20 约数和倍数的意义应用题
班级 姓名 得分
【知识储备】1. 本单元概念较多，内容比较抽象，主要内容有约数和倍数：能被2、5、3 整除 的数的特征；质数和合数；分解质因数；最大公约数，最小公倍数等。重点是求最大 公约数和最小公倍数，而要理解求最大公约数和最小公倍数的方法，就需要使学生 掌握约数、倍数的含义，能被一些数整除的数的特征，分解质因数等知识。小学阶 段教材中只要求掌握这些概念，知道这些概念之间的联系和区别，能够有条理、有 根据地进行思考，并没有涉及到很多应用和综合应用。但这部分数学知识应用范 围还是很广的，是数学中的一项重要基础知识，在数学知识应用中能解决一些特殊 的有趣的式题。
2. 这类应用题比较开放、灵活，既能激发我们的兴趣，又有一定的难度。因此，深刻理解概念，牢固掌握基础知识，是我们解决这类应用题的前提。
【例1】a、b、c 都是不等于零的自然数，而且知道a=bc, 请你判断谁是谁的倍 数 谁是谁的约数
【解析】要判断a、b、c 三数之间的关系，要以倍数、约数的概念为依据，首先我们知道 a、b、c三数都是不等于零的自然数，都在整数范围之内，又知道a是b、c两因数的积，可 根据乘、除法各部分间的关系得出a÷b=c,a÷c=b,从而得出它们之间的关系。
【解答】
由a=bc 得出a÷b=c a÷c=b，且知a、b、c都是不等于零的自然数。
所以，a 是 b 和 c 的倍数，b 和 c都是a 的约数。
【例2】56的约数有哪些 6的倍数有哪些
【解析】一个数的约数最小是1,最大是它本身。因此，我们找一个数的约数是从“1”开始，直到找到它本身为止，找的时候可以一个一个地去找，也可以利用乘法口诀， 一对一对地找。
一个数的倍数的个数是无限的，但最小的是它本身。因此，找6的倍数时，从它本身开始，分别乘1、2、3、4……所得的积就是6的倍数。
【解答】
56的约数有：1、56、2、28、4、14、7、8;
6的倍数有：6、12、18、24、30……
【例3】一个数既是4的倍数，又是60的约数，这个数可以是多少 请你找出来。
【解析】一个数的倍数的个数是无限的， 一个数的约数的个数是有限的，找4的倍数，可将4与自然数1、2、3、4……相乘，即可得出，但最大不能大于60。再从中找出60的约数；找60的约数，可以从“1”开始，按两个因数的积是60,一对一对地 找，然后在这些约数中再找出6的倍数。
【解答一】
4 的倍数有：4、8、12、16、20、24、28、32、36、40、44、48、52、56、60…… 60的约数有：1、60、2、30、3、20、4、15、5、12、6、10
通过观察，既是4的倍数又是60的约数的有：4、12、20、60。
【解答二】
4的倍数有：4、8、12、16、20、24、28、32、36、40、44、48、52、56、60……其中又是60的约数的有：4、12、20、60四个。
【解答三】
60的约数有：1、60、2、30、3、20、4、15、5、12、6、10。
其中又是4的倍数的有：4、12、20、60 四个。
【例4】有一个自然数，它的最小的两个约数之和是4,最大的两个约数之和是 100,求这个自然数。
【解析】一个数的约数的个数是有限的，最小的是1,那么另一个较小的约数是4-1=3。最大的约数是它本身，也就是这个自然数，另一个较大的约数是这个自然数除以3的商，最大的约数是第二大约数的3倍，又知两数的和是100,就可分别求出两数。
【解答】
根据分析最大的约数是第二大约数的3倍
第二大约数是：100÷(1+3)=25
这个自然数是：100-25=75
答：这个自然数是75。
1.72的约数有哪些 5的倍数有哪些
2.a、b都是不等于零的自然数，且知7a=b, 请你判断谁是谁的倍数 谁是谁 的约数
3. 一个数是42的约数，同时又是3的倍数，这个数可以是多少
4. 如果A、B均是不为0的自然数，在A÷B=0.4,A÷B=2,B×3=A,A÷4= B 这几个式中，A不能被 B 整除的式子是哪个
5. 能同时含有约数3、4、5的最小四位数是几
6. 一个数既是6的倍数，又是48的约数，这个数可以是多少 请你把它找 出来。
7.a=2×3×5,a 的全部约数有多少个
8. 把20个梨和25个苹果平均分给若干个小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果 还缺2个， 一共有多少个小朋友
9. 两个数的和是836,其中一个数的末尾是0,当把这个0抹去时就与另一个 数相等，这两个数各是多少
10.有一个自然数，它的最大的两个约数之和是123,求这个自然数。
11.幼儿园有糖115颗，饼干148块，橘子74个，平均分给所有小朋友，分过以后，糖还多7颗，饼干多4块，橘子多2个，这个幼儿园里最多有多少人
12. 在25 79这个数的 内填上一个数字，使这个数能被11整除，方格内应填多少
参考答案
1. 72的约数有：1,72,2,36,3,24,4,18,6,12,8,9。
5的倍数有：5,10,15,20,25,30,35……
2.根据乘法各部分间的关系，由7a=b可得b÷a=7，因a,b都是不等于零的自然数，所以b是a的倍数，a是b的约数。
3.解法一：42的约数有：1,42,2,21,3,14,6,7其中又是3的倍数的有：42,21,3,6四个。
解法二：3的倍数有：3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42其中又是42的约数的有：3,6,21,42四个。
4.已知A,B均是不为0的自然数，根据整除的意义得知A÷B=0.4,商不是整数，所以A不能被B整除，A+B=2,A能被B整除。又根据乘、除各部分间的关系，可把(3)式(4)式写成A+B=3 A+B=4,在这两个式子中，A能被B整除，因此，A不能被B整除的式子是A÷B=0.4。
5.能同时含有约数3、4、5的最小四位数是1020。
6.解法一：6的倍数有：6,12,18,24,30,36,42,48……；其中又是48的约数的有：6,12,24,48四个。
解法二：48的约数有：1,48,2,24,3,16,4,12,6,8；其中又是6的倍数的有：6,12,24,48四个。
7. a的全部约数有：1和2×3×5=30 2和3×5=15
3和2×5=10 5和2×3=6。
所以a的全部约数有：1,2,3,5,6,10,15,30共8个。
8. 如果梨和苹果要正好分够，那么梨应该是20-2=18(个),苹果应该是25+2=27(个),小朋友的人数应该既是18的约数，又是27的约数。18的约数有1和18,2和9,3和6,又是27的约数的有1,3,9,只有1个小朋友不对，20个梨和25个苹果不会剩下和不够的，那只能是3人或9人。
9.根据题意可知，在这个两位数中，其中一个数是另一个数的10倍，所以，较小的数是836÷(1+10)=76,较大的数是76×10=760或836-76=760。
10.因为最大的约数就是这个自然数本身。所以最大的约数应是第二大约数的整数倍，由于123÷3=41,可知，第二大约数占1份，这个自然数占2份，所以这个自然数是41×2=82。
11.要是正好分完，糖应是115-7=108(颗),饼干应是148-4=144(块),楣子应是74-2=72(个),根据题意，这个幼儿园的小朋友人数应该是108、144、72的共同的约数，并且是其中最大的一个。通过计算，这个幼儿园的小朋友最多有36人。(这是一道最大公约数的题，以后学习了求最大公约数的方法后，就简单了。)
12.根据“如果一个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差能被11整除，那么这个数就能被11整除”。25 79这个数的偶数位上数字和是5+7=12,那么，奇数位上数字和应是2+ +9=12,所以口内的数应填12-2-9=1
