零点，C符合题意；
D、函数 在上连续，有唯一零点且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据二分法求零点定义知函数连续且零点存在性，同时存在符号互异的函数值，进而判断选项.
4．【答案】A
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】解：∵如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，
∴据图可判断为：棱柱，底面为梯形，三角形等情况，
故选A
【分析】运用图形判断，结合棱柱的概念．
5．【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：设每生产单位试剂的成本为，由题意知原料总费用为元，职工的工资总额为元，后续保养总费用为元，
，当且仅当，即时取等
要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位.
故答案为：D.
【分析】设每生产单位试剂的成本为，求出每生产单位试剂的成本与 试剂的总产量 关系式，再结合基本不等式求解.
6．【答案】D
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图
【解析】【解答】解：，求得， ①正确；
根据频率分布直方图计算估计出每周人使用手机时间为，②正确；
每周使用时间在，三组内的学生的比例为，根据分层样原理得选取8人进行访谈， 则应从使用时间在内的学生中选取的人数为3，③ 正确.
故答案为：D.
【分析】 ① 根据频率分布直方图中小矩形的面积和为1， ② 求出频率分布直方图的平均值，即为抽取100人的平均值的估计值， ③ 利用分层抽样计算出使用时间在 内的学生中选取的人数.
7．【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：事件与事件是互斥事件 ， ，，
，C错误；
不一定等于0，不一定等于0，不一定等于0，B错误；
事件与事件不一定互斥事件 ， 不一定为0，A错误；
事件是必然事件， ，D正确.
故答案为：D.
【分析】由事件与事件是互斥事件得到 ，，进而判断选项.
8．【答案】D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：过圆锥的顶点和正方体底面对角线作圆锥的轴截面，如下图所示
设圆锥的底面半径为，则，
当正方体上顶点在圆锥侧面，下顶点在圆锥底面时正方体的棱长最大，
设正方体的棱长为，则，，
，，即，求得
故答案为：D.
【分析】过圆锥的顶点和正方体底面对角线作圆锥的轴截面，当正方体上顶点在圆锥侧面，下顶点在圆锥底面时正方体的棱长最大，再根据几何关系求解.
9．【答案】B
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【解答】解：A ， A错误；
B ，B正确；
C ，C错误；
D ，，，则 ，D错误.
故答案为：B.
【分析】A根据换底公式判断选项，B利用对数运算判断选项，CD利用根式和分数指数幂的互化运算判断.
10．【答案】A,B,D
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的零点与最值
【解析】【解答】解：A、 将函数的图象向右来移个单位长度，得到，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变)，得到， ，A正确；
B、当 时，， 在上单调递减 ，B正确；
C、当 时，， ， 不是图象的一条对称轴，C错误；
D、当 时，，当时，， 在上的最小值为-2 ，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】先根据三角函数图象变换求出 的解析式，再根据三角函数的性质逐一判断选项.
11．【答案】A,B,C
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质；二次函数的性质
【解析】【解答】解：由函数是上的减函数得 ，解得，ABC正确，D错误.
故答案为：ABC.
【分析】由函数是上的减函数，可得 ，进而根据的范围判断选项.
12．【答案】A,C
【知识点】平面向量加法运算；向量加法的三角形法则；三点共线；向量加法的平行四边形法则
【解析】【解答】解：AB、，是中点，，，
，，，
，，
由 知三点共线，，求得，同理 ，A正确B 错误；
C、 ，C正确
D ， D错误.
故答案为：AC.
【分析】由得到，由得到，进而求出 判断选项.
13．【答案】；
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：设指数函数为(且) ，则解得， ， ；
，又是上的增函数， ，即，解得.
故答案为：；.
【分析】第一空：先求出 指数函数解析式 ，再求；第二空：将转化为，进而求解 .
14．【答案】0.02
【知识点】全概率公式；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：设事件，，分别表示买到甲、乙、丙的产品，事件表示买到一件次品，
由题意知，，，，，，
由全概率公式得.
故答案为：.
【分析】利用全概率公式求解.
15．【答案】；
【知识点】基本不等式；两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解： ，由正弦定理得 ，，又，，即，， 若， 由余弦定理得，，当且仅当时等号， 面积的最大值为；
， ， ， ，，又，，，
故答案为：；.
【分析】利用正弦定理化边为角，化简求得，利用余弦定理和基本不等式求得，得到面积最大值；由，化简求得，，由计算求解.
16．【答案】
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：取中点，连接，，
易求得，，又，，，
为 正方体， 平面，又 平面
，又，平面， 平面，
点的轨迹是线段，
.
故答案为：.
【分析】在 上找一点，通过证明 平面，得到点的轨迹是线段，进而求解线段长度.
17．【答案】（1）由题意知，
（2）
【知识点】三角函数值的符号；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】 (1)根据三角函数定义得， 除以，进行“弦化切”，进而计算；
(2)利用诱导公式化简式子，代入计算.
18．【答案】（1），被调查的用户中，有30户用电量落在区间；
（2）由，解得；
（3），这组数据的平均数为.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【分析】(1)利用频率分布直方图估计频数；
(2)根据频率分布直方图的各矩形面积和为1求解；
(3)利用频率分布直方图估计平均数.
19．【答案】（1）连接 交于点，连接 ，则是中点，又 D是的中点 ，，又， ， ；
（2）过点作，又平面⊥平面 ，平面平面，平面，平面，
平面，，
由直三棱柱性质知平面，又平面，，
又平面 ，平面 ，，平面，
平面， .
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【分析】 (1) 、连接 交于点，连接 ，通过证明得到 ；
(2) 、过点作，通过证明和得到平面，进而证明.
20．【答案】选择① ： ，
由正弦定理得，
，
求得，，，
求得；
选择 ② ： ，
由正弦定理得，
，
求得，
或，
当时，；
当时，；
选择 ③ ： ，
由正弦定理得，
，
求得，
，，.
【知识点】解三角形；正弦定理；正弦定理的应用
【解析】【分析】选择①：利用正弦定理求得 ，再根据 得 ，进而求，再利用正弦定理求边；
选择②：利用正弦定理求出或，分别讨论求，利用正弦定理求边；
选择③：利用正弦定理求出，进而求，再利用正弦定理求边.
21．【答案】（1） 函数是奇函数， 对任意恒成立，；
（2）由(1)知，对任意，设，则，，，，即， 在区间上单调递减；
（3）由(2)知 在区间上单调递减， 当，有且，，当，有，
，函数的取值范围是.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数的奇偶性；指数函数的图象与性质
【解析】【分析】(1)由奇函数的定义得化简求解；
(2)利用单调性的定义证明；
(3)利用（2）的单调性结合指数函数的性质求其范围.
22．【答案】（1）设参加社会实践的教师有人，学生有人，学生家长有人
由题意得，解得，
参加社会实践的老师有10人、家长有20人、学生有180人；
（2）由(1)知参加社会实践共有210人，其中学生有180人
1°当时，最经济的购票方案为：
名学生都买学生票，余下人买一等座火车票买张，，
2°当时，最经济的购票方案为：
180名学生都买学生票，名成年人买二等座火车票，名成年人买一等座火车票， ，
（3）由(2) 知，当时，，当时，元，当时，元，
当时，，当时，元，当时，元，
按第⑵小题中的购票方案，购买单程火车票至少要花元，最多要花元.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【分析】(1)设参加社会实践的教师有人，学生有人，学生家长有人，列方程组求解；
(2)分与 两种情况讨论；
(3)分别求出购买火车票的总费用，比较后得到至少要花多少钱，最多要花多少钱.
